2025屆福建省莆田四中數(shù)學(xué)高一下期末綜合測試試題含解析

2025屆福建省莆田四中數(shù)學(xué)高一下期末綜合測試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．正方體中,直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．2．直線（是參數(shù)）被圓截得的弦長等于（）A． B． C． D．3．若向量，則A． B． C． D．4．關(guān)于的不等式的解集中，恰有3個整數(shù)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．5．函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象（）A．向右平移 B．向右平移C．向左平移 D．向左平移6．在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．如圖，若四棱錐P﹣ABCD為陽馬，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E為棱PA的中點(diǎn)，則異面直線AB與CE所成角的正弦值為（）A． B． C． D．7．某賽季中，甲?乙兩名籃球隊(duì)員各場比賽的得分莖葉圖如圖所示，若甲得分的眾數(shù)為15，乙得分的中位數(shù)為13，則（）A．15 B．16 C．17 D．188．已知向量，，若，則的值為（）A． B．1 C． D．9．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列．若，則（）A．15 B．7 C．8 D．1610．已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的值為_____________.12．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則=_______13．已知是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，則數(shù)列的最小項(xiàng)為第___項(xiàng)14．若直線l1：ax＋3y＋1＝0與l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，則a的值為________．15．已知圓錐的母線長為1，側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的體積是______.16．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的_______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某車間將10名技工平均分成甲、乙兩組加工某種零件，在單位時間內(nèi)每個技工加工的合格零件數(shù)，按十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉得到的莖葉圖如圖所示．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都為10.（1）求的值；（2）分別求出甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差和，并由此分析兩組技工的加工水平；18．如圖，已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，點(diǎn)，分別為和的中點(diǎn).（1）若，求三棱柱的體積；（2）證明：平面；（3）請問當(dāng)為何值時，平面，試證明你的結(jié)論.19．在△ABC中，已知BC=7，AB=3，∠A=60°．（1）求cos∠C的值；（2）求△ABC的面積．20．已知，是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，，，且，，三點(diǎn)共線．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，，求的坐標(biāo)；（3）已知，在（2）的條件下，若，，，四點(diǎn)按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．21．我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量單位：噸，將數(shù)據(jù)按照，，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)說明理由；（2）估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

作出相關(guān)圖形，通過平行將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為共面直線所成角.【詳解】作出相關(guān)圖形，由于，所以直線與所成角即為直線與所成角，由于為等邊三角形，于是所成角余弦值為，故答案選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成角的余弦值，難度不大.2、D【解析】

先消參數(shù)得直線普通方程，再根據(jù)垂徑定理得弦長.【詳解】直線（是參數(shù)），消去參數(shù)化為普通方程：．圓心到直線的距離，∴直線被圓截得的弦長.故選D．【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程以及垂徑定理，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，可直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.4、C【解析】

首先將原不等式轉(zhuǎn)化為，然后對進(jìn)行分類討論，再結(jié)合不等式解集中恰有3個整數(shù)，列出關(guān)于的條件，求解即可.【詳解】關(guān)于的不等式等價于當(dāng)時，即時，于的不等式的解集為，要使解集中恰有3個整數(shù)，則；當(dāng)時，即時，于的不等式的解集為，不滿足題意；當(dāng)時，即時，于的不等式的解集為，要使解集中恰有3個整數(shù)，則；綜上，.故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考了一元二次不等式的解法以及分類討論思想，屬于中檔題．5、A【解析】

利用函數(shù)的圖像可得，從而可求出，再利用特殊點(diǎn)求出，進(jìn)而求出三角函數(shù)的解析式，再利用三角函數(shù)圖像的變換即可求解.【詳解】由圖可知，所以，當(dāng)時，，由于，解得：，所以，要得到的圖像，則需要將的圖像向右平移.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了由圖像求解析式以及三角函數(shù)的圖像變換，需掌握三角函數(shù)圖像變換的原則，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

由異面直線所成角的定義及求法，得到為所求，連接，由為直角三角形，即可求解．【詳解】在四棱錐中，，可得即為異面直線與所成角，連接，則為直角三角形，不妨設(shè)，則，所以,故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線所成角的作法及求法，其中把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

由圖可得出，然后可算出答案【詳解】因?yàn)榧椎梅值谋姅?shù)為15，所以由莖葉圖可知乙得分?jǐn)?shù)據(jù)有7個，乙得分的中位數(shù)為13，所以所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的是莖葉圖的知識，較簡單8、B【解析】

直接利用向量的數(shù)量積列出方程求解即可．【詳解】向量，，若，可得2﹣2＝0，解得＝1，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解析】

通過，，成等差數(shù)列,計(jì)算出，再計(jì)算【詳解】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列即故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式，等差中項(xiàng)，前N項(xiàng)和，屬于?？碱}型.10、A【解析】

根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，故又因?yàn)槭堑诙笙薜慕?，故?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系的簡單使用，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

將已知等式，兩邊同取以為底的對數(shù)，求出，利用換底公式，即可求解.【詳解】，，，.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查指對數(shù)之間的關(guān)系，考查對數(shù)的運(yùn)算以及應(yīng)用換底公式求值，屬于中檔題.12、【解析】

利用等差數(shù)列前項(xiàng)和，可得；利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，然后求解三角函數(shù)值即可．【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，因?yàn)?，所以；又，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握和若，則是解題的關(guān)鍵．13、【解析】

先求，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可【詳解】由題當(dāng)時最小故答案為8【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式，考查二次函數(shù)求最值，是基礎(chǔ)題14、-3【解析】試題分析：由兩直線平行可得：，經(jīng)檢驗(yàn)可知時兩直線重合，所以．考點(diǎn)：直線平行的判定．15、【解析】

根據(jù)題意得，解得，求得圓錐的高，利用體積公式，即可求解．【詳解】設(shè)圓錐底面的半徑為，根據(jù)題意得，解得，所以圓錐的高，所以圓錐的體積.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐的體積的計(jì)算，以及圓錐的側(cè)面展開圖的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖，求得圓錐的底面圓的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

按照程序框圖運(yùn)行程序，直到a的值滿足a>100時，輸出結(jié)果即可.【詳解】第一次循環(huán)：a=3；第二次循環(huán)：a=7；第三次循環(huán)：a=15；第四次循環(huán)：a=31；第五次循環(huán)：a=63；第六次循環(huán)：a=127，a>100，所以輸出a.所以本題答案為127.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算輸出結(jié)果的問題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）,乙組加工水平高．【解析】

（1）根據(jù)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是并結(jié)合平均數(shù)公式可求出、的值；（2）利用方差公式求出甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差，根據(jù)方差大小來對甲、乙兩組技工的加工水平高低作判斷．【詳解】（1）由于甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，即，解得，同理，，解得；（2）甲組的個數(shù)據(jù)分別為：、、、、，由方差公式得，乙組的個數(shù)據(jù)分別為：、、、、，由方差公式得，，因此，乙組技工的技工的加工水平高．【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖與平均數(shù)、方差的計(jì)算，從莖葉圖中讀取數(shù)據(jù)時，要注意莖的部分?jǐn)?shù)字為高位，葉子部分的數(shù)字為低位，另外，這些數(shù)據(jù)一般要按照由小到大或者由大到小的順序排列．18、（1）4；（2）證明見解析；（3）時，平面，證明見解析.【解析】

（1）直接根據(jù)三棱柱體積計(jì)算公式求解即可；（2）利用中位線證明面面平行，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理證明平面；（3）首先設(shè)為，利用平面列出關(guān)于參數(shù)的方程求解即可.【詳解】（1）∵三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且，，，∴由三棱柱體積公式得：；（2）證明：取的中點(diǎn)，連接，，∵，分別為和的中點(diǎn)，∴，，∵平面，平面，∴平面，平面，又，∴平面平面，∵平面，∴平面；（3）連接，設(shè)，則由題意知，，∵三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，∴平面平面，∵，∴，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴平面，∴，要使平面，只需即可，又∵，∴，∴，即，∴，則時，平面.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱柱的體積公式，線面平行的證明，利用線面垂直求參數(shù)，屬于難題.19、（1）（2）【解析】

（1）由已知及正弦定理可得sinC的值，利用大邊對大角可求C為銳角，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosC的值．（2）利用三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinB的值，根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算得解．【詳解】（1）由題意，BC=7，AB=3，∠A=60°．∴由正弦定理可得：sinC=∵BC＞AB，∴C為銳角，∴cosC===，（2）因?yàn)锳+B+C=π，A=60°，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+=，∴S△ABC=BC?AB?sinB=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，大邊對大角，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）；（2）；（3）．【解析】

（1）根據(jù)，，三點(diǎn)共線，列出向量與共線的表達(dá)式，然后根據(jù)坐標(biāo)求解即可；（2）根據(jù)，列坐標(biāo)即可求解；（3）根據(jù)平行四邊形可以推出對邊的向量相等，根據(jù)向量相等代入坐標(biāo)求解即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1），∵，，三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)，使得，即，得，∵，是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，∴，解得，；（2）；（3）∵，，，四點(diǎn)按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量共線，平面向量的線性運(yùn)算，平面向量的相等，屬于一般題.21、（1）3.6萬；（2）2.06.【解析】

（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，求得，利用頻率分布直方圖求得月均用水量不低于3噸的頻率為