北京市東城區(qū)匯文中學(xué)高三最后一模新高考數(shù)學(xué)試題及答案解析

北京市東城區(qū)匯文中學(xué)高三最后一模新高考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國(guó)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中不正確的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之間出生，80前指1979年及以前出生.A．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的C．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后比80前多D．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多2．過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，，，為切點(diǎn)，當(dāng)直線，關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，（）A． B． C． D．3．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．若2m＞2n＞1，則（）A． B．πm﹣n＞1C．ln（m﹣n）＞0 D．5．若函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在的圖象上，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的公差等于()A．1 B．2 C．3 D．47．已知函數(shù)，且的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則，，的大小關(guān)系為()A． B．C． D．8．設(shè)遞增的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則（）A．9 B．27 C．81 D．9．設(shè)，是空間兩條不同的直線，，是空間兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若，，，則；②若，，，則；③若，，，則；④若，，，，則.其中正確的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④10．已知隨機(jī)變量X的分布列如下表：X01Pabc其中a，b，.若X的方差對(duì)所有都成立，則（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)的最小正周期為的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱，則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A． B．C． D．12．已知是邊長(zhǎng)為的正三角形，若，則A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實(shí)數(shù)，且由的最大值是_________14．函數(shù)的圖象在處的切線與直線互相垂直,則_____．15．（5分）已知橢圓方程為，過(guò)其下焦點(diǎn)作斜率存在的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的取值范圍是____________．16．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)，都有，則___三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）為了解甲、乙兩個(gè)快遞公司的工作狀況，假設(shè)同一個(gè)公司快遞員的工作狀況基本相同，現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機(jī)抽取一名快遞員，并從兩人某月(30天)的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機(jī)抽取10天的數(shù)據(jù)，整理如下：甲公司員工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350乙公司員工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務(wù)費(fèi)情況如下：甲公司規(guī)定每件0.65元，乙公司規(guī)定每天350件以內(nèi)(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)寫出甲公司員工在這10天投遞的快件個(gè)數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù)；（2）為了解乙公司員工每天所得勞務(wù)費(fèi)的情況，從這10天中隨機(jī)抽取1天，他所得的勞務(wù)費(fèi)記為(單位：元)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)題中數(shù)據(jù)估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi).18．（12分）2019年9月26日，攜程網(wǎng)發(fā)布《2019國(guó)慶假期旅游出行趨勢(shì)預(yù)測(cè)報(bào)告》，2018年國(guó)慶假日期間，西安共接待游客1692.56萬(wàn)人次，今年國(guó)慶有望超過(guò)2000萬(wàn)人次，成為西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司規(guī)定：若公司某位導(dǎo)游接待旅客，旅游年總收人不低于40(單位：萬(wàn)元)，則稱該導(dǎo)游為優(yōu)秀導(dǎo)游.經(jīng)驗(yàn)表明，如果公司的優(yōu)秀導(dǎo)游率越高，則該公司的影響度越高.已知甲、乙家旅游公司各有導(dǎo)游40名，統(tǒng)計(jì)他們一年內(nèi)旅游總收入，分別得到甲公司的頻率分布直方圖和乙公司的頻數(shù)分布表如下：分組頻數(shù)（1）求的值，并比較甲、乙兩家旅游公司，哪家的影響度高？（2）從甲、乙兩家公司旅游總收人在(單位：萬(wàn)元)的導(dǎo)游中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行業(yè)務(wù)培訓(xùn)，設(shè)來(lái)自甲公司的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.19．（12分）已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.（1）判斷點(diǎn)是否在直線上？說(shuō)明理由；（2）設(shè)點(diǎn)是△的外接圓的圓心，點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)，求的最大值.20．（12分）已知函數(shù),其中,.(1)函數(shù)的圖象能否與x軸相切?若能,求出實(shí)數(shù)a;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)若在處取得極大值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21．（12分）在中，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．22．（10分）定義：若數(shù)列滿足所有的項(xiàng)均由構(gòu)成且其中有個(gè)，有個(gè)，則稱為“﹣數(shù)列”．（1）為“﹣數(shù)列”中的任意三項(xiàng)，則使得的取法有多少種？（2）為“﹣數(shù)列”中的任意三項(xiàng)，則存在多少正整數(shù)對(duì)使得且的概率為.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)兩個(gè)圖形的數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察比較，即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】在A中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖得到互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占56%，所以是正確的；在B中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖得到：，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)技術(shù)崗位的人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的，所以是正確的；在C中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分別條形圖得到：，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后比80后多，所以是正確的；在D中，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后所占比例為，所以不能判斷互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的真假判定，以及統(tǒng)計(jì)圖表中餅狀圖和條形圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

判斷圓心與直線的關(guān)系，確定直線，關(guān)于直線對(duì)稱的充要條件是與直線垂直，從而等于到直線的距離，由切線性質(zhì)求出，得，從而得．【詳解】如圖，設(shè)圓的圓心為，半徑為，點(diǎn)不在直線上，要滿足直線，關(guān)于直線對(duì)稱，則必垂直于直線，∴，設(shè)，則，，∴,．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線的對(duì)稱性，解題關(guān)鍵是由圓的兩條切線關(guān)于直線對(duì)稱，得出與直線垂直，從而得就是圓心到直線的距離，這樣在直角三角形中可求得角．3、D【解析】

求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，該點(diǎn)位于第四象限.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置的判斷，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值進(jìn)行辨析.【詳解】若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正確；而當(dāng)m，n時(shí)，檢驗(yàn)可得，A、C、D都不正確，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)指數(shù)冪的大小關(guān)系判斷參數(shù)的大小，根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)冪或?qū)?shù)的大小關(guān)系，需要熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合特值法得出選項(xiàng).5、D【解析】

由題可知，可轉(zhuǎn)化為曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為方程有兩解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，分析即得解【詳解】函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上，即曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，即方程有兩解，即有兩解，令，則，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故時(shí)取得極大值，也即為最大值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以滿足條件．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.6、B【解析】

設(shè)數(shù)列的公差為.由，成等比數(shù)列，列關(guān)于的方程組，即求公差.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，①.成等比數(shù)列，②，解①②可得.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)題意，得，，則為減函數(shù)，從而得出函數(shù)的單調(diào)性，可比較和，而，比較，即可比較.【詳解】因?yàn)?，且的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，所以，，所以函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，又，，則|，即，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，還考查化簡(jiǎn)能力和轉(zhuǎn)化思想.8、A【解析】

根據(jù)兩個(gè)已知條件求出數(shù)列的公比和首項(xiàng)，即得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由，得，解得或.因?yàn)?且數(shù)列遞增，所以.又，解得，故.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.9、C【解析】

根據(jù)線面平行或垂直的有關(guān)定理逐一判斷即可.【詳解】解：①：、也可能相交或異面，故①錯(cuò)②：因?yàn)?，，所以或，因?yàn)椋?，故②?duì)③：或，故③錯(cuò)④：如圖因?yàn)?，，在?nèi)過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，則直線，又因?yàn)?，設(shè)經(jīng)過(guò)和相交的平面與交于直線，則又，所以因?yàn)?，，所以，所以，故④?duì).故選：C【點(diǎn)睛】考查線面平行或垂直的判斷，基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)X的分布列列式求出期望,方差,再利用將方差變形為,從而可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值為,進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】由X的分布列可得X的期望為,又,所以X的方差,因?yàn)?所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最大值,又對(duì)所有成立,所以,解得,故選:D.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了隨機(jī)變量的期望?方差的求法,結(jié)合了概率?二次函數(shù)等相關(guān)知識(shí),需要學(xué)生具備一定的計(jì)算能力,屬于中檔題.11、D【解析】

先由函數(shù)的周期和圖象的平移后的函數(shù)的圖象性質(zhì)得出函數(shù)的解析式，從而得出的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是，所以，即，所以，的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)解析式為，由于其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，又，所以，所以，所以，因?yàn)榈倪f增區(qū)間是：，，由，，得：，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的周期性，對(duì)稱性，單調(diào)性，圖象的平移，在進(jìn)行圖象的平移時(shí)，注意自變量的系數(shù)，屬于中檔題.12、A【解析】

由可得，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的正三角形，所以，故選A．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，然后根據(jù)最值的條件求出最大值【詳解】由化簡(jiǎn)得，又實(shí)數(shù)，圖形為圓，如圖:，可得，則由幾何意義得，則，為求最大值則當(dāng)過(guò)點(diǎn)或點(diǎn)時(shí)取最小值，可得所以的最大值是【點(diǎn)睛】本題考查了二元最值問(wèn)題，將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，得到圓的方程及斜率問(wèn)題，對(duì)要求的二元二次表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求出最值問(wèn)題，本題有一定難度。14、1.【解析】

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合直線垂直的直線斜率的關(guān)系建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直,函數(shù)的圖象在的切線斜率本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線垂直的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．15、【解析】

由題意，，則，得．由題意可設(shè)的方程為，，聯(lián)立方程組，消去得，恒成立，，，則，點(diǎn)到直線的距離為，則，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)．故面積的取值范圍是.16、【解析】

利用行列式定義，得到與的關(guān)系，賦值，即可求出結(jié)果?！驹斀狻坑?，令，得，解得?！军c(diǎn)睛】本題主要考查行列式定義的應(yīng)用。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）平均數(shù)為360，眾數(shù)為330；（2）見(jiàn)詳解；（3）甲公司：7020（元），乙公司：7281（元）【解析】

（1）將圖中甲公司員工A的所有數(shù)據(jù)相加，再除以總的天數(shù)10，即可求出甲公司員工A投遞快遞件數(shù)的平均數(shù)．從中發(fā)現(xiàn)330出現(xiàn)的次數(shù)最多，故為眾數(shù)；（2）由題意能求出的可能取值為340，360，370，420，440，分別求出相對(duì)應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）利用（1）（2）的結(jié)果，可估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi)．【詳解】解：（1）由題意知甲公司員工在這10天投遞的快遞件數(shù)的平均數(shù)為.眾數(shù)為330.（2）設(shè)乙公司員工1天的投遞件數(shù)為隨機(jī)變量，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的分布列為204219228273291（元）；（3）由（1）估計(jì)甲公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi)為(元)由（2）估計(jì)乙公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi)為(元).【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布表的應(yīng)用，考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題.18、（1），乙公司影響度高；（2）見(jiàn)解析，【解析】

（1）利用各小矩形的面積和等于1可得a，由導(dǎo)游人數(shù)為40人可得b，再由總收人不低于40可計(jì)算出優(yōu)秀率；（2）易得總收入在中甲公司有4人，乙公司有2人，則甲公司的人數(shù)的值可能為1，2，3，再計(jì)算出相應(yīng)取值的概率即可.【詳解】（1）由直方圖知，，解得，由頻數(shù)分布表中知：，解得.所以，甲公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為：，乙公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為：，由于，所以乙公司影響度高.（2）甲公司旅游總收入在中的有人，乙公司旅游總收入在中的有2人，故的可能取值為1，2，3，易知：，;.所以的分布列為：123P.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，是一道中檔題.19、（1）不在，證明見(jiàn)詳解；（2）【解析】

（1）假設(shè)直線方程，并于拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，計(jì)算，可得，然后驗(yàn)證可得結(jié)果.（2）分別計(jì)算線段中垂線的方程，然后聯(lián)立，根據(jù)（1）的條件可得點(diǎn)的軌跡方程，然后可得焦點(diǎn)，結(jié)合拋物線定義可得，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)直線方程，根據(jù)題意可知直線斜率一定存在，則則由所以將代入上式化簡(jiǎn)可得，所以則直線方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn)，所以可知點(diǎn)不在直線上.（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為線段的中點(diǎn)為則直線的斜率為，直線的斜率為可知線段的中垂線的方程為由，所以上式化簡(jiǎn)為即線段的中垂線的方程為同理可得：線段的中垂線的方程為則由（1）可知：所以即，所以點(diǎn)軌跡方程為焦點(diǎn)為，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最大所以【點(diǎn)睛】本題考查直線于拋物線的綜合應(yīng)用，第（1）問(wèn)中難點(diǎn)在于計(jì)算處，第（2）問(wèn)中關(guān)鍵在于得到點(diǎn)的軌跡方程，直線與圓錐曲線的綜合常常要聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理，屬難題.20、(1)答案見(jiàn)解析(2)【解析】

（1）假設(shè)函數(shù)的圖象與x軸相切于，根據(jù)相切可得方程組，看方程是否有解即可；（2）求出的導(dǎo)數(shù)，設(shè)()，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及在處取得極大值求出a的范圍即可.【詳解】(1)函數(shù)的圖象不能與x軸相切,理由若下:.假設(shè)函數(shù)的圖象與x軸相切于則即顯然,,代入中得,無(wú)實(shí)數(shù)解.故函數(shù)的圖象不能與x軸相切.(2)(),,設(shè)(),恒大于零.在上單調(diào)遞增.又,,,∴存在唯一,使,且時(shí),時(shí),①當(dāng)時(shí),恒成立,在單調(diào)遞增,無(wú)極值,不合題意.②當(dāng)時(shí),可得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.所以在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增,所以在處取得極小值,不合題意.③當(dāng)時(shí),可得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.所以在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,所以在處取得極大值,