陜西師范大學附中2025屆高一數學第二學期期末達標檢測模擬試題含解析

陜西師范大學附中2025屆高一數學第二學期期末達標檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．干支紀年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、廢、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、）按順序配對，周而復始，循環(huán)記錄．如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，則數學王子高斯出生的1777年是干支紀年法中的（）A．丁申年 B．丙寅年 C．丁酉年 D．戊辰年2．《九章算術》中，將四個面均為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑，若三棱錐為鱉臑，其中平面，，三棱錐的四個頂點都在球的球面上，則該球的體積是（）A． B． C． D．3．三角形的一個角為60°，夾這個角的兩邊之比為，則這個三角形的最大角的正弦值為（）A． B． C． D．4．函數的大致圖像是下列哪個選項（）A． B．C． D．5．下列不等式正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．已知平面向量，，若，則實數()A．-2 B．-1 C． D．27．在三棱錐中，面，則三棱錐的外接球表面積是（）A． B． C． D．8．已知一個等比數列項數是偶數，其偶數項之和是奇數項之和的3倍，則這個數列的公比為（）A．2 B．3 C．4 D．69．若a、b、c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，則2a＋b＋c的最小值為()A．－1 B．＋1C．2＋2 D．2－210．函數f（x）=log3（2﹣x）的定義域是（）A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若數列是正項數列，且，則_______．12．已知數列滿足且，則____________．13．若函數的圖像與直線有且僅有四個不同的交點，則的取值范圍是______14．設，數列滿足，，將數列的前100項從大到小排列得到數列，若，則k的值為______；15．函數的定義域為A，若時總有為單函數.例如，函數=2x+1（）是單函數.下列命題：①函數=（xR）是單函數；②若為單函數，且則；③若f：AB為單函數，則對于任意bB，它至多有一個原象；④函數f（x）在某區(qū)間上具有單調性，則f（x）一定是單函數.其中的真命題是.（寫出所有真命題的編號）16．若一組樣本數據，，，，的平均數為，則該組樣本數據的方差為三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某公司為了提高職工的健身意識，鼓勵大家加入健步運動，要求200名職工每天晚上9:30上傳手機計步截圖，對于步數超過10000的予以獎勵.圖1為甲乙兩名職工在某一星期內的運動步數統計圖，圖2為根據這星期內某一天全體職工的運動步數做出的頻率分布直方圖.（1）在這一周內任選兩天檢查，求甲乙兩人兩天全部獲獎的概率；（2）請根據頻率分布直方圖，求出該天運動步數不少于15000的人數，并估計全體職工在該天的平均步數；（3）如果當天甲的排名為第130名，乙的排名為第40名，試判斷做出的是星期幾的頻率分布直方圖.18．在平面直角坐標系xOy中，已知點，圓.（1）求過點P且與圓C相切于原點的圓的標準方程；（2）過點P的直線l與圓C依次相交于A，B兩點.①若，求l的方程；②當面積最大時，求直線l的方程.19．已知，為兩非零有理數列（即對任意的，，均為有理數），為一個無理數列（即對任意的，為無理數）．（1）已知，并且對任意的恒成立，試求的通項公式；（2）若為有理數列，試證明：對任意的，恒成立的充要條件為；（3）已知，，試計算．20．某機構通過對某企業(yè)今年的生產經營情況的調查，得到每月利潤（單位：萬元）與相應月份數的部分數據如表：14712229244241196（1）根據如表數據，請從下列三個函數中選取一個恰當的函數描述與的變化關系，并說明理由，，，；（2）利用（1）中選擇的函數，估計月利潤最大的是第幾個月，并求出該月的利潤.21．已知.（1）求；（2）求向量與的夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

天干是以10為公差的等差數列，地支是以12為公差的等差數列，按照這個規(guī)律進行推理，即可得到結果．【詳解】由題意，天干是以10為公差的等差數列，地支是以12為公差的等差數列，1994年是甲戌年，則1777的天干為丁，地支為酉，故選：C．【點睛】本題主要考查了等差數列的定義及等差數列的性質的應用，其中解答中認真審題，合理利用等差數列的定義，以及等差數列的性質求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．2、A【解析】

根據三棱錐的結構特征和線面位置關系，得到中點為三棱錐的外接球的球心，求得球的半徑，利用球的體積公式，即可求解.【詳解】由題意，如圖所示，因為，且為直角三角形，所以，又因為平面，所以，則平面，得.又由，所以中點為三棱錐的外接球的球心，則外接球的半徑.所以該球的體積是.故選A.【點睛】本題考查了有關球的組合體問題，以及三棱錐的體積的求法，解答時要認真審題，注意球的性質的合理運用，求解球的組合體問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）利用球的截面的性質，根據勾股定理列出方程求解球的半徑.3、B【解析】

由余弦定理，可得第三邊的長度，再由大角對大邊可得最大角，然后由正弦定理可得最大角的正弦值．【詳解】解：三角形的一個角為，夾這個角的兩邊之比為，設夾這個角的兩邊分別為和，則由余弦定理，可得第三邊的長度為，三角形的最大邊為，對應的角最大，記為，則由正弦定理可得，故選：B．【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，考查了計算能力，屬于基礎題．4、B【解析】

化簡，然后作圖，值域小于部分翻折關于軸對稱即可.【詳解】，的圖象與關于軸對稱，將部分向上翻折，圖象變化過程如下：軸上方部分圖形即為所求圖象.故選：B.【點睛】本題主要考查圖形的對稱變化，掌握關于軸對稱是解決問題的關鍵.屬于中檔題.5、B【解析】試題分析：A.若c<0，則不等號改變，若c=0，兩式相等，故A錯誤；B.若，則，故，故B正確；C.若b=0，則表達是不成立故C錯誤；D.c=0時錯誤.考點：不等式的性質.6、A【解析】

由題意，則，再由數量積的坐標表示公式即可得到關于的方程，解出它的值【詳解】由，，則，即解得：故選：A【點睛】本題考查數量積判斷兩個平面向量的垂直關系，向量的數量積坐標表示，屬于基礎題．7、D【解析】

首先計算BD長為2，判斷三角形BCD為直角三角形，將三棱錐還原為長方體，根據體對角線等于直徑，計算得到答案.【詳解】三棱錐中，面中：在中：即ABCD四點都在對應長方體上：體對角線為AD答案選D【點睛】本題考查了三棱錐的外接球表面積，將三棱錐放在對應的長方體里面是解題的關鍵.8、B【解析】

由數列為等比數列，則，結合題意即可得解.【詳解】解：因為數列為等比數列，設等比數列的公比為，則，又是奇數項之和的3倍，則，故選：B.【點睛】本題考查了等比數列的性質，重點考查了等比數列公比的運算，屬基礎題.9、D【解析】由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，得(a＋c)·(a＋b)＝4－2.∵a、b、c>0.∴(a＋c)·(a＋b)≤(當且僅當a＋c＝b＋a，即b＝c時取“＝”)，∴2a＋b＋c≥2＝2(－1)＝2－2.故選：D點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤10、C【解析】試題分析：利用對數函數的性質求解．解：函數f（x）=log3（1﹣x）的定義域滿足：1﹣x＞0，解得x＜1．∴函數f（x）=log3（1﹣x）的定義域是（﹣∞，1）．故選C．考點：對數函數的定義域．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

有已知條件可得出，時，與題中的遞推關系式相減即可得出，且當時也成立?！驹斀狻繑盗惺钦棓盗?，且所以，即時兩式相減得，所以（）當時，適合上式，所以【點睛】本題考差有遞推關系式求數列的通項公式，屬于一般題。12、【解析】

由題得為等差數列，得，則可求【詳解】由題：為等差數列且首項為2，則，所以．故答案為：2550【點睛】本題考查等差數列的定義，準確計算是關鍵，是基礎題13、【解析】

將函數寫成分段函數的形式，再畫出函數的圖象，則直線與函數圖象有四個交點，從而得到的取值范圍.【詳解】因為因為所以，所以圖象關于對稱，其圖象如圖所示：因為直線與函數圖象有四個交點，所以.故答案為：.【點睛】本題考查利用三角函數圖象研究與直線交點個數，考查數形結合思想的應用，作圖時發(fā)現圖象關于對稱，是快速畫出圖象的關鍵.14、【解析】

根據遞推公式利用數學歸納法分析出與的關系，然后考慮將的前項按要求排列，再根據項的序號計算出滿足的值即可.【詳解】由已知，a1＝a，0＜a＜1；并且函數y＝ax單調遞減；∵∴1>a2＞a1∴，∴a2＞a3＞a1∵，且∴a2＞a4＞a3＞a1……當為奇數時，用數學歸納法證明，當時，成立，設時，，當時，因為，結合的單調性，所以，所以即，所以時成立，所以為奇數時，；當為偶數時，用數學歸納法證明，當時，成立，設時，，當時，因為，結合的單調性，所以，所以即，所以時成立，所以為偶數時，；用數學歸納法證明：任意偶數項大于相鄰的奇數項即證：當為奇數，，當時，符合，設時，，當時，因為，結合的單調性，所以，所以，所以，所以時成立，所以當為奇數時，，據此可知：，當時，若，則有，此時無解；當時，此時的下標成首項為公差為的等差數列，通項即為，若，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查數列與函數的綜合應用，難度較難.(1)分析數列的單調性時，要注意到數列作為特殊的函數，其定義域為；(2)證明數列的單調性可從與的關系入手分析.15、②③【解析】

命題①：對于函數，設，故和可能相等，也可能互為相反數，即命題①錯誤；命題②：假設，因為函為單函數，所以，與已知矛盾，故，即命題②正確；命題③：若為單函數，則對于任意，，假設不只有一個原象與其對應，設為，則，根據單函數定義，，又因為原象中元素不重復，故函數至多有一個原象，即命題③正確；命題④：函數在某區(qū)間上具有單調性，并不意味著在整個定義域上具有單調性，即命題④錯誤,綜上可知，真命題為②③.故答案為②③．16、【解析】因為該組樣本數據的平均數為2017，所以，解得，則該組樣本數據的方差為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）80人，13.25千步，（3）星期二【解析】

（1）根據統計圖統計出甲乙兩人合格的天數，再計算全部獲獎概率；（2）根據頻率分布直方圖求出人數及平均步數；（3）根據頻率分布直方圖計算出甲乙的步數從而判斷出星期幾．【詳解】（1）由統計圖可知甲乙兩人步數超過10000的有星期一、星期二、星期五、星期天設事件A為甲乙兩人兩天全部獲獎，則（2）由圖可知，解得所以該天運動步數不少于15000的人數為（人）全體職工在該天的平均步數為：（千步）（3）因為假設甲的步數為千步，乙的步數為千步由頻率分布直方圖可得：，解得，解得所以可得出的是星期二的頻率分布直方圖.【點睛】本題考查利用頻率分布直方圖來求平均數和概率，要注意計算的準確性，較簡單.18、（1）；（2）①；②或．【解析】

（1）設所求圓的圓心為，而所求圓的圓心與、共線，故圓心在直線上，又圓同時經過點與點，求出圓的圓心和半徑，即可得答案；（2）①由題意可得為圓的直徑，求出的坐標，可得直線的方程；②當直線的斜率不存在時，直線方程為，求出，的坐標，得到的面積；當直線的斜率存在時，設直線方程為．利用基本不等式、點到直線的距離公式求得，則直線方程可求．【詳解】（1）由，得，圓的圓心坐標，設所求圓的圓心為．而所求圓的圓心與、共線，故圓心在直線上，又圓同時經過點與點，圓心又在直線上，則有：，解得：，即圓心的坐標為，又，即半徑，故所求圓的方程為；（2）①由，得為圓的直徑，則過點，的方程為，聯立，解得，直線的斜率，則直線的方程為，即；②當直線的斜率不存在時，直線方程為，此時，，，；當直線的斜率存在時，設直線方程為．再設直線被圓所截弦長為，則圓心到直線的距離，則．當且僅當，即時等號成立．此時弦長為10，圓心到直線的距離為5，由，解得．直線方程為．當面積最大時，所求直線的方程為：或．【點睛】本題考查圓的方程的求法、直線與圓的位置關系應用，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想、分類討論思想、數形結合思想，考查邏輯推理能力和