調(diào)和點列在平面幾何中的應(yīng)用

調(diào)和點列在平面幾何中的應(yīng)用調(diào)和點列在幾何證明中有著十分廣泛的應(yīng)用，它與梅尼勞斯定理、極線都有著十分密切的關(guān)聯(lián)。下面先給出調(diào)和點列的定義：定義：直線上依次四點A、B、C、D滿足，則稱A、B、C、D四點構(gòu)成調(diào)和點列。由交比的定義：交比（A、B、C、D）=知A、B、C、D四點構(gòu)成調(diào)和點列的充要條件是交比（A、C、B、D）=-1調(diào)和點列具有以下常用性質(zhì)：性質(zhì)1：在梅尼勞斯圖形中，三角形ABC被直線DEF所截，BE、CD交與點G，AG的延長線交BC與點H，則B、H、C、F成調(diào)和點列證明：由塞瓦定理，，故由梅尼勞斯定理，，故所以由定義知，B、H、C、F成調(diào)和點列性質(zhì)2：若A、B、C、D成調(diào)和點列，O為平面上一點，則任意一條直線截OA、OB、OC、OD得到的四個點也成調(diào)和點列。我們稱由O發(fā)出的4條射線OA、OB、OC、OD為調(diào)和線束。這是調(diào)和點列的一個重要性質(zhì)。證明：如圖，設(shè)直線l交OA、OB、OC、OD于E、F、G、H過A作l的平行線交OB、OC、OD于B1、C1、D1由平行線分線段成比例知交比（E、G、F、H）=交比（A、C1、B1、D1）由梅尼勞斯定理，，所以交比（A、C1、B1、D1）==交比（A、C、B、D）=-1故交比（E、G、F、H）=-1即E、F、G、H成調(diào)和點列。證畢性質(zhì)3：如圖，A為圓O外一點，AB、AC為圓O的切線，ADEF截圓O與D、F，交BC與點E則A、D、E、F四點調(diào)和證明:①又而故①成立。得證！注：本題說明，過圓所在平面上任意一點的直線與圓的兩個交點、與此點關(guān)于圓的極線的交點、此點本身四點構(gòu)成調(diào)和點列。事實上，可以將此性質(zhì)中的圓推廣為一般的二次曲線由此我們想到調(diào)和點列的性質(zhì)5為此我們?nèi)↑cE使B、D、C、E四點成調(diào)和點列由性質(zhì)五，下只要證注意到，只要證P、M、H、E四點共圓即DM*DP=DH*DE①設(shè)K與D為內(nèi)切圓上的兩個對徑點，則從而所以DM*DP=MH*KD=r*AH（r為內(nèi)切圓半徑）②由B、D、C、E成調(diào)和點列知：所以又而=DH*DE③由②及③知①成立，故從而//取弧BC上的中點N，由1）知P、D、N共線由引理：兩圓內(nèi)切于P，MN為其中一圓切線，切點為A，B為弧MN中點，則P、A、B共線易知結(jié)論成立題2已知圓I內(nèi)切于三角形ABC，切BC于點D，連AD，設(shè)E為AD上一點，連AD，設(shè)E為AD上一點，連BE、CE分別交圓I于M，N連BN、CM求證：BN、CM、AD共點證：設(shè)FG交CB于點K即K、B、D、C四點調(diào)和由性質(zhì)一，只要證K、M、N共線即可證明BN，CM，ED共點反設(shè)KM交圓I與N’（除N外的一點）CN’交BE于點L,LD交MN’于T，AD交MN’于T’由K、B、D、C四點調(diào)和及性質(zhì)2知K，M，T，N’四點調(diào)和注意到A點極線過K，所以K點極線過A又K點極線過D，故DA為點K關(guān)于圓I的極線由性質(zhì)3知K、M、T’、N’調(diào)和故T=T’從而LD與AD重合即L與E重合，N與N’重合矛盾！故K、M、N共線原命題得證！題3已知X為圓O外一點，過X作圓O的切線，切點為A、B過X作圓O的割線XCD滿足CA與BD交于F，CD與AB交于G，BD與GX中垂線交于H求證：X、F、G、H四點共圓證：如圖，易知X、D、G、C四點調(diào)和（由性質(zhì)3）又由性質(zhì)5知FD平分所以FGH的外接圓半徑為，F(xiàn)XH的外接圓半徑為由H在GX的中垂線上知：HG=HX又，所以FGH的外接圓半徑等于FXH的外接圓半徑從而若是前者，有GD=XD不可能！故只能為從而F，