2024年重慶市普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試猜題信息卷（二）數(shù)學試題含答案

2024年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試猜題信息卷(二)

數(shù)學

注意事項：

1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題

卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。

寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答:用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試題卷、草稿紙

和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的。

1.若復數(shù)z=崎詈,則復數(shù)z在復平面內對應的點位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合4={工62⑵Lii-4&0},B={x[y=lg^}/!|An(C([B)=

A.{1,2,3}B.{2,3}C.E1.3]D.(1,3]

3.某圓臺的下底面周長是上底面周長的4倍，母線長為10,該圓臺的側面積為100“,則該圓臺

的體積為

A.184Ka208KC.224KD.2487r

4.在AABC中，點D為線段BC的中點，點E滿足正=2EA,^AB=XAD+PBE,則a+〃的

值為

A/B-TC-_1D.一/

2

5.設(工+2尸+(H+2)'+CC+2)3+(H+2)'+…+(工+2)‘°=劭+%(x+1)+a2(x+l)+

3

a3(x+l)H---FaMCr+1)”,則的值為

A.Cla2alC.ClD.2cl

6.已知A(-2,0),B(2,0),若圓G-a-l)2+6-3a+2)2=4上存在點P滿足溟?PB=5,

則a的取值范圍是

A.[-1,2]RL-2,1]C.[-2,3]D.[-3,2]

7.已知正方形ABCD的頂點均在表面積為41t的球O的球面上，則當四棱錐O-ABCD的體積

取得最大值時，點O到平面ABCD的距離為

A?亨B.烏C.§D.§

[2024年猜題信息卷(二)?數(shù)學第1頁(共4頁)】

8.已知函數(shù)y（x）=^—ln（x—1）—Ina十1,若/Cr）>0對任意的zG（1,+8）恒成立，則a的

取值范圍是

A.（0/1B.（0,e]C.（0,e+[D.（0,e2]

二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求。全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則下列說法正確的是

A.若sinA>sinB,則A>B

B.若acosA=bcosB.^JAABC是等腰三角形

C.若cos2A+cos2B-cos2C=l,則AABC為直角三角形

D.若A4BC為銳角三角形,則sinA+sinB<cosA+cosB

10.已知函數(shù)/（j：）=（sin工+cosh）?—sin2H,則下列說法正確的是

A.函數(shù)/殳）在（一々,0）上單調遞增

B.函數(shù)人工）的圖象關于直線工=中對稱

C.不等式/（力》0的解集為[一￡+2標，竽+2同oez）

D.函數(shù)人工）的值域為

11.已知雙曲線C看一田=1的左、右焦點分別為F1,F”點P是C的右支上的一點,C在點P

處的切線與C的漸近線交于M,N兩點,O為坐標原點，則下列說法正確的是

A.直線BP的斜率的取值范圍是（一1,1）

B.點P到C的兩條漸近線的距離之積為1

2

C.\PO\=\PFi\?|PF2|

D.IPM|=IPN|

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分。

12.已知某品牌的新能源汽車的使用時間工（年）與維護費用y（千元）之間有如下數(shù)據(jù):

使用時間Z（年）246810

維護費用y（千元）2.43.24.46.87.6

若工與y之間具有線性相關關系，且y關于工的線性回歸方程為?=0.72+2據(jù)此估計，該

品牌的新能源汽車的使用時間為12年時,維護費用約為千元.

13.已知M（3,0）,拋物線/=4工的焦點為F,準線為八點A是直線/與工軸的交點，過拋物線

上一點P作直線I的垂線，垂足為Q,直線PF與MQ相交于點N,若研+而3=加，則

△AMN的面積為.

14.已知非負實數(shù)m,n滿足2m（加+2九）+/（m2+2）=9,則m+的最大值為

[2024年猜題信息卷（二）?數(shù)學第2頁（共4頁）】

四、解答題:本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(本小題滿分13分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD_L平面ABCD,PD=CD=2,AD=AB=1,AB_LDA,

AB〃CD,點M是棱PC的中點.

(1)求證:BM〃平面PAD；

(2)求平面PAB與平面BMD的夾角的余弦值.

16.(本小題滿分15分)

已知函數(shù)/(N)=ae”一工一^Q€R).

(1)討論了(公的單調性；

(2)證明：當a>0時,f(￡)>21na-a2.

17.(本小題滿分15分)

2024年誕生的首個網紅城市，非哈爾濱莫屬.從“爾濱”“濱子”“南方小土豆”“廣西砂糖橘”

這些雙方間親密、趣味的稱呼和各方的好評可以看出，哈爾濱在這個冰雪季推出的活動很受

歡迎和認可.統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，今年元旦假期，擁有900多萬常住人口的哈爾濱累計接待游客

超過300萬人次，實現(xiàn)旅游總收入59億元,雙雙達到歷史峰值.為了能夠讓游客感到賓至如

歸的服務，某校號召學生利用周末從事志愿活動，高三(2)班某學習小組有男生4人，女生

2人，現(xiàn)隨機選取2人作為志愿者參加活動，志愿活動共有交通協(xié)管員、旅游宣傳員、文明監(jiān)

督員三項可供選擇.每名女生至多從中選擇參加2項活動，且選擇參加1項或2項的可能性

均為f每名男生至少從中選擇參加2項活動，且選擇參加2項或3項的可能性也均為去

每人每參加1項活動可獲得綜合評價5分,選擇參加幾項活動彼此互不影響.

(1)在有女生參加活動的條件下，求恰有一名女生參加活動的概率；

(2)記隨機變量X為隨機選取的兩人得分之和，求X的分布列和數(shù)學期望.

[2024年猜題信息卷(二)?數(shù)學第3頁(共4頁)】

18.(本小題滿分17分)

已知橢圓C§+/=l(a＞方＞0)的右頂點為A(3,0),離心率為名，過點P(3,2)的直線Z

與C交于M,N兩點.

(D若C的上頂點為B,直線BM，BN的斜率分別為",k2，求的值；

k2

(2)過點M且垂直于1軸的直線交直線AN于點Q,證明:線段MQ的中點在定直線上.

19.(本小題滿分17分)

已知數(shù)列｛4｝，給出兩個性質：

①對于任意的KN.，存在用GR,當時，都有與一七》由GT)成立；

②對于任意的EGN*,。2,存在囪GR,當，V3jGN*時，都有勺一心》比。一力成立.

(1)已知數(shù)列｛4｝滿足性質①，且也=1QGN*)M1=2,4=5,試寫出&，4的值；

(2)已知數(shù)列益｝的前〃項和為S”,且S”=26”-3,證明:數(shù)列｛"｝滿足性質①；

(3)若數(shù)列(cj滿足性質①②，且當,￡22時，同時滿足性質①②的由存在且唯一，證

明:數(shù)列化力是等差數(shù)列.

[2024年猜題信息卷(二)?數(shù)學第4頁(共4頁)】

數(shù)學（二）參考答案

1.B由題意知z=管=唐=翟融乎一方+親，所以復數(shù)z在復平面內對應的點為（一十，

*俳）,位于第二象限.故選B.

2.A由題意知《={1￡2|2"11_4《0}=巨62||了-1|42}={_1,0,1,2,3},5=1]b=18蕓）=

（一8,l）U（4,+8）,所以CRB=[l,<],所以An（CRB）={l,2,3}.故選A.

3.C設圓臺的上底面的半徑為廠,下底面的半徑為R，則2點=4X2k,故R=4八因為該圓臺的側面積為

100兀,母線長2=10,所以n（r+4r）X10=100n,解得r=2,則R=8,所以圓臺上底面的面積為才=4兀，下底

面的面積為位2=6鈕,圓臺的高h=，1一（R-r）2=，100—36=8,所以該圓臺的體積V=[>X（4n+

&X647r+64n）X8=2247r.故選C.

一一~AD~=^1-（~A*B*+-A?O,——

4.D因為點D為線段BC的中點，點E滿足CE=2EA,所以———_?消去AC,得2AD

BE=AE—AB=-^-AC—AB1

一3BE=4AB,所以AB=}W-^BEfAD+〃BE,所以入=專,〃=一半所以;l+尸一方.故選D.

5.C由題意知&=U+C+C+C+C+???+Co=C+c；+Q+C+C+…+C=C+Q+C+C+

…+1=（3】?故選c.

6.A設點PGCQ）,則法=（一]一2,一？）,逸=（-i+2,-y）,所以函?跡=（一1—2）（+2）+/=5,

所以P的軌跡方程為/+/=9,圓心為（0,0）,半徑為3.由此可知圓（了一。-1）2+6—3口+2）2=4與3+

丁=9有公共點，又圓（工一。-1）2+（3—34+2）2=4的圓心為（a+1,3a—2）,半徑為2,所以14

，儲+1）2+（3.-2）245,解得一1&。42,即a的取值范圍是[-1,2].故選A.

7.A設正方形ABCD的中心為E,連接OE,由球的性質可知血平面極孫設球

O的半徑為R,所以4冊=4”,解得R=l.設正方形ABCD的邊長為石因為正方形

ABCD的頂點均在表面積為4n的球O的球面上,且不在大圓上，所以xE（0,>/2）,

所以OE=及一店=J—（隼,=一親p2，所以四棱錐0一ABCD

的體積為「會皿-OE=/f?J1一親？.令42r￡（o,2），則.=予-,

令升/―^戶,則y=2t―|?八令/=2t—~=0,解得t=（M="|■，所以當七（。，母）時，

J=2L乎2>0,y=/一尹在（0,等）上單調遞增，當於（仔,2）時,；/=2￡一君V0,尸產一?在

（管㈤上單調遞減,所以當，=母時，尸/一會有最大值％=（毋y_q.x（母）,=居,所以”

[■產于<|鷹=峙，當且僅當時等號成立,此時。E=/W7=g，即點。到平

面ABCD的距離為g.故選A.

數(shù)學（二）參考答案第1頁（共6頁）

8.D若/(x)^0對任意的(1,+8)恒成立，即—ln(x—1)—Ina+l'O,即Ina)ln(z—1)

<

+比一1=髀1)+111(%—1).令&(6=^+],所以/(力=^+1>0.所以8(力在(-8,+8)上單調遞增，

又g(x—Ina)^g(ln(x—1))，所以x—Ina>ln(x—1)，所以x—ln(x—l)>lna,令h(,x)=%—In(力一D,所

以〃G)=1一占=蕓，令，(6VO,解得1VZV2,令無'(">0,解得￡>2,所以無(%)在(1,2)上單調遞

減，在(2,+8)上單調遞增,所以九(%)的=衣2)=2,所以111。&2,解得0?62,即。的取值范圍是(011.

故選D.

9.AC由正弦定理得號又sinA>sinB,所以a>6,故A>B,故A正確；因為a8sA=AosB,由

sinAsmD

正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,所以sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A+2B=n,即A=B或A+B=

?f,所以AABC是等腰三角形或直角三角形，故B錯誤;cos2A+8s2B-cos2c=(1—sir?A)+(l-sin2B)一

(l-si/CXl,則sin2A+sin2B=sin2c，由正弦定理可得a2十爐=c?，故ZXABC為直角三角形，故C正確；因

為ZVIBC為銳角三角形，所以0<A<手,0<B<片,A+B>^，所以所以sinA>sin(方-B),即

sinA>cosB,同理可得sinB>cosA,所以sinAH-sinB>cosA+cosB,故D錯誤.故選AC.

10.AD因為f(z)=(sin1+8s%)?</l—sin2j：=(sinx+cosx),V(sinx-cosx)2=(sinx-f-cosx),

|sin4—COSN|,又當了G(―4,0)時,sinx<cos*,所以f(x)=(sinx+cosx)?|sinx—cosx|=—(sinx+

cosx)(sinx-cosx)=cos2力，所以函數(shù)八1)在(一■手,0)上單調遞增，故A正確；/(當一1)=

［sin(華-3)+cos(與-％)］?卜in(竽—1)-8s(苧—%)|=(—cosx-sinx)?|-cosx+sinx\=

一了(1),所以函數(shù)f(x)的圖象關于點(竽,0)對稱，故B錯誤;令/(x)》0,即(sin力十cosx),|sinx—

cosZ|i0,所以sinx+cos%20或sini—cos%=0,艮^/2sin(x—=0,所以2厲W

%+于《n十2版,AGZ或力一半=自兀向GZ,解得一~1"+267^l&華+2時,%￡2或x=-^-+k1nik16Z,

即不等式/(x)>0的解集為［一千+2林，華十2尿］(%￡Z)U(3+2用力gWZ),故C錯誤；因為

f(x+2K)=Lsin(XH-2K)+COS(力+2n)］,|sin(1+2兀)-8sCr+2n)|=(sinx+cosx),|sin%-8sx\

=f(z),所以f(z)是周期函數(shù)，且周期為2支,要求函數(shù)f(z)的值域，即求函數(shù)f(%)在區(qū)間［一?刊上的

值域，當—"號］時,sin%—cosN&O,此時/"(GKsini+cos%)?|sin力―cosx\=—(sinrr+cosx)

(sin力-8s%)=cos2%￡［0,1］；當(￡,粵］時,sin%—cosz>0,此時/(x)=(sinx+cosx),|sinx

—cosx|=(sinz十cosx)(sinx-cosx)=—cos2xG當(誓，與］時,sin%-8s此時

/(x)=(sinx+cosx),|sinx—cosx\=—(sinz+cosx)(sinx-cosx)=cos1,0］,故函數(shù)/(x)

在區(qū)間［一年,句上的值域為［-1,口，故D正確.故選AD.

11.ACD由題意知F式-2,0)應(2,0),設⑶，又點P在C上,所以學一"=1,所以加=

名一2,所以直線FiP的斜率也尸尋p所以加/=(渣/'=喜會,令片生+2,。。+2,所

數(shù)學(二)參考答案第2頁(共6頁)

以即/=/^=止等二=26-1）‘一16[0,1）,所以而”（一1,1），即直線F]P的斜率的取

值范圍是故A正確；C的漸近線方程為y=土工,所以點P到C的兩條漸近線的距離之積為

三二M”?時趙=儲亍迫=1，故B錯誤;IPH|?IPFJ=yL（^+2）!+^]?[（^,-2）2+j?]=

71!+（-1）2\/?+F2

/（G+X+4+5）（G+"+4）=，（x?+$+4）f6石=y（2x?+2）z-164=/4舄一至+4=

|2高一2|=2x；-2=云+J=|OP|2,故C正確；當＞l）聲0時,顯然在點P處的切線的斜率存在,設在點P

r￡_/=1）

處的切線方程為，=鼠%—々）+/0,由｛22'得（1—萬）了2—24（%-4%）%一（%一心0）2—2

%=%（1-%0）+,0，

=0,所以△=[-2為（%—K）7一4（1—M）]—（%—工）2—21=0,得（或%—々）2=0,解得%，所以在點

P處的切線方程為3?=生（%一與）+%,即與I一y°y=2.當％=0時，在點P處的切線方程為％=々，所以在

3。

點P處的切線方程為々i—%、=2.由「°"y°y2'解得M（三q■，三7），由y°y‘解得

\y-Xf\々%々%/ly=-x,

2?221-2

.（售〉號：3又死一^2飛+為:^^―一^^力+為:衛(wèi)門所以點口是線段皿的中點，所以

'々十M々十ZZ'

|PM|=|PN|,故D正確.故選ACD.

12.9.08由題意可得￡=2+4+3~8+10=6；=刈4+3.2十44+6.8+7.6=杳88,由于回歸直線過樣本的

0u

中心點，所以0.7X6H-a=4.88,解得￡=0.68,所以回歸直線方程為y=Q.7%+0.68,當力=12時J=0.7X

12+0.68=9.08,所以當該品牌的新能源汽車的使用時間為12年時,維護費用約為9.08千元.

13.竽如圖，由而+正=示，得忌+而=一辯，又因為F（l,0）為M（3,0）,Q口/

A（—1,0）的中點，所以而+嬴=2而=一彷，即N為PF的三等分點，且

|N尸|=2|NF|,又因為PQ〃MF,所以△NMFs△NQP，且闋=犒=■|■,所一域7\三

以|PQ|二2|MF|=4.不妨設P（用,%）,且在第一象限,》=2,回|=々+-1=41、

+1=4,解得%=3,因為點P（xb，“）在拋物線上,所以%=2存，所以ZkAMN的面積=

-1-X-y\AM\?1%|=~!"X"|"X4X2伍

14.由2m（帆+2冷+/（??2+2）=9,得2（加+%）2+（??九）2=9,令機+律=gsin6,mn=3cos。，又m,n

42

為非負實數(shù)，所以51。）0,856）0,又（m+律）2=徵2+九2+2771"）47?〃,所以（松：51116））12cos仇即sin%

》~|"8s仇所以1—cos2^-f-cosa解得O&cosg■，所以Z^&sinWL所以m+〃+4?nn=2sin6+

JJ334J2

6=3sin（e+夕），其中sinp=§,8s當cos6=q，即sin（十一所以發(fā)

一長卬,即什心號"，又y=sinR在（去兀）上單調遞減,所以當cos6=]■時,。+中取得最小值，故當sin0

=竽,cose=j~時,加+〃+冬加取得最大值，最大值為旅X挈+邛義/=2十多

數(shù)學（二）參考答案第3頁（共6頁）

(2)解:因為PD_L平面ABCD,DA,DCCZ平面ABCQ,所以PD_LAD,PDJ_DC,又

ABJ_DA,AB〃CD,所以AD_LDQ以D為坐標原點,DA,DC,DF所在的直線分別為z軸,y軸，z軸,建立空

間直角坐標系，如圖所示.則。(0,0,0),「(0,0,2),4(1,0,0),3(1,1,0),。(0,2,0),所以乂(0,1,1)?

_>—>(n?DB=x+y=O,

設平面BDM的一個法向量n=Gr,?z),又。8=(1,1,0),。10=(0,1,1),所以<—>

In?DM=y+z=O,

令力=1,解得y=—l,z=lt

所以平面BMD的一個法向量為”............................................7分

_>_?(m?AP=—a+2c=0,

設平面PAB的一個法向量刑=(a,6,c),又AP=(-1,0,2),AB=(0,1,0),所以<->

［zw,AB=6=0,

令Q=2,解得6=0,c=l,所以平面PAB的一個法向量m=(2,0,1),...............................................9分

設平面PAB與平面BMD的夾角為心所以8s。=|8$5,1?〉|=號譚|=乖4笈7而=空，

即平面PAB與平面BMD的夾角的余弦值為爭..............................................

16.(1)解：由題意知........................................................1分

當0<0時,/(為〈0,所以八了)在(_8,+8)上單調遞減；.”?：...............................3分

當a>0時，令/GOVO,解得zV—lna,令/(公〉。,解得a,所以/Cr)在(一8,Tna)上單調遞

減，在(-Ina,+8)上單調遞增............................................................5分

(2)證明:由(1)得fGc)10ta=f(Tna)=ae~"+lna-■|--Ina一~/,..........................7分

要證fGr)>21na—/,即證］na―宏〉21!!a—/,即證/—_11n。>().......................9分

所以gQ)在(0,號)上單調遞減，在(專,+8)上單調遞增，.................................12分

所以g(a)?=g(考卜償尸呆也考=111々>0,則g(a)>0恒成立，

所以當。>0時,/(力>21114一/..........................................................15分

17.解：(1)設“有女生參加活動”為事件A,“恰有一名女生參加活動”為事件B.

則P(AB)=P(B)=萼=紙,P(A)，］丁瑪=春,

8

8

1-5=-5分

所以P(B|A)=學蜀39

-

5

數(shù)學(二)參考答案第4頁(共6頁)

(2)“選取的兩人中女生人數(shù)為/記為事件M,￡=0，1，2,

則P(M)=涉看兇.)=^^哈P(Mz)=初看................................7分

由題意知X的可能值為10,15,20,25,30,“得分為10,15,20,25,30分”分別記為事件M。，N15,此。，必，

%則

P(M。|M))=4X3=/,P(N251Mo)=2X*X*=3,P(M。|M。)=方義方=圣

P(N15|M1)=-1-X-1-=-^,P(N2OIM)=2.X-1-X^-=-|-,P(N25|M1)=^X-1=-1；

P(N10|MZ)=-1-Xy=^-,P(N15|M，)=2X-1-X-|-=y,

P(N20Mx毋X*=告................................................................9分

P(X=1O)=P(HN1O)=P(M2)?P(NioM)="x}=焉'

P(X=15)=P(MNI5)+P(MNQ=P(咯)?P(N?JM)+P(峪)?P(N15M)=捻乂3+3><我=看

P(X=20)=P(MN20)+P(M1^0)4-P(MN20)=P(M)-P(N20?P(NRIM)+P(%)?

n，zIA/、2^1,8^111^1_23

P(N201M2)=至X7+訪義工+記'彳=而；

01011

PlXnZSXPlMNG+PlMNaQPlM.)?P(N251M,)+P(M>)?P(N2sM)=-fx專+靠X卷=專；

911

P(X=3O)=P(HN3O)=P(H)*P(N釧lH)=yX—=^,

所以X的分布列為

X1015202530

112311

P而T而T10

"a=3r

18.(1)解：由題意知哼，..............................................................2分

a0

c2=a2一甘，

解得G=3,6=2,C=V^,...............................................................................................................................3分

所以C的方程為普+牛=1.....................................................................................................................4分

顯然直線I的斜率存在,設直線I的方程為打="工-3)+2,MGq,yi),N(.x2,y2),

任+式=1,

由《94得(4+9叢)/+18%(2—3h1+81/一108無=0,

1?=%(%—3)+2,

18女(2—3萬)_81」2_108―

所以為6分

+%2=4+9修'丁?―4+9儲'

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數(shù)學(二)參考答案第5頁(共6頁)

航I'，」I1=可I*2—”1（g-3）+亞（彳1-3）

所以鬲十月kx—3kkx~3k

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二21112-3（馬+%2）_*4+9必4+9公

.............................................10分

―瓦乃亞-3（3+,）+9]一,「81區(qū)一108"54M2—3氏）、J

氣4+9公十4+9爐十9

（2）證明:設線段MQ的中點為（劭,出），又AlGr[，y）,所以々=々，Q（2%—為，2%—為），即Q（巧，2%一?）,

又A,N,Q三點共線，所以&/=G，即筆快=占，所以為=自+當，又％=判，所以

X]oJ-2<5陽O12。Xj0

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「儂（2-34）］

Q4+9必」—36-24:4

14分

8M2—10我?54M2—3萬）,勺183

4+9必