湖南省長沙市湖南師大附中2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

湖南師大附中2023～2024學(xué)年度高一第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘滿分：150分得分：__________一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分﹐共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的．）1.的值為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)求解.【詳解】，故選：B2.已知全集為U，集合M，N滿足，則下列運(yùn)算結(jié)果為U的是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合交并補(bǔ)的運(yùn)算即可判斷選項(xiàng)【詳解】如圖，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，故D正確.故選：D3.下列命題為真命題的是（）．A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合作差法逐一判斷每一選項(xiàng)即可，特別的對于C，令即可判斷.【詳解】對于AC，若，則，故AC錯(cuò)誤；對于B，令，則，故B錯(cuò)誤；對于D，若，則，即，故D正確.故選：D.4.下列命題正確的是（）．A.小于的角是銳角 B.第二象限的角一定大于第一象限的角C.與終邊相同的最小正角是 D.若，則是第四象限角【答案】C【解析】【分析】根據(jù)銳角定義判斷A，取特殊角判斷B，根據(jù)終邊相同的角判斷C，確定所在象限判斷D.【詳解】，但是由銳角的定義知不是銳角，故A錯(cuò)誤；是第二象限的角，是第一象限的角，但，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以與終邊相同的最小正角是，故C正確；且，所以是第三象限角，故D錯(cuò)誤.故選：C5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析函數(shù)的奇偶性，并結(jié)合函數(shù)的解析式知：當(dāng)時(shí)，即可確定大概函數(shù)圖象.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，其定義域?yàn)椋?，則為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除C?D，當(dāng)時(shí)，，，必有，排除B，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分析函數(shù)的奇偶性與函數(shù)值符號，應(yīng)用間接法確定函數(shù)圖象.6.在R上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且，若在區(qū)間上是減函數(shù)，則（）．A.在區(qū)間上是增函數(shù)﹐在區(qū)間上是增函數(shù)B.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)C.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)D.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)關(guān)于軸和軸對稱，利用已知區(qū)間的單調(diào)性求解.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于成軸對稱，所以區(qū)間與區(qū)間，區(qū)間與關(guān)于對稱，由函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，可知函數(shù)在上是增函數(shù)，又函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，故選：B7.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將不等式變?yōu)?，根?jù)的單調(diào)性知，以此去判斷各個(gè)選項(xiàng)中真數(shù)與的大小關(guān)系，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由得：，令，為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，，，，，則A正確，B錯(cuò)誤；與的大小不確定，故CD無法確定.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)式的大小的判斷問題，解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.8.設(shè)方程，的根分別為，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由方程得，得：，分別畫出左右兩邊函數(shù)的圖象，即可得出結(jié)論.【詳解】解：由方程得，得：，分別畫出左右兩邊函數(shù)的圖象，如圖所示.由指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象知：，于是有，得，所以，故選：B.二、選擇題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.下列選項(xiàng)中，下列說法正確的是（）．A.“”是“”的充分不必要條件B.“”是“”必要不充分條件C.“，”的否定是“，”D.與是同一函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)及反例可判斷A，由正弦函數(shù)性質(zhì)及反例判斷B，由全稱命題否定C，由函數(shù)的定義域判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，由不等式性質(zhì)可知成立，而當(dāng)時(shí)，不一定成立，如，故“”是“”的充分不必要條件，故A正確；因?yàn)闀r(shí)，成立，而時(shí)，不一定成立，如，故“”是“”的充分不必要條件，故B錯(cuò)誤；由全稱命題的否定知，“，”的否定是“，”，故C正確；因?yàn)?，定義域?yàn)椋x域?yàn)?，故函?shù)不是同一函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.下列不等式恒成立的是（）．A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)均值不等式判斷AB，根據(jù)特例可判斷CD.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故B正確；當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；因?yàn)闀r(shí)，，所以不成立，故D錯(cuò)誤.故選：AB11.已知函數(shù)．下列結(jié)論是假命題的是（）．A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱【答案】BCD【解析】【分析】首先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式，二倍角公式和輔助角公式對函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡，然后利用函數(shù)的周期判斷A，利用單調(diào)性判斷B，根據(jù)對稱中心、對稱軸判斷CD.【詳解】，因?yàn)?，函?shù)的最小正周期是，選項(xiàng)A正確；由，得，所以區(qū)間不是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由，得，所以點(diǎn)不是函數(shù)的對稱中心，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)取函數(shù)圖象上點(diǎn)時(shí)，關(guān)于對稱點(diǎn)，但由于函數(shù)定義域?yàn)?，故不在函?shù)圖象上，所以不是函數(shù)的對稱軸，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BCD.12.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)條件求得表達(dá)式，根據(jù)對數(shù)性質(zhì)結(jié)合放縮法得A正確，根據(jù)不等式性質(zhì)得B正確，通過作差法判斷C錯(cuò)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性與放縮法可得D正確．【詳解】解：∵，，∴，，因?yàn)?，又由，所以，選項(xiàng)A正確；，，則，，所以，選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，，則，，此時(shí)，所以，故選項(xiàng)C不正確；由和知與均遞減，再由，的大小關(guān)系知，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)值大小比較，關(guān)鍵運(yùn)用了指對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，作差法和放縮法．三、填空題（本大題共4個(gè)小題﹐每小題5分﹐共20分．）13.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的6倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若為奇函數(shù)，則m的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圖象平移與伸縮變換得出函數(shù)解析式，再由奇函數(shù)及誘導(dǎo)公式求解.【詳解】由題意可得，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，，所以時(shí)，正數(shù)有最小值.故答案為：14.若函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，請寫出一個(gè)滿足條件的區(qū)間D為__________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，將指數(shù)取為，分別判斷外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性，再由“同增異減”的方法即得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再取其任意子集即得.【詳解】對于函數(shù)，不妨設(shè)，則在上遞減，而的對稱軸為直線，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù).根據(jù)復(fù)合函數(shù)的“同增異減原則”可得：函數(shù)在上遞增，在上遞減.故依題意可知，區(qū)間可取區(qū)間任何子集，如.故答案為：.（答案不唯一）15.已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，依題可得，，結(jié)合的解可得，，從而得到的值，再根據(jù)以及，即可得，進(jìn)而求得．詳解】設(shè)，由可得，由可知，或，，由圖可知，，即，．因?yàn)?，所以，即，．所以，所以或，又因?yàn)?，所以，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出以及函數(shù)的表達(dá)式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．16.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，則在上的整數(shù)值零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為__________．【答案】674【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)當(dāng)時(shí)的周期，及，即可求出整數(shù)值零點(diǎn).【詳解】當(dāng)時(shí)，由可得，，所以，所以，即時(shí)，周期為.當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，由于，則，，所以，所以，由于，故在上的整數(shù)值零點(diǎn)個(gè)數(shù)為674.故答案為：674四、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.設(shè)全集，集合，．（1）求；（2）已知集合，若，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡集合，根據(jù)集合的交集運(yùn)算得解；（2）討論，由建立不等式求解即可.【小問1詳解】，，所以.【小問2詳解】由（1）知，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，則或，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求角的大?。敬鸢浮浚?）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)同角平方關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)和角余弦公式求解，再根據(jù)倍角余弦公式即可求解；（3）先根據(jù)差角正弦公式求解，再結(jié)合角的范圍即可求解.【小問1詳解】因?yàn)椋?又，所以，所以.而，所以，所以.【小問2詳解】由且，得，所以.又，所以.【小問3詳解】由（2）知，所以，所以.又，所以，所以.19.已知關(guān)于的不等式．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若不等式僅有一個(gè)解，求的最小值．【答案】（1）（2）9【解析】【分析】（1）把代入，解不等式即可；（2）根據(jù)條件可得，可得，，再利用基本不等式1的妙用求解即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，不等式可化為，即，，解得，故不等式的解集為.【小問2詳解】若不等式僅有一個(gè)解，則，即，由，兩邊除以得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故的最小值為9.20.已知函數(shù)（且）的圖象過點(diǎn)．（1）求a的值及的定義域；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若，比較與的大小．【答案】（1），（2）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（3）【解析】【分析】（1）由求得，由對數(shù)函數(shù)的定義得定義域；（2）根據(jù)二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的“同增異減”求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）指數(shù)式改寫為對數(shù)式，然后比較的大小，并由已知得出的范圍，在此范圍內(nèi)由的單調(diào)性得大小關(guān)系．【小問1詳解】因?yàn)樵诤瘮?shù)的圖象上，所以，即，解得.由，解得，所以的定義域?yàn)?【小問2詳解】由，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，又單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.【小問3詳解】，，，，，，所以，，則，，因?yàn)?，所以，，即，，，所以，，由?）知，在上是減函數(shù)，所以．21.某摩天輪示意圖如圖．已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點(diǎn)與地面的距離為2米，沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)﹐旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間為分鐘．在圓周上均勻分布12個(gè)座艙，標(biāo)號分別為1～12（可視為點(diǎn)）．現(xiàn)4號座艙位于圓周最上端，從此時(shí)開始計(jì)時(shí)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t分鐘．（1）求1號座艙與地面的距離h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系的解析式；（2）在前24分鐘內(nèi)，求1號座艙與地面的距離為17米時(shí)t的值；（3）記1號座艙與5號座艙高度之差的絕對值為H米，若在這段時(shí)間內(nèi)，H恰有三次取得最大值，求的取值范圍．【答案】（1）（2）14或（3）【解析】【分析】（1）設(shè)1號座艙與地面的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的解析式為，，根據(jù)所給條件求出、、、，即可得到函數(shù)解析；（2）由（1）中的解析式得出，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（3）依題意可得，，從而得到高度差函數(shù)，利用兩角和差的正弦公式化簡，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)取得最大值時(shí)的值，即可得解；【小問1詳解】設(shè)1號座艙與地面的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的解析式為，，，則，，所以依題意，所以，當(dāng)時(shí)，所以，故；【小問2詳解】令，即，所以，又，所以，所以或，解得或，即或時(shí)1號座艙與地面的距離為17米；【小問3詳解】依題意，，所以令，解，所以當(dāng)時(shí)取得最大值，故，解得，所以.22.已知函數(shù).（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求a的值，并求此時(shí)函數(shù)的值域；（2）若存在，使，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用可求，分離常數(shù)后可求函數(shù)的值域.（2）由題設(shè)可得故在上的取值集合與在的取值集合有交集，考慮它們無公共元素時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍，該范圍在實(shí)數(shù)集上的補(bǔ)集即為所求的取值范