初中數(shù)學(xué)中考二輪復(fù)習(xí)重難突破專題08 特殊四邊形(含答案)

專題08特殊四邊形重點分析在中考中，平行四邊形主要在選擇題，填空題和簡單的解答題考查為主，并結(jié)合相似，銳角三角函數(shù)結(jié)合考查；多變形主要在選擇題和填空題考查為主。難點解讀難點一：平行四邊形一、平行四邊形的性質(zhì)1.邊的性質(zhì)：兩組對邊分別平行且相等，如下圖：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；2.角的性質(zhì)：兩組對角分別相等，如圖：∠A=∠C，∠B=∠D3.對角線的性質(zhì)：對角線互相平分。如圖：AO=CO，BO=DO平行四邊形的判定與邊有關(guān)的判定：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形與角有關(guān)的判定：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形與對角線有關(guān)的判定：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形難點二：矩形一、矩形的概念與性質(zhì)概念：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。性質(zhì)：（1）矩形的對邊平行且相等；（2）矩形的四個角都是直角；（3）矩形的對角線相等。二、矩形的判定有一個角是直角的平行四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形；有三個直角的四邊形是矩形。難點三：菱形性質(zhì)及判定菱形的概念和性質(zhì)1.概念：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形2.性質(zhì)：邊：菱形的四條邊都相等．對角線：菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．菱形的面積：菱形的面積等于對角線乘積的一半．二、菱形的判定1.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（定義）．2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（對角線）．3.四條邊相等的四邊形是菱形（邊）難點四：正方形性質(zhì)及判定一、正方形的概念和性質(zhì)1.概念：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形.2.性質(zhì)：（1）具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)（2）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等（3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角（4）正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸（5）正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩端點的距離相等。二、正方形的判定判定方法：（1）有一個角是直角的菱形是正方形；（2）對角線相等的菱形是正方形；（3）對角線互相垂直的矩形是正方形。注意：判定一個四邊形為正方形的一般順序如下：先證明它是平行四邊形，再證明它是菱形（或矩形），最后證明它是矩形（或菱形）。真題演練1.如圖，長方形ABCD中∠DAC＝68°，請依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，求出∠α等于()A.34° B.44° C.56° D.68°【答案】C【解析】如圖，先根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可知AE是的角平分線，直線是AC的垂直平分線，從而可得，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、對頂角相等即可得．【詳解】如圖，由尺規(guī)作圖的痕跡得：AE是的角平分線，直線是AC的垂直平分線，，，，由對頂角相等得：，故選：C．【點撥】本題考查了垂直平分線和角平分線尺規(guī)作圖、直角三角形的性質(zhì)等知識點，掌握垂直平分線和角平分線的尺規(guī)作圖是解題關(guān)鍵．2.如圖，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角頂點P在正方形ABCD的對角線BD上，點M，N分別在AB和CD邊上，MN與BD交于點O，且點O為MN的中點，則的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．75° D．80°【答案】C【解析】根據(jù)斜邊中線等于斜邊一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度數(shù)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形中，∴∠MBO=∠NDO=45°，∵點O為MN的中點∴OM=ON，∵∠MPN=90°，∴OM=OP，∴∠PMN=∠MPO=30°，∴∠MOB=∠MPO+∠PMN=60°，∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，，故選：C．【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運用相關(guān)性質(zhì)，根據(jù)角的關(guān)系進行計算．3.如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，點E為BC上一點，把△CDE沿DE翻折，點C恰好落在AB邊上的F處，則CE的長是（）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)CE=x，則BE=3-x由折疊性質(zhì)可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可．【詳解】解：設(shè)CE=x，則BE=3-x，由折疊性質(zhì)可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5在Rt△DAF中，AD=3，DF=5，∴AF=，∴BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，即(3-x)2+12=x2，解得x=，故選：D．【點撥】本題考查了與矩形有關(guān)的折疊問題，熟練掌握矩形的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．4.如圖，點O是對角線的交點，EF過點O分別交AD，BC于點E，F(xiàn)．下列結(jié)論成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】首先可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出△AEO≌△CFO，從而進行分析即可．【詳解】∵點O是對角線的交點，∴OA=OC，∠EAO=∠CFO，∵∠AOE=∠COF，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE=OF，A選項成立；∴AE=CF，但不一定得出BF=CF，則AE不一定等于BF，B選項不一定成立；若，則DO=DC，由題意無法明確推出此結(jié)論，C選項不一定成立；由△AEO≌△CFO得∠CFE=∠AEF，但不一定得出∠AEF=∠DEF，則∠CFE不一定等于∠DEF，D選項不一定成立；故選：A．【點撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，理解基本性質(zhì)，利用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5.如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，M是邊AD上一點，連接OM，過點O做ON⊥OM，交CD于點N．若四邊形MOND的面積是1，則AB的長為（）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】先證明，再證明四邊形MOND的面積等于，的面積，繼而解得正方形的面積，據(jù)此解題．【詳解】解：在正方形ABCD中，對角線BD⊥AC，又四邊形MOND的面積是1，正方形ABCD的面積是4，故選：C．【點撥】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．6.下列命題正確的是（）A．每個內(nèi)角都相等的多邊形是正多邊形B．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形C．過線段中點的直線是線段的垂直平分線D．三角形的中位線將三角形的面積分成1∶2兩部分【答案】B【解析】分別根據(jù)正多邊形的判定、平行四邊形的判定、線段垂直平分線的判定以及三角形中線的性質(zhì)逐項進行判斷即可得到結(jié)論．【詳解】解：A.每個內(nèi)角都相等，各邊都相等的多邊形是正多邊形，故選項A的說法錯誤，不符合題意；B.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,說法正確，故選項B符合題意；C.過線段中點且垂直這條線段的直線是線段的垂直平分線，故選項C的說法錯誤，不符合題意；D.三角形的中位線將三角形的面積分成1∶3兩部分，故選項D的說法錯誤，不符合題意．故選：B．【點撥】此題主要考查了對正多邊形、平行四邊形、線段垂直平分線的判斷以及三角形中線性質(zhì)的認(rèn)識，熟練掌握正多邊形、平行四邊形、線段垂直平分線的判斷是解答此題的關(guān)鍵．7.下列命題是真命題的是（）A．對角線相等的四邊形是平行四邊形B．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形C．對角線互相垂直的四邊形是菱形D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形【答案】B【解析】A.根據(jù)平行四邊形的判定定理作出判斷；B.根據(jù)矩形的判定定理作出判斷；C.根據(jù)菱形的判定定理作出判斷；D.根據(jù)正方形的判定定理作出判斷．【詳解】解：A.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；故本選項錯誤，不符合題意；B.對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；故本選項正確，符合題意；C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；故本選項錯誤，不符合題意；D.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；故本選項錯誤，不符合題意；故選：B．【點撥】本題綜合考查了正方形、矩形、菱形及平行四邊形的判定．解答此題時，必須理清矩形、正方形、菱形與平行四邊形間的關(guān)系．8.如圖，的頂點C在等邊的邊上，點E在的延長線上，G為的中點，連接．若，，則的長為_______．【答案】【解析】延長DC交EF于點M（圖見詳解），根據(jù)平行四邊形與等邊三角形的性質(zhì)，可證△CFM是等邊三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C，G是DM和DE的中點，根據(jù)中位線的性質(zhì)，可得出CG=，代入數(shù)值即可得出答案．【詳解】解：如下圖所示，延長DC交EF于點M，，，平行四邊形的頂點C在等邊的邊上，，是等邊三角形，．在平行四邊形中，，，又是等邊三角形，，．G為的中點，，是的中點，且是的中位線，．故答案為：．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、中位線等知識點，延長DC交EF于點M，利用平行四邊形、等邊三角形性質(zhì)求出相應(yīng)的線段長，證出是的中位線是解題的關(guān)鍵．9.如圖，邊長為4的菱形ABCD中，∠C＝60°，點M為AD的中點，E，F(xiàn)是對角線BD上的兩個動點，且EF＝2，則線段MF＋AE的最小值為________．【答案】【解析】取CD，BC中點N、G，連接FN，NG，EG，先根據(jù)菱形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)以及平行四邊形的判定及性質(zhì)證得MF＝EG，進而根據(jù)勾股定理求線段AG的長即可．【詳解】解：如圖，取CD.BC中點N、G，連接FN，NG，EG，∵在邊長為4的菱形ABCD中，∠C＝60°，∴BCD.ABD為等邊三角形，∴BD＝BC＝CD＝AB＝AD＝4，∠ADC＝∠BDC＝∠C＝60°，∠ABC＝120°，∵點N、G為CD.BC中點，點M為AD的中點，∴NG∥BD，NG＝BD＝2，DM＝DN，BG＝BC＝2，又∵EF＝2，∴NG＝EF，NG∥EF，∴四邊形EFNG為平行四邊形，∴EG＝FN，∵DM＝DN，∠ADC＝∠BDC，DF＝DF，∴DMF≌DNF（SAS）∴MF＝NF，∴MF＝EG，∴MF＋AE＝EG＋AE，∵點A.G為定點，點E為線段BD上的動點，∴當(dāng)點A，E，G在同一直線上時，EG＋AE即可取得最小值，為AG的長，此時MF＋AE的值最小，如圖，當(dāng)點A.E.G在同一直線上時，過點G作GH⊥AB，交AB的延長線于點H，∴∠H＝90°∵∠ABC＝120°，∴∠BGH＝∠ABC－∠H＝30°，∴BH＝BG＝1，∴AH＝AB＋BH＝5，∵在RtBGH中，GH2＝BG2－BH2＝3，∴在RtBGH中，AG＝＝，∴MF＋AE的最小值為，故答案為：．【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、中位線的性質(zhì)、平行四邊形的判定及性質(zhì)以及勾股定理，此題較難，能夠靈活運用各種圖形的性質(zhì)及判定是解決本題的關(guān)鍵．10.如圖，在平行四邊形中，E是的中點，則下列四個結(jié)論：①；②若，，則；③若，則；④若，則與全等．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解析】依次分析各選項，進行推理論證即可；其中①可通過證明，進一步轉(zhuǎn)換后可以得到結(jié)論，②可先得到該平行四邊形是矩形，利用矩形的性質(zhì)等得到MN垂直平分BC，即可完成求證，③可以先證明兩個三角形的共線邊上的高的關(guān)系，再利用三角形面積公式即可完成證明，④可以先證明后可進一步證明，即可完成求證．【詳解】解：∵平行四邊形中，E是的中點，∴，，，∴,,∴,∴，∴，故①正確；若，則平行四邊形是矩形，由矩形的對角線相等，而點E是矩形的對角線的交點可知，E點到B.C兩點的距離相等，∴E點在BC的垂直平分線上，由，可得BN=CN，所以N點是BC的中點，∴MN垂直平分BC，∴，故②正確；若，則BN=2CN，如圖1，分別過D.E兩點向BC作垂線，垂足分別為Q點和P點，∵E點是BD中點，∴DQ=2EP，∵，∴，故③正確；若，因為，所以，分別過N、C兩點向AD作垂線，垂足分別為H、K，由平行線間的距離處處相等可知：NH=CK，∴，∴，∴,∴，又∵，∴,故④正確；故選：D．【點撥】本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)、全等