2025屆河北省石家莊二中潤德學校數(shù)學高一下期末經(jīng)典試題含解析

2025屆河北省石家莊二中潤德學校數(shù)學高一下期末經(jīng)典試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知三棱錐P－ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°.則球O的體積為（）A． B． C． D．2．已知是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當時，，則等于()A．-1 B． C． D．13．已知,則的值為()A． B． C． D．4．已知向量,滿足,和的夾角為,則()A． B． C． D．15．設、、為平面，為、、直線，則下列判斷正確的是（）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則6．設集合A={x|x≥–3}，B={x|–3<x<1}，則A∪B=()A．{x|x>–3} B．{x|x<1}C．{x|x≥–3} D．{x|–3≤x<1}7．若雙曲線的漸近線與直線所圍成的三角形面積為2，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知隨機事件中，與互斥，與對立，且，則（）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.910．如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi)，若飛機的高度為海拔18km，速度為1000km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過1min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到0.1km)()A．11.4 B．6.6C．6.5 D．5.6二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某校選修“營養(yǎng)與衛(wèi)生”課程的學生中，高一年級有30名，高二年級有40名．現(xiàn)用分層抽樣的方法從這70名學生中抽取一個樣本，已知在高二年級的學生中抽取了8名，則在該校高一年級的學生中應抽取的人數(shù)為________．12．在△ABC中，點M，N滿足，若，則x＝________，y＝________.13．若，則_______.14．已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的通項______.15．體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為__________.16．把函數(shù)的圖像上各點向右平移個單位，再把橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话耄v坐標擴大到原來的4倍，則所得的函數(shù)的對稱中心坐標為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在正方體，中，，，，，分別是棱，，，，的中點.（1）求證：平面平面；（2）求平面將正方體分成的兩部分體積之比.18．在正△ABC中，AB＝2，（t∈R）.（1）試用，表示：（2）當?取得最小值時，求t的值.19．為響應國家“精準扶貧、精準脫貧”的號召，某貧困縣在精準推進上下實功，在在精準落實上見實效現(xiàn)從全縣扶貧對象中隨機抽取人對扶貧工作的滿意度進行調(diào)查，以莖葉圖中記錄了他們對扶貧工作滿意度的分數(shù)(滿分分)如圖所示，已知圖中的平均數(shù)與中位數(shù)相同.現(xiàn)將滿意度分為“基本滿意”(分數(shù)低于平均分)、“滿意”(分數(shù)不低于平均分且低于分)和“很滿意”(分數(shù)不低于分)三個級別.(1)求莖葉圖中數(shù)據(jù)的平均數(shù)和的值;(2)從“滿意”和“很滿意”的人中隨機抽取人，求至少有人是“很滿意”的概率.20．已知向量.（1）若向量，且，求的坐標；（2）若向量與互相垂直，求實數(shù)的值.21．已知向量，，.（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求向量與的夾角.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

計算可知三棱錐P－ABC的三條側棱互相垂直，可得球O是以PA為棱的正方體的外接球，球的直徑，即可求出球O的體積.【詳解】在△PAC中，設，，，，因為點E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，所以，在△PAC中，，在△EAC中，，整理得，因為△ABC是邊長為的正三角形，所以，又因為∠CEF=90°，所以，所以，所以.又因為△ABC是邊長為的正三角形，所以PA,PB,PC兩兩垂直，則球O是以PA為棱的正方體的外接球，則球的直徑，所以外接球O的體積為.故選D.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球，考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.2、C【解析】

根據(jù)求得函數(shù)的周期，再結合奇偶性求得所求表達式的值.【詳解】由于故函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，故，故選C.【點睛】本小題主要考查函數(shù)的周期性，考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)值的求法，屬于基礎題.3、C【解析】

根據(jù)輔助角公式即可．【詳解】由輔助角公式得所以，選C.【點睛】本題主要考查了輔助角公式的應用：，屬于基礎題．4、B【解析】

由平面向量的數(shù)量積公式，即可得到本題答案.【詳解】由題意可得.故選：B.【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積公式，屬基礎題.5、D【解析】

根據(jù)線面、面面有關的定理，對四個選項逐一分析，由此得出正確選項.【詳解】A選項不正確，因為根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，需要加上：在平面內(nèi)或者平行于，這個條件，才能判定.B選項不正確，因為可能平行于.C選項不正確，因為當時，或者.D選項正確，根據(jù)垂直于同一條直線的兩個平面平行，得到，直線，則可得到.綜上所述，本小題選D.【點睛】本小題主要考查空間線面、面面位置關系有關命題真假性的判斷，屬于基礎題.6、C【解析】

根據(jù)并集的運算律可計算出集合A∪B.【詳解】∵A=xx≥-3，B=x故選：C.【點睛】本題考查集合的并集運算，解題的關鍵就是并集運算律的應用，考查計算能力，屬于基礎題.7、A【解析】漸近線為，時，，所以，即，，，故選A．8、C【解析】

根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性，結合對數(shù)型函數(shù)的定義域列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】由于的底數(shù)為，而函數(shù)在上是減函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，結合對數(shù)型函數(shù)的定義域得，解得.故選：C【點睛】本小題主要考查根據(jù)對數(shù)型復合函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎題.9、C【解析】

由對立事件概率關系得到B發(fā)生的概率，再由互斥事件的概率計算公式求P(A+B).【詳解】因為，事件B與C對立，所以，又，A與B互斥，所以，故選C.【點睛】本題考查互斥事件的概率，能利用對立事件概率之和為1進行計算，屬于基本題.10、B【解析】AB＝1000×(km)，∴BC＝·sin30°＝(km)．∴航線離山頂h＝×sin75°≈11.4(km)．∴山高為18－11.4＝6.6(km)．選B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、6【解析】

利用分層抽樣的定義求解.【詳解】設從高一年級的學生中抽取x名，由分層抽樣的知識可知，解得x＝6.故答案為6.【點睛】本題主要考查分層抽樣，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.12、【解析】特殊化，不妨設，利用坐標法，以A為原點，AB為軸，為軸，建立直角坐標系，，，則，.考點：本題考點為平面向量有關知識與計算，利用向量相等解題.13、【解析】

對兩邊平方整理即可得解.【詳解】由可得：，整理得：所以【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系及二倍角的正弦公式，考查觀察能力及轉化能力，屬于較易題．14、【解析】

直接利用數(shù)列的遞推關系式和疊加法求出結果．【詳解】因為，所以當時，.時也成立.所以數(shù)列的通項.【點睛】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應用，疊加法在數(shù)列中的應用，主要考察學生的運算能力和轉換能力，屬于基礎題．15、【解析】正方體體積為8，可知其邊長為2，正方體的體對角線為=2，即為球的直徑，所以半徑為，所以球的表面積為=12π．故答案為：12π．點睛：設幾何體底面外接圓半徑為,常見的圖形有正三角形,直角三角形,矩形,它們的外心可用其幾何性質(zhì)求;而其它不規(guī)則圖形的外心,可利用正弦定理來求.若長方體長寬高分別為則其體對角線長為;長方體的外接球球心是其體對角線中點.找?guī)缀误w外接球球心的一般方法:過幾何體各個面的外心分別做這個面的垂線,交點即為球心.三棱錐三條側棱兩兩垂直,且棱長分別為，則其外接球半徑公式為:.16、，【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，求得函數(shù)的解析式，進而求得函數(shù)的對稱中心，得到答案.【詳解】由題意，把函數(shù)的圖像上各點向右平移個單位，可得，再把圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，可得，把函?shù)縱坐標擴大到原來的4倍，可得，令，解得，所以函數(shù)的對稱中心為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的對稱中心的求解，其中解答中熟練三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）先證明平面，再證明平面平面；（2）連接，，則截面右側的幾何體為四棱錐和三棱錐，再求出每一部分的體積得解.【詳解】（1）證明：在正方體中，連接.因為，分別是，的中點，所以.因為平面，平面，所以.因為，所以平面，平面，所以，同理，因為，所以平面，因為平面，所以平面平面；（2）連接，，則截面右側的幾何體為四棱錐和三棱錐，設正方體棱長為1，所以，所以平面將正方體分成的兩部分體積之比為.【點睛】本題主要考查面面垂直關系的證明和幾何體體積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題.18、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)即可得出，從而解得；（2）由（1）得，根據(jù)得，從而進行數(shù)量積的運算得出，配方即可得出當時，取最小值.【詳解】（1）∵；∴；∴；（2）∵△ABC是正三角形，且AB＝2；∴；∵；∴；∴∴時，取最小值.【點睛】本題考查向量減法、加法的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，以及向量的數(shù)量積運算及計算公式，配方法解決二次函數(shù)問題的方法，屬于基礎題.19、（1）平均數(shù)為；（2）【解析】

(1)由題意，根據(jù)圖中個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，由平均數(shù)與中位數(shù)相同，得平均數(shù)為，所以，解得；(2)依題意，人中，“基本滿意”有人，“滿意”有人，“很滿意”有人.“滿意”和“很滿意”的人共有人.分別記“滿意”的人為，，，，“很滿意”的人為，，，.從中隨機抽取人的一切可能結果所組成的基本事件共個：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.用事件表示“人中至少有人是很滿意”這一件事，則事件由個基本事件組成：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有22個.故事件的概率為【點睛】本題主要考查了莖葉圖的應用，以及古典概型及其概率的計算問題，其中解答中熟記莖葉圖的中的平均數(shù)和中位數(shù)的計算，以及利用列舉法得出基本事件的總數(shù)是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.20、（1）或（2）【解析】

（1）因為，所以可以設求出坐標，根據(jù)模長，可以得到參數(shù)的方程.（2）由于已知條件可以計算出與坐標（含有參數(shù)）而兩向量垂直，可以得到關于的方程，完成本題.【詳解】（1）法一:設，則，所以解得所以或法二:設，因為，，所以，因為，所以解得或，