2025優(yōu)化設(shè)計(jì)一輪課時(shí)規(guī)范練88　正態(tài)分布

課時(shí)規(guī)范練88正態(tài)分布1.(2024·山西名校聯(lián)盟模擬)某工廠生產(chǎn)的新能源汽車的某部件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布N(5,σ2)(σ>0),若P(X≥9.2)=0.24,則P(0.8<X≤5)=()A.0.12 B.0.24 C.0.26 D.0.482.某單位招聘員工,先對(duì)應(yīng)聘者的簡歷進(jìn)行評(píng)分,評(píng)分達(dá)標(biāo)者進(jìn)入面試環(huán)節(jié).現(xiàn)有1000人應(yīng)聘,他們的簡歷評(píng)分X服從正態(tài)分布N(60,102),若80分及以上為達(dá)標(biāo),則估計(jì)進(jìn)入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)為()(附:若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A.12 B.23 C.46 D.1593.設(shè)X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.對(duì)任意正數(shù)t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.對(duì)任意正數(shù)t,P(X≥t)≥P(Y≥t)4.(2021·新高考Ⅱ,6)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,σ2),下列結(jié)論中不正確的是()A.σ越小,該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大B.該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C.該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等5.(多選題)(2024·浙江紹興模擬)設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,22),隨機(jī)變量Y~N(0,32),則()A.E(X)=E(Y)B.D(X)=2,D(Y)=3C.P(X≤-2)+P(X≤2)=1D.P(|X|≤1)<P(|Y|≤1)6.(多選題)(2024·廣東茂名模擬)隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)且P(X≤2)=0.5,隨機(jī)變量Y~B(3,p),若E(Y)=E(X),則()A.μ=2 B.D(X)=2σ2C.p=23 D.D(3Y)=7.(2024·河南鄭州模擬)已知某小麥品種的株高X(單位:cm)服從正態(tài)分布N(78,σ2),且P(76<X≤80)=0.80,現(xiàn)從該品種小麥中任取2株,則這2株小麥株高都超過80cm的概率為.

8.(2024·安徽滁州模擬)某品牌的一款純電動(dòng)車單次最大續(xù)航里程X(單位:千米)服從正態(tài)分布N(2000,102).任選一輛該款電動(dòng)車,則它的單次最大續(xù)航里程恰在[1970,2020]的概率為.(參考公式:隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)

9.已知某種袋裝食品每袋質(zhì)量X~N(500,16),則隨機(jī)抽取10000袋這種食品,袋裝質(zhì)量在區(qū)間(492,504]的約袋(質(zhì)量單位:g).(附:X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)

10.(2024·重慶巴蜀中學(xué)模擬)某校研發(fā)了ChatGPT的“學(xué)習(xí)APP”,供該校所有教師學(xué)習(xí)使用.該校共有教師1000名,為了解教師們的學(xué)習(xí)情況,隨機(jī)抽取了100名教師,在指定的一天統(tǒng)計(jì)了這100名教師利用“學(xué)習(xí)APP”學(xué)習(xí)ChatGPT技術(shù)的時(shí)長(單位:min),得到了如圖所示的頻率分布直方圖.學(xué)習(xí)時(shí)長不低于120min的教師稱為“學(xué)習(xí)積極分子”.(1)求統(tǒng)計(jì)的這100名教師中“學(xué)習(xí)積極分子”的人數(shù),并根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)在指定當(dāng)天教師學(xué)習(xí)ChatGPT時(shí)長的平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);(2)由頻率分布直方圖可知,該校教師在指定當(dāng)天學(xué)習(xí)ChatGPT的時(shí)長X近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2)(其中μ近似為樣本平均數(shù),σ取10.8),求該校教師在指定當(dāng)天學(xué)習(xí)ChatGPT的時(shí)長位于區(qū)間[101.2,133.6]上的概率.(附:若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)11.為調(diào)查禽類某種病菌感染情況,某養(yǎng)殖場每周都定期抽樣檢測禽類血液中A指標(biāo)的值.養(yǎng)殖場將某周的5000只家禽血液樣本中A指標(biāo)的檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,繪成如下頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這5000只家禽血液樣本中A指標(biāo)值的中位數(shù)(結(jié)果保留兩位小數(shù)).(2)通過長期調(diào)查分析可知,該養(yǎng)殖場家禽血液中A指標(biāo)的值X服從正態(tài)分布N(7.4,2.632).(ⅰ)若其中一個(gè)養(yǎng)殖棚有1000只家禽,估計(jì)其中血液A指標(biāo)的值不超過10.03的家禽數(shù)量(結(jié)果保留整數(shù));(ⅱ)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,把發(fā)生概率小于1%的事件稱為小概率事件,通常認(rèn)為小概率事件的發(fā)生是不正常的.該養(yǎng)殖場除定期抽檢外,每天還會(huì)隨機(jī)抽檢20只家禽,若某天發(fā)現(xiàn)抽檢的20只家禽中恰有3只血液中A指標(biāo)的值大于12.66,判斷這一天該養(yǎng)殖場的家禽健康狀況是否正常,并分析說明理由.參考數(shù)據(jù):①0.022753≈0.00001,0.9772517≈0.7;②若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545.12.(2024·山東濟(jì)南模擬)某高中學(xué)校計(jì)劃優(yōu)化課程,增加學(xué)生體育鍛煉時(shí)間,提高體質(zhì)健康水平,某體質(zhì)監(jiān)測中心抽取了該校10名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測試,得到如下表格:序號(hào)i12345678910成績xi/分38414451545658647480記這10名學(xué)生體質(zhì)測試成績的平均分與方差分別為x,s2,經(jīng)計(jì)算∑i=110(xi-x)2=1690,∑(1)求x;(2)規(guī)定體質(zhì)測試成績低于50分為不合格,從這10名學(xué)生中任取3名,記體質(zhì)測試成績不合格的人數(shù)為X,求X的分布列;(3)經(jīng)統(tǒng)計(jì),高中生體質(zhì)測試成績近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2),用x,s2的值分別作為μ,σ2的近似值,若監(jiān)測中心計(jì)劃從全市抽查100名高中生進(jìn)行體質(zhì)測試,記這100名高中生的體質(zhì)測試成績恰好落在區(qū)間[30,82]的人數(shù)為Y,求Y的數(shù)學(xué)期望E(Y).附:若Y~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤Y≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤Y≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤Y≤μ+3σ)≈0.9973.13.春節(jié)期間,我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費(fèi)政策”.某路橋公司為了解春節(jié)期間車輛出行的高峰情況,在某高速收費(fèi)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)大年初三上午9:20~10:40這一時(shí)間段內(nèi)有600輛車通過,將其通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻繪成頻率分布直方圖.其中時(shí)間段9:20~9:40記作區(qū)間[20,40),9:40~10:00記作[40,60),10:00~10:20記作[60,80),10:20~10:40記作[80,100],例如:10點(diǎn)04分,記作時(shí)刻64.(1)估計(jì)這600輛車在9:20~10:40時(shí)間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);(2)為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛,再從這10輛車中隨機(jī)抽取4輛,記X為9:20~10:00之間通過的車輛數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(3)由大數(shù)據(jù)分析可知,車輛在春節(jié)期間每天通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻T服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ可用這600輛車在9:20~10:40之間通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替,σ2可用樣本的方差近似代替(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表),已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費(fèi)點(diǎn),估計(jì)在9:46~10:40之間通過的車輛數(shù)(結(jié)果保留到整數(shù)).參考數(shù)據(jù):若T~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤T≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤T≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤T≤μ+3σ)≈0.9973.

課時(shí)規(guī)范練88正態(tài)分布1.C解析由正態(tài)分布可知,P(X≤5)=P(X>5)=0.5,P(X≤0.8)=P(X≥9.2)=0.24,所以P(0.8<X≤5)=0.5-P(X≤0.8)=0.26.2.B解析因?yàn)閄~N(60,102),則P(X≥80)=P(X≥60+20)≈1-0.95452=0.02275,所以估計(jì)進(jìn)入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)為1000×3.C解析X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22)的密度曲線分別關(guān)于直線x=μ1,x=μ2對(duì)稱,因此結(jié)合所給圖象可得μ1<μ2,所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1),因?yàn)閄~N(μ1,σ12)的密度曲線較Y~N(μ2,σ22)的密度曲線“瘦高”,所以0<σ1<σ2,所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1),由密度曲線與橫軸所圍成的圖形的面積的意義可知,對(duì)任意正數(shù)t,P(X≤t)≥P(Y≤t),P(X≥t)≤P(Y≥t),故C正確,D錯(cuò)誤.4.D解析對(duì)于A,σ越小,代表正態(tài)曲線越陡,故A正確;對(duì)于B,測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,σ2),則正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為直線x=10,故B正確;對(duì)于C,結(jié)合正態(tài)曲線可知x=10.01與x=9.99關(guān)于對(duì)稱軸(直線x=10)對(duì)稱,故C正確;對(duì)于D,結(jié)合正態(tài)曲線可知,區(qū)間(9.9,10.2)與(10,10.3)不關(guān)于對(duì)稱軸(直線x=10)對(duì)稱,故D錯(cuò)誤.故選D.5.AC解析由隨機(jī)變量X~N(0,22),隨機(jī)變量Y~N(0,32)知,E(X)=E(Y)=0,D(X)=4,D(Y)=9,故A正確,B錯(cuò)誤;由于隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸為直線X=0,所以P(X≤-2)+P(X≤2)=P(X>2)+P(X≤2)=1,故C正確;由于隨機(jī)變量X,Y均服從正態(tài)分布,且正態(tài)曲線的對(duì)稱軸均為y軸,D(X)=4<D(Y)=9,在正態(tài)密度曲線中,X的峰值較高,正態(tài)曲線越瘦高,隨機(jī)變量分布比較集中,所以P(|X|≤1)>P(|Y|≤1),故D錯(cuò)誤.故選AC.6.AC解析因?yàn)閄~N(μ,σ2),且P(X≤2)=0.5,所以μ=2,故E(X)=μ=2,D(x)=σ2,故選項(xiàng)A正確,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;因?yàn)閅~B(3,p),所以E(Y)=3p=E(X),所以3p=2,解得p=23,故選項(xiàng)C正確D(3Y)=9D(Y)=9×3×23×1-2故選AC.7.0.01解析由小麥株高服從正態(tài)分布N(78,σ2),得μ=78,所以P(X>80)=1-0.80所以這2株小麥株高都超過80cm的概率為0.12=0.01.8.0.9759解析由題意X~N(2000,102),∴μ=2000,σ=10,∴P(1970≤X≤2020)=P(μ-3σ≤X≤μ+2σ)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)-12[P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)-P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)]≈0.9973-12×(0.9973-0.9545)=0.9759.8186解析由題意得P(500-4≤X≤500+4)≈0.6827,P(500-8≤X≤500+8)≈0.9545,則P(492<X≤496)≈0.9545-故P(492<X≤504)≈0.1359+0.6827=0.8186,則袋裝質(zhì)量在區(qū)間(492,504]的約有10000×0.8186=8186袋.10.解(1)該校100名教師中“學(xué)習(xí)積極分子”的人數(shù)為100×(10×0.028+10×0.020+10×0.012)=60,指定當(dāng)天教師學(xué)習(xí)ChatGPT時(shí)長的平均數(shù)為10×(95×0.006+105×0.014+115×0.02+125×0.028+135×0.02+145×0.012)=122.8.(2)由題意得X~N(122.8,10.82),則P(101.2≤X≤133.6)=P(122.8-21.6≤X≤122.8+10.8)=P(122.8-10.8×2≤X≤122.8+10.8)=P(μ-2σ≤X≤μ+σ)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-12×(P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ))≈0.9545-12×(0.9545-0.6827)=0.11.解(1)由2×(0.02+0.06+0.14)=0.44,2×(0.02+0.06+0.14+0.18)=0.8,可得中位數(shù)在區(qū)間[7,9)內(nèi),設(shè)中位數(shù)為x,則2×(0.02+0.06+0.14)+(x-7)×0.18=0.5,解得x≈7.33.(2)(ⅰ)由X~N(7.4,2.632),可得P(7.4-2.63≤X≤7.4+2.63)=P(4.77≤X≤10.03)≈0.6827,則P(X≤10.03)=P(4.77≤X≤10.03)2故該養(yǎng)殖棚中血液A指標(biāo)的值不超過10.03的家禽約有1000×0.84135=841.35≈841只.(ⅱ)P(7.4-2×2.63≤X≤7.4+2×2.63)=P(2.14≤X≤12.66)≈0.9545,P(X>12.66)≈1-0.95452=0.02275,隨機(jī)抽檢20只相當(dāng)于進(jìn)行20次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),設(shè)恰有3只血液中A指標(biāo)的值大于12.66為事件B,則P(B)=C203×0.022753×(1-0.02275)12.解(1)x=110×(38+41+44+51+54+56+58+64+74+(2)因?yàn)轶w質(zhì)測試不合格的學(xué)生有3名,所以X的可能取值為0,1,2,3.因?yàn)镻(X=0)=C7P(X=1)=C7P(X=2)=C7P(X=3)=C所以X的分布列為X0123P72171(3)因?yàn)閤=56,s2=110∑i=110(xi-x)2=110