2024屆安徽省安慶示范高中高三年級下冊三模數(shù)學試題及答案

安慶示范高中2024屆高三聯(lián)考

數(shù)學試題2024.4

命題單位：安慶一中審稿單位：太湖中學、野寨中學、石化一中

考生注意：

1.滿分150分，考試時間120分鐘.

2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上

對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題

區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知線段48是圓。的一條長為4的弦，則而?血=()

A.4B.6C.8D.16

2.復數(shù)z滿足(4+3i+z)i=2—i,則目=()

A.VlOB.A/26C.V34D.5亞

3.已知圓錐尸O的軸截面是等邊三角形，則其外接球與內(nèi)切球的表面積之比為()

A.4:1B.3:1C.2:1D.8:1

4.已知一組數(shù)據(jù)看,》2,…,X",的平均數(shù)為X,另一組數(shù)據(jù)%,匕的平均數(shù)為H>)?若數(shù)據(jù)

———1一

XI,X2,---,苞“/“2J-,%的平均數(shù)為2=。》+(1-4)卜，其中則加，〃的大小關系為(

A.m<nB.m>nC.m-nD.加，〃的大小關系不

確定

5.已知拋物線C:/=2py(p〉0)的焦點廠到其準線的距離為2,點〃(XQJ,N(X2/2)是拋物線。上

6.已知函數(shù)〃%)="國的圖象經(jīng)過點(2,8),則關于1的不等式9/(%)+/(4—/)<0的解集為()

A.(-co,-4)U(l,+co)B.(-4,1)

C.(-oo,-l)U(4,+co)D.(-1,4)

7.在正方體4BCD-中，點瓦廠分別為棱48,2。的中點，過點瓦廠,G三點作該正方體的截

面，則（）

A.該截面多邊形是四邊形

B.該截面多邊形與棱AB】的交點是棱AS1的一個三等分點

c.4。，平面GE尸

D.平面45]￡＞1〃平面GEF

8.若項數(shù)均為小22/eN*）的兩個數(shù)列{%},{4}滿足軟—d=左依=1,2,…,〃），且集合

4,4也,…也}={123,…,2〃},則稱數(shù)列{%},{"}是一對“〃項緊密數(shù)列”.設數(shù)列{%},也}

是一對“4項緊密數(shù)列”，則這樣的“4項緊密數(shù)列”有（）對.

A.5B.6C.7D.8

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知集合幺={xeZ|x2—2x—8＜0},集合8={吊9工＞3〃',加eR,xeR},若2口8有且僅有3個不

同元素，則實數(shù)冽的值可以為（）

A.0B.1C.2D.3

10.已知函數(shù)/（X）=b血|+cos|2x],則（）

A.函數(shù)的最小正周期為萬

B.函數(shù)/（x）在0,1上單調(diào)遞增

9

C.函數(shù)/（x）的最大值為二

g

D.若方程/（x）=a（aeR）在[-肛句上有且僅有8個不同的實根，貝口＜a＜石

O

11.直線/與雙曲線￡:/—匕=1的左、右兩支分別交于2、5兩點，與E的兩條漸近線分別交于C、D

9

兩點，A.aD、5從左到右依次排列，則（）

A.線段與線段CD的中點必重合B.\AC\=\BD\

C.線段ZC,CD,的長度不可能成等差數(shù)列D.線段NC,CD,的長度可能成等比數(shù)列

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

（1丫

12.在3町/+一的展開式中，不含字母y的項為_______.

Iy）

13.一個不透明的袋子裝有5個完全相同的小球，球上分別標有數(shù)字1,2,3,4,4.現(xiàn)甲從中隨機摸出一

個球記下所標數(shù)字后放回，乙再從中隨機摸出一個球記下所標數(shù)字，若摸出的球上所標數(shù)字大即獲勝（若

所標數(shù)字相同則為平局），則在甲獲勝的條件下，乙摸到2號球的概率為.

14.由函數(shù)/（x）=In%圖象上一點尸向圓C:/+（y—2）2=4引兩條切線,切點分別為點45,連接48,

當直線48的橫截距最大時，直線48的方程為,此時cosN4P3=.（第1空2分，

第2空3分）

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（本題滿分13分）

隨著生活水平的不斷提高，老百姓對身體健康越來越重視，特別認識到“肥胖是禍不是?！?某校生物學社

團在對人體的脂肪含量和年齡之間的相關關系研究中，利用簡單隨機抽樣的方法得到40組樣本數(shù)據(jù)

=1,2,3,--?,40,20<x;<60）,其中為表示年齡，上表示脂肪含量，并計算得到嚏=48,1=27,

作出散點圖，發(fā)現(xiàn)脂肪含量與年齡具有線性相關關系，并得到其線性回歸方程為i=0.591x+B.

（1）請求出A的值，并估計35歲的小趙的脂肪含量約為多少？

（2）小趙將自己實際的脂肪含量與（1）中脂肪含量的估計值進行比較，發(fā)現(xiàn)自己的脂肪含量嚴重超標，

于是他打算進行科學健身來降低自己的脂肪含量，來到健身器材銷售商場，看中了甲、乙兩款健身器材，

并通過售貨員得到這兩款健身器材的使用年限（整年），如下表所示：

甲款使用年限統(tǒng)計表

使用年限5年6年7年8年合計

臺數(shù)10403020100

乙款使用年限統(tǒng)計表

使用年限5年6年7年8年合計

臺數(shù)30402010100

如果小趙以使用年限的頻率估計概率，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計，小趙應選擇購買哪一款健身器材，才能使用

更長久？

16.（本題滿分15分）

如圖，在四棱錐尸—ABCD中，AB//CD,AB1AD,AP±DP,CD=3AB=3,AD=2Ap=4抑=出,

AI）=4AE,連接BE,CE,PE.

（1）求證：平面尸平面PCE；

（2）求直線CE與平面PCD所成角正弦值的大小.

17.（本題滿分15分）

已知函數(shù)f（x）=xlnx-ax（aeR）在點（eJ（e））處的切線平行于直線x-y=0.

（1）若能x-e?對任意的xe（0,+oo）恒成立，求實數(shù)加的取值范圍；

（2）若/是函數(shù)〃（x）=/（x）+x2的極值點,求證：/（x0）+3x0>0.

18.（本題滿分17分）

已知數(shù)列｛4｝的首項等于3,從第二項起是一個公差為2的等差數(shù)列，且。2，%，。8成等比數(shù)列?

（1）求數(shù)列｛%｝的前〃項的和s.；

（2）設數(shù)列也｝滿足tan4=g且〃e10,兀

，若數(shù)列也｝的前〃項的和為q，求tan。

19.（本題滿分17分）

丫2

已知橢圓G：左+/=1,圓。2：/+r=1.

（1）點8是橢圓G的下頂點，點。在橢圓G上，點0在圓。2上（點尸，。異于點8），連BP,BQ,直線

AP與直線80的斜率分別記作左,心，若左2=4左一試判斷直線尸。是否過定點？若過定點，請求出定點

坐標；若不過定點，請說明理由.

（2）橢圓G的左、右頂點分別為點4,4,點E（異于頂點）在橢圓G上且位于x軸上方，連4E,4E

分別交y軸于點拉,N,點尸在圓。2上，求證：麗?麗=0的充要條件為跖〃x軸.

安慶示范高中2024屆高三聯(lián)考

數(shù)學試題參考答案

題號1234567891011

選項CDABACBBABACDABD

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

—-—■1—-21,

1.C【解析】由條件知=—48=-X42=8,故選C.

22

QQ,,2

2.D【解析】由條件知2=——4一3i=—4—3i=—5—5i,所以歸=5后，故選D.

ii

3.A【解析】根據(jù)條件可知其外接球與內(nèi)切球的半徑之比為2:1,所以其表面積之比為4:1,故選A.

4.B【解析】由題意可知匹+%2+…+%加=加工，%+%+…+丹=，玉+%2+…+x加+必+

y2H\-yn=[m+n^z,于是mx+ny=[m+n^z,又z=ax+(l-a)y,所以

mx+ny=(加+〃)z=(掰+〃)[QX+(1-Q)V],所以加=(加+=(加+〃)(1一。)，兩式相減得

m-n=(m+n)(2a-1)>0,所以加>〃，故選B.

5.A【解析】由已知得一=4)；,所以工；=4=4%,根據(jù)+百%2)11一6%2)=8得

X；—3*=8即4%—12%=8,于是弘+1=3(%+1)，即|MF|=3|NF|,所以故選A.

6.C【解析】由題意知〃2)=4a=8,解得a=2,所以/(x)=2x|x|,其在R上單調(diào)遞增，且函數(shù)f(x)

為奇函數(shù)，9f(x)=f(3x),所以不等式9/(x)+/(4——)<()可化為

/(3X)<-/(4-X2)=/(X2-4),于是3%<一一4,即一一3》一4>0,解得x>4或x<—1,故選

C.

7.B【解析】將線段所向兩邊延長，分別與棱C5的延長線，棱CD的延長線交于C,〃，連GC，G〃

分別與棱BB[,DDi交于尸,。，則可得到截面多邊形GPEFQ是五邊形，A錯誤；因

BG=-BC=-BXCX,所以絲=蛆=!，于是截面與棱A8]的交點尸是棱AB1的一個三等分點，B

正確，因4c與G尸不垂直，GPu平面GE5,所以4。與平面GE尸不垂直，選項C錯誤因4。，

平面48]。],所以平面GE尸與平面4S]。]不平行，選項D錯誤，故選B.

8.B【解析】由條件知可=1,出一4=2,%=3,%-4=4,

于是(/+電+%+%)—(4+&+A+a)=10，

/\/\8x(l+8)

又(％+。2+。3+。4)+(A+4++4)=-----2——-=36,

所以%+2+。3+。4=23/1+4+4+4=13,

于是“4項緊密數(shù)列”有了“}:8,5,4,6,也}:7,3,1,2;{%}:8,4,6,5,也}:7,2,3,1；

{4}:7,3,5,8,{4}:6,1,2,4;{4}:3,8,7,5,也"}:2,6,4,1;{%}:2,7,6,8,也}:1,5,3,4;{4}:2,6,

8,7,{〃}:1,4,5,3共有6對，故選B.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.

9.AB【解析】由條件知幺={》62]/一2x_8<0}={—l,0,l,2,3},5={x|9Y>3m,meR,xeR}=

XX〉,，要使ZAB有且僅有3個不同元素，則OW—＜1,解得0〈機＜2,結(jié)合備選答案，AB符

I2J2

合，故選AB.

10.ACD【解析】由條件可知/(x)=|sinx|+cos|2x|=|sinx|+cos2x,因

/(》+?)=卜in(x+乃+cos2(x+?)=|sinx|+cos2x=f(x),又函數(shù)y=卜血|與y=cos2x的最小正

周期均為萬，所以函數(shù)/(x)的最小正周期為萬，A正確；又/(—x)=Mn(—x)|+cos(—2x)=/(x),所

以函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，考慮當xe時，

/(x)=sinx+cos2x=-2sin2x+sinx+1=-2^sinx-+：,所以B錯誤，C正確，又

/(O)=l,/J|j=O,作出函數(shù)/(x)的大致圖象，即可判斷D正確，故選ACD.

y=kx+m

11.ABD【解析】設直線/:y=fcr+加,/(巧,必),5(X2，%)，C(X3，V3)，Q(X4，V4)，聯(lián)立＜

y=kx+m

m+9

得一人?一2于是玉+/二

(92kmx-m-9=0,打，個2=一§7產(chǎn)聯(lián)立

2

（9一左2）Jr?—2kmx-m=0,于是x3+x4=，所以+%2=%3+%4，因此線段AB

與線段CD的中點必重合，A正確；設中點為尸，則1PH=|尸目,|尸。|=|尸必，所以|/C|=|AD|,B正確;

假設線段ZC,CQ,Q8的長度成等差數(shù)列，則以C+|D5|=2|CQ,所以恒同=3|C￡)|,于是

|xj-X2|=3|x3-X4|,兩邊同時平方并整理得(X]+》2)~_4%好2=91(》3+xj_4》3項，于是

m9

用勺1-4x~~~=9(用勺]-4義二,展開整理得87駕2+左2=9,該方程有解，所以存

9-k")9-k-\y9-k2)9-k2

在直線/,使得線段ZC,CD,的長度成等差數(shù)列，C錯誤；同上推理，當線段ZC,CD,￡)8的長度相等

時，線段ZC,CD,的長度成等比數(shù)列，D正確，故選ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.135x2

【解析】由條件可知不含字母y的項為C：（3xy2）2=135x2.

\yj

1

13.

3

則尸（止噌

【解析】設事件“甲獲勝”為事件Z,事件“乙摸到2號球”為事件5,

3

295=-,故填

33

25

2

e-7

14.ex-y-2=0,---

-e2+l

【解析】設點尸（7,1皿），則以線段PC為直徑的圓的方程為x（x—/）+（y-2）（y-1皿）=0,整理得

x2+y2-tx-（2+In?）j+21n?=0,與圓C:x?+（y-2）?=4相交，得直線

G[7017

AB:￡x+（ln/-2）y-21n/=0,令y=0,則x=——,構(gòu)造函數(shù)g⑺=——,對其求導得

g（）=2（1/叫,令g，（z）=o,則/=e,于是函數(shù)g（7）在（O,e）上單調(diào)遞增，在（e,+oo）上單調(diào)遞減,

2

其最大值為g（e）=—，此時直線48的方程為

e

2AC

ex-y-2=0,P（e,l）,|PC|=Ve+l,sinZ^PC=于是cosNAPB-cos2ZAPC=

~PC

,--7

1—2sin2/4PC=上e一.

e2+l

四、解答題：本題共5小題，共77分.

15.解：（1）因線性回歸直線方程經(jīng)過樣本中心伉?。?/p>

所以將x=48,j=27代人y=0.591x+S,

得到A=27-0.591x48=-1.368.

于是j=0.591x—1.368,

當x=35時，y=0.591x35-1.368=19.317.

所以A的值為-1.368,估計35歲的小趙的脂肪含量約為19.317.

（2）以頻率估計概率，設甲款健身器材使用年限為X（單位：年），則X的分布列為

X5678

P0.10.40.30.2

于是￡（X）=5x0.1+6x0.4+7x0.3+8x0.2=6.6.

設乙款健身器材使用年限為y（單位：年），則y的分布列為

Y5678

P0.30.40.20.1

于是E（y）=5x0.3+6x0.4+7x0.2+8x0.1=6.1.

因E（x）〉￡（y）,所以小趙應購買甲款健身器材才能使用更長久.

1T

16.解：（1）因/尸，。0,40=24?=4,所以/尸

又N萬=4衣，所以幺￡=1,

根據(jù)余弦定理知

PE2=AE2+AP2-2xAExAPxcosZPAD=l+4-2xlx2x-=3,

2

又CD=3AB=3,AD=4,ABLAD,所以BE=母,CE=36,BC=2也,

于是BE?+PE?=PB?,所以PELBE,

BE2+CE2=BC2,于是BE_LCE,

因尸EnCE=E，所以平面PCE,

又BEu平面PBE,所以平面PBEL平面PCE.

（2）如圖，以點E為原點，分別以￡。,￡尸所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標系.

于是比=（3,3,0）,

設平面PCD的法向量為m=（x,y,z）,

又卮=（3,3,-V3）,DC=（3,0,0）,

m-PC=3x+3v-V3z=0一/\

于是_______",所以不妨取機=0,1,Gr，

m-DC=3x=0'）

設直線CE與平面PCD所成角為e,

EC-m3_V2

則sin"

|EC|.|m|3A/2X2-4

所以直線CE與平面PCD所成角的正弦值為—.

4

17.解:對函數(shù)/(X)求導得/'(x)=lnx+l-a,

所以/'(e)=l+l-a=2-a=l,

解得。=1.

1n

(1)由題意可知-—">m對任意的xe(o,+00)恒成立，

X

22>

e(cl

BPlux-Id2加對任意的x￡(0,+8)恒成立，只需Inx-ld>m,

XI%Jmin

2

e

令g(x)=lnx-lH--->0,

X

對其求導得g'(x)=4—二==三，

XXX

所以當xe(od)時，g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；

當xe(e\+oo)時，g'(x)〉O,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.

所以g(x)min=g@)=2-1+1=2,

于是加W2,因此實數(shù)加的取值范圍是(-叫2].

(2)由條件知/z(x)=xlnx-x+x2,對其求導得"(x)=lnx+2x,

函數(shù)/z'(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，且〃[口=—1+2<0,1⑴=2〉0,

所以存在/eJ」)使/z'R)=0,即Im:。+2%=0,

當X￡(O,X0)時，〃(x)<0,函數(shù)〃(X)單調(diào)遞減；

當了￡(%,+8)時，/?,(%)>0,函數(shù)〃(X)單調(diào)遞增，

于是與是函數(shù)“X)的極值點，

所以/(x0)+3x0=xolnxo+2x0=-2x；+2x0=2x0(1-x0)>0,即得證.

18.II：(1)因外,%,6成等比數(shù)列，所以。：二。2。8，即(2+4)2=。2(。2+12)，

解得出=4,

所以當〃22,〃￡N*時，c1n=2n,

又％=3不符合上式，

所以數(shù)列｛。”｝的通項公式為?！╟

[2n,n>2

因此S]=ax=3,

*(〃一1)(4+2〃)2

當時，5“=3+4+6+…+2〃=3+^^——-----L=n2+n+l,

又￥=3符合上式,

2

所以當V〃eN*時，Sn=n+n+\.

1

（2）由（1）知tan"

/+〃+ll++

令tang=?,c?e（0,1j,

所以tan”

l++1+tang+』anc〃

又叱吟

，g+「c〃￡嗚,所以2=C"+1_C"

因此北=4+&+4+…+〃=（。2-9）+（。3一。2）+（。4一。3）+~+（。"+1-。"）=C"+1一

c\tanc^-tanqw+1-1n

所以tan<=tan（c?+1

1+tancZ7+1tanc11+篦+1〃+2

于是tanT；=--

〃+2

19.解：（l）設尸（苞,乃）,。（》2/2），則？"+=1,只+只=1，

丁早4（M+1）_X]y2+l_X2

X]必-1y2T

因點8（0,—1）,左2=4々，所以里里=4（.+1,于是——=

》2X]必-1y2-l

整理得xxy2-x2yx=x1-x2,

又直線PQ的方程為y-必=七二五（x-否）,

即片取二2x—竭二豆七+必=色二典》+百及二理=取二豆》+1,

x2-Xxx2-X]x2-Xxxx-x2x2-X]

所以直線尸。過定點，定點坐標為（0,1）.

（2）設后。3，%），/。4，歹4），則號+*=l,x：+￡=1，設Af（o,加）,N（0,〃）,

因4