人教課標(biāo)版高中數(shù)學(xué)選修第一講 不等式和絕對值不等式一 不等式學(xué)案

2．絕對值不等式的解法1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法只需將ax＋b看成一個整體，即化成|x|≤a，|x|≥a(a>0)型不等式求解．|ax＋b|≤c(c>0)型不等式的解法：先化為－c≤ax＋b≤c，再由不等式的性質(zhì)求出原不等式的解集．不等式|ax＋b|≥c(c>0)的解法：先化為ax＋b≥c或ax＋b≤－c，再進(jìn)一步利用不等式性質(zhì)求出原不等式的解集．2．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法①利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，理解絕對值的幾何意義，給絕對值不等式以準(zhǔn)確的幾何解釋是解題關(guān)鍵．②以絕對值的零點(diǎn)為分界點(diǎn)，將數(shù)軸分為幾個區(qū)間，利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)分類討論的思想．確定各個絕對值符號內(nèi)多項(xiàng)式的正、負(fù)性，進(jìn)而去掉絕對值符號是解題關(guān)鍵．③通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的思想，正確求出函數(shù)的零點(diǎn)并畫出函數(shù)圖象(有時需要考查函數(shù)的增減性)是解題關(guān)鍵．|ax＋b|≤c與|ax＋b|≥c(c>0)型的不等式的解法解下列不等式：(1)|5x－2|≥8；(2)2≤|x－2|≤4.利用|x|>a及|x|<a(a>0)型不等式的解法求解．(1)|5x－2|≥8?5x－2≥8或5x－2≤－8?x≥2或x≤－eq\f(6,5)，∴原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2或x≤－\f(6,5))))).(2)原不等式價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－2|≥2，①,|x－2|≤4.②))由①得x－2≤－2，或x－2≥2，∴x≤0或x≥4.由②得－4≤x－2≤4，∴－2≤x≤6.∴原不等式的解集為{x|－2≤x≤0或4≤x≤6}．|ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法：①當(dāng)c>0時，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c，|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c.②當(dāng)c＝0時，|ax＋b|≥c的解集為R，|ax＋b|<c的解集為?.③當(dāng)c<0時，|ax＋b|≥c的解集為R，|ax＋b|≤c的解集為?.1．解下列不等式：(1)|3－2x|<9；(2)|x－x2－2|>x2－3x－4；(3)|x2－3x－4|>x＋1.解：(1)∵|3－2x|<9，∴|2x－3|<9.∴－9<2x－3<9.即－6<2x<12.∴－3<x<6.∴原不等式的解集為{x|－3<x<6}．(2)∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2|，而x2－x＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(7,4)>0，∴|x－x2－2|＝|x2－x＋2|＝x2－x＋2.故原不等式等價于x2－x＋2>x2－3x－4?x>－3.∴原不等式的解集為{x|x>－3}．(3)不等式可轉(zhuǎn)化為x2－3x－4>x＋1或x2－3x－4<－x－1，∴x2－4x－5>0或x2－2x－3<0.解得x>5或x<－1或－1<x<3，∴不等式的解集是(5，＋∞)∪(－∞，－1)∪(－1,3)．2．已知常數(shù)a滿足－1＜a＜1，解關(guān)于x的不等式：ax＋|x＋1|≤1.解：若x≥－1，則ax＋x＋1≤1，即(a＋1)x≤0.因?yàn)椋?＜a＜1，所以x≤0.又x≥－1，所以－1≤x≤0.若x＜－1，則ax－x－1≤1，即(a－1)x≤2.因?yàn)椋?＜a＜1，所以x≥eq\f(2,a－1).因?yàn)椋?＜a＜1，所以eq\f(2,a－1)－(－1)＝eq\f(a＋1,a－1)＜0.所以eq\f(2,a－1)≤x＜－1.綜上所述，eq\f(2,a－1)≤x≤0.故不等式的解集為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,a－1)，0)).|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法解不等式|x－3|－|x＋1|<1.解該不等式，可采用三種方法：(1)利用絕對值的幾何意義；(2)利用各絕對值的零點(diǎn)分段討論；(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)圖象分析求解．法一：在數(shù)軸上－1,3，x對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，C，P，而B點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)為eq\f(1,2)，B點(diǎn)到C點(diǎn)的距離與到A點(diǎn)的距離之差為1.由絕對值的幾何意義知，當(dāng)點(diǎn)P在射線Bx上(不含B點(diǎn))時不等式成立，故不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2))))).法二：原不等式?①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1，,－x－3＋x＋1<1))或②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x<3，,－x－3－x＋1<1))或③eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥3，,x－3－x＋1<1.))①的解集為?，②的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<3))))，③的解集為{x|x≥3}．綜上所述，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2))))).法三：將原不等式轉(zhuǎn)化為|x－3|－|x＋1|－1<0，構(gòu)造函數(shù)y＝|x－3|－|x＋1|－1，即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，,－2x＋1，,－5，))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－1，,－1<x<3，,x≥3.))作出函數(shù)的圖象(如下圖所示)，它是分段函數(shù)，函數(shù)與x軸的交點(diǎn)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，由圖象可知，當(dāng)x>eq\f(1,2)時，有y<0，即|x－3|－|x＋1|－1<0，所以原不等式的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2))))).|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的三種解法：分區(qū)間(分類)討論法、圖象法和幾何法．分區(qū)間討論的方法具有普遍性，但較麻煩；幾何法和圖象法直觀，但只適用于數(shù)據(jù)較簡單的情況．3．解不等式|2x－1|＋|3x＋2|≥8.解：①當(dāng)x≤－eq\f(2,3)時，|2x－1|＋|3x＋2|≥8?1－2x－(3x＋2)≥8?－5x≥9?x≤－eq\f(9,5)，∴x≤－eq\f(9,5)；②當(dāng)－eq\f(2,3)<x<eq\f(1,2)時，|2x－1|＋|3x＋2|≥8?1－2x＋3x＋2≥8?x＋3≥8?x≥5，∴x∈?；③當(dāng)x≥eq\f(1,2)時，|2x－1|＋|3x＋2|≥8?5x＋1≥8?5x≥7?x≥eq\f(7,5)，∴x≥eq\f(7,5).∴原不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,5)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)，＋∞)).4．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))＋|x－a|(a＞0)．(1)證明：f(x)≥2；(2)若f(3)＜5，求a的取值范圍．解：(1)證明：由a＞0，得f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))＋|x－a|≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)－x－a))＝eq\f(1,a)＋a≥2，所以f(x)≥2.(2)f(3)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,a)))＋|3－a|.當(dāng)a＞3時，f(3)＝a＋eq\f(1,a)，由f(3)＜5，得3＜a＜eq\f(5＋\r(21),2).當(dāng)0＜a≤3時，f(3)＝6－a＋eq\f(1,a)，由f(3)＜5，得eq\f(1＋\r(5),2)＜a≤3.綜上所述，a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(5),2)，\f(5＋\r(21),2))).含絕對值不等式的恒成立問題已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集為R；(3)若不等式解集為?，分別求出m的取值范圍．解答本題可以先根據(jù)絕對值|x－a|的意義或絕對值不等式的性質(zhì)求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分別寫出三種情況下m的取值范圍．法一：因|x＋2|－|x＋3|的幾何意義為數(shù)軸上任意一點(diǎn)P(x)與兩定點(diǎn)A(－2)，B(－3)距離的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.又(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的取值范圍為(－∞，1)；(2)若不等式的解集為R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值還小，即m＜－1，m的取值范圍為(－∞，－1)；(3)若不等式的解集為?，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范圍為．6．把本例中的“－”改成“＋”，即|x＋2|＋|x＋3|>m時，分別求出m的取值范圍．解：|x＋2|＋|x＋3|≥|(x＋2)－(x＋3)|＝1，即|x＋2|＋|x＋3|≥1.(1)若不等式有解，m為任何實(shí)數(shù)均可，即m∈R；(2)若不等式解集為R，即m∈(－∞，1)；(3)若不等式解集為?，這樣的m不存在，即m∈?.課時跟蹤檢測(五)1．不等式|x＋1|>3的解集是()A．{x|x<－4或x>2} B．{x|－4<x<2}C．{x|x<－4或x≥2} D．{x|－4≤x<2}解析：選A|x＋1|>3，則x＋1>3或x＋1<－3，因此x<－4或x>2.2．滿足不等式|x＋1|＋|x＋2|<5的所有實(shí)數(shù)解的集合是()A．(－3,2) B．(－1,3)C．(－4,1)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(7,2)))解析：選C|x＋1|＋|x＋2|表示數(shù)軸上一點(diǎn)到－2，－1兩點(diǎn)的距離和，根據(jù)－2，－1之間的距離為1，可得到－2，－1距離和為5的點(diǎn)是－4,1.因此|x＋1|＋|x＋2|<5解集是(－4,1)．3．不等式1≤|2x－1|<2的解集為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))解析：選D由1≤|2x－1|<2，得1≤2x－1<2或－2<2x－1≤－1，因此－eq\f(1,2)<x≤0或1≤x<eq\f(3,2).4．若關(guān)于x的不等式|x－1|＋|x＋m|＞3的解集為R，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，－4)∪(2，＋∞) B．(－∞，－4)∪(1，＋∞)C．(－4,2) D．解析：選A由題意知，不等式|x－1|＋|x＋m|＞3恒成立，即函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x＋m|的最小值大于3，根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)可得|x－1|＋|x＋m|≥|(x－1)－(x＋m)|＝|m＋1|，故只要滿足|m＋1|＞3即可，所以m＋1＞3或m＋1＜－3，解得m＞2或m＜－4，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．5．不等式|x＋2|≥|x|的解集是________．解析：∵不等式兩邊是非負(fù)實(shí)數(shù)，∴不等式兩邊可以平方，兩邊平方，得(x＋2)2≥x2，∴x2＋4x＋4≥x2，即x≥－1，∴原不等式的解集為{x|x≥－1}．答案：{x|x≥－1}6．不等式|2x－1|－x<1的解集是__________．解析：原不等式等價于|2x－1|<x＋1?－x－1<2x－1<x＋1?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x>0，,x<2))?0<x<2.答案：{x|0<x<2}7．已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|－|a2－2a|，若函數(shù)f(x)的圖象恒在x軸上方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．解析：因?yàn)閨x＋1|＋|x－2|≥|x＋1－(x－2)|＝3，所以f(x)的最小值為3－|a2－2a|.由題意，得|a2－2a|＜3，解得－1<a<3.答案：(－1,3)8．解不等式：|x2－2x＋3|<|3x－1|.解：原不等式?(x2－2x＋3)2<(3x－1)2?<0?(x2＋x＋2)(x2－5x＋4)<0?x2－5x＋4<0(因?yàn)閤2＋x＋2恒大于0)?1<x<4.所以原不等式的解集是{x|1<x<4}．9．解關(guān)于x的不等式|2x－1|<2m－1(m∈R)．解：若2m－1<0，即m≤eq\f(1,2)，則|2x－1|<2m－1恒不成立，此時，原不等式無解；若2m－1>0，即m>eq\f(1,2)，則－(2m－1)<2x－1<2m－1，所以1－m<x<m.綜上所述：當(dāng)m≤eq\f(1,2)時，原不等式的解集為?；當(dāng)m>eq\f(1,2)時，原不等式的解集為{x|1－m<x<m}．10．已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)當(dāng)a＝－2時，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)設(shè)a＞－1，且當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(1,2)))時，f(x)≤g(x)，求a的取值范圍．解：(1)當(dāng)a＝－2時，不等式f(x)＜g(x)化為|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.設(shè)函數(shù)y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－5x，x＜\f(1,2)，,－x－2，\f(1,2)≤x≤1，,3x－6，x＞1.))其圖象如圖所示．從圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)x∈(0,2)時，y＜0，所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(1,2)))時，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化為1＋a≤x＋3，所以x≥a－2對x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(1,2)))都成立．故－eq\f(a,2)≥a－2，即a≤eq\f(4,3).從而a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(4,3))).本講高考熱點(diǎn)解讀與高頻考點(diǎn)例析考情分析從近兩年的高考試題來看，絕對值不等式主要考查解法及簡單的應(yīng)用，題目難度中檔偏下，著重考查學(xué)生的分類討論思想及應(yīng)用能力．解絕對值不等式的關(guān)鍵是去掉絕對值符號，化成不含絕對值的不等式，其一是依據(jù)絕對值的意義；其二是先令每一個絕對值等于零，找到分界點(diǎn)，通過討論每一區(qū)間內(nèi)的代數(shù)式的符號去掉絕對值．真題體驗(yàn)1．(湖南高考)若實(shí)數(shù)a，b滿足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，則ab的最小值為()A.eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．4解析：選C由eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，知a＞0，b＞0，所以eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(2,ab))，即ab≥2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＝\f(2,b)，,\f(1,a)＋\f(2,b)＝\r(ab)，))即a＝eq\r(4,2)，b＝2eq\r(4,2)時取“＝”，所以ab的最小值為2eq\r(2).2．(重慶高考)設(shè)a，b>0，a＋b＝5，則eq\r(a＋1)＋eq\r(b＋3)的最大值為________．解析：令t＝eq\r(a＋1)＋eq\r(b＋3)，則t2＝a＋1＋b＋3＋2eq\r(a＋1b＋3)＝9＋2eq\r(a＋1b＋3)≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，當(dāng)且僅當(dāng)a＋1＝b＋3時取等號，此時a＝eq\f(7,2)，b＝eq\f(3,2).∴tmax＝eq\r(18)＝3eq\r(2).答案：3eq\r(2)3．(重慶高考)若函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值為5，則實(shí)數(shù)a＝________.解析：由于f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|，當(dāng)a>－1時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋2a－1x<－1，,－x＋2a＋1－1≤x≤a，,3x－2a＋1x>a.))作出f(x)的大致圖象如圖所示，由函數(shù)f(x)的圖象可知f(a)＝5，即a＋1＝5，∴a＝4.同理，當(dāng)a≤－1時，－a－1＝5，∴a＝－6.答案：－6或44.(全國乙卷)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)畫出y＝f(x)的圖象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集．解：(1)由題意得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4，x≤－1，,3x－2，－1<x≤\f(3,2)，,－x＋4，x>\f(3,2)，))故y＝f(x)的圖象如圖所示．(2)由f(x)的函數(shù)表達(dá)式及圖象可知，當(dāng)f(x)＝1時，可得x＝1或x＝3；當(dāng)f(x)＝－1時，可得x＝eq\f(1,3)或x＝5.故f(x)>1的解集為{x|1<x<3}，f(x)<－1的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,3)或x>5)))).所以|f(x)|>1的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,3)或1<x<3或x>5)))).5．(江蘇高考)設(shè)a＞0，|x－1|＜eq\f(a,3)，|y－2|＜eq\f(a,3)，求證：|2x＋y－4|＜a.證明：因?yàn)閨x－1|＜eq\f(a,3)，|y－2|＜eq\f(a,3)，所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|＜2×eq\f(a,3)＋eq\f(a,3)＝a.6．(全國丙卷)已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋a.(1)當(dāng)a＝2時，求不等式f(x)≤6的解集；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝|2x－1|.當(dāng)x∈R時，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范圍．解：(1)當(dāng)a＝2時，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集為{x|－1≤x≤3}．(2)當(dāng)x∈R時，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥3，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))≥eq\f(3－a,2).又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))))min＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(a,2)))，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(a,2)))≥eq\f(3－a,2)，解得a≥2.所以a的取值范圍是“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的()A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件易得a>b且c>d時必有a＋c>b＋d.若a＋c>b＋d時，則可能有a>b且c>d.A基本不等式的應(yīng)用利用基本不等式求最值問題一般有兩種類型：①和為定值時，積有最大值；②積為定值時，和有最小值，在具體應(yīng)用基本不等式解題時，一定要注意適用的范圍和條件：“一正、二定、三相等”．已知x，y，z∈R＋，x－2y＋3z＝0，則eq\f(y2,xz)的最小值為________．由x－2y＋3z＝0，得y＝eq\f(x＋3z,2)，則eq\f(y2,xz)＝eq\f(x2＋9z2＋6xz,4xz)≥eq\f(6xz＋6xz,4xz)＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3z時，等號成立．3設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)＋abc≥2eq\r(3).因?yàn)閍，b，c為正實(shí)數(shù)，由平均不等式可得eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)≥3eq\r(3,\f(1,a3)·\f(1,b3)·\f(1,c3)).即eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)≥eq\f(3,abc)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，等號成立．所以eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)＋abc≥eq\f(3,abc)＋abc，而eq\f(3,abc)＋abc≥2eq\r(\f(3,abc)·abc)＝2eq\r(3).所以eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)＋abc≥2eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)abc＝eq\r(3)時，等號成立.含絕對值的不等式的解法1.公式法|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)；|f(x)|<g(x)?－g(x)<f(x)<g(x)．2．平方法|f(x)|>|g(x)|?2>2.3．零點(diǎn)分段法含有兩個以上絕對值符號的不等式，可先求出使每個含絕對值符號的代數(shù)式值等于零的未知數(shù)的值，將這些值依次在數(shù)軸上標(biāo)注出來，它們把數(shù)軸分成若干個區(qū)間，討論每一個絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式在每一個區(qū)間上的符號，轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式去解．解下列關(guān)于x的不等式：(1)|x＋1|>|x－3|；(2)|x－2|－|2x＋5|>2x.(1)法一：|x＋1|>|x－3|，兩邊平方得(x＋1)2>(x－3)2，∴8x>8.∴x>1.∴原不等式的解集為{x|x>1}．法二：分段討論：當(dāng)x≤－1時，有－x－1>－x＋3，此時x∈?；當(dāng)－1<x≤3時，有x＋1>－x＋3，即x>1，此時1<x≤3；當(dāng)x>3時，有x＋1>x