初中數(shù)學競賽《圓》

2、(05)已知點I是銳角三角形ABC的內(nèi)心，A1,

Bl,C1分別是點I關于邊BC,CA,AB的對稱點。

若點B在△A1B1C1的外接圓上，則NABC等于

()

A、30°B、45°C、60°D、90°

3.(06)正方形A8CD內(nèi)接于。。，點P在劣弧A?上，連結

DP,交AC于點Q.若。尸=Q。，則式的值為()

QA

(A)273-1(B)2/(C)V3+V2(D)V3+2

(第3題圖)

5(07)已知△ABC為銳角三角形，。。經(jīng)過點3,C,且與邊A3,

AC分別相交于點。，E.若。。的半徑與△ADE的外接圓的半徑相等,

則0。一定經(jīng)過△ABC的().

(A)內(nèi)心(B)外心(C)重心(D)垂心

10.已知線段A3的中點為C,以點A為圓心，AB的長為半徑

作圓，在線段AB的延長線上取點。，使得BD=AC；再以點D

為圓心，D4的長為半徑作圓，與。A分別相交于RG兩點，連

AH

接RG交A3于點“，則7B的值為.

8、Z^ABC中，AB=7,BC=8,CA=9,過AABC的內(nèi)

切圓圓心1作DE〃BC,分別與AB、AC相交于點D,E,

則DE的長為-

9、已知AB是半徑為1的圓O的一條弦，且AB=aVI,

以AB為一邊在圓O內(nèi)作正△ABC,點D為圓O上不同于點A

(第9顆)

的一點，且DB=AB=a,DC的延長線交圓0于點E,則AE的長為()o

A、爭B、

C、——D、a

2

1(04).。是△ABC的邊A3上的一點，使得A3=3AD,P是△ABC外接圓上一

PR

點，使得NADP=NACB,求一的值.―____丈

4.(06)如圖，點P為。。外一點，過點P作。。的兩條切線，切點分別為A,B.過點A

作尸8的平行線，交。。于點C.連結尸C,交。。于點E；連結AE,并延長AE交PB于點

K.求證：PE-AC=CE-KB.

(第4題)

6.已知42為半圓。的直徑，點尸為直徑上的任意一點.以

點A為圓心，AP為半徑作(DA,0A與半圓。相交于點C；以

APOB

點B為圓心，BP為半徑作。B,。3與半圓。相交于點。，且線段C。的中點為求證:

M尸分別與。A和。8相切.

7.如圖，點E,尸分別在四邊形A3CD的邊AD,BC的延長線上,

且滿足——=——.若CD,RE的延長線相交于點G,ADEG

CFBC

的外接圓與△CFG的外接圓的另一個交點為點P,連接出，PB,

PC,PD.求證：

,ADPD

(1)=；

BCPC

(2)APABS^PDC.

11(10).如圖，△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC

上的高，點O是線段PC上的一點，BE和CF分別是△

EF

A5Z＞和△AC。的外接圓直徑，連接EF.求證：tanZPAD=—

BC

12(11)、如圖，點H為AABC的垂心，以AB為直徑

的。和△BCH的外接圓。。2相交于點D,延長AD

交CH于點P,求證：點P為CH的中點。

初中數(shù)學競賽《圓》歷屆考題

1(04).。是△ABC的邊A3上的一點，使得A3=3AD,P是△ABC外接圓上一

PR

點，使得NADP=NAC3,求色的值.

PD

解：連結AP,貝I]NAP3=NAC3=NADP,

所以，AAPB^AADP,.........................(5分)

.ABAP

??----=-----,

APAD

所以AP?=AB?AD=3AD2,

AP=CAD,(10分)

所嚼嗡

(15分)

2、(05)已知點I是銳角三角形ABC的內(nèi)心，Al,Bl,C1分別

點I關于邊BC,CA,AB的對稱點。若點B在△A1B1C1的處接

圓上，則NABC等于()

A、30°B、45°C、60°D、90°C

答：C

Bi

解：因為IAl=IBl=ICl=2r(r為AABC的內(nèi)切圓半徑)，所以

點I同時是△A1B1C1的外接圓的圓心，設IA1與BC的交點為D,則IB=IA1

=2ID,

所以NIBD=30°,同理，ZIBA=3O°,于是，ZABC=60°

3.(06)正方形ABC。內(nèi)接于。。，點P在劣弧AB上，連結。尸，交AC于點。.若QP=。。,

則史的值為()

QA

(A)273-1(B)2/(C)V3+V2(D)V3+2

答：D.

解：如圖，設。O的半徑為r,QO=m,則。尸二祖，QC=r+mf

QA=r-m.在。。中，根據(jù)相交弦定理，QA-QC=QP-QD.

(第3題圖)

.r2-m2

即(r—m)(r+m)=m,QD,所以QD=-------.連結DO,由勾股定理，得。。2=。。2

?m

f22、2

r-mQC_r+m_A/3+1

+。*即=r2+m2，解得用=——〃所以,V3+2

m)3QAr-m73-1

4.(06)如圖，點尸為。。外一點，過點尸作。。的兩條切線，切點分別為A,B.過點A

作PB的平行線，交。。于點C.連結尸C,交。。于點E；連結AE,并延長AE交尸8于點

K.求證：PE?AC=CE?KB.

證明：因為AC〃尸8,所以NKPE=NACE.

所以故/KPE=/KAP,于是

△KPES^KAP,

所以—,即KP2=KEKA.

KAKP

由切割線定理得KB2=KEKA

…10#\\'°J

所以KP=KB.............................

因為AKPE^AACE,于是

PEKP乂PEKB

CE~ACCE~AC'c

即PE?AC=CE?KB.............................

5(07)已知△ABC為銳角三角形，經(jīng)過點B,C,且與邊AC分別相交于點

E.若。。的半徑與△ADE的外接圓的半徑相等，則。。一定經(jīng)過△ABC的(

(A)內(nèi)心(B)夕卜心(C)重心(D)垂心

答：(B).

解：如圖，連接BE,因為△ABC為銳角三角形，所以NA4C,

NA3E均為銳角.又因為。。的半徑與△AOE的外接圓的半徑相等,

且DE為兩圓的公共弦，所以ZBAC=NABE.

于是，ZBEC=ABAC+ZABE=2ZBAC.

若△ABC的外心為O],則ZBaC=2Zft4C,所以，。。一定過△ABC

的外心.故選(B).

6.已知A8為半圓O的直徑，點尸為直徑A8上的任意一點.以

點A為圓心，AP為半徑作。A,與半圓。相交于點C；以點

8為圓心，為半徑作。8,與半圓。相交于點。，且線段

的中點為求證：MP分別與。A和。2相切.AE

證明：如圖，連接AC,AD,BC,BD,并且分別過點C,。作A8的垂線，垂足分別

(第13A題答案圖)

為E,F,貝|CE〃。凡因為A8是。。的直徑，所以NAC3=NAD5=90°.在RtAABC

和Rt△ABD中，由射影定理得PA2=AC2=AE-AB

PB2=BD2=BF-AB.5分

兩式相減可得PA2-PB-=A5(AE-BF),

又PA2-PB2=(PA+PB^PA-PB)=AB(PA-PB),

于是有AE-BF=PA-PB,^PA-AE=PB-BF,

所以PE=PR,也就是說，點尸是線段EF的中點.因此，是直角梯形CORE的中位

線，于是有MPLAB,從而可得MP分別與。A和08相切.

DFAD

7.如圖，點E,尸分別在四邊形ABC。的邊AD,BC的延長線上，且滿足——=——.若

CFBC

CD,FE的延長線相交于點G,ZXDEG的外接圓與△CRG的外接圓的另一個交點為點

P,連接B4,PB,PC,PD.求證:

、ADPD

(1)=；

BCPC

(2)APABS^PDC.

證明：(1)連接PE,PF,PG,因為NPDG=NPEG,

所以NPDC=NPEF.

又因為NPCG=NPRG,所以APDCS^PEF,

pr\pF

于是有一=——，NCPD=NFPE,從而△PDEPCF,所

PCPF

,.PDDE_.DEAD.,.AD_PD

以一=—.又己知一=——，所Cr以,10分

PCCFCFBC~BC~~PC

（2）由于NPD4=NPGE=NPC3,結合（1）知，△PD4s△尸匿，從而有

PAPD

ZDPA=ZCPB,所以ZAPB=ZDPC,因此△PABs△

PB—PC

PDC.15分

8、ZXABC中，AB=7,BC=8,CA=9,過^ABC的內(nèi)切圓圓心1作DE〃BC,

分別與AB、AC相交于點D,E,則DE的長為

解：如圖，設AABC的三邊長為a,0,c,

內(nèi)切圓1的半徑為r,BC邊上的高為兒，則

]]Ka

-aha=s^Bc=-(a+b+c)r,所以丁=（第8題）

22haa+b+c

因為△ADES^ABC,所以它們對應線段成比例，因止匕組」=絲,

KBC

所以DE

ha+b+ca+b+c

8x(7+9)_16

8+7+96

9、已知AB是半徑為1的圓O的一條弦，且AB=a<l,以AB為一邊在圓0

內(nèi)作正aABC,點D為圓。上不同于點A的一點，且DB=AB=a,DC的延

長線交圓0于點E,則AE的長為（B）□

解：如圖，連接OE,OA,0B,設ND=a,則

ZECA=120°~a=ZEAC

又因為NABO=-ZABD=-(60°+180°-2a)=120。一a\

「22

所以AACE^AABO,于是AE=OA（第9題）

10.已知線段A3的中點為C,以點A為圓心，A3的長為半徑作圓，在線段A3

的延長線上取點。，使得BD=AC；再以點。為圓心，D4的長為半徑作圓，與

AH

OA分別相交于EG兩點，連接RG交A3于點H,則不■的值為_____.

An

解：如圖，延長AD與。。交于點E,連接ARER.由F—~、

題設知AC=gAD,AB^AE,在AFHA^W^EFA\

中，ZEFA=ZFHA=90°,ZFAH=ZEAF[）BDj

所以Rt△FHAsRt△石陰，，

AHAF…AH1

-----=-----而4下一4nhFrDJ----------_r第1八旦而、

11（10）.如圖，△45C為等腰三角形，AP是底邊3c上的高，點O是線段PC上的一點,

EF

BE和CP分別是△480和△ACZ＞的外接圓直徑，連接E