2024年中考數學復習：數與式解析版

知識必備01數與式

1%在清單

方法一：實數計算中的規(guī)律問題的解決方法

選擇題（共1小題）

1.（2022?牡丹江）觀察下列數據：告

2_3_45…，則第12個數是（）

5,l0,26

A?禺B.-拒c.12

143145

nn+1

【分析】根據給出的數據可以推算出第"個數是""2*（-1）所以第12個數字把n=12代入求值

n+1

即可.

【解答】解：根據給出的數據特點可知第W個數是與一x（-1）計1,

n+1

12io

.?.第12個數就是一5一X（-1）12+占-3.

12^+1145

故選：D.

【點評】考查了找規(guī)律以及代數式求值問題，關鍵要讀懂題意，能根據題意找到規(guī)律并利用規(guī)律解決問

題.

二.填空題（共3小題）

2.（2022?懷化）正偶數2,4,6,8,10,按如下規(guī)律排列,

則第27行的第21個數是744

2

46

81012

14161820

【分析】由圖可以看出，每行數字的個數與行數是一致的，即第一行有1個數，第二行有2個數，第三

行有3個數.....第〃行有〃個數，則前〃行共有n（1T）個數,再根據偶數的特征確定第幾行第幾個

數是幾.

【解答】解：由圖可知,

第一行有1個數，

第二行有2個數，

第三行有3個數，

第n行有n個數.

,前〃行共有個數.

...前27行共有378個數，

.?.第27行第21個數是一共378個數中的第372個數.

???這些數都是正偶數,

...第372個數為372x2=744.

故答案為：744.

【點評】本題考查了數列的規(guī)律問題，解決這類問題的關鍵是先根據題目的已知條件找出其中的規(guī)律,

再結合其他已知條件求解.

3.（2022?鄂爾多斯）按一定規(guī)律排列的數據依次為《，!，工，當……按此規(guī)律排列，則第30個數是

251017

88

90T—

【分析】由所給的數，發(fā)現規(guī)律為第〃個數是專2,當”=30時即可求解.

n2+l

【解答】解:..1±10

'2'虧'l0,I7……

3n-2

，第w個數是百

3n-23X30-288

當”=30時,

n2+l~302+1—901'

88

故答案為:

901

【點評】本題考查數字的變化規(guī)律，能夠通過所給的數，探索出數的一般規(guī)律是解題的關鍵.

二一，n為偶數

a

n-ln,

4.（2023?甘孜州）有一列數,記第“個數為斯,已知勾=2,當”>1時，an=>1，則

丁^—，n為奇數

1-an-l

。2023的值為2.

【分析】分別計算出的（i為正整數），根據所發(fā)現的規(guī)律即可解決問題.

試卷第2頁，共49頁

【解答】解：由題知,

ct\2,

2

由此可知，

’2,n為奇數

%=惶n為偶數，

所以"2023=2.

故答案為：2.

【點評】本題考查實數計算中的規(guī)律，能根據計算出的M&為正整數）的值發(fā)現規(guī)律是解題的關鍵.

方法二：有關實數與數軸的應用題的解決方法

一.選擇題（共5小題）

1.（2023?徐州）如圖，數軸上點A、B、C、。分別對應實數a、b、c、d,下列各式的值最小的是（）

->A-----B<-------?—C?--------D?---A、

ab0cd

A.\a\B.\b\C.|c|D.\d\

【分析】結合數軸得出a,b,c,d四個數的絕對值大小進行判斷即可.

【解答】解：由數軸可得點A離原點距離最遠，其次是。點，再次是8點，C點離原點距離最近，

則同>|3>|例>|c|,

其中值最小的是|c|,

故選：C.

【點評】本題考查實數與數軸的關系及絕對值的幾何意義，離原點越近的點所表示的數的絕對值越小是

解題的關鍵.

2.（2023?自貢）如圖，數軸上點A表示的數是2023,OA^OB,則點2表示的數是（）

BOA

02023

A.2023B.-2023

C2023D.-20鼠

【分析】結合已知條件，根據實數與數軸的對應關系即可求得答案.

【解答】解：'：OA=OB,點A表示的數是2023,

.?.08=2023,

?.?點2在。點左側，

:,點B表示的數為：0-2023=-2023,

故選：B.

【點評】本題主要考查實數與數軸的對應關系，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握.

3.（2022?廣西）如圖，數軸上的點A表示的數是-1,則點A關于原點對稱的點表示的數是（）

A

?一???A

-2-1012

A.-2B.0C.1D.2

【分析】關于原點對稱的數是互為相反數.

【解答】解：???關于原點對稱的數是互為相反數，

又和-1是互為相反數，

故選：C.

【點評】本題考查數軸和相反數的知識，掌握基本概念是解題的關鍵.

4.（2023?杭州）已知數軸上的點A,8分別表示數a,b,其中-0</?<l.若axb=c,數c在數

軸上用點C表示，則點A,B,C在數軸上的位置可能是（）

ABCACB

A.-1—?—1—?~?—1-----?B.-1—????---------1-----?

-101-101

ABcCAB

c.------■>>D.<—1_?-1-?-------1-----?

-101-101

【分析】根據a,b的范圍，可得axb的范圍，從而可得點C在數軸上的位置，從而得出答案.

【解答】解：：-l<a<0,0<b<l,

-l<（ZXZ><0,

即-l<c<0,

那么點C應在-1和0之間，

則A,C,。不符合題意，8符合題意，

故選：B.

【點評】本題主要考查實數與數軸的關系，結合已知條件求得-1<內6<0是解題的關鍵.

試卷第4頁，共49頁

5.（2023?荷澤）實數a,b,c在數軸上對應點的位置如圖所示，下列式子正確的是（）

a0bc

A.c（6-a）<0B.b（c-a）<0C.a（b-c）>0D.a（c+6）>0

【分析】由數軸可得a<0<6<c,然后得出b-a,c-a,b-c,c+b與0的大小關系，再根據有理數乘

法法則進行判斷即可.

【解答】解：由數軸可得a<0<6<c,

貝！Jb-a>0,c-a>0,b-c<0,c+b>0,

那么c（b-a）>0,b（c-a）>0,a（b-c）>0,a（c+6）<0,

則A,B,。均不符合題意，C符合題意，

故選：C.

【點評】本題考查實數與數軸的關系，結合數軸得出6-a,c-a,b-c,c+b與0的大小關系是解題的

關鍵.

二.填空題（共2小題）

6.（2023?湘潭）數軸上到原點的距離小于遙的點所表示的整數有0（答案不唯一）.（寫出一個即

可）

【分析】數軸上到原點的距離小于我的點所表示的數為-7后與返之間的所有數，然后寫出其中的一

個整數即可.

【解答】解：數軸上到原點的距離小于通的點所表示的數為-遙與遙之間的所有數，

則其中的整數為0（答案不唯一），

故答案為：0（答案不唯一）.

【點評】本題考查實數與數軸的關系，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握.

7.（2023?連云港）如圖，數軸上的點A、8分別對應實數a、b,則a+b<0.（用“或“="填

空）

【分析】由數軸可得。<0<6,\a\>\b\,根據異號兩數相加，取絕對值較大的數的符號，再用絕對值較大

的數減去較小的數即可求得答案.

【解答】解：由數軸可得\a\>\b\,

貝a+b<0,

故答案為：<.

【點評】本題考查實數與數軸及其加法法則，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握.

方法三：化簡求值問題的解決方法

一.整式的混合運算一化簡求值（共4小題）

1.（2023?長沙）先化簡，再求值：（2-〃）（2+〃）-2〃（〃+3）+3層，其中a=-■

【分析】先去括號，再合并同類項，然后把。的值代入化簡后的式子，進行計算即可解答.

【解答】解：（2-〃）（2+〃）-2a（。+3）+3層

=4-a2-2層-6a+3a2

=4-6a,

當a=-[■時，原式=4-6x（-1■）

=4+2

=6.

【點評】本題考查了整式的混合運算-化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

2.（2023?邵陽）先化簡，再求值：（a-3b）（〃+3。）+（a-3b）2,其中4=-3,

o

【分析】利用平方差公式和完全平方公式將原式進行化簡，再將。，匕的值代入計算即可求解.

【解答】解：（a-3b）（〃+3。）+Qa-3b）2

=/-（3b）2+（/-6〃/?+9。2）

=/-9抉+〃2-6"/?+9。2

=24-6ab,

191

當〃=-3,bW時,原式=2X（-3）-6X（-3）＞＜仔=24?

Oo

【點評】本題主要考查整式的混合運算-化簡求值，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解題關鍵.平

方差公式：（a+6）（a-b）=a2-b.完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab=b2.

3.（2022?廣西）先化簡，再求值：（尤+y）（x-y）+（xy2-2xy）其中尤=1,y=\

【分析】根據平方差公式和多項式除以單項式，可以將題目中的式子化簡，然后將x、y的值代入化簡后

的式子計算即可.

【解答】解：（x+y）（x-y）+（町2-2孫）4-x

=/_y2+y2_2y

=/-2y,

試卷第6頁，共49頁

當x=l,■時，原式=12-2x《=0.

22

【點評】本題考查整式的混合運算一化簡求值，解答本題的關鍵是明確整式混合運算的運算法則，注意

平方差公式的應用.

4.（2022?鹽城）先化簡，再求值：（尤+4）（尤-4）+（x-3）2,其中無2-3X+1=0.

【分析】根據平方差公式、完全平方公式、合并同類項法則把原式化簡，整體代入即可.

【解答】解：原式=，-16+x2-6x+9

=2x2-6x-1,

*/x2-3x+l=0,

.'.x2-3x=-1,

2x2-6x=-2,

???原式=-2-7=-9.

【點評】本題考查的是整式的化簡求值，掌握平方差公式、完全平方公式、合并同類項法則、靈活運用

整體思想是解題的關鍵.

二.分式的化簡求值（共14小題）

2v2+v

5.（2023?湘潭）先化簡，再求值：（1+三）?二產，其中x=6.

x+lX2-9

【分析】利用分式的運算法則將分式進行化簡，然后代入已知數據進行計算即可.

【解答】解：原式=喏.晨舞白）

x+3.x(x+l)

x+l(x+3)(x-3)

_x

x-3'

當x=6時,

原式="7、=2?

6-3

【點評】本題考查分式的化簡求值，將分式化簡為高是解題的關鍵.

x-3

22_1

6.（2023?廣安）先化簡（出--4+1）—」，再從不等式-2<a<3中選擇一個適當的整數，代入

a+1a+2a+l

求值.

【分析】根據分式的混合運算法則把原式化簡，根據分式有意義的條件確定。的值，代入計算即可.

2

【解答】解：（芻--〃+1）.:上

a+1a+2a+l

=&2-&2+1.（4+1）2

a+1（a+1）（a-1）

1

a-l

■:-2VqV3且存±1,

??.〃=（）符合題意.

當a=0時，原式=7^7=-1.

0_1

【點評】本題考查的是分式的化簡求值、實數的混合運算，掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵.

2

7.（2023?黑龍江）先化簡，再求值：（1-《■）:三三叱L,其中機=tan60。-1.

Tn+l一

【分析】利用分式的運算法則先化簡分式，再代入特殊角的函數值確定如最后利用二次根式的性質得

結論.

【解答】解：原式=貯畢--（典）、

m+1m(m-1)

m+l(m-1)2

m+1

當m—tan60°-1—-1時,

V3-1

原式=

V3-1+1

如-1

"7T

_3-V3

3

【點評】本題主要考查了分式的化簡求值，掌握分式的運算法則及特殊角的函數值是解決本題的關鍵.

8.（2023?湘西州）先化簡，再求值：（1+13）a一，其中j—

【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最

簡結果，最后把a的值代入計算即可.

a-l+l(a+1)(a-l)

試卷第8頁，共49頁

(a+1)(a-l)

a_la

=q+l,

當a=A歷-1時，原式=&-1+1=料—

【點評】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

2

9.（2023?鞍山）先化簡，再求值：（一與+1）4-—+-b-+9?其中x=4.

2

x+2X-4

【分析】先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，然后把x的值代入化簡后的式子進行

計算，即可解答.

2

【解答】解：（U+1）+x“1x+9

2

x+2X-4

_x+2+l（x+2）（x-2）

x+2*~（X+3）2

_x+3一（x+2）（x-2）

—（X+3）2

_x-2

一運

當尤=4時，原式=等=V.

4+37

【點評】本題考查了分式的化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

12_1L

10.（2023?宿遷）先化簡，再求值：J_其中x=&+>

x+1X

【分析】先根據分式的混合計算法則化簡，然后代值計算即可.

121

【解答】解：

x+1X

x+l-l,（x+l）（」-1）

x+1X

X.（x+l）（x-l）

x+1X

=x-1,

當xS+i時，原式=&+i-i=J5-

【點評】本題主要考查了分式的化簡求值，正確計算是解題的關鍵.

11.（2023?遼寧）先化簡，再求值：興心一生其中m=2.

以4-9m+3m+1

【分析】先對原式進行化簡，然后把他的值代入化簡后的算式進行計算即可.

2(m-3)x___m_+_3_____m__

【解答】解：原式=

(m+3)(m-3)2(m+1)m+1

_1_m

m+1m+1

_l-m

m+1'

；?當相=2時，原式=《^"二4.

2+13

【點評】本題考查分式的應用，熟練掌握分式化簡求值的方法和步驟是解題關鍵.

12.(2023?牡丹江)先化簡，再求值：(1-二一)+得W-,其中x=sin30。.

x-1x2-l

【分析】先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，然后把龍的值代入化簡后的式子，進

行計算即可解答.

nY—3

【解答】解：(1-3)一F—

X-1X-1

(x+1)(x-1)

x-1x-3

—x-3_(x+1)(x-1)

x-1x-3

=x+l,

當尤=5加30。=壓時，原式=￡+1="^.

【點評】本題考查了分式的化簡求值，特殊角的三角函數值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

13.(2023?營口)先化簡，再求值：(〃計2+々一)?等生，其中m=W^+tan45。.

2-m3-m

【分析】先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，然后把，”的值代入化簡后的式子，進

行計算即可解答.

【解答】解：(優(yōu)+2+昌)

2-m3-m

=4-in2+5.2(nr2)

2-m3-m

=g-m2.2(irr?)

2-m3-m

(3~hn)(3-m)_2(m-2)

2-m3-m

=-2(3+m)

=-6-2m,

當16+tan45°=4+l=5時，原式=-6-2x5=-6-10=-16.

【點評】本題考查了分式的化簡求值，特殊角的三角函數值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

2VL

14.(2023?恩施州)先化簡，再求值：—―—(1--,其中％=赤-2.

x-4x-2v

試卷第10頁，共49頁

【分析】先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，然后把X的值代入化簡后的式子進行

計算，即可解答.

______2_____.x-2-x

(x+2)(x-2)_x-2

2x-2

(x+2)(x-2)-2

_1

—7^2'

當x=yf5-2時，原式=—---=--F=-=-

Xy-2+2V55

【點評】本題考查了分式的化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

a1

15.(2023?鄂州)先化簡，再求值：F-—,其中a=2.

a-1a-1

【分析】先利用分式的運算法則將分式進行化簡，然后代入已知數值進行計算即可.

【解答】解：原式=號上

a-1

______軟-1____

(a+1)(a-1)

1

a+1'

當a=2時，

原式=工=4

2+13

【點評】本題考查分式的化簡求值，其相關運算法則是基礎且重要知識點，必須熟練掌握.

16.(2023?吉林)下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中M是單項式，請寫出單項式并將該例

題的解答過程補充完整.

例：先化簡，再求值：4―機一，其中a=100.

2

a+1a+a

21

解：原式=___——-1—

a(a+1)a(a+1)

【分析】由題意先求得然后將分式進行化簡，最后代入已知數值進行計算即可.

a

【解答】解：由題意可得_-

a+1a(a+1)a+1

則M=a,

a]

那么

a+1

a(a+1)a(a+1)

a(a+1)

(a+1)(a-1)

a(a+1)

a-1

當a—100時,

【點評】本題考查分式的化簡求值，由已知條件求得M的值是解題的關鍵.

4p

17.（2023?隨州）先化簡，再求值：力一:三，其中1=1.

X-4X-2

【分析】先把除法轉化為乘法，再約分，最后將X的值代入化簡后的式子計算即可.

______4______x-2

"（x+2）（x-2）'~2~

2

一肉’

當％=1時，原式=7^=春

【點評】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵.

18.（2023?棗莊）先化簡，再求值：（a-—）+卷一，其中。的值從不等式組-爬的解集中

a-1a-1

選取一個合適的整數.

【分析】先將分式利用相關運算法則進行化簡，然后代入一個合適的整數進行計算即可.

22

【解答】解：（〃一_|_）-_|_

a-1

a2-11

試卷第12頁，共49頁

_a2-a_l

-------------,

a

,.*4Z2-1^0,存0,

存0,

，a=2,

原式=22-2-l

2

=2

~2'

【點評】本題考查分式化簡求值，特別注意根據分式有意義的條件得出存±1，a#0.

,易錯清單

易錯點1：平方根、算術平方根、立方根的區(qū)別

1.平方根：如果一個數的平方等于a,這個數就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.一個正數有兩

個平方根，這兩個平方根互為相反數，零的平方根是零，負數沒有平方根.

2.算術平方根：一般地，如果一個正數x的平方等于a,那么這個正數x叫做a的算術平方根.非負

數a的算術平方根a有雙重非負性：①被開方數a是非負數；②算術平方根a本身是非負數.

3.立方根：如果一個數的立方等于a,那么這個數叫做a的立方根或三次方根.正數的立方根是正數，

0的立方根是0,負數的立方根是負數.即任意數都有立方根.

1.（2023?無錫）實數9的算術平方根是（）

A.3B.±3C.—D.-9

9

【分析】根據算術平方根的定義，即可解答.

【解答】解：實數9的算術平方根是3,

故選：A.

【點評】本題考查了算術平方根，熟練掌握算術平方根的定義是解題的關鍵.

易錯點2：關于實數的運算，要掌握好與實數的有關概念、性質，靈活地運用各

種運算律，關鍵是把好符號關；在較復雜的運算中，不注意運算順序或者不合理

使用運算律，從而使運算出現錯誤。

2.（2023?恩施州）下列實數：-1,0,近,其中最小的是（）

A.-1B.0C.近D.-y

【分析】根據正數大于0,。大于負數，兩個負數比較，絕對值大的反而小，即可解答.

【解答】解：-1|=1,\

在-1,0,如,-尚這四個數中,

最小的數是-1,

故選：A.

【點評】本題考查了實數的大小比較，算術平方根，熟練掌握兩個負數比較，絕對值大的反而小是解題

的關鍵.

3.(2023?盤錦)下列運算正確的是()

A.2a2+々3=3a5B.c?^a—a

C.(-m2)3=-優(yōu)6D.(-2ab)2—4ab2

【分析】選項A根據合并同類項法則判斷即可；選項8根據同底數幕的除法法則判斷即可；選項C、D

根據幕的乘方與積的乘方運算法則判斷即可.

【解答】解：A.2a2與〃不是同類項，所以不能合并，故本選項不符合題意；

B.故本選項不符合題意；

C.(-m2)3=-m6,故本選項符合題意；

D.(-2ab)2=4a2b2,故本選項不符合題意.

故選：C.

【點評】本題考查了合并同類項，同底數累的除法以及嘉的乘方與積的乘方，掌握累的相關運算法則是

解答本題的關鍵.

4.(2023?恩施州)下列運算正確的是()

A.(m-1)2=相2_]B.(2m)3=6m3

C.D.〃/+機5=加7

【分析】依據題意，由完全平方公式、哥的乘方與積的乘方、同底數累的除法及合并同類項逐項判斷可

以得解.

【解答】解：由題意，對于A選項，(機T)_2加+屏加2-1,

???A選項錯誤，不符合題意.

試卷第14頁，共49頁

對于8選項，(2m)3=8m3#：6H23,

???8選項錯誤，不符合題意.

對于C選項，=/4,

；.C選項正確，符合題意.

對于。選項，小與加不是同類項不能合并，

選項錯誤，不符合題意.

故選：C.

【點評】本題主要考查了完全平方公式、募的乘方與積的乘方、同底數暴的除法及合并同類項，解題時

要能熟練掌握并理解.

5.(2023?鞍山)下列運算正確的是()

A.(4a6)2—Sa2b2B.2a2+a2—3a4

C.a6^a4=a2D.(a+6)2=a2+b2

【分析】根據積的乘方，合并同類項，同底數幕的除法法則，完全平方公式進行計算，逐一判斷即可解

答.

【解答】解：4(4")2=16浮塊，故A不符合題意；

B、2a2+a2=3a2,故2不符合題意；

C、a^a4—^,故C符合題意；

D、(a+b)2=a2+2ab+b2,故￡)不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了整式的混合運算，合并同類項，幕的乘方與積的乘方，同底數幕的除法，完全平方

公式，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

6.(2023?臨沂)下列運算正確的是()

A.3a-2a=lB.(a-b)2=a2-b2

C.(a5)2=〃D.3a3,2a2=6<75

【分析】根據合并同類項，完全平方公式，幕的乘方，單項式乘單項式的法則進行計算，逐一判斷即可

解答.

【解答】解：A、3a-2a—a,故4不符合題意；

B、(a-6)2=a2-2ab+b2,故2不符合題意；

C、(/)2=涼0,故c不符合題意；

D、3a3,2a2=6a5,故。符合題意;

故選：D.

【點評】本題考查了整式的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

7.（2023?寧夏）如圖，點A,B,C在數軸上，點A表示的數是-1,點B是AC的中點，線段

則點C表示的數是279-1.

ABC

------.——?------?~>

-10

【分析】先表示出點B表示的數，再根據點8是AC的中點進行求解.

【解答】解：???點A表示的數是-1,線段

??.點B表示的數是-1+-\/2，

:點2是AC的中點，

線段8C=4B=的,

...點C表示的數是：--1,

故答案為：-1.

【點評】此題考查了用數軸上的點表示實數的能力，關鍵是能準確理解并運用該知識.

8.（2023?黃石）計算：（-4）匕+（1-、技）o-2cos60°=9.

O

【分析】先計算零次幕、負整數指數幕和特殊角的三角函數值，再計算乘法，最后計算加減.

【解答】解：（-￡）.+（1-&）°-2COS60°

=9+1-2x—

2

=9+1-1

=9,

故答案為：9.

【點評】此題考查了實數的混合運算能力，關鍵是能準確確定運算順序，并能進行正確地計算.

9.（2023?鹽城）計算：（/）i+4cos60。-（5-7t）0.

【分析】先算負整數指數幕，零指數幕，特殊角的三角函數值，再算乘法，最后算加減即可.

【解答】解：由題意，原式=2+4x/-l

=2+2-1

=3.

【點評】本題主要考查實數的運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握.

試卷第16頁，共49頁

10.（2023?濟寧）計算：V12-2cos30°+|Vs-2|+2-1-

【分析】根據實數的運算進行計算.

【解答】解:V12-2cos30°+|V3-2|+2-1

=2V3-2X^-+2-V3-H1

=273-73+2-V3V

=9

~2'

【點評】本題主要考查了實數的運算的知識、銳角三角函數的知識、絕對值的知識、負指數的知識，難

度不大.

易錯點3：整式的化簡求值

先按運算順序把整式化簡，再把對應字母的值代入求整式的值.有乘方、乘除的

混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數的混合運算

順序相似.同時注意平方差公式和完全平方公式的應用.

11.（2023?鹽城）先化簡，再求值：（〃+3/?）2+（〃+3。）（a-3b）,其中〃=2,b=-1.

【分析】依據題意，利用平方差公式和完全平方公式將原式進行化簡，再將a.b的值代入計算即可求解.

【解答】解：（〃+3。）2+（。+3。）（a-3b）

=〃2+6〃。+9。2+〃2_際

=2cfl+6ab.

當a=2,b--1時，

原式=2x22+6x2x（-1）

=8-12

=-4.

【點評】本題主要考查整式的混合運算-化簡求值，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解題關鍵.平

方差公式：（〃+。）（〃-。）=a2-b.完全平方公式：（〃土2=a1±2ab=b2.

12.（2023?長沙）先化簡，再求值：（2-a）（2+〃）-la（Q+3）+3*其中〃=-J.

o

【分析】先去括號，再合并同類項，然后把。的值代入化簡后的式子，進行計算即可解答.

【解答】解：（2-〃）（2+〃）-2a（〃+3）+3層

=4-層-2層-6I+3〃2

=4-6a,

當a=-《時，原式=4-6x(-1■)

oO

=4+2

=6.

【點評】本題考查了整式的混合運算-化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

易錯點4：因式分解

能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反.

②能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形

式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍.

13.(2023?攀枝花)以下因式分解正確的是()

A.ax2-a=a(x2-1)B.m3+m—m(m2+l)

C.丁+2尤-3=無(尤+2)-3D.X2+2X-3=(x-3)(x+1)

【分析】利用平方差公式，x2-l還可分解因式；利用十字相乘法，X2+2X-3=(X+3)(尤-1).

【解答】解：(A)ax2-a—a(x2-1)—a(x+1)(%-1)；

故A不正確，不符合題意.

(B)m3+w=m(m2+l)；

故B正確，符合題意.

(C)X2+2X-3=(x+3)(x-1)；

故CD不正確，不符合題意.

故選：B.

【點評】本題考查因式分解，靈活掌握因式分解的方法是本題的關鍵.

14.(2023?恩施州)因式分解：a(a-2)+1=(a-1)2.

【分析】根據完全平方公式進行分解，即可解答.

【解答】解：a(a-2)+l=a2-2a+l

=(o-1)2,

故答案為：(a-1)2.

【點評】本題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵.

15.(2023?常州)分解因式：尤2y_4y=y(尤+2)(x-2).

試卷第18頁，共49頁

【分析】先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答.

【解答】解：My-4y

=y(X2-4)

=y(x+2)(x-2),

故答案為：y(x+2)(x-2).

【點評】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須

先提公因式.

易錯點5：分式的有關概念

分式有意義的條件是分母不等于零.

分式無意義的條件是分母等于零.

分式的值為正數的條件是分子、分母同號.

分式的值為負數的條件是分子、分母異號.

分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零.

16.(2023?貴州)化簡史結果正確的是()

aa

A.1B.aC.—D.」

aa

【分析】依據題意，根據分式的加減運算法則進行計算即可得解.

【解答】解：由題意，原式=a+l-l=且=1.

aa

故選：A.

【點評】本題主要考查分式的加減運算，解題時需要熟練掌握法則并能準確計算.

17.(2023?新疆)要使分式」力有意義，則x需滿足的條件是分5.

【分析】根據分母不為0可得：尤-5#),然后進行計算即可解答.

【解答】解：由題意得：x-5^0,

解得：洋5,

故答案為：2

【點評】本題考查了分式有意義的條件，熟練掌握分母不為0是解題的關鍵.

2x+4y

?北京)已知尤求代數式的值.

18.(2023+2y-l=0,x2+4xy+4y2

【分析】根據已知可得x+2y=l,然后利用分式的基本性質化簡分式，再把x+2y=l代入化簡后的式子進

行計算即可解答.

【解答】解：：x+2y-l=0,

'.x+2y—\,

.2x+4y2(x+2y)

x2+4xy+4y2(x+2y)2

2

x+2y

=2

-T

=2,

2x+4y

的值為2.

x2+4xy+4y2

【點評】本題考查了分式的值，熟練掌握因式分解是解題的關鍵.

易錯點6：分式的化簡求值

先把分式化簡后，再把分式中未知數對應的值代入求出分式的值.

在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡.化簡的最后結果分子、分母要進

行約分，注意運算的結果要化成最簡分式或整式.

2

19.（2023?鞍山）先化簡，再求值：（—J+1）+工其中彳=4.

2

x+2X-4

【分析】先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，然后把尤的值代入化簡后的式子進行

計算，即可解答.

2

【解答】解：（士+1）+X,x+9

2

x+2X-4

_x+2+l（x+2）（x-2）

x+2'—（X+3）2

_x+3_（x+2）（x-2）

―（X+3）2

_x-2

一百’

當x=4時，原式=髻=看.

4+37

【點評】本題考查了分式的化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

試卷第20頁，共49頁

QY-Q

20.(2023?牡丹江)先化簡，再求值：—，其中x=sin30。.

x-1x-1

【分析】先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，然后把尤的值代入化簡后的式子，進

行計算即可解答.

nY—3

【解答】解：(1-三)一

X-1X-1

(x+1)(x-1)

x-lx-3

_x-3_(x+1)(x-1)

x-1x-3

=x+l,

11Q

當x=sin30°=一時，原式=—+1=—.

222

【點評】本題考查了分式的化簡求值，特殊角的三角函數值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

ROTT?-A.)

21.(2023?營口)先化簡，再求值：(步+2+三-)--，其中機=JH+tan45。.

2-m3-m

【分析】先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，然后把根的值代入化簡后的式子，進

行計算即可解答.

【解答】解：5+2+言)

3-m

=4-in2+5.2(nr2)

2-m3-m

=g-m2.2(IR2)

2-m3-m

(3~hn)(3-m).2(m-2)

2-m3-m

=-2(3+m)

=-6-2m,

當m=716+tan45°=4+l=5時，原式=-6-2x5=-6-10=-16.

【點評】本題考查了分式的化簡求值，特殊角的三角函數值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

2YL

22.(2023?恩施州)先化簡，再求值：——:(1-^-),其中X=粕-2.

x-4x-2v

【分析】先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，然后把X的值代入化簡后的式子進行

計算，即可解答.

【解答】解：--十(1-3)

X-4X-2

=