上海市西南模范中學2025屆高一數(shù)學第二學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

上海市西南模范中學2025屆高一數(shù)學第二學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列各角中，與126°角終邊相同的角是（）A． B． C． D．2．函數(shù)則＝（）A． B． C．2 D．03．已知在角終邊上，若，則（）A． B．-2 C．2 D．4．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則最大角的余弦值為（）A． B． C． D．5．經(jīng)過點，和直線相切，且圓心在直線上的圓方程為（）A． B．C． D．6．設點M是直線上的一個動點，M的橫坐標為，若在圓上存在點N，使得，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知分別是的邊的中點，則①；②；③中正確等式的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．38．如果直線a平行于平面，則（）A．平面內有且只有一直線與a平行B．平面內有無數(shù)條直線與a平行C．平面內不存在與a平行的直線D．平面內的任意直線與直線a都平行9．過點且與直線平行的直線方程是（）A． B．C． D．10．設等比數(shù)列的前項和為，且，則（）A．255 B．375 C．250 D．200二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的最大值為．12．已知三棱錐的底面是腰長為2的等腰直角三角形，側棱長都等于，則其外接球的體積為______.13．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足：a2＝2a1，且Sn＝+1（n≥2），則數(shù)列{an}的通項公式為_______．14．計算__________．15．在中，角、、所對的邊為、、，若，，，則角________．16．若函數(shù)的圖象與直線恰有兩個不同交點，則m的取值范圍是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設向量、滿足，，.（1）求的值；（2）若，求實數(shù)的值.18．設集合，其中.（1）寫出集合中的所有元素；（2）設，證明“”的充要條件是“”（3）設集合，設，使得，且，試判斷“”是“”的什么條件并說明理由.19．某地合作農(nóng)場的果園進入盛果期，果農(nóng)利用互聯(lián)網(wǎng)電商渠道銷售蘋果，蘋果單果直徑不同則單價不同，為了更好的銷售，現(xiàn)從該合作農(nóng)場果園的蘋果樹上隨機摘下了50個蘋果測量其直徑，經(jīng)統(tǒng)計，其單果直徑分布在區(qū)間內（單位：)，統(tǒng)計的莖葉圖如圖所示：（Ⅰ)按分層抽樣的方法從單果直徑落在，的蘋果中隨機抽取6個，則從，的蘋果中各抽取幾個？（Ⅱ)從（Ⅰ)中選出的6個蘋果中隨機抽取2個，求這兩個蘋果單果直徑均在內的概率；（Ⅲ)以此莖葉圖中單果直徑出現(xiàn)的頻率代表概率，若該合作農(nóng)場的果園有20萬個蘋果約5萬千克待出售，某電商提出兩種收購方案：方案：所有蘋果均以5.5元/千克收購；方案：按蘋果單果直徑大小分3類裝箱收購，每箱裝25個蘋果，定價收購方式為：單果直徑在內按35元/箱收購，在內按45元/箱收購，在內按55元/箱收購.包裝箱與分揀裝箱費用為5元/箱（該費用由合作農(nóng)場承擔).請你通過計算為該合作農(nóng)場推薦收益最好的方案.20．已知關于的不等式.（1）當時，求不等式的解集；（2）當且m≠1時，求不等式的解集.21．(1)計算(2)已知,求的值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

寫出與126°的角終邊相同的角的集合，取k=1得答案．【詳解】解：與126°的角終邊相同的角的集合為{α|α=126°+k?360°，k∈Z}．取k=1，可得α=486°．∴與126°的角終邊相同的角是486°．故選B．【點睛】本題考查終邊相同角的計算，是基礎題．2、B【解析】

先求得的值，進而求得的值.【詳解】依題意，，故選B.【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)求值，考查運算求解能力，屬于基礎題.3、C【解析】

由正弦函數(shù)的定義求解．【詳解】，顯然，∴．故選C．【點睛】本題考查正弦函數(shù)的定義，屬于基礎題．解題時注意的符號．4、D【解析】

設，由余弦定理可求出.【詳解】設,所以最大的角為,故選D.【點睛】本題主要考查了余弦定理，大邊對大角，屬于中檔題.5、B【解析】

設出圓心坐標，由圓心到切線的距離和它到點的距離都是半徑可求解．【詳解】由題意設圓心為，則，解得，即圓心為，半徑為．圓方程為．故選：B．【點睛】本題考查求圓的標準方程，考查直線與圓的位置關系．求出圓心坐標與半徑是求圓標準方程的基本方法．6、D【解析】

由題意畫出圖形，根據(jù)直線與圓的位置關系可得相切，設切點為P,數(shù)形結合找出M點滿足|MP|≤|OP|的范圍,從而得到答案．【詳解】由題意可知直線與圓相切，如圖，設直線x+y?2=0與圓相切于點P，要使在圓上存在點N,使得，使得最大值大于或等于時一定存在點N，使得，而當MN與圓相切時，此時|MP|取得最大值，則有|MP|≤|OP|才能滿足題意，圖中只有在M1、M2之間才可滿足，∴的取值范圍是[0,2].故選：D.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，根據(jù)數(shù)形結合思想，畫圖進行分析可得，屬于中等題.7、C【解析】分別是的邊的中點；故①錯誤，②正確故③正確；所以選C.8、B【解析】

根據(jù)線面平行的性質解答本題．【詳解】根據(jù)線面平行的性質定理，已知直線平面.

對于A，根據(jù)線面平行的性質定理，只要過直線a的平面與平面相交得到的交線，都與直線a平行；所以平面內有無數(shù)條直線與a平行；故A錯誤；

對于B，只要過直線a的平面與平面相交得到的交線，都與直線a平行；所以平面內有無數(shù)條直線與a平行；故B正確；

對于C，根據(jù)線面平行的性質，過直線a的平面與平面相交得到的交線，則直線，所以C錯誤；

對于D，根據(jù)線面平行的性質，過直線a的平面與平面相交得到的交線，則直線，則在平面內與直線相交的直線與a不平行，所以D錯誤；

故選：B．【點睛】本題考查了線面平行的性質定理；如果直線與平面平行，那么過直線的平面與已知平面相交，直線與交線平行．9、D【解析】

先由題意設所求直線為：，再由直線過點，即可求出結果.【詳解】因為所求直線與直線平行，因此，可設所求直線為：，又所求直線過點，所以，解得，所求直線方程為：.故選：D【點睛】本題主要考查求直線的方程，熟記直線方程的常見形式即可，屬于基礎題型.10、A【解析】

由等比數(shù)列的性質，仍是等比數(shù)列，先由是等比數(shù)列求出，再由是等比數(shù)列，可得.【詳解】由題得，成等比數(shù)列，則有，，解得，同理有，，解得.故選：A【點睛】本題考查等比數(shù)列前n項和的性質，這道題也可以先由求出數(shù)列的首項和公比q，再由前n項和公式直接得。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】略12、【解析】

先判斷球心在上，再利用勾股定理得到半徑，最后計算體積.【詳解】三棱錐的底面是腰長為2的等腰直角三角形，側棱長都等于為中點，為外心，連接，平面球心在上設半徑為故答案為【點睛】本題考查了三棱錐外接球的體積，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.13、【解析】

推導出a1＝1，a2＝2×1＝2，當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1，即，由此利用累乘法能求出數(shù)列{an}的通項公式．【詳解】∵數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足：a2＝2a1，且Sn1（n≥2），∴a2＝S2﹣S1＝a2+1﹣a1，解得a1＝1，a2＝2×1＝2，∴，解得a3＝4，，解得a4＝6，當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1，即，∴n≥2時，22n﹣2，∴數(shù)列{an}的通項公式為．故答案為：．【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關系，考查運算求解能力，分類討論是本題的易錯點，是基礎題．14、【解析】

采用分離常數(shù)法對所給極限式變形，可得到極限值.【詳解】.【點睛】本題考查分離常數(shù)法求極限，難度較易.15、.【解析】

利用余弦定理求出的值，結合角的取值范圍得出角的值.【詳解】由余弦定理得，，，故答案為.【點睛】本題考查余弦定理的應用和反三角函數(shù)，解題時要充分結合元素類型選擇正弦定理和余弦定理解三角形，考查計算能力，屬于中等題.16、【解析】

化簡函數(shù)解析式為，做出函數(shù)的圖象，數(shù)形結合可得的取值范圍．【詳解】解：因為所以，，由，可得，則函數(shù)，的圖象與直線恰有兩個不同交點，即方程在上有兩個不同的解，畫出的圖象如下所示：依題意可得時，函數(shù)的圖象與直線恰有兩個不同交點，故答案為：【點睛】本題主要考查正弦函數(shù)的最大值和單調性，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象特征，體現(xiàn)了轉化、數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）將等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運算律可計算出的值；（2）由轉化為，然后利用平面向量數(shù)量積的運算律可求出實數(shù)的值.【詳解】（1）在等式兩邊平方得，即，即，解得；（2），，即，解得.【點睛】本題考查利用平面向量的模求數(shù)量積，同時也考查了利用平面向量數(shù)量積來處理平面向量垂直的問題，考查化歸與轉化數(shù)學思想，屬于基礎題.18、（1），，，；（2）證明見解析；（3）充要條件.【解析】

（1）根據(jù)題意，直接列出即可（2）利用的和的符號和最高次的相同，利用排除法可以證明。（3）利用（2）的結論完成（3）即可?！驹斀狻浚?）中的元素有，，，。（2）充分性：當時，顯然成立。必要性：若=1，則若=，則若的值有個1，和個。不妨設2的次數(shù)最高次為次，其系數(shù)為1，則，說明只要最高次的系數(shù)是正的，整個式子就是正的，同理，只要最高次的系數(shù)是負的，整個式子就是負的，說明最高次的系數(shù)只能是0，就是說，即綜上“”的充要條件是“”（3）等價于等價于由（2）得“=”的充要條件是“”即“=”是“”的充要條件【點睛】本題考查了數(shù)列遞推關系等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．19、（Ⅰ)4個；（Ⅱ)；（Ⅲ）方案是【解析】

（Ⅰ）單果直徑落在，，，的蘋果個數(shù)分別為6，12，分層抽樣的方法從單果直徑落在，，，的蘋果中隨機抽取6個，單果直徑落在，，，的蘋果分別抽取2個和4個；（Ⅱ）從這6個蘋果中隨機抽取2個，基本事件總數(shù)，這兩個蘋果單果直徑均在，內包含的基本事件個數(shù)，由此能求出這兩個蘋果單果直徑均在，內的概率；（Ⅲ）分別求出按方案與方案該合作農(nóng)場收益，比較大小得結論．【詳解】（Ⅰ)由莖葉圖可知，單果直徑落在，的蘋果分別為6個，12個，依題意知抽樣比為，所以單果直徑落在的蘋果抽取個數(shù)為個，單果直徑落在的蘋果抽取個數(shù)為個（Ⅱ）記單果直徑落在的蘋果為，，記單果直徑落在的蘋果為，若從這6個蘋果中隨機抽取2個，則所有可能結果為：，，，，，，，，，，，，，，，即基本事件的總數(shù)為15個.這兩個蘋果單果直徑均落在內包含的基本事件個數(shù)為6個，所以這兩個蘋果單果直徑均落在內的概率為.（Ⅲ）按方案：該合作農(nóng)場收益為：（萬元）；按方案：依題意可知合作農(nóng)場的果園共有萬箱，即8000箱蘋果，則該合作農(nóng)場收益為：元，即為31.36萬元因為，所以為該合作農(nóng)場推薦收益最好的方案是.【點睛】本題考查概率、最佳方案的確定，考查莖葉圖等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．20、（1）；（2）當時，解集為；當或時，解集為【解析】

（1）當時，不等式是一個不含參的二次不等式，分解因式，即可求得；（2）對參數(shù)進行分類討論，從而確定不等式的解