第13講 指數(shù)及其運(yùn)算 2024-2025年新高一暑假自學(xué)課（教師版）

第13講指數(shù)及其運(yùn)算1.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義并掌握冪的運(yùn)算；2.能準(zhǔn)確掌握根式的運(yùn)算性質(zhì)及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化，熟練掌握冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行冪的運(yùn)算.1n次方根一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且式子na叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0.注意：(1)(n(2)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，nan=a，當(dāng)2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義(1)正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：am巧記“子內(nèi)母外”(根號內(nèi)的m作分子，根號外的n作為分母)(2)正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：a?(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.3無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪ax(a>0，4實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①as?ar②as③(ab)r=

【題型一】根式的概念和性質(zhì)相關(guān)知識點(diǎn)講解n次方根一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且式子na叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0.(1)(na)n=a(2)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，Eg：2?π2=2?π=π?2【典題1】已知函數(shù)f(x?1)=5(x?π)5A．2π?3 B．?3 C．3 【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式的求法和根式的運(yùn)算求解.【詳解】f(x?1)=x?π+π所以f(2)=3，故選:C.變式練習(xí)1.已知x≠0且4xA．x<0 B．x>0 C．x≥0 D．x≤0【答案】A【分析】根據(jù)根式運(yùn)算性質(zhì)，得到2x【詳解】因?yàn)?x2=2又因?yàn)閤≠0，解得x<0.故選：A.2.當(dāng)?x+1有意義時(shí)，化簡x2?8x+16?A．2x?7 B．?2x+1 C．?1 D．7?2x【答案】C【分析】根據(jù)根式有意義求得x的范圍，化簡所求根式即可.【詳解】因?yàn)?x+1有意義，所以?x+1≥0，則x≤1，則x=4?x?(5?x)=?1，故選：C.3.若ab<0，則化簡a?baA．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】先化簡得出a?【詳解】a=aa?ab因?yàn)閍b<0，所以a,b異號，ab所以aa所以，a?故選：B.4.(多選)若4a2?4a+1=3A．?1 B．?12 C．1【答案】ABC【分析】應(yīng)用根式的運(yùn)算即可.【詳解】∵4a2?4a+1=故選：ABC【題型二】根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化相關(guān)知識點(diǎn)講解①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：am巧記“子內(nèi)母外”(根號內(nèi)的m作分子，根號外的n作為分母)Eg：x=x12，3x②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：a?Eg：x?③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.【典題1】(多選)下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是(

)A．3aa=C．x?12【答案】ACD【分析】利用根數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算可判斷各選項(xiàng)的正確.【詳解】對于A選項(xiàng)，3a對于B選項(xiàng)，x?對于C，x?對于D，3?x故選：ACD．變式練習(xí)1.481的運(yùn)算結(jié)果是(

A．3 B．?3 C．±3 D．以上都不對【答案】A【分析】直接根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算即可得結(jié)果.【詳解】481故選：A.2.將17a4A．a(chǎn)47 B．a(chǎn)?47 【答案】B【分析】根據(jù)根式與指數(shù)冪的互化即可求解.【詳解】將17a4故選：B.3.若m?2n=1，則4n38A．1 B．22 C．12 【答案】C【分析】利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化與運(yùn)算法則即可得解.【詳解】因?yàn)閙?2n=1，則2n?m=?1，所以4n故選：C.4.已知a>0，b>0，則a85【答案】1【分析】借助指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算即可.【詳解】a故答案為：1.【題型三】利用指數(shù)冪的性質(zhì)化簡相關(guān)知識點(diǎn)講解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①as?②as③(ab)【典題1】(1)27(2)已知0<x<1，且x+x?1=3(3)已知x=12，y=2【答案】(1)8548(2)?1【分析】(1)根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可；(2)先求x12?x?【詳解】(1)原式===53(2)∵x+x∴x又∵0<x<1，0<x1∴x12?x(3)∵x=12x+y=4xyx?y=41變式練習(xí)1.計(jì)算：(3A．3+2 B．3?2 C．?3【答案】A【詳解】原式=[(3故選：A．2.若10x=2，則A．8 B．－8 C．18 D．【答案】C【詳解】∵10x=2，則103.求值：(23A．1615 B．31730 C．【答案】A【詳解】(23故選：A．4.計(jì)算(?64)13+A．?132 B．?112 C．【答案】C【分析】利用指數(shù)運(yùn)算及根式運(yùn)算計(jì)算即得.【詳解】(?64)1故選：C5.設(shè)x∈R且x≠0，若x+x?1=3A．2 B．5 C．6 D．7【答案】D【詳解】∵x∴當(dāng)n=1時(shí)，x當(dāng)n=2時(shí)，x當(dāng)n=3時(shí)，x歸納x2n+故選：D．6.(多選)已知實(shí)數(shù)a滿足a+a?1=4A．a(chǎn)?a?1=23C．a(chǎn)12+【答案】BCD【分析】運(yùn)用冪的乘方公式，完全平方公式以及立方和公式建立a+a?1，a?a?1，a1【詳解】因?yàn)閍+a?1=4對于A選項(xiàng)，由a?a?12對于B選項(xiàng)，a2對于C選項(xiàng)，由a12+a?12對于D選項(xiàng)，因a3故選：BCD.7.設(shè)α，β為方程x2?12x+9=0的兩個(gè)根，求【答案】5【分析】利用韋達(dá)定理及指數(shù)冪的性質(zhì)化簡求值即得.【詳解】因?yàn)棣?而α，β為方程x2?12x+9=0的兩個(gè)根，所以α+β=12，所以α>0，β>0，且由(α可得(α+β所以原式=12+3【題型四】指數(shù)冪性質(zhì)的應(yīng)用【典題1】若實(shí)數(shù)x，y滿足4x+4y=2A．12 B．1 C．32 【答案】C【分析】令2x+2y=t(t>0)，由條件用t【詳解】因?yàn)?x+4所以2x設(shè)2x+2y=t(t>0)因?yàn)?<2×2即0<t2?2t≤t2解得2<t≤4，2x?1+2y?1故選：C.【典題2】解方程：(2?【答案】x=±2【分析】根據(jù)題意可知，2?3×2+3=1【詳解】令(2?3)當(dāng)(2?3)x=2?3時(shí)，故x=±2.變式練習(xí)1.(多選)已知實(shí)數(shù)a,b滿足等式12a=14A．0<a<b B．0<b<a C．a(chǎn)<b<0 D．a(chǎn)=b【答案】BCD【分析】先由等式12a=14b，得出a=2b；對于選項(xiàng)A和B，分析【詳解】因?yàn)?2a=對于選項(xiàng)A和B，當(dāng)a>0,b>0時(shí)，a=2b，只能0<b<a，選項(xiàng)A不成立，選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，當(dāng)a<0,b<0時(shí)，a=2b，只能a<b<0，選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，當(dāng)a=b時(shí)，且a=2b，只能a=b=0，等式12故選：BCD．2.已知函數(shù)fx=2x?12xA．12 B．?12 C．?17 D．17【答案】C【分析】令gx【詳解】令gx=2g?x=2∴fx=gx?6，即∴f2故選：C3.已知3a?1+3A．120 B．210 C．336 D．504【答案】C【詳解】∵3a?1∴9?3a+3?3a+3∴(a故選：C．4.德國大數(shù)學(xué)家高斯被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子.在其年幼時(shí)，對1+2+3+???+99+100的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，此方法也稱為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)fx=4x4【答案】2023【分析】根據(jù)題意，求得fx【詳解】由函數(shù)fx=4令S=fS=f2023兩式相加，可得2S=2023，所以S=2023故答案為：202325.已知2a?【答案】證明見解析【分析】將題設(shè)中的等式化為2a?1?3【詳解】證明：因?yàn)?a故2a?1所以2a?1所以2a?1故2a?1a?11?d故a?1d?1【A組基礎(chǔ)題】1.下列各式正確的是(

)A．3?8=6C．nan=【答案】D【分析】利用根式的運(yùn)算性質(zhì)即可判斷出正誤.【詳解】3?8=?2，(3?π∵n>1,n∈N?，∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，nan=a(n故選：D.2.若1?2x?34有意義，則xA．x∈R B．x≠12 C．x≤1【答案】D【分析】根據(jù)把分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化成根式，從而可得到x的取值范圍，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)??2x?34=1故選：D.3.若x+x?1=3，則xA．12 B．513 C．45【答案】A【分析】將x+x?1=3【詳解】將x+x?1=3兩邊平方，得x所以x2故選：A.4.已知2a=3A．a(chǎn)+b=ab B．a(chǎn)+b>4C．a(chǎn)?12【答案】C【詳解】∵2a=∴2ab=∴2∴6∴ab=a∵a≠b∴a∴a∵a2+故選：C．5.(π?4)2【答案】1【分析】由根式的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】(π故答案為：16.若2x=8y+1，且9y【答案】27【詳解】∵2x=8又9y=3x聯(lián)立x=3y故答案為277.已知fx=4ax【答案】198【分析】觀察所求式子猜測fx+f1?x可能為定值，通過驗(yàn)算可知f【詳解】因?yàn)閒=4a又f0.50所以f=f故答案為：198.8.(1)已知10m=2,10(2)求值：4【答案】(1)89；(2)【分析】(1)(2)根據(jù)題意結(jié)合指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)分析求解.【詳解】(1)由題意可得：103m?2n(2)由題意可得：原式229.已知正實(shí)數(shù)a滿足a1(1)求a+a(2)求a3【答案】(1)3(2)4【分析】(1)將a12?(2)根據(jù)平方關(guān)系可得a1【詳解】(1)將a12?所以a+a(2)因?yàn)閍是正實(shí)數(shù)，令a1則x2=a+a可得a3所以a3【B組提高題】1.正實(shí)數(shù)x1,x2及函數(shù)f(x)滿足4xA．4 B．2 C．45 D．【答案】C【詳解】由已知4x=1+由f于是可得：2(4所以得：4x1設(shè)4x