山東省濟(jì)寧市2022-2023學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

山東省濟(jì)寧市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）2022

-2023學(xué)年度第二學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)

高二數(shù)學(xué)試題

2023.07

本試卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1,已知集合”={艱1>°},N=kW<2},則MCN=（）

1C

A.1%|0<%<4｝B.<x—<x<2>

2

1

C.〈無一<尤<4>D.鄧)

I2j

2.命題“m/eR,2"<x：”的否定是()

A.3xeR,2%2片B.A

0xneR,2°>尤：

C.VXGR,T<r2D.仕eR,2x>x2

3.已知幕函數(shù)/(%)=(加2-2加-2產(chǎn)在(0,+co)上單調(diào)遞減，則〃?=()

A.-3B.-1C.3D.-1或3

4.設(shè)S“是數(shù)列｛%,｝的前〃項(xiàng)和，已知4=1且4=2S“+1,則為=()

A.101B.81C.32D.16

5.已知曲線〃x)=e2'1V在點(diǎn)(0,〃0))處的切線與直線2x-y+3=0垂直，則。=()

1

A.-2B.—1C.D.1

4

6.“a<0”是“函數(shù)=lo§i3+2）在區(qū)間（-Q0,1］上單調(diào)遞增”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知甲袋中裝有加個(gè)紅球，〃個(gè)白球，乙袋中裝有3個(gè)紅球，4個(gè)白球，先從甲袋中任取1球放入乙袋

中，再從乙袋中任取出1球，若取出的是紅球的概率為——，則從甲袋中任取一個(gè)球，取出的是紅球的概率

32

為（）

]_34

A.B.C.D.

445

8.已知函數(shù)/（力的定義域?yàn)镽,eR都有""）一"動(dòng)<0（x尸］），函數(shù)g（x）=，

玉一工2

且g（x）為奇函數(shù)，則不等式/（加2）+〃2機(jī)—3）>2的解集為（）

A.(-3,1)B.(-1,3)

C.（-oo,一3）D（1,+OO）D.（~℃,—l）D（3,+oo）

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列結(jié)論中正確的是（）

A.樣本相關(guān)系數(shù)「絕對(duì)值越接近1,則成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)

B.樣本相關(guān)系數(shù)廠的絕對(duì)值越接近0,則成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱

c.已知變量x,y具有線性相關(guān)關(guān)系，在獲取的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)（西，坊），（演，兀），…，（Z，%）中，/，

々，…，血和%，為，…，K的均值分別為嚏和亍，則點(diǎn)值?。┍卦谄浣?jīng)驗(yàn)回歸直線上

D.在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越寬，說明模型的擬合效果越好

10.甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加演出，下列說法中正確的是（）

A.若甲不在正中間，則不同的排列方式共有96種

B.若甲、乙、丙三人互不相鄰，則不同的排列方式共有6種

C.若甲、丙、丁從左到右的順序一定，則不同的排列方式共有20種

D.若甲不在兩端、丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有24種

H.已知a>0,b>0,則下列條件中可以使得工+L的最小值為4的是（）

ab

A.ab=1B.a+h=\

11

C.-F=+-f=—2V2D.=8

yja7b晨.記

Inx*

12.已知函數(shù)〃x)=—j,g(x)=吃x，則下列說法中正確的是()

A./(2)>/(3)B.函數(shù)/(x)與函數(shù)g(x)有相同的最大值

C.〃2)>g⑵D.方程/(x)=g(x)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某次數(shù)學(xué)考試中，學(xué)生成績(jī)X~N(110,b2),若尸(95WX4125)=0.72,則尸(X>125)=

14.1加-2)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(用數(shù)字作答).

x2+1,A：<0,

15.已知函數(shù)〃x)=<則/(2023)=

/(x-2),x>0,

16.如圖1,拋物線上任意兩點(diǎn)連接所得的弦與拋物線圍成一個(gè)弓形區(qū)域，求拋物線弓形區(qū)域的面積是古希

臘數(shù)學(xué)家阿基米得最優(yōu)美的成果之一，阿基米德的計(jì)算方法是：將弓形區(qū)域分割成無數(shù)個(gè)三角形，然后將

所有三角形的面積加起來就可以得到弓形區(qū)域的面積.第一次分割，如圖2,在弓形區(qū)域里以A8為底邊分

割出一個(gè)三角形AB&,確保過頂點(diǎn)G的拋物線E的切線與底邊A6平行，ABG稱為一級(jí)三角形；第二

次分割，如圖3,以，ABG，兩個(gè)邊AG，BG為底邊，在第一次分割得到的兩個(gè)弓形區(qū)域繼續(xù)分割出兩

個(gè)三角形△GIAC|,AC22BC,,確保過頂點(diǎn)C21，。22的拋物線E的切線分別與AC,,8G平行，△G|AC1,

△G28G都稱為二級(jí)三角形；重復(fù)上述方法，繼續(xù)分割新產(chǎn)生的弓形區(qū)域……，借助拋物線幾何性質(zhì)，阿

基米德計(jì)算得出任意一級(jí)的所有三角形的面積都相等，且每個(gè)三角形的面積都是其上一級(jí)的一個(gè)三角形面

積的;.設(shè)拋物線E的方程為y=4-直線AB的方程為y=x+2,請(qǐng)你根據(jù)上述阿基米德的計(jì)算方

圖1圖2圖3

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S“，%+為=18,S7=49.

(1)求數(shù)列｛。,｝的通項(xiàng)公式：

a

⑵設(shè)bn=a?+2",求數(shù)列也｝前〃項(xiàng)和7；.

18.為研究在校學(xué)生每天玩手機(jī)時(shí)間是否大于1小時(shí)和學(xué)生近視之間的關(guān)聯(lián)性，某視力研究機(jī)構(gòu)采取簡(jiǎn)單隨

機(jī)抽樣的方法，調(diào)查了2000名在校學(xué)生，得到成對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)，樣本中有40%的學(xué)生近視，有20%的

學(xué)生每天玩手機(jī)超過1小時(shí)，而每天玩手機(jī)超過1小時(shí)的學(xué)生近視率為50%.

(1)根據(jù)上述成對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)，完成如下2x2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值e=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析每

天玩手機(jī)時(shí)間是否超過1小時(shí)會(huì)不會(huì)影響視力.

視力情況

每天玩手機(jī)時(shí)間合計(jì)

近視不近視

超過1小時(shí)

不足1小時(shí)

合計(jì)

(2)從近視的學(xué)生中隨機(jī)抽取8人，其中每天玩手機(jī)時(shí)間超過1小時(shí)的2人，不超過1小時(shí)的6人，現(xiàn)從8

人中隨機(jī)選出3人，設(shè)3人中每天玩手機(jī)時(shí)間超過1小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列.

n(ad-bcf

參考公式：z2

(a+0)(c+d)(o+c)(8+d)

參考數(shù)據(jù)：下表是％2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用小概率值和相應(yīng)的臨界值.

a0.10.050.010.0050.001

27063841

%6.6357.87910.828

19.已知函數(shù)/(%)=%2-2,一。|+1.

⑴若函數(shù)"X)為偶函數(shù)，求。的值;

(2)當(dāng)a>0時(shí)，若函數(shù)/(X)在［0,2］上的最小值為0,求”的值.

20.已知函數(shù)/(%)=以2+尤+——n%(a>0).

⑴若x=l是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)，求。的值；

(2)若函數(shù)/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

21.甲乙兩名同學(xué)玩“猜硬幣，向前進(jìn)”的游戲，規(guī)則是：每一局拋一次硬幣，甲乙雙方各猜一個(gè)結(jié)果，要求

雙方猜的結(jié)果不能相同，猜對(duì)的一方前進(jìn)2步，猜錯(cuò)的一方后退1步，游戲共進(jìn)行〃(〃eN*)局，規(guī)定游戲

開始時(shí)甲乙初始位置一樣.

(1)當(dāng)〃=3時(shí)，設(shè)游戲結(jié)束時(shí)甲與乙的步數(shù)差為X，求隨機(jī)變量X的分布列；

(2)游戲結(jié)束時(shí)，設(shè)甲與乙的步數(shù)差為丫，求七(丫)，。(丫)(結(jié)果用〃表示).

22.已知函數(shù)/(x)=恁2—%?

⑴討論“X)的單調(diào)性；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=xlnx—若對(duì)任意xe(0,+8),不等式/(x)<g(x)恒成立，求。的取值范圍.

2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)

高二數(shù)學(xué)試題

2023.07

本試卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1,已知集合M={*1>°},N=W?<2},則“N=（）

A.{x|0<x<4}B.<x；<x<2

C.<x—<x<4>D.jx|O<x<—

I2JI,2

【答案】C

【解析】

【分析】利用集合的交集運(yùn)算即可；

【詳解】「77<2,；.℃<4，N={x[0Vx<4},

又M=?x>g},

M（~\N=<x—<x<4?,

2

故選：C.

2.命題yXo^R,2與<片”的否定是（）

A.3x0eR,2">Nx：B.eR,2%>片

CVxeR,2X<x2D.VXGR,2V>x2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題進(jìn)行判斷.

【詳解】含有一個(gè)量詞的特稱命題的否定，在否定結(jié)論的同時(shí)將存在量詞改為全稱量詞,

r2w

即命題“3x0eR,2%<x：”的否定是“VxeR,2>x,

故選：D.

3.已知幕函數(shù)/（司=（〃/-2〃?-2產(chǎn)在（0,+8）上單調(diào)遞減，則”=（）

A.-3B.-1C.3D.-1或3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)募函數(shù)的定義求出的值，再根據(jù)條件即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=(蘇一2"-2)/'為基函數(shù)，

所以，/-2，〃-2=1，即m2-2加一3=0，解得加=3或機(jī)=-1,

又/")在(0,+e)上單調(diào)遞減，所以機(jī)=-1,

故選：B.

4.設(shè)5,是數(shù)列｛。,｝的前〃項(xiàng)和，已知4=1且4川=2S“+1,則。5=()

A.101B.81C.32D.16

【答案】B

【解析】

【分析】分類討論〃=1和〃N2,構(gòu)造S“-S,T，化簡(jiǎn)得到通項(xiàng)公式即可求解.

【詳解】〃=1時(shí),4=25+1=3,

時(shí)，%M=2S,,+1①

an~2S“T+1②

由①一②得：an+l-an=2an,an+i=3an,且n=l時(shí)也滿足,

故｛%｝是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，%=1X34=81,

故選：B.

5.已知曲線/(x)=e2w在點(diǎn)(0,/(0))處的切線與直線2x—y+3=0垂直，則。=()

A.—2B.—1C.D.1

4

【答案】C

【解析】

【分析】先求導(dǎo)，根據(jù)在點(diǎn)處的切線、直線垂直斜率之積為-1求解.

【詳解】/'(x)=2ae2"，/'(O)=2a,則2ax2=—l,a=-；,

故選：C.

6.“a<0”是“函數(shù)=l°gi(④+2)在區(qū)間(-8,1］上單調(diào)遞增”的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判定。的范圍，并且注意定義域.

【詳解】因?yàn)?（%）=l°g；（以+2）在區(qū)間（-00,1］單調(diào)遞增,

a<0

則《

=>-2<a<0r

〃xl+2>0

是一2v。＜0的必要不充分條件,

故選：A.

7.已知甲袋中裝有機(jī)個(gè)紅球，〃個(gè)白球，乙袋中裝有3個(gè)紅球，4個(gè)白球，先從甲袋中任取1球放入乙袋

中，再從乙袋中任取出1球，若取出的是紅球的概率為竺，則從甲袋中任取一個(gè)球，取出的是紅球的概率

32

為（）

1134

A.-B.-C.一D.-

4345

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)概率的可加性原則，分別計(jì)算兩種情況概率然后求和，找到〃?，〃的關(guān)系，然后求解即可；

【詳解】先從甲袋中任取1球放入乙袋中，有兩種情況；

m3+14m

第一種，抽到紅球放入，最后取出紅球的概率為:-----x----=---------

m-vn8---8(m+n)

n33n

第二種，未抽到紅球放入，最后取出紅球的概率為：X-=z,X；

m-\-n88Q（根+〃）

4m3n15

根據(jù)題意，77一1大+且一1下=/，解得：m=3n,

8（/%+〃）8（/n+n）32

m3

則從甲袋中任取一個(gè)球，取出的是紅球的概率為：------=一;

m+n4

故選：C.

8.已知函數(shù)“X）的定義域?yàn)镽,%,蒼€R都有小止迎?＜0（%#】），函數(shù)g（%）=〃力T，

Xl-X2

且g（x）為奇函數(shù)，則不等式/（"）+/（2〃?一3）＞2的解集為（）

A.（-3,1）B.（-1,3）

C.（-oo,—3）D（1,+OC）D.（—℃,—l）u（3,+＜x＞）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，得到/(一x)+/(x)=2,然后結(jié)合題意，根據(jù)函數(shù)/(x)的單調(diào)性求

解；

【詳解】解析：因?yàn)間(x)為奇函數(shù)，

所以g(-x)+g(x)=O,即/(-x)-l+/(x)-l=O,

所以/(—x)+/(x)=2,所以/(—>)=2一/52),

所以/(>)+/(2加一3)>2等價(jià)于/(2〃?—3)>

又因?yàn)閂%,9eR都有(與一工2)[/(為)一/(/)]<。

所以函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞減，

所以2〃z—3<-m2，

解得一3v加<1,

所以不等式的解集為(-3,1).

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列結(jié)論中正確的是()

A.樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近1,則成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)

B.樣本相關(guān)系數(shù)〃的絕對(duì)值越接近0,則成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱

C.已知變量x,y具有線性相關(guān)關(guān)系，在獲取的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(玉，%),(4，/)....(%，%)中，4,

々，…，x“和％,y2,y.的均值分別為嚏和亍，則點(diǎn)(x,y)必在其經(jīng)驗(yàn)回歸直線上

D.在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越寬，說明模型的擬合效果越好

【答案】ABC

【解析】

【分析】A,B選項(xiàng)根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的意義判斷即可：C選項(xiàng)根據(jù)樣本中心點(diǎn)在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上判斷；D

選項(xiàng)由殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域?qū)捳f明模型的擬合效果判斷.

【詳解】選項(xiàng)A,B,由樣本相關(guān)系數(shù)『的意義可知，

樣本相關(guān)系數(shù)，的絕對(duì)值N越接近i時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng),

樣本相關(guān)系數(shù)廠的絕對(duì)值越接近0,則成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱

故選項(xiàng)A,B正確；

點(diǎn)存必在其經(jīng)驗(yàn)回歸直線上，故選項(xiàng)C正確；

在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合效果越好，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：ABC.

10.甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加演出，下列說法中正確的是（）

A.若甲不在正中間，則不同的排列方式共有96種

B.若甲、乙、丙三人互不相鄰，則不同的排列方式共有6種

C.若甲、丙、丁從左到右的順序一定，則不同的排列方式共有20種

D,若甲不在兩端、丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有24種

【答案】ACD

【解析】

【分析】對(duì)于A：先排甲同學(xué)，再排剩余的同學(xué)，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理運(yùn)算求解；對(duì)于B：先排甲、丙、

丁同學(xué)，再排剩余的同學(xué)，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理運(yùn)算求解；對(duì)于C：利用插空法運(yùn)算求解；對(duì)于選項(xiàng)D：

利用間接法運(yùn)算求解.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)榧撞辉谡虚g，則甲的不同的排列方式有C；=4種，

剩余的四人全排列，不同的排列方式有A：=24種，

所以不同的排列方式共有4x24=96種，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：若甲、乙、丙三人互不相鄰，則甲、乙、丙三人在首位、中間和末位，

則不同的排列方式有A；=6種，

剩余的2人全排列，不同的排列方式有A；=2種，

所以不同的排列方式共有6x2=12種，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：若甲、丙、丁從左到右的順序一定，則有四個(gè)間隔空位，

若乙、戊不相鄰，把乙、戊安排四個(gè)間隔空位中，不同的排列方式共有A；=12種；

若乙、戊相鄰，把兩人看成整體安排四個(gè)間隔空位中，不同的排列方式共有A；C：=8種；

所以不同的排列方式共有12+8=20種，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：若丙和丁相鄰，不同的排列方式共有A；A：=48種，

若甲在兩端、丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有C；A；A；=24種，

所以甲不在兩端、丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有48-24=24種，故D正確;

故選：ACD.

11.已知a〉0,b>o,則下列條件中可以使得'+'的最小值為4的是()

ah

A.ab=lB.a+b=\

1111

C.—j=+-j^=2<2D,—r+—=8

4ay/ba2h2

【答案】BC

【解析】

【分析】利用基本不等式依次求出最值即可求解.

【詳解】選項(xiàng)A,若a/?=1時(shí)，—I——b-\—22,

abb

當(dāng)且僅當(dāng)〃=!時(shí)等號(hào)成立，即〃=l,a=l,故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,若a+Z?=］時(shí)，—+^-=f—+-7+=2+—+—>2+2./—?—=4>

ab\abPab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)2=，時(shí)等號(hào)成立，即“=。=2，故B正確；

ab2

11ch112

選項(xiàng)C,若方=+丁=2.2時(shí)，兩邊平方得一+：+方〒=8n,

7a7bciby/ab

因?yàn)椴炊?，所以卜?-11即J_+』N4,

a+bab

當(dāng)且僅當(dāng)。=匕=，等號(hào)成立，故c正確；

2

選項(xiàng)D,若二+1=8,則--=8,

a2b-h)ah

1I21(\iY

因?yàn)?F所以1—+->——

\ab)ab

所以即、乂4,

ab)2\ab)ab

當(dāng)且僅當(dāng)。=8=，時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤；

2

故選：BC.

InyY

12.已知函數(shù)/(x)=—g(x)=—,則下列說法中正確的是()

A.f(2)>/(3)B.函數(shù)與函數(shù)g(x)有相同的最大值

C.〃2)>g⑵D.方程/(x)=g(x)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根

【答案】BCD

【解析】

【分析】對(duì)于A,對(duì)〃x)=?求導(dǎo)后，可得/(x)=￥在(e,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，又

/(4)=竽=。="2),利用單調(diào)性即可判斷；對(duì)于B,由A可得f(x)max=/(e)=L對(duì)g(x)=］

求導(dǎo)后可得g(x)加=g(l)=J，從而可判斷：對(duì)于C,由/(2)=d2=空,8(2)=2=奔，再

e24ee

〃X)=5'在(e,+8)內(nèi)單調(diào)遞減即可判斷；對(duì)于D,結(jié)合函數(shù)圖像易知方程y(x)=g(x)在(0,e］內(nèi)有

且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，再證明/(x)>g(x)在(備+⑹內(nèi)恒成立，即可判斷.

【詳解】對(duì)于A：/'(同=三等，則當(dāng)0<x<e時(shí)，/'(x)>O,/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)％〉e時(shí)，/'(x)<O,/(x)單調(diào)遞減，所以/⑶>〃4),

又/(4)=野=當(dāng)=/(2)，所以〃2)</(3),故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：由A可得/(力,皿=/a)=:,

因?yàn)間'(x)=宏，則當(dāng)X<1時(shí)，g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>"寸，g'(x)<o,g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)皿=g6=：，B正確；

對(duì)于C：若/(2)>g⑵，即止=庭〉2=昨，

42e2e2

即牛>塔，結(jié)合函數(shù)/(*)=?在(露+8)內(nèi)單調(diào)遞減，且4<e2,故C正確；

對(duì)于D：結(jié)合函數(shù)圖像易知，方程/(x)=g(x)在(0,e］內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

下面證明,在(e,+oo)內(nèi)恒成立,

竹g（x）,即乎十*

當(dāng)x?e,+x>）時(shí)，〃力=平單調(diào)遞減且》<曰所以皿>里，D正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于C,注意到42）=電2=@±g（2）=2=^，從而利用函數(shù)/（1）=叱在

24eex

（e,+8）內(nèi)單調(diào)遞減，即可判斷.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某次數(shù)學(xué)考試中，學(xué)生成績(jī)X~N（11O,〃），若P（95?XV125）=0.72,則P（X>125）=

7

【答案】0.14##—

50

【解析】

【分析】根據(jù)學(xué)生成績(jī)付出正態(tài)分布N（1IO。?），由正態(tài)分布的對(duì)稱性可得

P（X>125）=；（1一P（95<X<125））,即可得答案.

【詳解】由于學(xué)生成績(jī)X?N（110,CT2）,P（95WX4125）=0.72

所以P（X>125）=g（l—P（95VX4125））=；（l-0.72）=0.14

故答案為：0.14.

14.[6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（用數(shù)字作答）.

【答案】-8

【解析】

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解.

【詳解】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式得

(2\4-r/)4一4一

口匕卜(—2)Cb,

由4-芋—4Y=0解得r=l，則常數(shù)項(xiàng)為/(―2x)C1：=—8,

故答案為：-8.

已知函數(shù)外加優(yōu)贊，則”2023)

15.

【答案】2

【解析】

【分析】由函數(shù)的周期性可知/(2023)=/(1),再根據(jù)相應(yīng)的范圍代入相應(yīng)的解析式中即可求解.

【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，由/(%)=/(%-2)得f(x)=〃x+2),

即x>0時(shí)，“X)的周期為2，/(2023)=/(2xl010+l)=/(l),

則〃1)=〃-1)=(-1『+1=2,

故答案為：2.

16.如圖1,拋物線上任意兩點(diǎn)連接所得的弦與拋物線圍成一個(gè)弓形區(qū)域，求拋物線弓形區(qū)域的面積是古希

臘數(shù)學(xué)家阿基米得最優(yōu)美的成果之一，阿基米德的計(jì)算方法是：將弓形區(qū)域分割成無數(shù)個(gè)三角形，然后將

所有三角形的面積加起來就可以得到弓形區(qū)域的面積.第一次分割，如圖2,在弓形區(qū)域里以A6為底邊分

割出一個(gè)三角形ABC「確保過頂點(diǎn)的拋物線￡的切線與底邊AB平行，稱為一級(jí)三角形；第二

次分割，如圖3,以，ABC-兩個(gè)邊AG，BG為底邊，在第一次分割得到的兩個(gè)弓形區(qū)域繼續(xù)分割出兩

個(gè)三角形△G3G，^C22BC),確保過頂點(diǎn)C21，C22的拋物線E的切線分別與AC,,BG平行，△G3G，

△G28G都稱為二級(jí)三角形；重復(fù)上述方法，繼續(xù)分割新產(chǎn)生的弓形區(qū)域……，借助拋物線幾何性質(zhì)，阿

基米德計(jì)算得出任意一級(jí)的所有三角形的面積都相等，且每個(gè)三角形的面積都是其上一級(jí)的一個(gè)三角形面

積的1.設(shè)拋物線E的方程為y=4-f,直線AB的方程為y=x+2,請(qǐng)你根據(jù)上述阿基米德的計(jì)算方

8

法，求經(jīng)過〃次分割后得到的所有三角形面積之和為.

【解析】

27

【分析】理解新定義的概念，先找到一級(jí)三角形的面積SABC=一，再根據(jù)三角形面積的數(shù)量關(guān)系判定每

一級(jí)三角形的面積構(gòu)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和進(jìn)行計(jì)算.

2

【詳解】y^4-x,y'=-2x,

設(shè)與直線A3平行的拋物線E的切線的切點(diǎn)為C；（玉），4一片卜

則一2/=1,解得％=一；，所以6眉?

(115、--------F2r-

所以點(diǎn)G-不二到直線A3的距離為/249V2,

24J

Id='

y=x+2fx=-2fx=1..p-

由，，2解得c或。所以AB=3&‘

y=4-x[y=0[y=311

所以S.ABG=g|A同xd=；x3j^x2^=|‘

根據(jù)規(guī)律，每一級(jí)三角形的個(gè)數(shù)是上一級(jí)個(gè)數(shù)的2倍,

每一級(jí)三角形的面積是上一級(jí)的面積的1，

8

則每一級(jí)三角形的面積S“=2X2"TX（，）=—xf-1

"8⑶8

故經(jīng)過〃次分割后得到的所有三角形面積之和為:

4

9f1Y

故答案為：-1--.

2[14人

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義問題，解題關(guān)鍵是找到關(guān)于面積的數(shù)量關(guān)系.本題中先求出

27(1

SABC,然后根據(jù)每一級(jí)三角形的面積的數(shù)量關(guān)系，表示出s,=KxL，由等比數(shù)列求和公式

求解.考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力.屬于中檔題.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.己知等差數(shù)列｛。"｝的前”項(xiàng)和為S”，4+。7=18,S7=49.

(1)求數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式；

(2)設(shè)b?=an+24,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和T?.

【答案】(1)4=2〃-1

2n+1

⑵1=/+2-2

3

【解析】

&+%=18=24，得從而網(wǎng)a,=1

【分析】(1)由《2=49=7/4=7,%=9,C，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式;

d=2

(2)利用分組求和方法，結(jié)合公式法即可求解.

【小問1詳解】

2+%=18=24

由,&=；9=7?！?得q=7,-9,

eq+3d=74=1

則《

d=2'

所以，數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式區(qū),=2〃-1.

【小問2詳解】

由(1)知，由=q+2%=2〃-1+221

所以，7；,=(1+3+5+-+2/?-1)+(2'+23+25+--+22"-')

匕止。

21-4

1+1

-2

=n

3

18.為研究在校學(xué)生每天玩手機(jī)時(shí)間是否大于1小時(shí)和學(xué)生近視之間的關(guān)聯(lián)性，某視力研究機(jī)構(gòu)采取簡(jiǎn)單隨

機(jī)抽樣的方法，調(diào)查了2000名在校學(xué)生，得到成對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)，樣本中有40%的學(xué)生近視，有20%的

學(xué)生每天玩手機(jī)超過1小時(shí)，而每天玩手機(jī)超過1小時(shí)的學(xué)生近視率為50%.

(1)根據(jù)上述成對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)，完成如下2x2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.001獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析每

天玩手機(jī)時(shí)間是否超過1小時(shí)會(huì)不會(huì)影響視力.

視力情況

每天玩手機(jī)時(shí)間合計(jì)

近視不近視

超過1小時(shí)

不足1小時(shí)

合計(jì)

(2)從近視的學(xué)生中隨機(jī)抽取8人，其中每天玩手機(jī)時(shí)間超過1小時(shí)的2人，不超過1小時(shí)的6人，現(xiàn)從8

人中隨機(jī)選出3人，設(shè)3人中每天玩手機(jī)時(shí)間超過1小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列.

n(ad-be)2

參考公式：X"—

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù)：下表是72獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1)列聯(lián)表見解析，長(zhǎng)時(shí)間(每天超過1小時(shí))玩手機(jī)與視力情況有關(guān)聯(lián)

(2)分布列見解析

【解析】

【分析】(1)先列出2x2列聯(lián)表，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)公式求解即可；

(2)由離散型隨機(jī)變量的分布列求解.

【小問1詳解】

視力情況

每天玩手機(jī)時(shí)間合計(jì)

近視不近視

超過1小時(shí)200200400

不足1小時(shí)60010001600

合計(jì)80012002000

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到

2000(200x1000-200x600)?

?20.833>10.828

400x1600x800x1200

根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為長(zhǎng)時(shí)間(每天超過1小時(shí))玩手機(jī)與視力情況有關(guān)聯(lián).

【小問2詳解】

隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2.

貝小便=。)=萼=得，P(X=D=萼=葛，P(X=2)=^=W'

JJZOJZO

所以X的分布列為

X012

5153

P

142828

19.已知函數(shù)/(“bd-zk-d+i.

⑴若函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，求a的值；

(2)當(dāng)a>0時(shí)，若函數(shù)/(力在［0,2］上的最小值為0,求。的值.

【答案】(l)a=0

1

(2)?=-

2

【解析】

【分析】⑴由“X)為偶函數(shù)，/(—)=/(可直接求解即可.

、f(%-l)2+2a,x>a

(2)先分段討論，找出/(尤)=〈,,討論函數(shù)的單調(diào)性，由此找到最小值.

(x+l)2-2a,x<a

【小問1詳解】

若函數(shù)/(X)為偶函數(shù),

則/(—x)=/(x),即(一x)~—2|一x-a1+1=無?一2|x一+1,

所以卜+4=卜一。|,

所以4=0.

【小問2詳解】

(x-1)2+2a,x>a

a>0時(shí),〃x)=,

(x+1)2-2a,x<a

當(dāng)0vav1時(shí),

/(x)在［0,a)內(nèi)單調(diào)遞增，在(a,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1,2］內(nèi)單調(diào)遞增,

又/(O)=l-2a,/(l)=2a,所以1-24=0,解得a=—,

當(dāng)aNl時(shí)，/(x)在［0,2］內(nèi)單調(diào)遞增，

所以/(0)=1-2。=0,解得a=g(舍)，

綜上:a='.

2

|Q1

20.已知函數(shù)/(x)=at?+%_|....-(a>0).

(1)若x=l是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)，求。的值；

(2)若函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

【答案】(l)a=l

八1

(2)0<a<-

e

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值.

(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、圖象，根據(jù)函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)求解.

【小問1詳解】

函數(shù)“X)的定義域?yàn)?0,+8)，

32a2x2+ax-3_(ax-l)(2ax+3)

f(x}=2ax+l——二

axaxax

因?yàn)椤！?,所以舉匚二〉0,

ax

若x=l是函數(shù)的極值點(diǎn)，則a—1=0,所以a=l.

當(dāng)a=H寸，若制勺>0則》>1,函數(shù)/(x)在(1,+00)上單調(diào)遞增，

若廣(6<0則0<x<L函數(shù)/(4)在(0,1)上單調(diào)遞減,

所以x=1是函數(shù)/(x)的極小值點(diǎn)，此時(shí)a=l.

【小問2詳解】

由⑴知，

若制x)>0,則x>J,函數(shù)/(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

若r(x)<0,則0<x<5,函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,j上單調(diào)遞減，

所以x=L是函數(shù)/(x)的極小值點(diǎn)，/(x)min=/])=3+：na,

當(dāng)x->0時(shí)，/(x)->+oo,當(dāng)xf+oo時(shí)，/(x)->+oo,

所以若函數(shù)/(另有兩個(gè)零點(diǎn)，則僅需/(;)=3+：na<0,

所以0<a<一.

e

21.甲乙兩名同學(xué)玩“猜硬幣，向前進(jìn)”的游戲，規(guī)則是：每一局拋一次硬幣，甲乙雙方各猜一個(gè)結(jié)果，要求

雙方猜的結(jié)果不能相同，猜對(duì)的一方前進(jìn)2步，猜錯(cuò)的一方后退1步，游戲共進(jìn)行〃(〃eN*)局，規(guī)定游戲

開始時(shí)甲乙初始位置一樣.

(I)當(dāng)〃=3時(shí)，設(shè)游戲結(jié)束時(shí)甲與乙的步數(shù)差為X，求隨機(jī)變量X的分布列；

(2)游戲結(jié)束時(shí)，設(shè)甲與乙的步數(shù)差為F，求￡(丫)，。(丫)(結(jié)果用〃表示).

【答案】(1)分布列見解析；

(2)E(r)=0,D(Y)=9n.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求解即可；

(2)設(shè)在“局游戲結(jié)束時(shí)，甲共猜對(duì)了J次，則可得丫=6自一3〃，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望與方

差公式及性質(zhì)即可求解.

【小問1詳解】

當(dāng)〃=3時(shí)，隨機(jī)變量X所有可能取值為一9,一3,3,9,

P(X=—9)=C”』,

2)=鳴4

所以，隨機(jī)變量X的分布列為

X-9-333

133

P

8888

【小問2詳解】設(shè)在〃局游戲結(jié)束時(shí)，甲共猜對(duì)了4次，則4~8(〃,3),

因?yàn)?，甲與乙的步數(shù)差丫=[2>(〃-4)卜[2(八-劣-4]=64-3〃，

所以，E(y)=6E(。)—3〃=6〃x；-3