山東省濰坊市2024屆高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

山東省濰坊市示范中學(xué)2024屆高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

g1-tan—

1.已知sin。-2cos。=1,ae(^,——),貝!|-------=()

11+tan—

2

11

A.----B.—2C.—D.2

22

13

2.已知a=logi213/=,c=log1314,則”,仇c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

3.三棱錐S—ABC中，側(cè)棱底面ABC,AB=5,BC=8,ZB=60°,SA=2下,則該三棱錐的外接球的

表面積為（）

642564362048W

A.--71B.------71C.------71D.-------73兀

33327

4.已知函數(shù)/（0=5M（5+。）3>0,0<0<1）滿足/（%+1）=/（。/（五）=1,則/（—五）等于（）

y[2A/211

A.--B.—C.--D.-

2222

5.已知定義在R上的函數(shù)/（x）的周期為4,當(dāng)了6[—2,2）時(shí)，=r—4,貝！1/（—Iog36）+/（log354）=

()

3312

A.5B.--log32c.--D.-+log32

6.在三棱錐P—ABC中，AB±BP,AC±PC,ABLAC,PB=PC=2g，點(diǎn)P到底面ABC的距離為2,

則三棱錐P-ABC外接球的表面積為（）

A.3萬(wàn)C.12%D.24乃

2

z\0.2

7-已知a=g1'6=021，**2,則（）

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b

8.閱讀下面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，程序運(yùn)行輸出的結(jié)果是（）

［開始）

A.1.1B.1C.2.9D.2.8

9.某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（）

h—2—H12R

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

io.甲、乙、丙、丁四人通過抓閹的方式選出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完閹后，甲說：“我沒抓到

乙說：“丙抓到了.”丙說：“丁抓到了”丁說：“我沒抓到.”已知他們四人中只有一人說了真話，根據(jù)他們的說法，可以斷

定值班的人是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

_YY0

11.已知函數(shù)/（x）=,/,則/（7（-1））=（）

%-+1,%<0,

A.2B.3C.4D.5

12.波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，的公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐

曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（k>

0,且kND的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓三+工=1(a>b>0),A,B為橢圓的長(zhǎng)

IMAI

軸端點(diǎn)，c,D為橢圓的短軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足匕哥=2,△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,

|MB|

則橢圓的離心率為（）

AV2R6V2V3

?A）■c?\nj?

3322

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為b9c9且2QCOSC=Z?COSC+CCOS5,則C=.

14.二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是64,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

y>x

15.已知實(shí)數(shù)X,y滿足2x—丁20,則2=上的最大值為____.

_x+2

x+y<5

16.函數(shù)/（x）=cos2》的最小正周期是,單調(diào)遞增區(qū)間是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知數(shù)列｛4｝和｛2｝,｛4｝前〃項(xiàng)和為S,,，且S,=*+〃，也｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且&=（，

,,,31

b｝+b2+b3=—.

（1）求數(shù)列｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛4—4%｝的前n項(xiàng)和Tn.

18.（12分）已知點(diǎn)4為圓C：（x—iy+y2=i上的動(dòng)點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過P（0,4）作直線。4的垂線（當(dāng)A、O

重合時(shí)，直線。L約定為V軸），垂足為"，以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求點(diǎn)"的軌跡的極坐標(biāo)方程；

（2）直線/的極坐標(biāo)方程為夕sin［e+|^|=4,連接Q4并延長(zhǎng)交/于3,求篇的最大值.

19.（12分）某芯片公司對(duì)今年新開發(fā)的一批5G手機(jī)芯片進(jìn)行測(cè)評(píng)，該公司隨機(jī)調(diào)查了100顆芯片，并將所得統(tǒng)計(jì)數(shù)

據(jù)分為［11,12）,［12,13）,［13,14］五個(gè)小組（所調(diào)查的芯片得分均在［9,14］內(nèi)），得到如圖所示的頻率分布

直方圖，其中a—6=018.

距

035l....................

0^FHrrh.

091011121314分敷(單位，萬(wàn)分)

(1)求這100顆芯片評(píng)測(cè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)(同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替).

(2)芯片公司另選100顆芯片交付給某手機(jī)公司進(jìn)行測(cè)試,該手機(jī)公司將每顆芯片分別裝在3個(gè)工程手機(jī)中進(jìn)行初測(cè)。

若3個(gè)工程手機(jī)的評(píng)分都達(dá)到11萬(wàn)分，則認(rèn)定該芯片合格；若3個(gè)工程手機(jī)中只要有2個(gè)評(píng)分沒達(dá)到11萬(wàn)分，則認(rèn)

定該芯片不合格；若3個(gè)工程手機(jī)中僅1個(gè)評(píng)分沒有達(dá)到11萬(wàn)分，則將該芯片再分別置于另外2個(gè)工程手機(jī)中進(jìn)行二

測(cè)，二測(cè)時(shí)，2個(gè)工程手機(jī)的評(píng)分都達(dá)到11萬(wàn)分，則認(rèn)定該芯片合格；2個(gè)工程手機(jī)中只要有1個(gè)評(píng)分沒達(dá)到11萬(wàn)分,

手機(jī)公司將認(rèn)定該芯片不合格.已知每顆芯片在各次置于工程手機(jī)中的得分相互獨(dú)立，并且芯片公司對(duì)芯片的評(píng)分方

法及標(biāo)準(zhǔn)與手機(jī)公司對(duì)芯片的評(píng)分方法及標(biāo)準(zhǔn)都一致(以頻率作為概率).每顆芯片置于一個(gè)工程手機(jī)中的測(cè)試費(fèi)用均

為300元，每顆芯片若被認(rèn)定為合格或不合格，將不再進(jìn)行后續(xù)測(cè)試，現(xiàn)手機(jī)公司測(cè)試部門預(yù)算的測(cè)試經(jīng)費(fèi)為10萬(wàn)元,

試問預(yù)算經(jīng)費(fèi)是否足夠測(cè)試完這100顆芯片？請(qǐng)說明理由.

221

20.(12分)已知橢圓C:多+方=1(?！?〉0)的離心率為5，尸是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)用(0,2),直線板的斜

率為L(zhǎng)

(1)求橢圓C的方程；

(1)若過點(diǎn)"的直線/與橢圓C交于A,3兩點(diǎn)，線段A3的中點(diǎn)為N,是否存在直線/使得|/皿|=2|削|?若存

在，求出/的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

21.(12分)在三棱柱ABC—中，四邊形4515A是菱形，AB=4,NABg=60。，3cl=3,BC±AB,

點(diǎn)M、N分別是48、AG的中點(diǎn)，且

(1)求證：平面5。。|四，平面4片24；

(2)求四棱錐A—5CG用的體積.

22.(10分)已知數(shù)列｛a,J,其前〃項(xiàng)和為S,,,若對(duì)于任意〃？，“eN*，且mW",都有一a=%,+a“+4_%

m+nm-n

(1)求證：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列

),且等差數(shù)列｛a“｝的公差為；，存在正整數(shù)，q,使得4+%,求

(2)若數(shù)列｛g｝滿足C,=4+￡,+2

同的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

結(jié)合5皿2。+352。=1求得511%(：05。的值，由此化簡(jiǎn)所求表達(dá)式，求得表達(dá)式的值.

【詳解】

sina—2cosa=l3?34

由＜.22」以及。￡(肛一),解得sina=一-,cosa二—

sina+cosa=l255

.a

sin—

122

aa.aa.a1ca.a

1-tan—cos—cos-----sin—cos-----sin—l-2cos—sin—

22222222

ia.aa.aa.aa.a2a.2。

1+tan—sin—cos—+sin—cos-----sin—cos——Fsin—cos-----sin——

2l+「22222222

a

cos—

2

i+3

1-sina

2

cosa_4

-5

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求值，考查二倍角公式，屬于中檔題.

2、D

【解析】

由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得力最小，利用作差法，結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較a和。的大小關(guān)

系，進(jìn)而得解.

【詳解】

13

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知0<6=("<1(

U3J

由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知Q=log]213>l,c=log1314>l,所以b最小;

而由對(duì)數(shù)換底公式化簡(jiǎn)可得a-c=log1213-log1314

Igl3_lgl4

lgl2lgl3

Ig213-lgl2-lgl4

Igl2-lgl3

j(lgl2+lgl4)

由基本不等式可知lgl2.lgl4V,代入上式可得

2

2lg13--(Igl2+lgl4)

嵯13-Igl2」gl4>21

Igl24gl3Igl2-lgl3

lg213-^lgl68

_____/

1g124g13

riwiA

Igl3+-lgl68-lgl3—lgl68

Igl2-lgl3

Igl2-lgl3

所以”>c,

綜上可知a>c>Z>,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)變形，對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，作差法比較大小，屬于中檔題.

3、B

【解析】

由題，側(cè)棱底面ABC,AB=5,BC=8,NB=60°,則根據(jù)余弦定理可得5C=卜18^2^5^8^=7,

2rBC7,廠_7

ABC的外接圓圓心sin§—6，一G

三棱錐的外接球的球心到面ABC的距離d=-SA=^/5,則外接球的半徑R=,則該三棱

2

錐的外接球的表面積為S=4%R2=受不

3

點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，熟練掌握球的半徑R公式是解答的關(guān)鍵.

4、C

【解析】

設(shè)/(x)的最小正周期為丁，可得〃T=〃,“eN*,則。=2",〃cN*,再根據(jù)/展=1得

</>=-+2k7r-n--,k^Z,neN*,又0<。(工，則可求出〃一12左=2,進(jìn)而可得了(—△).

26312

【詳解】

解：設(shè)〃龍)的最小正周期為T,因?yàn)?(%+=)=/(?,

所以“T=〃,〃eN*,所以T=^=2,〃eN*,

nco

所以co=2H,HeN”,

71式冗冗

又/1,所以當(dāng)--時(shí)，COX(p—YI,----F。=--\~2k7l,

121262

/.。+2kji—n-,k￡Z,〃wN*,因?yàn)?<。。

八7T—zTCTC

0<—F2kji—n?—v—f

263

整理得1<〃一12左<3,因?yàn)椤耙?2左eZ,

:.n—12k=2,

.7C_7/_,_7\TC7C_.7C7C7C-7

/.(b———F2左萬(wàn)一(2+12左)?一二一,貝！I〃---1——=——2k7i

21766662

n7i兀

——......F2k7l

63

TC

所以/(——)=sin

=sin------2k兀4——

I36

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形函數(shù)的周期性和對(duì)稱性，考查學(xué)生分析能力和計(jì)算能力，是一道難度較大的題目.

5、A

【解析】

因?yàn)榻o出的解析式只適用于xe[-2,2),所以利用周期性，將/(1。8354)轉(zhuǎn)化為/(1083^),再與/(-logs6)一起代

入解析式，利用對(duì)數(shù)恒等式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求得結(jié)果.

【詳解】

定義在R上的函數(shù)/(%)的周期為4

/(Iog354)=/(log354-4)=/(log,|),

當(dāng)xe[—2,2)時(shí)，/W=(|r-x-4,

2

-log36c[-2,2),logs§e[-2,2),

6)+/(log354)

/1、-6/r/、A/1、log3cr/

(-)-一(-1嗚6)-4+(§)■-log3j-4

1晚工61'ogij2

3

=(-)3+(-)+(log36-log3-)-8

33

=6+-+log3(6x-)-8

_3

~2'

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題.

6、C

【解析】

首先根據(jù)垂直關(guān)系可確定OP=Q4=QB=OC,由此可知。為三棱錐外接球的球心，在AB45中，可以算出AP的

一個(gè)表達(dá)式，在AOAG中，可以計(jì)算出A0的一個(gè)表達(dá)式，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可構(gòu)造等式求得半徑，進(jìn)而求出球的表面積.

【詳解】

取AP中點(diǎn)。，由ABLBP,可知：OP=OA=OB=OC,

:.O為三棱錐P—ABC外接球球心，

過P作。平面ABC,交平面ABC于"，連接交于G,連接。G,HB,HC,

PB=PC,；.HB=HC,：.AB=AC,；.G為BC的中點(diǎn)

由球的性質(zhì)可知：。3，平面45。，二06%五，且OG=^P"=1.

2

設(shè)AB=x9

QPB=2?，AO=^PA=^VX2+8,

AG=^BC=^x，二在AOAG中，AG1+OG2=OA2,

22

即與x+1=QVX2+8^|,解得：x=2,

三棱錐P-ABC的外接球的半徑為：AO=g,+(2⑹2=1小4+(2行『=6,

???三棱錐P—ABC外接球的表面積為S=4萬(wàn)R2=12%.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問題，求解幾何體外接球相關(guān)問題的關(guān)鍵是能夠利用球的性質(zhì)確定外接球球心

的位置.

7、B

【解析】

利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將數(shù)據(jù)和0」做對(duì)比，即可判斷.

【詳解】

由于0<

--1

0.22=—=Vr5

C

10gl2<峭1=0

33

故/?>a>c.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬基礎(chǔ)題.

8、C

【解析】

根據(jù)程序框圖的模擬過程，寫出每執(zhí)行一次的運(yùn)行結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.

【詳解】

初始值"=o,S=1

第一次循環(huán)：〃=1,S=lxi=l；

22

121

第二次循環(huán)：n=2,S=-x-=-

233;

131

第三次循環(huán)：72=3,S=-X-=-

344;

141

第四次循環(huán)：n=4,S=-x-=-

455;

第五次循環(huán)：〃=5,=

566

第六次循環(huán)：n=6,S=-x-=--

677

171

第七次循環(huán)：n=7,S=-x-=-

788;

1Q1

第九次循環(huán)：〃=8,5=-x-=-

899;

191

第十次循環(huán)：〃=9,5=-x—=—<0,1；

91010

所以輸出S=9x'=0.9.

10

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的讀取以及運(yùn)行結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解析】

該幾何體為三棱錐，其直觀圖如圖所示，體積V=；x|；x2x2]x2=g.故選C.

【解析】

可采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理，即可得到結(jié)論.

【詳解】

由題意，假設(shè)甲：我沒有抓到是真的，乙：丙抓到了，則丙：丁抓到了是假的，

T：我沒有抓到就是真的，與他們四人中只有一個(gè)人抓到是矛盾的；

假設(shè)甲：我沒有抓到是假的，那么?。何覜]有抓到就是真的，

乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，

所以可以斷定值班人是甲.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了合情推理及其應(yīng)用，其中解答中合理采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與分析

判斷能力，屬于基礎(chǔ)題.

11、A

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)直接計(jì)算得到答案.

【詳解】

Y—%,x.0,,

因?yàn)椤癤)=,1八所以/(/(—1))="2)=22—2=2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分段函數(shù)計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

12、D

【解析】

+丫2=坦二可得J_x2ax3a=8,Lx2bxLa=l,解得a,b即可.

求得定點(diǎn)M的軌跡方程

-92323

【詳解】

\MA\

設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y).,動(dòng)點(diǎn)M滿足=^=2,

\MB\

則，（》+4+丁2=2，（x—4+產(chǎn)=2,化簡(jiǎn)得（x―,了+y?=等.

,.?△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,

—x2ax—a=8,—x2Z?x—a=l,解得2="加=止

23232

.?.橢圓的離心率為J1—耳=也.

\a22

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓離心率，動(dòng)點(diǎn)軌跡，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

利用正弦定理將邊化角，即可容易求得結(jié)果.

【詳解】

由正弦定理可知，2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sinA

i

A,CsinAAcosC=—,即C=y.

故答案為：-j.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，屬基礎(chǔ)題.

【解析】

由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)求出〃，由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式得出常數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，從而得常數(shù)項(xiàng).

【詳解】

由題意2"=64，n=6.

展開式通項(xiàng)為（+1=￡（五）6一（_2）「=（_工）’最:弓，由3_上=0得廠=2,

2x22

???常數(shù)項(xiàng)為4=（一；）2《=?.

故答案為：第.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，掌握二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式是解題關(guān)鍵.

10

15、——

11

【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，將目標(biāo)函數(shù)理解為點(diǎn)（x,y）與（-2,0）構(gòu)成直線的斜率，數(shù)形結(jié)合即可求得.

【詳解】

不等式組表示的平面區(qū)域如下所示:

數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)3時(shí)，斜率取得最大值,

10

Yio

故z的最大值為彳心一=7T.

-+211

3

故答案為:—.

【點(diǎn)睛】

本題考查目標(biāo)函數(shù)為斜率型的規(guī)劃問題，屬基礎(chǔ)題.

式

16、萬(wàn)[kjr+—,kyr+TT],kwZ

【解析】

化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.

【詳解】

函數(shù)/(X)=cos?x=；cos2x+g,

二?最小正周期T='=〃，

2

_4

令2人萬(wàn)+通?x2k兀+2兀,keZ,可得公TH——轟kn^n,keZ,

2

jr

所以單調(diào)遞增區(qū)間是口乃+g,"+汨，k&z.

故答案為：萬(wàn)，[k7T+—,版■+乃],k&z.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二倍角的公式的應(yīng)用，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)4=2"，2=[口；(2)7；=〃("+1)-5。一：；

【解析】

(1)令〃=1求出%的值，然后由“22,得出4=S“-S,i，然后檢驗(yàn)用是否符合a“在〃22時(shí)的表達(dá)式，即可得

出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，并設(shè)數(shù)列出｝的公比為4,根據(jù)題意列出々和4的方程組，解出這兩個(gè)量，然后利用等比數(shù)

列的通項(xiàng)公式可求出4；

(2)求出數(shù)列｛〃｝的前幾項(xiàng)和8“，然后利用分組求和法可求出7“.

【詳解】

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，q=S]=2,

當(dāng)“22時(shí)，a“=S,—Si=(〃2+〃)_(H-1)-+(n-l)J=2n.

4=2也適合上式，所以，a“=2n(neN*).

4=如2總

設(shè)數(shù)列｛2｝的公比為q,則q＞0,由＜

a+4+4=4(i+q+/)=||

兩式相除得30q2_q_]=0,q>0,解得q=J,仄=1,:也=刎…=*

“T)

(2)設(shè)數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和為紇，則紇=

i-q

5

=S“—4紇=〃(“+l)_4x；[l

=n(n+l)-51--

【點(diǎn)睛】

本題考查利用S“求凡,同時(shí)也考查了等比數(shù)列通項(xiàng)的計(jì)算，以及分組求和法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

18、(1)夕=4sin。；(2)2±叵

8

【解析】

(1)設(shè)M的極坐標(biāo)為(「招)，在OPM中，有Q=4sin，，即可得結(jié)果;

(2)設(shè)射線Q4：3=a,圓C的極坐標(biāo)方程為夕=2cos6?,聯(lián)立兩個(gè)方程，可求出聯(lián)立

psinf6)+—|=4..IQAI1(兀、6

I3J可得Ofi,則計(jì)算可得$=/也2。+7利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得最值.

c4I5J8

3=a

【詳解】

(1)設(shè)M的極坐標(biāo)為(夕,。)，在OPM中，有Q=4sin。，

???點(diǎn)M的軌跡的極坐標(biāo)方程為。=4sin夕；

7171

(2)設(shè)射線。4：e=a,aG5'5,圓C的極坐標(biāo)方程為夕=2cos。,

p-2cos^??

由＜得：Q4=q=2cos。，

0=a

夕sin/+；|=4得：幽f=4

由＜sinf+>

0—0L

OA_2cosa

~OB~4~~

sin〃+%]

I3J

=icos?.sinL+^

2I3J

1.(.71.兀、

=—cosasmsmacos—+cosasm一

2I33)

=%nacosa+與os2a

44

JinRa+S+g

4I3J8

二O局A的最大值為2今+A卑/3■.

\0B\8

【點(diǎn)睛】

本題考查極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，考查三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.

19、(1)11.57(2)預(yù)算經(jīng)費(fèi)不夠測(cè)試完這100顆芯片，理由見解析

【解析】

(1)先求出a=025,Z7=0J07,再利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求這100顆芯片評(píng)測(cè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)；(2)先求

出每顆芯片的測(cè)試費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望，再比較得解.

【詳解】

(1)依題意，(0.05+a+Z?+035+028)xl=1,故a+b=032.

又因?yàn)閍—b=0J8.所以。=025,Z?=0J07,

所求平均數(shù)為95x0.05+105x0.25+115x035+125x0.28+135x007

=0.475+2625+4.025+35+0.945=1157(萬(wàn)分)

(2)由題意可知，手機(jī)公司抽取一顆芯片置于一個(gè)工程機(jī)中進(jìn)行檢測(cè)評(píng)分達(dá)到11萬(wàn)分的概率0=0.0.28+0.07=0.7.

設(shè)每顆芯片的測(cè)試費(fèi)用為X元，則X的可能取值為600,900,1200,1500,

P(X=600)=032=009,P(X=900)=0.73+0.7x032+03x0.7x03=0.469,

P(X=1200)=Gx03x0.72x03=01323,P(X=1500)=C；x03x0.72x0.7=03087,

故每顆芯片的測(cè)試費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為

E(X)=600x0.09+900x0.469+1200x01323+1500x03087=1097.91(元)，

因?yàn)?00x1097.91>100000,

所以顯然預(yù)算經(jīng)費(fèi)不夠測(cè)試完這100顆芯片.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的

理解掌握水平.

22

20、(1)—+^-=1(1)不存在，理由見解析

43

【解析】

(1)利用離心率和過點(diǎn)M(0,2),列出等式，即得解

(1)設(shè)/的方程為丁=依+2,與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示中點(diǎn)N的坐標(biāo)，用點(diǎn)坐標(biāo)表示|AB|=2|MN|,利用

韋達(dá)關(guān)系代入，得到關(guān)于左的等式，即可得解.

【詳解】

c_1

(1)由題意，可得;2a=2.

解得1

2=2,c=l

貝!I/=a1-c2=3,

22

故橢圓C的方程為L(zhǎng)+2L=1.

43

(1)當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，

|AB|=2|MN|=2,|ABHMN\，不符合題意.

當(dāng)/的斜率存在時(shí)，

設(shè)/的方程為丁=履+2,

f22

工+匕=1

聯(lián)立r43'得（3+4%2）必+16履+4=0,

y=履+2,

設(shè)4（%,%）,5（%2，為），

n116左4

則%+%=一丁’'=巾‘

A=（16左）2—16（3+4左2）=192左2_48>0,BPk2>-.

4

、rtAT/XX+%78k

設(shè)N（Xo，%）,貝!|10=—~—~~3+4k29

\AB\=2\MN\,

Jl+左2-九21=2，1+12|XQ-0|，

則｛（石+%）2—外沼=2聞，