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廣東省湛江一中下學(xué)期新高考數(shù)學(xué)一模試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若,滿足約束條件,則的最大值是()A. B. C.13 D.2.在精準(zhǔn)扶貧工作中,有6名男干部、5名女干部,從中選出2名男干部、1名女干部組成一個(gè)扶貧小組分到某村工作,則不同的選法共有()A.60種 B.70種 C.75種 D.150種3.是平面上的一定點(diǎn),是平面上不共線的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的()A.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心4.函數(shù)fxA. B.C. D.5.設(shè)非零向量,,,滿足,,且與的夾角為,則“”是“”的().A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.由實(shí)數(shù)組成的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則“a1>0”是“S9>S8”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一問題:“今有鱉臑(biēnaò),下廣五尺,無袤;上袤四尺,無廣;高七尺.問積幾何?”該幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體外接球的表面積為()A.平方尺 B.平方尺C.平方尺 D.平方尺8.已知數(shù)列滿足,(),則數(shù)列的通項(xiàng)公式()A. B. C. D.9.閱讀下側(cè)程序框圖,為使輸出的數(shù)據(jù)為31,則①處應(yīng)填的數(shù)字為A.4 B.5 C.6 D.710.《九章算術(shù)》“少廣”算法中有這樣一個(gè)數(shù)的序列:列出“全步”(整數(shù)部分)及諸分子分母,以最下面的分母遍乘各分子和“全步”,各自以分母去約其分子,將所得能通分之分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分約簡(jiǎn),又用最下面的分母去遍乘諸(未通者)分子和以通之?dāng)?shù),逐個(gè)照此同樣方法,直至全部為整數(shù),例如:及時(shí),如圖:記為每個(gè)序列中最后一列數(shù)之和,則為()A.147 B.294 C.882 D.176411.已知x,y滿足不等式,且目標(biāo)函數(shù)z=9x+6y最大值的變化范圍[20,22],則t的取值范圍()A.[2,4] B.[4,6] C.[5,8] D.[6,7]12.已知復(fù)數(shù)滿足,則的最大值為()A. B. C. D.6二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.雙曲線的離心率為_________.14.三個(gè)小朋友之間送禮物,約定每人送出一份禮物給另外兩人中的一人(送給兩個(gè)人的可能性相同),則三人都收到禮物的概率為______.15.命題“”的否定是______.16.在平面直角坐標(biāo)系中,圓.已知過原點(diǎn)且相互垂直的兩條直線和,其中與圓相交于,兩點(diǎn),與圓相切于點(diǎn).若,則直線的斜率為_____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)若數(shù)列滿足:對(duì)于任意,均為數(shù)列中的項(xiàng),則稱數(shù)列為“數(shù)列”.(1)若數(shù)列的前項(xiàng)和,,試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”?說明理由;(2)若公差為的等差數(shù)列為“數(shù)列”,求的取值范圍;(3)若數(shù)列為“數(shù)列”,,且對(duì)于任意,均有,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.18.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知:,:,:.(1)求與的極坐標(biāo)方程(2)若與交于點(diǎn)A,與交于點(diǎn)B,,求的最大值.19.(12分)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求,的值;(2)證明函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn),且.20.(12分)已知橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、,焦距為.(1)求橢圓的方程;(2)已知直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、,設(shè)為直線上一點(diǎn),且直線、的斜率的積為.證明:點(diǎn)在軸上.21.(12分)如圖1,在邊長(zhǎng)為4的正方形中,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),現(xiàn)將三角形沿翻折成如圖2所示的五棱錐.(1)求證:平面;(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程;(Ⅱ)已知點(diǎn)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn),求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
由已知畫出可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最大值.【詳解】解:表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方,畫出不等式組表示的可行域,如圖,由解得即點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離最大,即.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃問題,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
根據(jù)題意,分別計(jì)算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數(shù),由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,從6名男干部中選出2名男干部,有種取法,從5名女干部中選出1名女干部,有種取法,則有種不同的選法;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用,涉及分步計(jì)數(shù)原理問題,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
解出,計(jì)算并化簡(jiǎn)可得出結(jié)論.【詳解】λ(),∴,∴,即點(diǎn)P在BC邊的高上,即點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過△ABC的垂心.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用,根據(jù)條件中的角計(jì)算是關(guān)鍵.4、A【解析】
由f12=e-14>0排除選項(xiàng)D;【詳解】由f12=e-14>0,可排除選項(xiàng)D,f-1=-e【點(diǎn)睛】本題通過對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向,該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多,但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及x→05、C【解析】
利用數(shù)量積的定義可得,即可判斷出結(jié)論.【詳解】解:,,,解得,,,解得,“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:若{an}是等比數(shù)列,則,
若,則,即成立,
若成立,則,即,
故“”是“”的充要條件,
故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵.7、A【解析】
根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個(gè)三棱錐,將三棱錐補(bǔ)充成一個(gè)長(zhǎng)方體,此長(zhǎng)方體的外接球就是該三棱錐的外接球,由球的表面積公式計(jì)算可得選項(xiàng).【詳解】由三視圖可得,該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐,為三棱錐外接球的球心,此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長(zhǎng)方體的外接球,所以為的中點(diǎn),設(shè)球半徑為,則,所以外接球的表面積,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求幾何體的外接球的表面積,關(guān)鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖,找出外接球的球心位置和半徑,屬于中檔題.8、A【解析】
利用數(shù)列的遞推關(guān)系式,通過累加法求解即可.【詳解】數(shù)列滿足:,,可得以上各式相加可得:,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用,數(shù)列累加法以及通項(xiàng)公式的求法,考查計(jì)算能力.9、B【解析】考點(diǎn):程序框圖.分析:分析程序中各變量、各語句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是利用循環(huán)求S的值,我們用表格列出程序運(yùn)行過程中各變量的值的變化情況,不難給出答案.解:程序在運(yùn)行過程中各變量的值如下表示:Si是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后當(dāng)i<5時(shí)退出,故選B.10、A【解析】
根據(jù)題目所給的步驟進(jìn)行計(jì)算,由此求得的值.【詳解】依題意列表如下:上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查合情推理,考查中國古代數(shù)學(xué)文化,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
作出可行域,對(duì)t進(jìn)行分類討論分析目標(biāo)函數(shù)的最大值,即可求解.【詳解】畫出不等式組所表示的可行域如圖△AOB當(dāng)t≤2時(shí),可行域即為如圖中的△OAM,此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=9x+6y在A(2,0)取得最大值Z=18不符合題意t>2時(shí)可知目標(biāo)函數(shù)Z=9x+6y在的交點(diǎn)()處取得最大值,此時(shí)Z=t+16由題意可得,20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故選:B.【點(diǎn)睛】此題考查線性規(guī)劃,根據(jù)可行域結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的最大值的取值范圍求參數(shù)的取值范圍,涉及分類討論思想,關(guān)鍵在于熟練掌握截距型目標(biāo)函數(shù)的最大值最優(yōu)解的處理辦法.12、B【解析】
設(shè),,利用復(fù)數(shù)幾何意義計(jì)算.【詳解】設(shè),由已知,,所以點(diǎn)在單位圓上,而,表示點(diǎn)到的距離,故.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查求復(fù)數(shù)模的最大值,其實(shí)本題可以利用不等式來解決.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】14、【解析】
基本事件總數(shù),三人都收到禮物包含的基本事件個(gè)數(shù).由此能求出三人都收到禮物的概率.【詳解】三個(gè)小朋友之間準(zhǔn)備送禮物,約定每人只能送出一份禮物給另外兩人中的一人(送給兩個(gè)人的可能性相同),基本事件總數(shù),三人都收到禮物包含的基本事件個(gè)數(shù).則三人都收到禮物的概率.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的求法,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.15、,【解析】
根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題得到結(jié)果即可.【詳解】解:因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題,所以,命題,則該命題的否定是:,故答案為:,.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
設(shè):,:,利用點(diǎn)到直線的距離,列出式子,求出的值即可.【詳解】解:由圓,可知圓心,半徑為.設(shè)直線:,則:,圓心到直線的距離為,,.圓心到直線的距離為半徑,即,并根據(jù)垂徑定理的應(yīng)用,可列式得到,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用,并結(jié)合圓的方程,垂徑定理的基本知識(shí),屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)不是,見解析(2)(3)【解析】
(1)利用遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)一步驗(yàn)證時(shí),是否為數(shù)列中的項(xiàng),即可得答案;(2)由題意得,再對(duì)公差進(jìn)行分類討論,即可得答案;(3)由題意得數(shù)列為等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列的公差為,再根據(jù)不等式得到公差的值,即可得答案;【詳解】(1)當(dāng)時(shí),又,所以.所以當(dāng)時(shí),,而,所以時(shí),不是數(shù)列中的項(xiàng),故數(shù)列不是為“數(shù)列”(2)因?yàn)閿?shù)列是公差為的等差數(shù)列,所以.因?yàn)閿?shù)列為“數(shù)列”所以任意,存在,使得,即有.①若,則只需,使得,從而得是數(shù)列中的項(xiàng).②若,則.此時(shí),當(dāng)時(shí),不為正整數(shù),所以不符合題意.綜上,.(3)由題意,所以,又因?yàn)?,且?shù)列為“數(shù)列”,所以,即,所以數(shù)列為等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列的公差為,則有,由,得,整理得,①.②若,取正整數(shù),則當(dāng)時(shí),,與①式對(duì)應(yīng)任意恒成立相矛盾,因此.同樣根據(jù)②式可得,所以.又,所以.經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí),①②兩式對(duì)應(yīng)任意恒成立,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列新定義題、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,難度較大.18、(1)的極坐標(biāo)方程為;的極坐標(biāo)方程為:(2)【解析】
(1)根據(jù),代入即可轉(zhuǎn)化.(2)由:,可得,代入與的極坐標(biāo)方程求出,從而可得,再利用二倍角公式、輔助角公式,借助三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】(1):,,的極坐標(biāo)方程為:,,的極坐標(biāo)方程為:,(2):,則(為銳角),,,,當(dāng)時(shí)取等號(hào).【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、二倍角公式、輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.19、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)求導(dǎo),可得(1),(1),結(jié)合已知切線方程即可求得,的值;(2)利用導(dǎo)數(shù)可得,,再構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可得證.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?,,則(1),(1),故曲線在點(diǎn),(1)處的切線方程為,又曲線在點(diǎn),(1)處的切線方程為,,;(2)證明:由(1)知,,則,令,則,易知在單調(diào)遞減,又,(1),故存在,使得,且當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng),時(shí),,單調(diào)遞減,由于,(1),(2),故存在,使得,且當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞增,當(dāng),時(shí),,,單調(diào)遞減,故函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn),且,即,則,令,則,故在上單調(diào)遞增,由于,故(2),即,.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值及最值,考查推理論證能力,屬于中檔題.20、(1);(2)見解析.【解析】
(1)由已知條件得出、的值,進(jìn)而可得出的值,由此可求得橢圓的方程;(2)設(shè)點(diǎn),可得,且,,求出直線的斜率,進(jìn)而可求得直線與的方程,將直線直線與的方程聯(lián)立,求出點(diǎn)的坐標(biāo),即可證得結(jié)論.【詳解】(1)由題設(shè),得,所以,即.故橢圓的方程為;(2)設(shè),則,,.所以直線的斜率為,因?yàn)橹本€、的斜率的積為,所以直線的斜率為.直線的方程為,直線的方程為.聯(lián)立,解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,則,所以點(diǎn)在軸上.【點(diǎn)睛】本題考查
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