2022屆天津市部分區(qū)高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{4}滿(mǎn)足。3=3%+24,則公比4=()

A.1B.2C.3D.4

2.已知集合用={*5N={x\x(x+3)<0},則MCIN=()

A.[-3,2)B.(-3,2)C.(-1,0]D.(-1,0)

3.20世紀(jì)產(chǎn)生了著名的“3x+l”猜想：任給一個(gè)正整數(shù)x,如果x是偶數(shù)，就將它減半；如果x是奇數(shù)，則將它乘3

加1,不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限步后，一定可以得到1.如圖是驗(yàn)證“3%+1”猜想的一個(gè)程序框圖，若輸入正整數(shù)

加的值為40,則輸出的〃的值是()

II=1

/檢入i正數(shù)"，/

m

w=/i+l

是

偶能上

/輸出〃/

人

結(jié)束

A.8B.9C.10D.11

2222

4.連接雙曲線(xiàn)G：=-3=1及G:當(dāng)-==1的4個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為S1連接4個(gè)焦點(diǎn)的四邊形的面積為S,

abba2

s.

則當(dāng)u取得最大值時(shí)，雙曲線(xiàn)G的離心率為()

32

A.6B.拽>C.V3D.V2

22

5.數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足：%=g，“"-%+1=2%4+1，則數(shù)列前10項(xiàng)的和為

1020918

A.—B.——c.—D.—

21211919

11I111tt

4z-Z?=0,|c|=l,\a-

6.已知平面向量a，b，c滿(mǎn)足：c|=Z?-c|=5,則"力的最小值為()

A.5B.6C.7D.8

用=應(yīng)，/目=0且在(0㈤上是單調(diào)函數(shù)，則下列

7.已知函數(shù)/(x)=2sin3x+0)(G>0,0<0<,

說(shuō)法正確的是()

1R/吟46+^2

AA.a)=—B.f---=---------

28)2

C.函數(shù)/(%)在-小-三上單調(diào)遞減D.函數(shù)/(%)的圖像關(guān)于點(diǎn)］彳對(duì)稱(chēng)

8.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z=(2+i)(l—i)(i是虛數(shù)單位),則|z|=()

A.叵B.麗C.6D.75

22

9.若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示，則此幾何體的體積是()

正視圖倒視圖

B.48cm3C.60cm3D.72cm3

7t

10.已知函數(shù)〃x)=2cosx-sin|x+二|(〃zeR)的部分圖象如圖所示.則/=()

6

5TT

~6

4萬(wàn)

3

2

11.若［無(wú)］表示不超過(guò)工的最大整數(shù)(如［2.5］=2,［4］=4,［-2.5］=-3),已知a,=］X10",濟(jì)=%,

2=。"T°qT(〃eN*,〃22),貝收019=()

A.2B.5C.7D.8

12.已知"工)是定義在［-2,2］上的奇函數(shù),當(dāng)xw(O,2］時(shí)，f(x)=2x-l,則/(—2)+/(0)=()

A.-3B.2C.3D.-2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在AABC中，已知A3=3,AC=2,尸是邊的垂直平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，貝！lBC.AP=.

14.已知同=2,忖=招，a,人的夾角為30。，(a+2Z?)//(2a+例)，貝*a+.(&—b)=.

15.已知函數(shù)/(x)=-V+x+％e［2,e］與gQ)=3血r—%-1的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則a的取值范圍為

e

16.一次考試后，某班全班50個(gè)人數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為正數(shù)/，若把M當(dāng)成一個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù)，與原來(lái)的50個(gè)分?jǐn)?shù)

一起，算出這51個(gè)分?jǐn)?shù)的平均值為N,則勺=_________.

N

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=7〃sinx+0cosx(m〉0)的最大值為2.

(I)求函數(shù)f(x)在［。,網(wǎng)上的單調(diào)遞減區(qū)間；

(II)AABC中,7(A-工)+/(3-工)=4nsinAsin3,角A,B,C所對(duì)的邊分別是"c,且C=60°,c=3,求

44

AABC的面積.

jr

18.(12分)在極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)/的極坐標(biāo)方程為9=夕eR),以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直

x=3cos。，

角坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為c(。為參數(shù))，求直線(xiàn)/與曲線(xiàn)。的交點(diǎn)月的直角坐標(biāo).

y=11+cos2a

19.(12分)某公司打算引進(jìn)一臺(tái)設(shè)備使用一年，現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺(tái)10000元，乙設(shè)備每臺(tái)9000

元.此外設(shè)備使用期間還需維修，對(duì)于每臺(tái)設(shè)備，一年間三次及三次以?xún)?nèi)免費(fèi)維修，三次以外的維修費(fèi)用均為每次1000

元.該公司統(tǒng)計(jì)了曾使用過(guò)的甲、乙各50臺(tái)設(shè)備在一年間的維修次數(shù)，得到下面的頻數(shù)分布表，以這兩種設(shè)備分別在

50臺(tái)中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.

維修次數(shù)23456

甲設(shè)備5103050

乙設(shè)備05151515

(1)設(shè)甲、乙兩種設(shè)備每臺(tái)購(gòu)買(mǎi)和一年間維修的花費(fèi)總額分別為X和F,求X和F的分布列；

(2)若以數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，希望設(shè)備購(gòu)買(mǎi)和一年間維修的花費(fèi)總額盡量低，且維修次數(shù)盡量少，則需要購(gòu)買(mǎi)哪種

設(shè)備？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(

20.(12分)在直角坐標(biāo)系xQy中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為x=tc.os"p,(才為參數(shù))，直線(xiàn)/,的參數(shù)方程為

y=?sin(p,

(71)

X=/COS---(P

<〉,a為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)c的極坐標(biāo)方程為

Wsin?可

psin20=cos。.

(I)求。l2的極坐標(biāo)方程和C的直角坐標(biāo)方程；

(II)設(shè)。4分別交C于AB兩點(diǎn)(與原點(diǎn)。不重合)，求|。4卜|。國(guó)的最小值.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=tanx+asin2x_2x［o<x<、］.

(1)若。=0,求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(無(wú)”0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

22.(10分)已知awR,函數(shù)/(犬)=ln(九+1)—九之+QX+2.

(1)若函數(shù)/(%)在［2,+8)上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

(2)求證：對(duì)(-1,+0。)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)再，/，總有了成立.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

由正項(xiàng)等比數(shù)列滿(mǎn)足%=3。1+2/，即。4=30+2。小又。尸0,即d—24—3=0,運(yùn)算即可得解.

【詳解】

解：因?yàn)闉?3q+2a2,所以q/=3%+2qq,又q/0,所以q2-2q-3=0,

又q>0,解得4=3.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比數(shù)列基本量的求法，屬基礎(chǔ)題.

2、C

【解析】

先化簡(jiǎn)N={x|x(x+3)<0}={x|-3<x<0},再根據(jù)M={M-1VxV2},求兩集合的交集.

【詳解】

因?yàn)镹={x|x(x+3)<0}={x|-3<x<0},

又因?yàn)镸=3-1VXV2},

所以MnN={M-l<x<0}.

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

3、C

【解析】

列出循環(huán)的每一步，可得出輸出的〃的值.

【詳解】

40

〃=1，輸入m=40,n=1+1=2,m=1不成立，m是偶數(shù)成立，貝!=一=20；

2

,,20

〃=2+1=3,m=1不成立，機(jī)是偶數(shù)成立，則"/=—=10；

2

m=1不成立，優(yōu)是偶數(shù)成立，則m=3=5；

〃=3+1=4,

2

〃=4+1=5,m=1不成立，機(jī)是偶數(shù)不成立，貝！Im=3x5+l=16；

加=1不成立，機(jī)是偶數(shù)成立，則根=更=8；

〃=5+1=6,

2

Q

〃=6+1=7,加=1不成立，根是偶數(shù)成立，則機(jī)=—二4；

2

4

〃=7+1=8,加=1不成立，根是偶數(shù)成立，則加=一二2；

2

2

〃=8+1=9,冽二1不成立，旭是偶數(shù)成立，則m=一二1；

2

"=9+1=10,帆=1成立，跳出循環(huán)，輸出”的值為10.

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4、D

【解析】

先求出四個(gè)頂點(diǎn)、四個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)菱形，求出菱形的面積，四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正方形，求出其面積,

S.

利用重要不等式求得U取得最大值時(shí)有。=人從而求得其離心率.

【詳解】

2222

雙曲線(xiàn)三—與=1與與—==1互為共朝雙曲線(xiàn),

abba

四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（土a,0）,（0,±6）,四個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（土G0）,（。,土c）,

四個(gè)頂點(diǎn)形成的四邊形的面積4=；x2ax2》=2",

四個(gè)焦點(diǎn)連線(xiàn)形成的四邊形的面積其=]X2cx2c=2H,

5,2ababab1

所以岳=土=^^"癡=5，

s

當(dāng)U取得最大值時(shí)有a=b,c=缶，離心率e=￡=0,

“a

故選：D.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)雙曲線(xiàn)的離心率的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有共軌雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)，焦點(diǎn)，菱形面積公式，重要不等式

求最值，等軸雙曲線(xiàn)的離心率，屬于簡(jiǎn)單題目.

5、A

【解析】

11c1

分析：通過(guò)對(duì)an-an+i=2a.an+i變形可知--------=2,進(jìn)而可知區(qū),=------,利用裂項(xiàng)相消法求和即可.

an+lan2?-1

詳解：?.?4一?！?1=244+1，丁=2、

an+lan

1

XV—=5,

%

.?.；=：+2（n—3）=2n—l,gpan=,

+JT=二，

二數(shù)列｛%%｝前10項(xiàng)的和為;++白—：]=41—=M

乙、JJJJLy乙工）乙、乙工）乙JL

故選A.

點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子

的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：⑴-/]八二）——■二；（2）亍"一『=：（標(biāo)仄一冊(cè)）；（3）

n[n+k）k'nn+kJ^Jn+k+y/nkv'

就干（〃+1）；〃+2）；此外'需注意裂項(xiàng)

（2n-l）（2n+l）~2｛2n-l~2n+l）；⑷n[n+l）（n+2）~2

之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.

6、B

【解析】

rr

建立平面直角坐標(biāo)系，將已知條件轉(zhuǎn)化為所設(shè)未知量的關(guān)系式，再將。的最小值轉(zhuǎn)化為用該關(guān)系式表達(dá)的算式，

利用基本不等式求得最小值.

【詳解】

建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)c=（cosasin。），OA=a,OB=b,且A（m,0）,B（0,〃），由于

|?-c|=|z?-c|=5,所以%〃e[4,6].

<7-c=（m-cos仇一sin6）,Z?-c=（-cosa〃一sin。）?所以

m2-2mcos^+cos20+sin20-25

即m2+/=48+2mcos0+2nsin6?

-2nsin^+sin28+cos?0-25

|a-Z?|=^a-c^-(b-c^=?a—c)-2(a-c^(b-c^+{b-c^=A/48+2mcos0+2nsin6

二J*+/nJ而.當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取得最小值，此時(shí)由加之+*=48+2mcos8+2〃sin6得

2m2=48+2m(sin0+cos6^)=48+2A/2msin~j，當(dāng)。=子時(shí)，2加？有最小值為48—20根，即

l57rtl

2ml=48-2垃m，m2+^/2m-24=0,解得根=3及?所以當(dāng)且僅當(dāng)加=〃=3，2,。=彳時(shí)。一b有最小值為

,2x(3⑹2=6.

本小題主要考查向量的位置關(guān)系、向量的模，考查基本不等式的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.

7、B

【解析】

根據(jù)函數(shù)/(無(wú))，在(0,萬(wàn))上是單調(diào)函數(shù)，確定0<°<1,然后一一驗(yàn)證,

A.若°則/(x)=2sin[gx+0J,由=得夕=弓，但了+引邛.B.由

^=72,f^=0,確定/(x)=2sin[gx+g],再求解/[-三]驗(yàn)證.C.利用整體法根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)

性判斷.D.計(jì)算/是否為0.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)〃龍)，在(0,句上是單調(diào)函數(shù)，

所以齊兀,艮琮斗,所以0<?<1,

若o=g1,貝!|/(x)=2sinH+9，又因?yàn)榱藞D=0,即/圖=sin［；x'+9

—0，解得(P=丁'而

2

^―,故A錯(cuò)誤.

2

八F4A①兀/口冗3

=0，不妨令——+。=乃,得/=7C------

22

考,得77"JTTT37r

GX——\-(p=2左〃■+一或力x——\-(p=2左〃■+——

8484

jrjr所生+

當(dāng)QX—\-(p=241+—時(shí),2,不合題意.

843

2k兀227r

當(dāng)口x工+夕=2k/r+—時(shí),co---+---此時(shí)/(x)=2sin-x-\------

84333

/

(222兀、

所以/2sin—x+——=2sin—x+——=2sin9="+3,故B正確.

133J33)122

2TC/\?TC?

因?yàn)椋ァ暌回＃?5，a%+&-￡°q，函數(shù)/(%),在0,不上是單調(diào)遞增，故c錯(cuò)誤.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于較難的題.

8、B

【解析】

利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)z,由此求得忖.

【詳解】

依題意z=2+i—2i—r=3—i，所以目=,3?+(—1)~=y/lQ-

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

9、B

【解析】

試題分析：該幾何體上面是長(zhǎng)方體，下面是四棱柱；長(zhǎng)方體的體積晞=￡-%&=4饋，四棱柱的底面是梯形，體積為

二=,1+624=-.,因此總的體積瘠=：[扇帶畿=囑.

▲△1

考點(diǎn)：三視圖和幾何體的體積.

10、C

【解析】

由圖象可知/[夸]=T，可解得m=~，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)解析式可得/(x)=sin+￡；令〃%)=0,即可

求得

【詳解】

依題意，—|=-1,即2cos至?sinB+相=一1,

13；36

解得加=—g；因?yàn)閥(x)=2cosx.sin[x+W]—%=2cosx]*sinx+gcosx—g

=A^sin%cosx+cos2—sin2x+—cos2x=sin[2%+—^

2226J

jrTT77r

所以2%+上=2左乃+上，當(dāng)左=1時(shí)，%0=—.

626

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式和已知函數(shù)值求自變量，考查三角恒等變換在三角函數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用，難度

一般.

11、B

【解析】

求出4，b2,伉，“，b5,b6,判斷出｛包｝是一個(gè)以周期為6的周期數(shù)列，求出即可.

【詳解】

-21*

解：??=yxlO".b=aY,b=an-\Gan_x(ji&^,n>2),

?i=[-]=2=Z?!,O2=[^-]=28,

4=28—10x2=8,

同理可得：%=285,4=5；%=2857，,=7；%=28571,Z?5=l.a6=285714,Z;6=4；%=2857142,偽=2.....

々+6=2,.

故也｝是一個(gè)以周期為6的周期數(shù)列，

則。2019—4x336+3—4—5.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查周期數(shù)列的判斷和取整函數(shù)的應(yīng)用.

12、A

【解析】

由奇函數(shù)定義求出〃0)和/(一2).

【詳解】

因?yàn)?(x)是定義在[-2,2]上的奇函數(shù)，；./(0)=。.又當(dāng)xe(0,2]時(shí)，

/(%)=2^-1,/(-2)=-/(2)=-(22-1)=-3,.-./(-2)+/(O)=-3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性，掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、二

2

【解析】

作出圖形，設(shè)點(diǎn)E為線(xiàn)段的中點(diǎn)，可得出AE=3(AB+AC)且"=.+后尸，進(jìn)而可計(jì)算出的值.

【詳解】

設(shè)點(diǎn)E為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則EPLBC,二政.8。=0,

H

AE=AB+BE=AB+^BC=AB+^AC-AB^=^AB+AC）,

APBC=^AE+EP^BC=AEBC+EPBC=-^AC+AB^^AC-

=|（AC2-AB2）=1x（22-32）=-|.

故答案為：-）.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及平面向量數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是選擇合適的基底表示向量，考

查計(jì)算能力，屬于中等題.

14、1

【解析】

由(a+2))//(2a+例)求出力,代入(a+4))―(a—耳，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即得.

【詳解】

(a+2Z?)//(2a+/LZ?),二存在實(shí)數(shù)左，使得2a+4Z?=左(a+2Z?).

’2=k

。涉不共線(xiàn)，二｛,.,.2=4.

A=2k

同=2,W=G,a,Z?的夾角為30。，

二.(a+勸).(a=(a+4b)-b)=a+3a>b-4b

=4+3x2x百xcos30°-4x3=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量共線(xiàn)定理和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

15、[2,e3-2]

【解析】

兩函數(shù)圖象上存在關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的等價(jià)命題是方程-%3+x+a=-3加x+x+1在區(qū)間d,e］上有解，化簡(jiǎn)方程

e

aT=%3-3加x在區(qū)間A，e］上有解，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)性質(zhì)得解.

e

【詳解】

解：根據(jù)題意，若函數(shù)/(x)=—Y+x+ad<xVe)與g(x)=31nx—X—1的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，

e

則方程-V+%+〃=-3//u+x+l在區(qū)間［Le］上有解，

e

即方程〃-1=X3-3加在區(qū)間［-，^］上有解，

e

設(shè)函數(shù)g(x)=x3-3lnx，其導(dǎo)數(shù)g*(%)=3x2--=yI),

XX

又由九￡［1,￡］,可得：當(dāng)時(shí)，g'(x)<O,g(x)為減函數(shù)，

ee

當(dāng)1W尤We時(shí)，g'(x)>O,g(x)為增函數(shù)，

故函數(shù)g(x)=d一3/必有最小值g⑴=1,

又由gd)=±+3,g(e)=e3—3；比較可得：g(』)<g(e),

eee

故函數(shù)g(x)=%3-3/nx有最大值g(e)=e，-3,

故函數(shù)g(x)=V-3/.在區(qū)間［1,e］上的值域?yàn)椋踠,e3-3］；

若方程a+1=爐—3配c在區(qū)間［-,e］上有解，

e

必有iWa—lWe3—3,則有2WaWe3—2,

即。的取值范圍是［2^3-2］；

故答案為：［2*3—2］；

【點(diǎn)睛】

本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某區(qū)間上最值求參數(shù)的問(wèn)題，函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的拓展.由于函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)就是方程

/(幻=0的根，在研究方程的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，可以將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決.此類(lèi)問(wèn)題的切入點(diǎn)是借助函數(shù)的零點(diǎn),

結(jié)合函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合思想加以解決.

16、1

【解析】

根據(jù)均值的定義計(jì)算.

【詳解】

,50M+M1,.M,

由題意N=---------=M,..—=1.

51N

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查均值的概念，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(I)與兀?(II)上

【解析】

____________________JT

(1)由題意，f(x)的最大值為4^75,所以工75=2.而m>0,于是m=拒，f(x)=2sin(x+i).由正弦函數(shù)的單調(diào)性可

TTTT37r7T57T

得X滿(mǎn)足2k%+—<x+—<2k;r+—(keZ),即2k%+—<x<2k%+——(keZ).所以f(x)在［0,7t］上的單調(diào)遞減

24244

區(qū)間為［―,乃］

4

⑵設(shè)AABC的外接圓半徑為R,由題意，得2R=，-=」一=26.化簡(jiǎn)0(A--)+f(B-2)=4#sinAsin?,

sin?C丸n6044

得sinA+sinB=2&sinAsinB.由正弦定理，得2R(a+b)=2V^ab,a+b=J^ab.①由余弦定理，Ma2+b2-ab=9,即

(a+b)2-3ab-9=0?

將①式代入②，得2(ab)2-3ab-9=0,解得ab=3或ab=—1■(舍去)，故S^BC=4absinC=38.

2AABC24

18、(0,0)

【解析】

將直線(xiàn)/的極坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)C的參數(shù)方程分別化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立直角坐標(biāo)方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合X的取值范

圍進(jìn)行取舍即可.

【詳解】

因?yàn)橹本€(xiàn)I的極坐標(biāo)方程為e=-{p&R),

所以直線(xiàn)I的普通方程為y=瓜,

x=2coscif

又因?yàn)榍€(xiàn)C的參數(shù)方程為-(。為參數(shù)),

y=11+cos2a

所以曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為y=；/(xe[-2,2]),

產(chǎn)&r%=0

聯(lián)立方程i,，解得八或，

v=-%2y=0y=6

卜2「

因?yàn)椤?WxW2,所以廣一舍去，

y=6

故P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0).

【點(diǎn)睛】

本題考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化;考查運(yùn)算求解能力;熟練掌握極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角坐

標(biāo)方程的互化公式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.

19、(1)X分布列見(jiàn)解析，F(xiàn)分布列見(jiàn)解析；(2)甲設(shè)備，理由見(jiàn)解析

【解析】

(1)X的可能取值為10000,11000,12000,F的可能取值為9000,10000,11000,12000,計(jì)算概率得到分布列;

(2)計(jì)算期望，得到E(X)=E(y)=10800,設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為J,",計(jì)算分布列，計(jì)算

數(shù)學(xué)期望得到答案.

【詳解】

(1)X的可能取值為10000,11000,12000

P(X=10000)=,P(X=11000)=—=-,P(X=12000)=—=—

50105055010

因此X的分布如下

X100001100012000

331

p

105io

y的可能取值為9000,10000,11000,12000

51153153153

P(Y=9ooo)=—=—,p(y=10000)=—=—,p(y=11000)=—=—,p(y=12000)=—=—

5010501050105010

因此F的分布列為如下

Y9000100001100012000

1333

P

101010W

331

(2)E(X)=10000x—+11000x-+12000x—=10800

10510

1333

E(y)=9000X—+10000X—+11000X—+12000x—=10800

10101010

設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為J,7

J的可能取值為2,3,4,5

1

P(^=2)=—=—,P(^=3)=—=-,P(^=4)=—=-,P(^=5)=—=

501050550550

則J的分布列為

J2345

1131

p

io55io

1131

E(a=2x—+3x-+4x-+5x—=3.7

105510

〃的可能取值為3,4,5,6

P(TJ=3)=—=—,P(r/=4)=—=—,P(rj=5)=—=—，P(rj=6)=-=—

5010501050105010

則〃的分布列為

73456

1333

r

10101010

1333

￡(〃)=3x----i-4x——-+5x—+6x—=4.8

10101010

由于E(X)=E(y),E8<ES),因此需購(gòu)買(mǎi)甲設(shè)備

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)學(xué)期望和分布列，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

20、(I)直線(xiàn)4的極坐標(biāo)方程為。=eSeR),直線(xiàn)右的極坐標(biāo)方程為6=1-°SeR),C的直角坐標(biāo)方程為/=尤;

(II)2.

【解析】

(I)由定義可直接寫(xiě)出直線(xiàn)4，4的極坐標(biāo)方程，對(duì)曲線(xiàn)C同乘夕可得：P2Sil?。=夕cose,轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)為

y2=Xi

71

9=(P，gcos°.Z)/口sin(p

(II)分別聯(lián)立兩直線(xiàn)和曲線(xiàn)C的方程，由?2八八得0=—由《得

夕sme=cos。，sm(p

psin2^=cos3,

12

則巾w,結(jié)合三角函數(shù)即可求解;

IM.....—...........sin(pcos(p卜in"cosd卜in2d

【詳解】

(I)直線(xiàn)4的極坐標(biāo)方程為e=eSeR),

TT

直線(xiàn)/2的極坐標(biāo)方程為e=5-e(夕eR)

由曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程得p2sin28=夕cose,

所以C的直角坐標(biāo)方程為y2=x.

9=(p,COS67

(ID《與C的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得?2八八所以夕A=一

夕sin6=cos仇sincp

兀

0—-----(p>sin。

《與C的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得2"所以4

cos2cp

psin28=cosa

|cos(p\|sin(p\

所以口加?；匾月刔2

=1~~22

sin(pcos(psincos|sin2d.

所以當(dāng)9=?+?(左eZ)時(shí)，|。4卜|。目取最小值2.

【點(diǎn)睛】

本題考查參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，極坐標(biāo)中夕的幾何意義，屬于中檔題

[JIJI\\JI

21、(1)增區(qū)間為],萬(wàn)，減區(qū)間為0,-；(2)--1,+co

【解析】

(1)將。=0代入函數(shù)y=/(力的解析式，利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)丁=/(力的單調(diào)區(qū)間;

(2)求函數(shù)y=/(￡)的導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論。的范圍，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性，求出函數(shù)y=/(x)的最

值可判斷〃x)上。是否恒成立，可得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

sinx

(1)當(dāng)〃=0時(shí)，f(x)=tanx-2x=-2x[0<x<^-j,

cosx

cos*2*x+sin2xc1cl-2cos2xcos2x

則/'("=22-22—2

COSXCOSXCOSXcos2X

當(dāng)0<x<?時(shí)，cos2K>0,貝！l/'(x)<0,此時(shí)，函數(shù)y=/(x)為減函數(shù)；

當(dāng):<x<1時(shí)，cos2x<0,貝!]/'(尤)>0,此時(shí)，函數(shù)y=/(九)為增函數(shù).

所以，函數(shù)y=/(x)的增區(qū)間為匕,萬(wàn)卜減區(qū)間為0,-；

(2)/(x)=tanx+asin2x-2x[0<x<,貝!]/(0)=0,

f'(x)=——I-2acos2x-2=——\-2a(2cos2%-1)-2

、Jcos2%cos2x、7

4acos4*X-(2?+2)COS2X+1(2COS2x-l)(2acos2X-1)

—2—2

COSXCOSX

①當(dāng)2aWl時(shí)，即當(dāng)時(shí)，2acos2%—140，

2

由r(x"0,得？<x<(此時(shí)，函數(shù)y=/(x)為增函數(shù);

由/'(￡)W0,得0<尤<(,此時(shí)，函數(shù)y=/(x)為減函數(shù).

則/(耳.=/[?]</(0)=0,不合乎題意；

②當(dāng)2?！?時(shí)，即a〉工時(shí)，

2