2022-2023學(xué)年安徽省阜陽市潁上縣第二中學(xué)等三校數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．2．已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，為該拋物線上一點(diǎn)，以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，，則拋物線方程為（）A． B． C． D．3．已知，則下列說法中正確的是（）A．是假命題 B．是真命題C．是真命題 D．是假命題4．若集合，則=（）A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．6．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)（）A． B． C．4 D．57．已知函數(shù)，則（）A．1 B．2 C．3 D．48．若的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)是40，則正整數(shù)的值為（）A．4 B．5 C．6 D．79．設(shè)集合，，若集合中有且僅有2個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．10．某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體中最長的棱長為（）．A． B． C．1 D．11．已知，，則（）A． B． C． D．12．已知是定義是上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A．3 B．5 C．7 D．9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若x，y均為正數(shù)，且，則的最小值為________.14．已知函數(shù)，則過原點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為____________.15．已知，那么______.16．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，，是邊長為2的正三角形，，則球的體積為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若對(duì)任意都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)，其中.（1）函數(shù)在處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②求證：.19．（12分）本小題滿分14分）已知曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），求直線被曲線截得的線段的長度20．（12分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，且曲線的左焦點(diǎn)在直線上.（Ⅰ）求的極坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程；（Ⅱ）求曲線的內(nèi)接矩形的周長的最大值.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線與曲線C交于點(diǎn)A（不同于極點(diǎn)O），與直線l交于點(diǎn)B，求的最大值.22．（10分）已知直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)）和圓的極坐標(biāo)方程：（1）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

變形為，由得，轉(zhuǎn)化在中，利用三點(diǎn)共線可得.【詳解】解：依題：，又三點(diǎn)共線，，解得．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理及用向量共線定理求參數(shù).思路是(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.(2)直線的向量式參數(shù)方程：三點(diǎn)共線?(為平面內(nèi)任一點(diǎn),)2、C【解析】

根據(jù)拋物線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)軸、列方程，解方程求得的值.【詳解】不妨設(shè)在第一象限，由于在拋物線上，所以，由于以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義可知，、軸，且.由于，所以直線的傾斜角為，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以拋物線的方程為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線的斜率，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.3、D【解析】

舉例判斷命題p與q的真假，再由復(fù)合命題的真假判斷得答案．【詳解】當(dāng)時(shí)，故命題為假命題；記f（x）＝ex﹣x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝ex，易知f（x）＝ex﹣x（﹣∞，0）上遞減，在（0，＋∞）上遞增，∴f（x）＞f（0）＝１＞0，即，故命題為真命題；∴是假命題故選D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假判斷，考查全稱命題與特稱命題的真假，考查指對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．4、C【解析】

求出集合，然后與集合取交集即可．【詳解】由題意，，，則，故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】

利用復(fù)數(shù)除法、加法運(yùn)算，化簡求得，再求得【詳解】，故.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、加法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則先求出復(fù)數(shù)z，再計(jì)算它的模長．【詳解】解：復(fù)數(shù)z＝a+bi，a、b∈R；∵2z，∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝，即，解得a＝3，b＝4，∴z＝3+4i，∴|z|．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算問題，要求熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)長度的計(jì)算公式，是基礎(chǔ)題．7、C【解析】

結(jié)合分段函數(shù)的解析式,先求出,進(jìn)而可求出.【詳解】由題意可得，則.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

先化簡的二項(xiàng)展開式中第項(xiàng)，然后直接求解即可【詳解】的二項(xiàng)展開式中第項(xiàng).令，則，∴，∴（舍）或.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式問題，屬于基礎(chǔ)題9、B【解析】

由題意知且，結(jié)合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知，，則，故，又，則，所以，所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的關(guān)系及運(yùn)算，以及借助數(shù)軸解決有關(guān)問題，其中確定中的元素是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

首先由三視圖還原幾何體，進(jìn)一步求出幾何體的棱長．【詳解】解：根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示，所以，該四棱錐體的最長的棱長為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解析】

分別解出集合然后求并集.【詳解】解：，故選：D【點(diǎn)睛】考查集合的并集運(yùn)算，基礎(chǔ)題.12、D【解析】

根據(jù)是定義是上的奇函數(shù)，滿足，可得函數(shù)的周期為3，再由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知可得，利用周期性可得函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【詳解】∵是定義是上的奇函數(shù)，滿足，，可得，

函數(shù)的周期為3，

∵當(dāng)時(shí)，，

令，則，解得或1，

又∵函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，

∴在區(qū)間上，有．

由，取，得，得，

∴．

又∵函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，

∴方程=0在區(qū)間上的解有共9個(gè)，

故選D．【點(diǎn)睛】本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查抽象函數(shù)周期性的應(yīng)用，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】

由基本不等式可得,則,即可解得.【詳解】方法一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.方法二：因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式在求最小值中的應(yīng)用,考查學(xué)生對(duì)基本不等式的靈活使用,難度較易.14、【解析】

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在切點(diǎn)的切線方程，將原點(diǎn)代入切線方程，求出的值，于此可得出所求的切線方程．【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，由于該直線過原點(diǎn)，則，得，因此，則過原點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查過點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線方程，求解思路是：（1）先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，并利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程；（2）將所過點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，求出參數(shù)的值，可得出切點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）將參數(shù)的值代入切線方程，可得出切線的方程．15、【解析】

由已知利用誘導(dǎo)公式可求，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求解.【詳解】∵，∴，，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由題意可得三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則它的外接球就是棱長為的正方體的外接球，求出正方體的對(duì)角線的長，就是球的直徑，然后求出球的體積.【詳解】解：因?yàn)椋瑸檎切?，所以，因?yàn)?，所以三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，所以它的外接球就是棱長為的正方體的外接球，因?yàn)檎襟w的對(duì)角線長為，所以其外接球的半徑為，所以球的體積為故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查球的體積，幾何體的外接球，考查空間想象能力，計(jì)算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

利用零點(diǎn)分區(qū)間法，去掉絕對(duì)值符號(hào)分組討論求并集，對(duì)恒成立，則，由三角不等式，得求解【詳解】解：當(dāng)時(shí)，不等式即為，可得或或，解得或或，則原不等式的解集為若對(duì)任意、都有，即為，由，當(dāng)取得等號(hào)，則，由，可得，則的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式解法及利用三角不等式解恒成立問題.（1）含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式常用解法可用零點(diǎn)分區(qū)間法去掉絕對(duì)值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解（2）利用三角不等式把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.18、（1）；（2）①；②詳見解析.【解析】

（1）由函數(shù)在處的切線與直線垂直，即可得，對(duì)其求導(dǎo)并表示，代入上述方程即可解得答案；（2）①已知要求等價(jià)于在上有兩個(gè)根，且，即在上有兩個(gè)不相等的根，由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)構(gòu)建不等式組，解得答案，最后分析此時(shí)單調(diào)性推及極值說明即可；②由①可知，是方程的兩個(gè)不等的實(shí)根，由韋達(dá)定理可表達(dá)根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而用含的式子表示，令，對(duì)求導(dǎo)分析單調(diào)性，即可知道存在常數(shù)使在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，進(jìn)而求最值證明不等式成立.【詳解】解：（1）依題意，，，故，所以，據(jù)題意可知，，解得.所以實(shí)數(shù)的值為.（2）①因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，所以在上有兩個(gè)根，且，即在上有兩個(gè)不相等的根.所以解得.當(dāng)時(shí)，若或，，，函數(shù)在和上單調(diào)遞增；若，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.②由①可知，是方程的兩個(gè)不等的實(shí)根，所以其中.故，令，其中.故，令，，在上單調(diào)遞增.由于，，所以存在常數(shù)，使得，即，，且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，又，，所以，即，故得證.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、兩直線的位置關(guān)系、由極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問題，還考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立，屬于難題.19、【解析】解：解：將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為，即，它表示以為圓心，2為半徑圓，………4分直線方程的普通方程為，………8分圓C的圓心到直線l的距離，……………10分故直線被曲線截得的線段長度為．……………14分20、（Ⅰ）曲線的參數(shù)方程為：(為參數(shù))；的極坐標(biāo)方程為；（Ⅱ）16.【解析】

(

I

)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；(

II

)利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，即可求出結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)由題意：曲線的直角坐標(biāo)方程為：，所以曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，因?yàn)橹本€的直角坐標(biāo)方程為：，又因曲線的左焦點(diǎn)為，將其代入中，得到，所以的極坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）設(shè)橢圓的內(nèi)接矩形的頂點(diǎn)為，，，，所以橢圓的內(nèi)接矩形的周長為：，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，橢圓的內(nèi)接矩形的周長取得最大值16.【點(diǎn)睛】本題考查了曲線的參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程間的互化，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，極徑的應(yīng)用，考查學(xué)生的求解運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型.21、（1）：，直線：；（2）．【解析】

（1）由消參法把參數(shù)方程化為普通方程，再由公式進(jìn)行直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化；（2）由極徑的定義可直接把代入曲線和直線的極坐標(biāo)方程，求出極徑，把比值化為的三角函數(shù)，從而可得最大值、【詳解】（1）消去參數(shù)可得曲線的普通方程是，即，代入得，即，∴曲線的極坐標(biāo)方程是；由，化為直角坐標(biāo)方程為．（2）設(shè)，則，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，掌握公式可輕松自如進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化