2024年黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷（含解析）

2024年黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列各數(shù)中，是有理數(shù)的是（）

A.7TB.1.2C.72D.V3

2.下列計算正確的是（）

A.<9=±3B.（-1）°=0C.-a8a4=-a4D.72+AA3=<5

3.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

4.自然界中的數(shù)學(xué)不勝枚舉，如蜜蜂建造的蜂房既堅固又省料，其厚度為0.000073米，將0.000073用科學(xué)

記數(shù)法表示為（）

A.73X10-6B.0.73X10-4C.7.3X10-4D.7.3x10-5

5.如圖所示的圓錐的主視圖是（）A

6.不等式組后二的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

-1

7.如圖，已知48=AC,AB=8,BC=3,以/、8兩點為圓心，大于卷AB的長

為半徑畫圓弧，兩弧相交于點M、N,連接MN與AC相交于點。，則△80C的周長

為（）

A.8

B.10

C.11

D.13

8.小菁同學(xué)在數(shù)學(xué)實踐活動課中測量路燈的高度.如圖，已知她的目高48為1.5米，她先站在A處看路燈頂

端。的仰角為35。，再往前走3米站在C處，看路燈頂端。的仰角為65。，則路燈頂端。到地面的距離約為（已

知s譏35°x0,6,cos35°?0.8,tan35°?0.7,sin65°?0.9,cos65°?0.4,tan65°?2.1）（）

B,擊D

AC

A.3.2米B.3.9米C,4.7米D.5.4米

9.若點（一1/1）,（2,%），（3,%）在反比例函數(shù)丫=￡（卜<。）的圖象上，貝月，內(nèi)的大小關(guān)系是

()

A.yi>y>y

23B.y3>y2>yic.y1>y3>y2D.y2>y3>yi

10.如圖①，在矩形力BCD中，AB<AD,對角線AC,BD相交于點。，動點P由點4出發(fā)，沿4B->BC-

CD向點。運動.設(shè)點P的運動路程為x,AAOP的面積為y,y與久的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②所示，則4。邊的

長為（）

①②

A.3B.4C.5D.6

二、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分。

11.函數(shù)y=】久一2中,自變量x的取值范圍是.

12.因式分解：4ax2-4ax+a=.

13.如圖，在△ABC中，D,E分別是AB,4C邊上的點，DE//BC,若

AD=2,=3,DE=4,貝l|2C等于.

14.如圖，若被擊打的小球飛行高度九（單位：zn）與飛行時間K單位：s）之間具有的關(guān)系為h=20t-5t2,

則小球從飛出到落地所用的時間為s.

15.矩形的周長等于40,則此矩形面積的最大值是

16.定義：a*b=今若2*(x+3)=1*(2久)，貝!］久=

17.如圖，半圓的直徑力B=6,點C在半圓上，ABAC=30。，則陰影部分的面積為（結(jié)果保留兀）.

18.如圖，在△ABC中，AABC=45°,AB=3,4。1BC于點D,BE1AC于點

E,AE=1.連接OE,將△力ED沿直線2E翻折至△ABC所在的平面內(nèi)，得公

AEF,連接。尺過點。作DGIDE交BE于點G.則四邊形DFEG的周長為.

19.點4B,C在圓上，若弦4B的長度等于圓半徑的2倍，貝IU4CB的度數(shù)是.

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形。2/停1，A1A2B2C2,424383c3,…都是菱形,點A2,A3,

…都在x軸上，點Q,C2,C3,…都在直線y=?x+苧上，MzQOXi=zC24tX2=^C3A2A3=-?-=

60°,。&=1,則點。6的坐標(biāo)是.

三、計算題：本大題共1小題，共7分。

21.如圖，在13x6的正方形網(wǎng)格中(每個小正方形的邊長均為1)有線段4B,點4B均在正方形的頂點上.

(1)將線段42繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段8C,連接4C,畫出△ABC；

⑵以4B為對角線作平行四邊形4BCD,畫出平行四WADBC；

(3)直接寫出平行四邊形2D8C的周長.

四、解答題：本題共6小題，共53分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

22.(本小題7分)

先化簡，再求代數(shù)式(占一士)一2紇的值，其中a=3tcm30。-4cos60。.

(X-乙CvI乙CcICc-IT,

23.(本小題8分)

某校有20名同學(xué)參加市舉辦的“文明環(huán)保，從我做起”征文比賽，成績分別記為60分、70分、80分、90

分、100分，為方便獎勵，現(xiàn)統(tǒng)計出80分、90分、100分的人數(shù)，制成如圖不完整的扇形統(tǒng)計圖，設(shè)70分

所對扇形圓心角為a.

(1)若從這20份征文中，隨機抽取一份，則抽到試卷的分?jǐn)?shù)為低于80分的概率是；

(2)當(dāng)a=180。時，求成績是60分的人數(shù)；

(3)設(shè)80分為唯一眾數(shù)，求這20名同學(xué)的平均成績的最大值.

24.(本小題8分)

如圖，在△力BC中，AB=AC,NB4C=120。，點D在BC邊上，。D經(jīng)過點力和點B且與BC邊相交于點E.

(1)求證：AC是的切線；

(2)若CE=2，W,求。。的半徑.

25.(本小題10分)

某校為了開展“陽光體育運動”，計劃購買籃球、足球共60個，已知每個籃球的價格為70元，每個足球的

價格為80元.

(1)若購買這兩類球的總金額為4600元，求籃球，足球各買了多少個？

(2)若購買籃球的總金額不超過購買足球的總金額，求最多可購買多少個籃球？

26.(本小題10分)

如圖：已知RtAABC,^ACB=90°,點。是4B的中點，過4、C兩點向經(jīng)過點。的直線作垂線垂足分別為

E、F.

(1)當(dāng)N4BC=45。時(如圖1),求證：EF=AE+CF；

(2)當(dāng)乙48c=30。時(如圖2),探究線段EF、AE.CF.之間數(shù)量關(guān)系為；

⑶在(2)的條件下，AE=9,S四邊形AEFC=24煦，連接BF并延長與"的延長線相交于點M,求線段FM的

長.

27.(本小題10分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系久Oy中，拋物線y=a/-5ax+c交x軸于4、B兩點，交y軸于點C,直線y=

6久+2經(jīng)過8、C兩點，又知48=3.

備用圖

(1)求拋物線的解析式；

(2)點。在線段BC的延長線上，點E在線段8c上，CD=BE,點/在直線8c下方的拋物線上，乙DFE=

90°,DE=AEF求點尸的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，點P在射線。C上，點S在線段4B上，其坐標(biāo)為(3,0),過點S作SQ〃BP,交y軸于點Q,

直線FQ、BP交于點R,當(dāng)PC=2PQ時，求R點的坐標(biāo)，并判斷此時點R是否在(1)中的拋物線上.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：四個選項中只有1.2是有理數(shù).

故選：B.

直接利用有理數(shù)的定義分析得出答案.

此題主要考查了實數(shù)，正確把握有理數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

2.【答案】C

【解析】解：力、眄=3,原計算錯誤，不符合題意；

B、(-1)0=1,原計算錯誤，不符合題意；

C、-a8-r-a4=—a4,正確，符合題意；

。、與門不是同類二次根式，不符合題意.

故選：C.

根據(jù)二次根式的加減法則，同底數(shù)易的除法法則，零指數(shù)暴的運算法則對各選項進行計算即可.

本題考查的是二次根式的加減法則，同底數(shù)幕的除法法則，零指數(shù)哥的運算法則，熟知以上知識是解題的

關(guān)鍵.

3.【答案】B

【解析】解：4該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

員該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

C.該圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

D該圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意.

故選：B.

根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重

合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后

的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判

斷即可.

本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的

定義.

4.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為aX10-n,其中1<|a|<10,n為由原數(shù)左邊起第一個

不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為axlOf,與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是

其所使用的是負(fù)指數(shù)暴，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

【解答】

解：0.000073用科學(xué)記數(shù)法表示為7.3X10-5,

故選：D.

5.【答案】A

【解析】解：圓錐的主視圖是等腰三角形，如圖所示：

故選：A.

主視圖是從正面看所得到的圖形即可，可根據(jù)圓錐的特點作答.

本題考查了三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖，主視圖是從物體的正面看得到的視圖.

6.【答案】C

【解析】解：解不等式x-1>0得x>1,

解不等式5-2%>1得久<2,

則不等式組的解集為1〈久W2,

故選：C.

分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到，確

定不等式組的解集.

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大

小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

7.【答案】C

【解析】解：由作法得MN垂直平分48,

DA=DB,

的周長=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=83=11.

故選：c.

利用基本作圖得到MN垂直平分4B,利用線段垂直平分線的定義得到ZM=DB,然后利用等線段代換得到

△BDC的周長=AC+BC.

本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知

線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）.也考查了線段垂直平分線的性質(zhì).

8.【答案】C

【解析】【分析】

過點。作。E14C于點E,延長BD交。E于點F,設(shè)DF=x，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義表示。F的長度，然后

列出方程求出x的值即可求出答案.

本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用銳角三角函數(shù)的定義.

【詳解】

解：過點。作。E14C于點E,延長BD交0E于點F,

0

八

.3：；

【II

ACE

設(shè)。尸=%,

OF

tan65°=—,

DF

.?.OF=xtan65°f

.?.BF=3+%,

??,tan3C5L°C=—OF,

BF

OF=（3+x）tan35°,

2.lx=0.7（3+x）,

x—1.5,

OF=1.5X2.1=3.15（米），

OE=3.15+1.5=4.65~4.7（米），

故選C.

9.【答案】C

【解析】解：：fc<0,

???在同一象限內(nèi)，y隨久值的增大而增大，

二當(dāng)％=-1時，%>0,

■-12<3,

-?-y2<73<o,

y2<y3<yi,

故選c

k<0時，在同一象限內(nèi)，y隨X值的增大而增大，即可解.

本題考查反比函數(shù)圖象及性質(zhì)，以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

10.【答案】B

【解析】解：當(dāng)P點在48上運動時，AAOP面積逐漸增大，

當(dāng)P點到達B點時，AAOP面積最大為3.

11

=3,即4B-BC=12.

當(dāng)P點在BC上運動時，A40P面積逐漸減小，

當(dāng)P點到達C點時，AZOP面積為0,此時結(jié)合圖象可知P點運動路徑長為7,

AB+BC=7.

貝l]BC=7—4B,代入48-BC=12,

得AB?-7AB+12=0,解得4B=4或3,

因為BPXB<BC,

所以ZB=3,BC=4.

故選：B.

當(dāng)P點在力B上運動時，AAOP面積逐漸增大，當(dāng)P點到達B點時，結(jié)合圖象可得△力0P面積最大為3,得到

4B與BC的積為12；當(dāng)P點在BC上運動時，A40P面積逐漸減小，當(dāng)P點到達C點時，AAOP面積為0,此時

結(jié)合圖象可知P點運動路徑長為7,得到力B與BC的和為7,構(gòu)造關(guān)于的一元二方程可求解.

本題主要考查動點問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是分析三角形面積隨動點運動的變化過程，找到分界點極

值，結(jié)合圖象得到相關(guān)線段的具體數(shù)值.

1L【答案】%>2

【解析】解：已知y=7x—2,

則x—220,

解得：X>2,

故答案為：%>2.

根據(jù)二次根式有意義的條件計算即可.

本題考查二次根式有意義的條件，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握.

12.【答案】a(2x-I)2

【解析】解：原式=a(4%2-4x+1)=a(2x-I)2,

故答案為：a(2x—1產(chǎn)

原式提取a,再利用完全平方公式分解即可.

此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.

13.【答案】6

---DE//BC,

ADE^LABC,

_DE__AD_

'BC~AB,

???AD=2,AB=3,DE=4,

DE-AB4x3,

???BC=k=「6,

故答案為：6.

由DE〃BC,根據(jù)“平行于三角形一邊的直線交其它兩邊或兩邊的延長線所得的三角形與原三角形相似”

證明AADEs△力BC,則熬=空，其中4D=2,AB=3,DE=4,求出BC的值即可.

DC.AD

此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)“平行于三角形一邊的直線交其它兩邊或兩邊的延長線所得的三

角形與原三角形相似”證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】4

【解析】【分析】

本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用有關(guān)知識，根據(jù)關(guān)系式，令h=0即可求得t的值為飛行的時間.

【解答】

解：依題意，令拉=0得：

0=20t-5t2,

得t(20-5t)=0,

解得t=0(舍去)或t=4,

即小球從飛出到落地所用的時間為4s.

故答案為4.

15.【答案】100

【解析】【分析】

設(shè)矩形的寬為X，則長為(20-刀)，S=x(20—%)=—/+20乂=一(萬一10)2+100,當(dāng)久=10時，S最大

值為100.

本題考查了二次函數(shù)的最值，熟練運用配方法是解題的關(guān)鍵.

【解答】

解：設(shè)矩形的寬為x,則長為(20-x),

S=x(20—x)=—x2+20%=—(%—10)2+100,

當(dāng)x=10時,S最大值為100.

故答案為100.

16.【答案】1

【解析】解：由題意得：

%+32x

去分母得：4%=%+3,

解得：X=1,

檢驗：當(dāng)久=1時，2x(%+3)W0,

故該分式方程的解為久=1,

故答案為：1.

根據(jù)題意列得分式方程，解方程并檢驗即可.

本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵.

17.【答案】37r-173

【解析】解：連接OC、BC,作CD14B于點0,

???直徑=6,點C在半圓上，2LBAC=30°,

???(ACB=90°,乙COB=60°,

AC=3V^?

???Z.CDA=90°,

3<3

???CD=—

7o.,3y/~37,—

陰影部分的面積是：/!一上N_60”32位,

223604

故答案為：3?！?

4

根據(jù)題意，作出合適的輔助線，即可求得CD和NC08的度數(shù)，即可得到陰影部分的面積是半圓的面積減去

A40C和扇形B0C的面積.

本題考查扇形面積的計算、圓周角定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

18.【答案】3/1+2

【解析】解：ZBC=45。,-D1BC于點D,

ABAD=90°-4ABC=45°,

是等腰直角三角形，

AD=BD,

BE1AC,

Z.GBD+4。=90°,

???Z.EAD+zf=90°,

Z.GBD=Z-EAD,

???^ADB=乙EDG=90°,

Z-ADB-Z-ADG=Z-EDG—Z-ADG9

即48DG=/LADE,

??.△BOG之△49E(4SZ),

.?.BG=AE=1,DG=DE,

???Z.EDG=90°,

??.△EDG為等腰直角三角形，

???^AED=乙AEB+乙DEG=90°+45°=135°,

???△ZED沿直線ZE翻折得△AEF,

AED=LAEF,

???乙AED=AAEF=135°,ED=EF,

???乙DEF=360°-^AED-^AEF=90°,

??.△DEF為等腰直角三角形，

EF=DE=DG,

在RtAAEB中，

BE=<AB2-AE2=,32—12=2/2,

GE=BE-BG=2^-1,

在RtZkDGE中，

DG=^GE=2-苧，

EF=DE=2-4,

在Rt△DEF中，

DF=yT2,DE=272-1，

???四邊形DFEG的周長為：

GD+EF+GE+DF

y[2「

—2(2—)+2(2\^2—1)

=32+2,

故答案為：3涯+2.

先證△BDGgAADE,得出4E=BG=1,再證ADGE與AEDF是等腰直角三角形，在直角AAEB中利用

勾股定理求出BE的長，進一步求出GE的長，可通過解直角三角形分別求出GD,DE,EF,。尸的長，即可

求出四邊形。FEG的周長.

本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等，解題關(guān)

鍵是能夠靈活運用等腰直角三角形的判定與性質(zhì).

19.【答案】45。或135。

【解析】解：如圖，

???弦2B的長度等于圓半徑的調(diào)倍,

即4B=<204=y[20B,

：.0A2+OB2=AB2,

：.4AOB=90°,

當(dāng)點C在優(yōu)弧Q上時，AACB=^AOB=45°,

點C在劣弧觸上時，乙AC'B+乙4cB=180°,

.-?乙AC'B=180°-45°=135°,

.-.AACB=45°或135°,

故答案為：45?；?35。.

根據(jù)題意畫出圖形，先判斷出乙4OB=90。，再分兩種情況用同弧所對的圓心角和圓周角的關(guān)系確定和圓

的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可.

本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的

一半.

20.【答案】(47,16/3)

【解析】【分析】

本題是對點的坐標(biāo)變化規(guī)律的考查，主要利用了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)已知點的變化規(guī)律求出

菱形的邊長，得出系列C點的坐標(biāo)，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.根據(jù)菱形的邊長求得&、々、&…的坐標(biāo)然后

分別表示出G、&、。3…的坐標(biāo)找出規(guī)律進而求得的坐標(biāo).

【解答】

解：。4]=1,

。。1=1,

???Z.C1OA1=Z.C2i41242—Z-C3A2A3=…=60°,

Cl的縱坐標(biāo)為：sin60°-。6=年，橫坐標(biāo)為COS60。?OC1=

60,爭，

???四邊形。4/iG，214282c2,44383c3,…都是菱形,

ArC2=2,i42C3=4,243c4=8,…，

?

.?。2的縱坐標(biāo)為：5in60°-ArC2=代入y=?%+苧求得橫坐標(biāo)為2,

???。2(2,V3),

。3的縱坐標(biāo)為：s譏60。-42。3=2C，代入y=苧久+苧求得橫坐標(biāo)為5,

.-?C3(5,273),

依次可得：C4(l1,4^3),C5(23,873),C6(47,16/3)；

故答案為(47,16展).

21.【答案】解：(1)如圖,△力BC為所作;

(2)如圖，平行四邊形4DBC為所作；

(3)i4D-V32+42-5,BD-VI2+72=5\/~2>

所以平行四邊形4DBC的周長=2(5+5，2)=10+

【解析】(1)利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點4的對應(yīng)點。即可得到△MC；

(2)把力B繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到4D,則四邊形ADBC滿足條件；

(3)先利用勾股定理計算出2D和BD,然后計算四邊形4DBC的周長.

本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此

可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形.熟

練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解決(2)小題的關(guān)鍵.

a+2—(a—2)(a—2)2

22.【答案】解:原式二

(a+2)(a—2)2(a—2)

_4(a-2)2

(a+2)(a—2)2(a—2)

2

a+2f

當(dāng)a=3ttm30°-4cos60°=3X-4x1=<3-2,

原式=6^2+22/3

—

【解析】先把括號內(nèi)通分和除法運算化為乘法運算，再約分得到原式=也接著根據(jù)特殊角的三角函數(shù)

值得到a=d然后把a的值代入計算即可.

本題考查了分式的化簡求值：先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值.也考查了

特殊角的三角函數(shù)值.

23.【答案】|

【解析】解：(1)低于80分的征文數(shù)量為20x(1-30%-20%-10%)=8,

則抽到試卷的分?jǐn)?shù)為低于80分的概率是4=|,

故答案為：

(2)當(dāng)a=180。時，成績是70分的人數(shù)為10人，

則成績是60分的人數(shù)20-10-20X(10%+20%+30%)=2(人)；

(3)???80分的人數(shù)為：20x30%=6(人)，且80分為成績的唯一眾數(shù)，

所以當(dāng)70分的人數(shù)為5人時，這個班的平均數(shù)最大，

最大值為：(20x10%x100+20x20%X90+20X30%X80+5x70+3X60)+20=78.5(分).

(1)求出低于80分的征文數(shù)量，再根據(jù)概率公式計算可得；

(2)當(dāng)a=180。時，成績是70分的人數(shù)為10人，據(jù)此求解可得；

(3)根據(jù)題意得出各組人數(shù)進而求出平均數(shù).

此題主要考查了概率公式以及扇形統(tǒng)計圖的應(yīng)用，正確獲取信息得出各組人數(shù)是解題關(guān)鍵.

Z.B=Z.C=30°,

vAD=BD,

Z-BAD=Z-B=30°,

???乙ADC=60°,

???乙DAC=180°-乙ADC-Z.C=180°-60°-30°=90°,即4。1AC,

???AD是。。的半徑，

??.AC是O。的切線；

(2)解：連接2E,

???AD=DE,UDE=60°,

???△4DE是等邊三角形，

AEDE,/-AED=60°,

??.Z,EAC=乙AED-"=30。，

???Z.EAC=Z-C,

AE=CE2<3>

AD=AE=2<3,

故O。的半徑為2，^.

【解析】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解

題的關(guān)鍵.

(1)連接4D,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NB=NC=30。，NB4D=AB=30。，求得N71DC=60。，根據(jù)三

角形的內(nèi)角和得到乙D4C=180。—乙4DC—NC=180°-60°-30°=90°,于是得到力C是。。的切線；

(2)連接4E,推出△4DE是等邊三角形，得到4E=DE,乙AED=60°,求得NE4C=乙4ED-乙C=30°,

得到力E=CE=2/3,于是得到結(jié)論.

25.【答案】解：(1)設(shè)購買籃球x個，購買足球y個，

,

依題意得：［70x+80y=4600

解得｛江北

答：購買籃球20個，購買足球40個；

(2)設(shè)購買了a個籃球，

依題意得：70a<80(60-a)

解得a<32.

答：最多可購買32個籃球.

【解析】此題考查了一元一次不等式的應(yīng)用和二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量間的關(guān)系，正確列出一

元一次不等式是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)購買籃球x個，購買足球y個，根據(jù)題意，列出方程組，求解即可；

(2)設(shè)購買了a個籃球，則購買(60-a)個足球，根據(jù)購買籃球的總金額不超過購買足球的總金額，列不等

式求出a的最大整數(shù)解即可.

26.【答案】AE+CF=0EF

【解析】（1）證明：連接。C,

???點。是中點，AC=BC9

???CO1AB,乙CAB=Z.CBA,^ACO=乙BCO,

???^ACB=90°,

??.Z.OAB+Z-OBA=90°,

Z.CAB=乙CBA=45°,^ACO=乙BCO=45°,

Z.CAB=Z.ACO,

AO=CO,

???CO1AB,

???乙4OC=90°,

???/,AOE+Z.COF=90°,

vAELEF,CF1EF,

???^AEO=乙CFO=90°,

???乙4OE+Z.EAO=90°,

Z.COF=Z.EAO,

COF^AAOE,

??.CF=OEOF=AE,

EF=EO+FO,

??.EF=AE+CF；

(2)解：過4、8兩點作直線CF的垂線，垂足分別為M、N,延長4E交8N于點D,過4、C兩點向經(jīng)過點。的

直線作垂線，垂足分別為E、F,

???四邊形2EFM、EFDN、4MND都是矩形，OE"BD,

，——AE=——AO=1-,

EDOB

.?.AE=ED=MF=FN,

設(shè)EF=AM=DN=x,CF=y,

RM=4N=^ACB=90°,

???^MCA=90°-Z.NCB=乙NBC,

MCA^LNBC,

tAM_AC

,?而一麗’

???/.ABC=30°,

BC=dAC,

AM_1

,?麗=7T

???CN=V_3x,

???AE=ED=MF=FN=V_3x—y,

AE+CF=V_3x—y+y=V_3x=V3FF,

故答案為：AE+CF=/3FF;

(3)解：過點F作尸N1A8垂足為N,過點C作垂足為H,延長4￡交8時于點Q,過點Q作QP1ZB垂

足為P，

由(2)知CEF=4E+CF,AE=9,

設(shè)CF長為久，F(xiàn)F=(^±|X3,

VSm^AEFC=246,

...如+9)a+濘=24門，

解得乂=一21(舍)，久=3,

F=CH=4<3>AH=6,

在RtAACH中，AC2=AH2+CH2,

???AC=2/21,AB=2AC=4/21-AO=BO=2y/lA，

在中，AO2=AE2+EO2,

EO=73,FO=5<3,

???/,EAO=90°-AAOE=乙NFO,

,SAEDSAFNO,

AO_EO_AE

~FO~~NO~~FN

_73_9

5V3~~NO~~FN

4547

PQ_5V3

???tanZ-EAO=—=—?tanZ-MBA=—=?tanZ-MBA=

AE9BN11PB11

設(shè)PQ=5<3x,BP=11%,AP=45%,

AB=APPB,

45%+11%=4/^1,

解得A*

15/7

??.PQ=

11AA21

BP=

在RtABPQ中，BQ2=BP2+PQ2,

ABQ=AA21.

???PQIFN,

BPQs〉BFN,

,BQ_PQ

??BF~FN'

,—15/7

.烏=Tn

??BF45。，

BF=3<21,

FQ=BF-BQ=3AA21-T=2，H，

在RtAAPQ中，sinNQ4P=桀，

在RMAE。中，sin“4P=案，

.堡=生整=W,/IQ=15,

"AQAOAQ2721

??,CF//AQ,

??.△MCFs^MAQ,

tCF_MF3_MF

''AQ~MQ15―MF+2/21,

/<21

???MF=—?

(1)連接。C,證明△COF之△ZOE,推出CF=OE,OF=AE,即可證明EF=AE+CF；

(2)過/、B兩點作直線CF的垂線，垂足分別為M、N,延長/E交BN于點D,設(shè)￡1尸=AM=DN=%,CF=

y,證明△MCAs^NBC,得到CN=/Ix，AE=ED=MF=FN=0x—y,據(jù)此計算即可求解；

⑶過點F作FN14B垂足為N,過點C作CH1AE垂足為H,延長力E交BM于點Q,過點Q作QP14B垂足為

P,設(shè)CF長為x,EF=纖2噸求得FF=CH=4，^,AH=6,證明△FN。和△BPQs^BFN

以及△MCFSAMAQ,結(jié)合多銳角三角函數(shù)的關(guān)系，經(jīng)過計算即可求解.

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的

判定和性質(zhì).正確引出輔助線解決問題以及學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程是解題的關(guān)鍵.

27.【答案】解：⑴拋物線的對稱軸為直線久=一^=?AB=3f

???4(1,0),8(4,0),

??,y=bx+2過點8、C,

b=C(0,2),

???拋物線經(jīng)過點4C,

fc=2,

la—5a+c=0

r=2

{a=T'

???拋物線的解析式為y=jx2-|x+2；

(2)過尸作FG//y軸交BC于點G,貝UNFGE=乙OCB,

CD+CE=BE+CE,即DE=BC

???8(4,0),C(0,2),

???OC-2,OB=4,

???在Rt△BOC中，BC=V22+42=2A