2025屆福建省福州教育學(xué)院附屬第二中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末考試模擬試題含解析

2025屆福建省福州教育學(xué)院附屬第二中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末考試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知點滿足條件則的最小值為（）A．9 B．-6 C．-9 D．62．已知，那么等于()A． B． C． D．53．在如圖所示的莖葉圖中，若甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為11，乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為9，則（）A．6 B．5 C．4 D．34．定義運算，設(shè)，若，，，則的值域為（）A． B． C． D．5．sin480°等于（）A． B． C． D．6．下列結(jié)論正確的是（）A．若則； B．若，則C．若，則 D．若，則；7．的內(nèi)角的對邊分別為，若的面積為，則（）A． B． C． D．8．如圖，長方體中，，，那么異面直線與所成角的余弦值是（）A． B． C． D．9．已知一個平面，那么對于空間內(nèi)的任意一條直線,在平面內(nèi)一定存在一條直線，使得與（）A．平行B．相交C．異面D．垂直10．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點A．向左平行移動個單位長度B．向右平行移動個單位長度C．向左平行移動個單位長度D．向右平行移動個單位長度二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在等比數(shù)列中，，公比，若，則的值為．12．已知是等差數(shù)列，公差不為零，若，，成等比數(shù)列，且，則________13．函數(shù)的零點的個數(shù)是______.14．圓和圓交于A，B兩點，則弦AB的垂直平分線的方程是________.15．公比為的無窮等比數(shù)列滿足：，，則實數(shù)的取值范圍為________.16．在中，角為直角，線段上的點滿足，若對于給定的是唯一確定的，則_______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知是遞增的等比數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）為各項非零的等差數(shù)列，其前n項和為，已知，求數(shù)列的前n項和．18．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，．（1）求；（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：．19．某工廠為了對研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價元99.29.49.69.810銷量件1009493908578（1）若銷量與單價服從線性相關(guān)關(guān)系，求該回歸方程；（2）在（1）的前提下，若該產(chǎn)品的成本是5元/件，問：產(chǎn)品該如何確定單價，可使工廠獲得最大利潤。附：對于一組數(shù)據(jù)，，……，其回歸直線的斜率的最小二乘估計值為；本題參考數(shù)值：．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，直線，設(shè)圓的半徑為1，圓心在上.（1）若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線方程；（2）若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.21．已知，.(1)求的值；(2)若，均為銳角，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】試題分析：滿足約束條件的點的可行域，如圖所示由圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點處取得最小值，故選B.考點：線性規(guī)劃問題.2、B【解析】

因為，所以，故選B.3、D【解析】

由眾數(shù)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，可確定，題中中位數(shù)是中間兩個數(shù)的平均數(shù)，這樣可計算出．【詳解】由甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為11，得，乙組數(shù)據(jù)中間兩個數(shù)分別為6和，所以中位數(shù)是，得到，因此.故選：D.【點睛】本題考查眾數(shù)和中位數(shù)的概念，掌握眾數(shù)與中位數(shù)的定義是解題基礎(chǔ)．4、C【解析】

由題意，由于與都是周期函數(shù)，且最小正周期都是，故只須在一個周期上考慮函數(shù)的值域即可，分別畫出與的圖象，如圖所示，觀察圖象可得：的值域為，故選C.5、D【解析】試題分析：因為，所以選D.考點：誘導(dǎo)公式，特殊角的三角函數(shù)值.6、D【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合選項，進行逐一判斷即可.【詳解】因，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，故A錯誤；因，則或，故B錯誤；因，才有，條件不足，故C錯誤；因，則，則只能是，故D正確.故選：D.【點睛】本題考查不等式的基本性質(zhì)，需要對不等式的性質(zhì)非常熟練，屬基礎(chǔ)題.7、C【解析】

由題意可得，化簡后利用正弦定理將“邊化為角“即可．【詳解】解：的面積為，，，故選：C．【點睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用和三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解析】

可證得四邊形為平行四邊形，得到，將所求的異面直線所成角轉(zhuǎn)化為；假設(shè)，根據(jù)角度關(guān)系可求得的三邊長，利用余弦定理可求得余弦值.【詳解】連接，四邊形為平行四邊形異面直線與所成角即為與所成角，即設(shè)，，，，在中，由余弦定理得：異面直線與所成角的余弦值為：本題正確選項：【點睛】本題考查異面直線所成角的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過平行關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為相交直線所成角，在三角形中利用余弦定理求得余弦值.9、D【解析】略10、D【解析】試題分析：由題意，為得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，故選D.【考點】三角函數(shù)圖象的平移【名師點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的平移，在函數(shù)的圖象平移變換中要注意“”的影響，變換有兩種順序：一種的圖象向左平移個單位得的圖象，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，得的圖象，另一種是把的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得的圖象，再向左平移個單位得的圖象．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

因為，，故答案為1．考點：等比數(shù)列的通項公式．12、【解析】

根據(jù)題設(shè)條件，得到方程組，求得，即可得到答案.【詳解】由題意，數(shù)列是等差數(shù)列，滿足，，成等比數(shù)列，且，可得，即且，解得，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，以及等比中項的應(yīng)用，其中解答中熟練利用等差數(shù)列的通項公式和等比中項公式，列出方程組求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)論.【詳解】在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可知，函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為，因此，函數(shù)的零點個數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，在判斷函數(shù)的零點個數(shù)時，一般轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程的根，或轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.14、【解析】

弦AB的垂直平分線即兩圓心連線.【詳解】弦AB的垂直平分線即兩圓心連線方程為故答案為【點睛】本題考查了弦的垂直平分線，轉(zhuǎn)化為過圓心的直線可以簡化運算.15、【解析】

依據(jù)等比數(shù)列的定義以及無窮等比數(shù)列求和公式，列出方程，即可求出的表達(dá)式，再利用求值域的方法求出其范圍?！驹斀狻坑深}意有，即，因為，所以?！军c睛】本題主要考查無窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用以及基本函數(shù)求值域的方法。16、【解析】

設(shè)，根據(jù)已知先求出x的值，再求的值.【詳解】設(shè)，則.依題意，若對于給定的是唯一的確定的，函數(shù)在（1，）是增函數(shù)，在（，+）是減函數(shù)，所以，此時，.故答案為【點睛】本題主要考查對勾函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查差角的正切的計算和同角的三角函數(shù)的關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）{an}是遞增的等比數(shù)列，公比設(shè)為q，由等比數(shù)列的中項性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式解方程可得所求；（2）運用等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列中項性質(zhì)，求得bn=2n+1，再由數(shù)列的錯位相減法求和，化簡可得所求和．【詳解】（1）∵是遞增的等比數(shù)列，∴，，又，∴，是的兩根，∴，，∴，.（2）∵，∴由已知得，∴∴，化簡可得.【點睛】本題考查數(shù)列的通項和求和，等差等比數(shù)列的通項通常是列方程組解首項及公差（比），數(shù)列求和常見的方法有：裂項相消和錯位相減法，考查計算能力，屬于中等題.18、（1）；（2）見解析【解析】

（1）設(shè)公差為，由，可得解得，，從而可得結(jié)果；（2）由（1），，則有，則，利用裂項相消法求解即可.【詳解】（1）設(shè)公差為d，由題解得，．所以．（2）由（1），，則有．則．所以．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項與求和公式，以及裂項相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題.裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.19、（1）（2）為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為9.5元.【解析】

（1）先根據(jù)公式求，再根據(jù)求即可求解；（2）先求出利潤的函數(shù)關(guān)系式，再求函數(shù)的最值.【詳解】解:（1）=…又所以故回歸方程為（2）設(shè)該產(chǎn)品的售價為元，工廠利潤為元，當(dāng)時，利潤，定價不合理。由得，故，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最大值.因此，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為9.5元.【點睛】本題考查線性回歸方程和二次函數(shù)的最值.線性回歸方程的計算要根據(jù)已知選擇合適的公式.求二次函數(shù)的最值常用方法：1、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性；2、配方法；3、基本不等式，注意等式成立的條件.20、（1）或；（2）.【解析】

（1）兩直線方程聯(lián)立可解得圓心坐標(biāo)，又知圓的半徑為，可得圓的方程，根據(jù)點到直線距離公式，列方程可求得直線斜率，進而得切線方程；（2）根據(jù)圓的圓心在直線：上可設(shè)圓的方程為，由，可得的軌跡方程為，若圓上存在點，使，只需兩圓有公共點即可.【詳解】（1）由得圓心，∵圓的半徑為1，∴圓的方程為：，顯然切線的斜率一定存在，設(shè)所求圓的切線方程為，即．∴，∴，∴或．∴所求圓的切線方程為或．（2）∵圓的圓心在直線：上，所以，設(shè)圓心為，則圓的方程為．又∵，∴設(shè)為，則，整理得，設(shè)為圓．所以點應(yīng)該既在圓上又在圓上，即圓和圓有交點，∴，由，得，由，得．綜上所述，的取值范圍為．考點：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及切線的方程；2、圓與圓的位置關(guān)系及轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用.【方法點睛】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及切線的方程、圓與圓的位置關(guān)系及轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用.屬于難題.轉(zhuǎn)化與劃歸思想是解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決知識點較多以及知識跨度較大的問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點.以