2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)幾何輔助線進(jìn)階訓(xùn)練-構(gòu)造等腰三角形

幾何輔助線進(jìn)階訓(xùn)練——構(gòu)造等腰三角形

一'階段一（較易）

1.如圖，在口ABCD,點(diǎn)F是BC上的一點(diǎn)，連接AF,AE平分/FAD,交CD于中點(diǎn)E,連接

EF.若NFAD=60。，AD=5,CF=3,則EF=.

2.如圖，口ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O,過點(diǎn)。作OE_LAC交AD于E,若AE=4,DE

=3,AB=5,則AC的長為（）

A.3A/2B.4A/2C.5&D.1V2

3.如圖，在△ABC中，已知AB=6,AC=10,4。平分乙BAC,8。14。于點(diǎn)。，E為BC中點(diǎn).求

DE的長.

4.如圖，△ABC中，BD平分乙4BC,CD1BD,垂足為D,E為AC中點(diǎn)，若AB=30,BC=18,則

的長為.

5.如圖，在RtzkABC中，NACB=90。，AC=12,BC=5,點(diǎn)D在△ABC外，連接A。、BD,點(diǎn)E

是BD的中點(diǎn)，AD=4,^CAD=^CAB,則線段CE的長.

BC

6.如圖，△ABC中，BD、CE是△ABC的兩條高，點(diǎn)F、M分別是DE、BC的中點(diǎn).求證:

FM±DE?

7.如圖，△ABC中，/ACB=90。，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，DELAB于點(diǎn)E,點(diǎn)F是線段AD的中

點(diǎn)，連接EF、CF；

BDC

⑴求證：EF=CF；

(2)若NBAC=45。，AD=6,求C、E兩點(diǎn)間的距離.

8.如圖，在△ABC中，24=45。，=EF1BC,其中=DF=2,BC=4近,

DE=()

A.V2—1B.V2+1C.2V2-1D.2V2+1

9.如圖，P為△ABC邊BC上的一點(diǎn)，且PC=2PB,已知NABC=45。，ZAPC=60°,則NACB的

度數(shù)是°，

A

10.如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分ZACB,BDLCD,ZX=^ABD,若4C=7,BC=4.貝

的長為（）

11.如圖，在△ABC中，BP平分/ABC,APIBP于點(diǎn)P,連接PC,若△PAB的面積為6c7彥,

△PBC的面積為8cm2,則△PAC的面積為（）cm2.

二'階段二（中等）

12.如圖，在△ABC中，NBAC=120。，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC上的一點(diǎn)，KAB+AE=

EC.若DE=2,則AB的長為（）

A.2>/3B.4C.3V3D.6

13.如圖，四邊形ABCD中，NDAB=NBCD=90。，對(duì)角線AC=8,點(diǎn)E,F,O分別為AD,AB,

BD的中點(diǎn)，且EF=5,則點(diǎn)。到AC的距離為

E

14.如圖，在AaBC中，^CAB=90°,。是斜邊BC上的中點(diǎn)，E、F分別是4B、AC邊上的點(diǎn)，且

DE1DF.

(1)若28=4配BE+CF=4,求四邊形AEDF的面積.

(2)求證：BE2+CF2=EF2.

15.如圖，正方形ABCD中，P為邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)E與B關(guān)于直線CP對(duì)稱，射線ED與CP的延長線相

交于點(diǎn)F.若4。=4PD,EF=16V2，則BC的長為.

16.如圖，在△ABC中，AB=AC=2^10,40是邊BC上的高線，過點(diǎn)D作。E||4C交4B于點(diǎn)E.

(1)求證：△?)￡1是等腰三角形；

(2)連結(jié)CE交AD于點(diǎn)H,若NDCE=45。，求EH的長.

17.如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P是線段AB的延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，連

接DM,以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)作MNLDM交NCBP的角平分線于N,過點(diǎn)C作CE||MN交AD于

E,連接EM,CN,DN.

(1)求證：DM=MN；

(2)求證：EMHCN.

18.如圖，在RtAZBC中，AACB=90°,Z.B<CE平分NZCB,CDVAB,MN為邊AB的垂直

平分線且分別交BC、AB于點(diǎn)M、N,若乙DCE=AB,AC=2,貝IBM的長是()

A.2B.|V2C.2V3D.2V2

19.已知：在等邊△ABC中，點(diǎn)E是ZB邊所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(E與2、B兩點(diǎn)均不重合)，點(diǎn)。在

CB的延長線上，且ED=EC.

(1)如圖①，當(dāng)E是邊的中點(diǎn)時(shí)，求證：AE=BD；

(2)如圖②，當(dāng)E是線段AB邊上任意一點(diǎn)時(shí)，(1)中的結(jié)論是否一定成立？請(qǐng)說明理由;

(3)若點(diǎn)E是線段ZB的延長線上任一點(diǎn)，ED=EC,AE=2,AC=1,求CD的長.

20.如圖，在△ABC中，AB=AC=2V10,AD是邊BC上的高線，過點(diǎn)D作DE〃AC交AB于點(diǎn)

A

(1)求證：△ADE是等腰三角形；

(2)連結(jié)CE交AD于點(diǎn)H,若NDCE=45。，求EH的長.

三'階段三(較難)

21.請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

三等分角是古希臘三大幾何問題之一.如圖(1),任意NABC可被看作是矩形BCAD的對(duì)角線BA

與邊BC的夾角，以B為端點(diǎn)的射線BF交CA于點(diǎn)E,交DA的延長線于點(diǎn)F.若EF=2AB,則射線

BF是NABC的一條三等分線.

證明：如圖(2),取EF的中點(diǎn)G,連接AG,：四邊形BCAD是矩形，；.ADAC=90。，AD||BC.

在R3AEF中，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，：.AG=^EF....

13(1)圖⑵圖⑶

(1)任務(wù)一：上面證明過程中得出“AG的依據(jù)

是;

(2)任務(wù)二：完成材料證明中的剩余部分；

(3)任務(wù)三：如圖(3),在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的延長線與NCBE的平分線交于點(diǎn)F,

若=CF=4,請(qǐng)直接寫出BF的長.

22.

(1)【閱讀材料】如圖①，四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+乙。=180。，點(diǎn)E,F分別在

BC,CD上，y^Z-BAD=2Z-EAF,求證：EF=BE+DF.

圖①

（2）【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形ABCD.已知CD=

CB=100m,乙D=60°,ZABC=120。，乙BCD=150%道路AD,AB上分別有景點(diǎn)M,N,且

DM=100m,BN=50（V3-l）m,若在M,N之間修一條直路，則路線M—N的長比路線

M-A-N的長少幾m?（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：V3?1.7）

圖②

23.如圖

（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1,點(diǎn)B是線段40上的一點(diǎn)，分另U以AB,為邊向外作等邊三角形4BC和等邊

三角形BCE,連接AE,CD,相交于點(diǎn)。.

①線段4E與CD的數(shù)量關(guān)系為：；乙4OC的度數(shù)為.

?ACBD可看作△ABE經(jīng)過怎樣的變換得到

的？.

（2）應(yīng)用：如圖2,若點(diǎn)4B,。不在一條直線上，（1）中的結(jié)論①還成立嗎？請(qǐng)說明理由；

（3）拓展：在四邊形ZBCD中，AB=AC,ABAC=90°,AADC=45°,若4。=8,CD=6,請(qǐng)

直接寫出B,。兩點(diǎn)之間的距離.

24.請(qǐng)閱讀下列材料：已知：如圖（1）在股△ABC中，Z.BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E分別為線

段BC上兩動(dòng)點(diǎn)，若ZDAE=45。.探究線段BZXDE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是：把

△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得至必ABE"連接E,D，使問題得到解決.請(qǐng)你參考小明的思路探究并

解決下列問題：

圖⑴圖⑵圖(3)

(1)猜想B。、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，直接寫出你的猜想；

(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段BC上，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)在線段CB延長線上時(shí)，如圖(2),其它條件不變，(1)

中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說明你的猜想并給予證明；

(3)已知：如圖(3),等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E在邊力B上，且ZDCE=30。，請(qǐng)你找出一個(gè)

條件，使線段DE、AD.EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù).

(1)【探究發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1,AABC中，AB=AC,Z.BAC=90°,點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，E、F分別

為邊ZC、4B上兩點(diǎn)，若滿足NEDF=90。，則4E、AF,4B之間滿足的數(shù)量關(guān)系是.

(2)【類比應(yīng)用】如圖2,△ABC中，AB=AC,NBAC=120。，點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，E、尸分別為

邊AC、ZB上兩點(diǎn)，若滿足NEDF=60。，試探究4E、AF、4B之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)【拓展延伸】在△ABC中，AB=AC=5,ZBAC=120。，點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，E、F分別為直

線AC、上兩點(diǎn)，若滿足CE=1,/.EDF=60°,請(qǐng)直接寫出AF的長.

26.平行四邊形ABCC中，AB1AC,點(diǎn)E在邊4)上，連接BE.

(1)如圖1,4C交BE于點(diǎn)G,若BE平分乙4BC,且ND4c=30。，CG=2,請(qǐng)求出四邊形EGCD

的面積;

(2)如圖2,點(diǎn)F在對(duì)角線AC上，且力尸=AB,連接BF,過點(diǎn)F作FH1BE于H,連接AH,求

證：HF+y/2AH=BH.

(3)如圖3,線段PQ在線段BE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)R在邊BC上，連接CQ,PR若BE平分乙4BC,

ZD4c=30。，AB=有,PQ=|,BC=4BR請(qǐng)直接寫出線段CQ+PQ+PR的和的最小值以及此時(shí)

△CQE的面積.

27.如圖，等腰RtAABC中，AB=AC,ABAC=90°,4。1BC于點(diǎn)。，/ABC的平分線分另U交ZC、

AD于E、F兩點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，AM的延長線交BC于點(diǎn)N,連接DM,下列結(jié)論：①DF=DN;

②AOMN為等腰三角形；③ENJ.NC;④ZIMM=24。M;(5)AE=NC,其中正確結(jié)論有

)

28.如圖1、在△ABC中，E、D是BC邊上的點(diǎn)，且AE是NBAD的平分線，ZCAE+ZBEA=180°

(2)當(dāng)BE=AC時(shí)，請(qǐng)猜想線段AB、AD之間的數(shù)量關(guān)系；并證明你的猜想.

(3)如圖2,在(2)的條件下，過D作DFLAE,垂足為F,交AB于G,如果S^EF=(，請(qǐng)

直接寫出四邊形AFDC的面積.

29.

(1)如圖1,等腰RtAPBF的直角頂點(diǎn)P在正方形的邊40上，斜邊BF交CD于點(diǎn)Q,連接

PQ,求證：PQ=4P+CQ.請(qǐng)利用現(xiàn)在所學(xué)的旋轉(zhuǎn)知識(shí)，可將△ABP旋轉(zhuǎn)到△CBE,然后通過證明

全等三角形來完成證明.

(2)如圖2,若等腰RtAPBF的直角頂點(diǎn)P在正方形4BCD的邊DA的延長線上，斜邊BF的延長線

交CD的延長線于點(diǎn)Q,連接PQ,猜想線段PQ,AP,CQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；

Q

圖2

(3)如圖3,RtAABC中，AC=BC,NACB=90。，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，P4=AC且PB=

PC,貝此BCP=.

圖3

30.如圖，在正方形4BCD中，E是BC上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)B,C重合)，連接。E.過點(diǎn)A作DE的垂線,

分別交DE,DC于點(diǎn)F,H.延長AF到點(diǎn)G,使得FG=ZF,連接CG,CG.

(1)求證：4ADHm4DCE；

(2)①若乙4OE=60°,貝IJ乙4GC=.

②改變NADE的度數(shù)，乙4GC的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生改變？若發(fā)生改變，請(qǐng)寫出乙4GC與乙4DE之間的

關(guān)系，若不改變，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖2,若BE=EC=V^,求DF與CG的長.

答案解析部分

L【答案】4

2.【答案】B

3.【答案】解：如圖，延長BC交2c于點(diǎn)F.

:皿平分/射配

：.^BAD=AFAD.

"：BDLAD,

：.^ADB=^ADF=90°.

：.AABD=AAFD.

：.AB=AF,BD=DF.

是BF的中點(diǎn).

"：AC=10,AB=6,

：.FC=AC-AF=AC-AB=10-6=4.

為BC的中點(diǎn)，

為ABFC的中位線.

11

ADE=1FC=|x4=2.

4.【答案】6

5.【答案】義

6.【答案】證明：如圖，連接EM、DM,

NBEO90。,

.,.EM=|BC,

同理DM=：BC,

；.EM=DM,

...△DME為等腰三角形，

?.?F是DE的中點(diǎn)，

.\FM±DE.

7.【答案】(1)證明：：DB±AB,

Z.DEA=90°,在RtAAED和RtAACD中，

???點(diǎn)F是斜邊AD的中點(diǎn)，

11

EF=-^AD,CF=^AD

EF=CF

(2)解：連接CE,由⑴得EF=4F=CF=^AD=3,

?ZE4=^FAE,^FCA=^FAC,

."EFC=2Z.FAE+2^FAC=2ABAC=2X45°=90。，

CE=JEF2+CF2=J32+32=3V2.

即C,E兩點(diǎn)間的距離是3或

8.【答案】C

9.【答案】75

10.【答案】B

11.【答案】A

12.【答案】B

13.【答案】3

14.【答案】(1)解：連接2D,如圖1,

圖1

???在RtMBC中，AB=AC,40為BC邊的中線，

Z.DAC=乙BAD=NC=45°,AD1BC,AD=DC,

又???DE1DF,AD1DC,

：■^EDA+^ADF=乙CDF+^FDA=90°,

.1?/.EDA=/.CDF,

在△力EO與△（7/*中，

LEDA=乙CDF

AD=CD,

、Z-EAD=Z-C

/.△AED三△CFDQ4S力），

???AE=CF,

BE+CF=4,

??.AB—BE+AE=4,

所以S四邊形AFDE=S〉A(chǔ)FD+^^AED

=^^AFD+S“FD

=S/kADC

_1

=]S〉A(chǔ)BC

112

=5x5/32

乙乙

1,

-4X4

=4,

(2)證明：延長ED至點(diǎn)G,使得。G=。凡連接FG,CG,如圖2,

A

???DE=DG,DF1DE,

???OF垂直平分OE,

??.EF=FG,

???。是3。中點(diǎn)，

BD=CD,

在aCDG中，

BD=CD

乙BDE=Z.CDG,

、DE=DG

BDE=△CDG(Si4S),

.?.BE=CG,Z-DCG=Z-DBE,

???Z.ACB+"BE=90°,

/.^ACB+Z.DCG=90°,BPZFCG=90°,

???CG2+CF2=FG2,

???BE2+CF2=EF2

15.【答案】4V17

16.【答案】(1)證明：在△ABC中，AB=AC,

??.△ABC是等腰三角形，

AD1BC,

BD-CD,Z-DAC-Z.EAD

vDE||AC,

:.Z.EDA=Z-DAC

??.Z.EAD=/.EDA

.?.DE—AE,

??.△ADE是等腰三角形；

(2)解：作EFIIBC,交4。于G,交AC于點(diǎn)F,連接尸”，則EG14D,

A

???△ZED是等腰三角形，EG1AD

???AG=GD,

-ADIBC,LDCE=45°,

.-.△CD”是等腰直角三角形，

???DH=DC,乙DHC=45°

???EGLAD,乙EHG=乙DHC=45。，

.-.△EG”是等腰直角三角形，

???EF||BC

??.Z.AEF=乙B,Z,AFE=Z.ACBf

又???ZB=乙ACB

?，?Z-AEF=Z.AFE

???AE=AF,

又??.AD1EF

??.HE=HF

???乙HEF=乙HFE=45°,

.?.△HEF是等腰直角三角形，

EF=V2EH,GH=^EF,

又,:Z.B=90°-A.EAD=90°-Z.EDA=乙EDB,NB=乙ACB

ED||AC,

Z.DEC=Z-FCE,

???EF||BC

???Z.FEC=乙ECD

在△DEC與中，

NFEC=Z.ECD

EC=EC

ZDEC=Z.FCE

DEC=△FCE^ASA),

???EF=DC

13

??.GD=GH+DH=5EF+DC=^DC

乙乙

1

?.?GA=GD=2AD,

??.AD=3DC,

AB=AC2V10,AC2=AD2+DC2,

：-40=9DC2+DC2,

DC=2,

???EF=V2EH=DC=2

.?.E"=5X2=岳

??.E”的長為魚.

17.【答案】（1）證明：在線段AD上截取DF=MB,連接FM,如圖所示:

在正方形ABCD中，AD=AB,NA=NABC=90。,

???DF=BM,

???AF=AM,

/.△FAM是等腰直角三角形，

???NAFM=45。，

???NMFD=135。，

〈BN平分NCBP,NCBP=90。，

???NCBN=45。，

???NMBN=135。，

???NDFM=NMBN,

VDM±MN,

???ZNMB+ZAMD=90°,

ZAMD+ZADM=90°,

???NNMB=NMDF,

在^乂口尸和^NMB中，

2DFM=乙MBN

DF=MB，

ZMDF=乙NMB

.*.△MDF^ANMB(ASA),

ADM=MN；

(2)證明：VCEHMN,DM±MN,

??.DM_LCE,

?,.NDEC+NEDM=90。，

,/ZAMD+ZEDM=90°,

???NDEC=NAMD,

??,四邊形ABCD是正方形，

ADC=AD,NEDC=NMAD=90。，

在^EDC和^MAD中，

ZDEC=乙AMD

DC=AD,

ZEDC=^MAD

.*.△EDC^AMAD(ASA),

AEC=DM,

\?DM=MN,

AEC=MN,

VECHMN,

J四邊形EMNC為平行四邊形，

AEMHCN.

18.【答案】D

19.【答案】(1)證明：???△力5。為等邊三角形，點(diǎn)E為43的中點(diǎn),

=乙ACB=60%CE平分4力CB,AE=BE,

ECB=^ACB=30°,

;DE=CE,

：ZD=乙ECB=30°,

Vz/IBC=乙D+乙DEB,

:.乙DEB=^ABC一乙D=30°,

Z-D=Z-DEB,

：.BD=BE,

：.AE=BD

(2)解：當(dāng)點(diǎn)E為線段43上任意一點(diǎn)時(shí)，(1)中的結(jié)論成立，理由如下:

如圖②，過E作||交AC于F,

圖②

**,△43c是等邊三角形，

AZ.71BC=4ACB=^A=60%AB=AC=BC,

：./LAEF=^ABC=60°,Z.AFE=LACB=60°,

即ZTIEF=匕AFE=5=60°,

???△力E尸是等邊三角形，

：.AE=EF=AF,

9：Z.ABC=^ACB=^AFE=60°,

:?乙DBE=乙EFC=120°,4D+(BED=乙FCE+乙ECD=60°,

;DE=EC,

:?zJD=Z-ECD,

:?乙BED=乙ECF,

(乙DBE=乙EFC

在aECF中，jzOEB=乙ECF,

、DE=EC

：.ADEB=AECF(AAS),

：.BD=EF,

：.AE=BD；

(3)解：如圖③，過E作EF||BC交AC的延長線于F,

EF

圖③

貝I」△力ET為等邊三角形，乙ECD=MEF,

^AF=AE=EF=2fKF=60°,

VEC=ED,

:.(CEF=乙D,

???△力8。是等邊三角形，

:?BC=AC=1,乙ABC=60。，

?"DBE=乙ABC=60°,

：.Z.F="BE,

[ZF=乙DBE

在和△EDB中，\^CEF=zD,

、EC=DE

：.ACEF=AEDB(AAS),

：.BD=EF=2,

：.CD=BD+AC=2+1=3.

20.【答案】(1)證明：在△ABC中，AB=AC,

/.△ABC是等腰三角形，

VADXBC,

???BD=CD,

\?DE〃AC,

???AE=BE,

/.DE=iAB=AE,

/.△ADE是等腰三角形；

(2)解：作EG〃:BC,交AD于G,

G'

DC

VAE=BE,

；.AG=DG,

；.EG=1BD=1CD,

：EG〃BC,

.GH_EH_EG=1

^DH=CH=CD~2'

；.GH=1DH,EH=|CH,

VAD±BC,ZDCE=45°,

.?.△CDH是等腰直角三角形，

；.DH=DC,

；.AD=3DC,

VAB=AC=2V10,AC2=AD2+DC2,

A40=9DC2+DC2,

；.DC=2,

；.DH=DC=2,

；.CH="+22=2V2,

；.EH=|CH=V2,

AEH的長為V2.

21.【答案】(1)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半

(2)解：任務(wù)二：如圖，取EF的中點(diǎn)G,連接AG,

.四邊形BCAD是矩形，

.,.ZDAC=90°,AD||BC.

在R3AEF中，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn),

AG=EG=FG=1EF.zGXF=乙F,

VEF=2AB,

AAB=AG.

.\ZABG=ZAGB.

???NABG=NAGB=NF+NGAF=2NF.

9：AD||BC,

???NF=NCBF,

?,.NABG=2NCBF,

???NABC=3NCBF,

?,.射線BF是NABC的一條三等分線

(3)解:2+2回

22.【答案】(1)證明：延長到點(diǎn)M,使BM=DF,連接4M,如圖,

M氣―E-C

9：^ABC+Z.D=180°,/.ABC+4ABM=180°,

Z-D=乙ABM,

AB=AD,乙ABM=乙D,BM=DF,

：.△ABM=^ADF,

：-AM=AF,^LMAB=Z.DAF.

9：^BAD=2/LEAF,

：.^BAE+Z.DAF=4BAE+乙BAM=^EAM=^EAF,

又丁力M=力尸，AE=AE,

：.AAEM=LAEF,

：.ME=EF,

：.EF=MB+BE=BE+DF；

(2)解：如圖，延長DC,43交于點(diǎn)G,連接CN,CM,

?:(D=60%^ABC=120%乙BCD=150°,

???44=360°-60°-120°-150°=30°,

?"G=90°,

：.AD=2DG,

在Rt△CGB中,乙BCG=180°-150°=30°,

：.BG=^BC=50,CG=50V3,

:.DG=CD+CG=100+50V3,

-,-AD=2DG=200+100k，AG=y/3DG=150+1008，

"：DM=100,

'-AM=AD-DM200+IOOA/3-100=100+IOOA/3,

'：BG=50,BN=50(73-1),

.,.AN=AG-BG-BN=150+100b-50-50(8-1)=150+508，GN=BG+BN=

50V3,

VCD=DM,乙D=60°,

A△DCM是等邊三角形，

:.乙DCM=60°,

'：GC=GN=50V3,

...△CGN是等腰直角三角形，

:.乙GCN=45°,

:.乙BCN=45°-30°=15°,

:.乙MCN=150°-60°-15°=75°=亞BCD,

由(1)的結(jié)論得：MNDM+BN=100+50(73-1)=50+50>/3,

AM+AN-MN=100+IOOA/3+150+50A/3-(5073+50)=200+IOOA/3?370(m).

路線M—N的長比路線M—A—N的長少370m.

23.【答案】(1)AE=CD；60°；△CBC可看作△ABE繞點(diǎn)b順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到的

(2)解：若點(diǎn)Z,B,。不在一條直線上，(1)中的結(jié)論①依然成立；理由如下：

???△ABC、ABDE都為等邊三角形，

AB=BC,BE=BD,乙ACB=4CAB=4ABC=乙EBD=60°,

???Z-ABE=Z-CBD,

AB=BC

在△力BE和△CBD中，\^ABE=^CBD,

.BE=BD

.*.△ABE=△CBD(SAS),

???AE=CD,乙BAE=乙BCD,

???乙CAE+乙BCD=60°,

???Z.AOC=180°-4ACB一乙CAE-乙BCD=180°-60°-60°=60°；

(3)解：BD=2V41.

24.【答案】(1)解：DE2=BD2+EC2,

(2)解：關(guān)系式0方=BD?+EC2仍然成立.

證明：將AaDB沿直線ZD對(duì)折，得△4FD,連接FE

??△A.FD=△ABD,

：-AF=AB,FD=DB,4FAD=^BAD,^AFD=^LABD,

又,.?48=AC,

：.AF=AC,

9：^FAE=4FAD+乙DAE=4FAD+45°,

乙EAC=^BAC-^BAE=90°-^DAE一4DAB)=45°+"AB,

：.^FAE=^EAC,

=AE,

△AFE=△ACE,

:?FE=EC,^AFE=/-ACE=45°,匕AFD=^ABD=180°一乙ABC=135°

?"DFE=^AFD-^AFE=135°-45°=90°,

在RtADFE中，DF2+FE2=DE2,

即DE?=BD2+EC2；

解法二：將4瓦4c繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△T4B.連接DT.

DB

：.Z.ABT==45°,AT=AE,A.TAE=90%

tJZ-ABC=45°,

：.^TBC=乙TBD=90°,

*：Z-DAE=45°,

：.^LDAT=^DAE,

9CAD=AD,

：.ADAT三△。4E(S4S),

：.DT=DE,

9：DT2=DB2+BT2

：.DE2=BD2+EC2；

(3)解：當(dāng)=時(shí)，線段。仄AO、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形.

如圖，與(2)類似，以CE為一邊，作=在C尸上截取=

可得△CFE=△CBE,△DCFDCA.

「?力。=DF,EF=BE.

;?乙DFE=+42=44+=120°.

若使△DFE為等腰二角形，只需DF=EF,

即AD=BE,

?,?當(dāng)?W=BE時(shí)，線段。從AD.EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，且頂角AD/咕為120。.

25.【答案】AB=AF+AE【類比應(yīng)用】（2）如圖2,△力3c中，AB=AC,Nb4c=120。，點(diǎn)。為3c

的中點(diǎn)，E、尸分別為邊力C、AB上兩點(diǎn)，若滿足ZEDF=6O。，試探究ZE、AF.AB之間滿足的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由.【答案】解：4E+AF=理由是：取AB中點(diǎn)G,連接0G,如圖2

1

點(diǎn)G是斜邊中點(diǎn),:?DG=AG=BG=^AB,*：AB=

圖2

AC,^BAC=120°,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，^BAD=^CAD=60°,Z.^GDA=^BAD=60°,即

^GDF+Z.FDA=60°,X+^ADE=^FDE=60°,：.^GDF=LADE,'：DG=AG,

ABAD=60°,.?.△4DG為等邊三角形，：.AAGD=ACAD=60°,GD=AD,：.AGDF

ADE{ASA),：.GF=AE,：.AG=^AB=AF+FG=AE+AF,+ZF=豺8;【拓展延伸】

(3)在△ABC中，AB=AC=5,ZBAC=120。，點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，E、F分別為直線AC、上兩

點(diǎn)，若滿足CE=1,乙EDF=6。。,請(qǐng)直接寫出AF的長.【答案】解：AF的長為|或彳

(1)AB=AF+AE

(2)解：4E+4F=.理由是:

取中點(diǎn)G,連接DG,如圖2

圖2

?點(diǎn)G是△ADB斜邊中點(diǎn)，

1

:.DG=AG=BG=與AB，

'：AB=AC,ZBAC=120。，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，

：.^BAD=^CAD=60°,

：.^GDA=^BAD=60°,即NGDF+Z.FDA=60°,

XVZFXD+4ADE=乙FDE=60°,

:.乙GDF=^ADE,

"：DG=AG,4BAD=60°,

???△力DG為等邊三角形，

：.^AGD=乙CAD=60°,GD=AD,

：.^GDFADE(ASA),

：.GF=AE,

：-AG=^AB=AF+FG=AE+AF,

i

^-AE+AF=^AB;

(3)解：49的長為怖或孑

26.【答案】(1)解：如圖，過點(diǎn)G作GK,力。于點(diǎn)K,

?/四邊形A3CD是平行四邊形，

C.Z.DAC=^ACB,AB=CD,AD||BC,

：.^AEB=乙CBE,

*：ABLAC,

：.^BAC=90°,

*：￡.DAC=30°,

：.^ABC=60°,^ACD=乙BAC=90°,

???3E平分4ABC,

：.^ABE=乙AEB=UBE=30°,

，乙CBE=/LACB,AE=AB,

：.CG=BG=2,

???4G=^BG=1,

：-AC=AG+CG=3,AE=AB=^BG2-AG2=W，KG=^AG=今

:*S四邊形EGCD—S^ACD-S“GE

11

=^ACxCD-T^AExKG

乙乙

111

=7VX3XV3-TTXV3X7T

_5V3.

一丁’

(2)證明：如圖，過點(diǎn)A作4_LAM于點(diǎn)A,交FH延長線于點(diǎn)J,

：.^BAF=乙BHF=乙BHJ=90°,/LAFB=^ABF=45°,

???點(diǎn)A,B,F,H四點(diǎn)共圓，

：.z.BHA=/.AFB=45°,

:,乙AHJ=45°,

???△力可是等腰直角三角形，

：.AH=AJ,

:?]H=V2AH

AB=AF,乙BAH=乙FAJ=90°+乙PAH,AH=A],

：.△ABH三△477（S力S）,

：.BH=F],

?:HF+JH=HF+0AH

:?BH=FJ=FH+HJ=HF+V2AH

（3）解：咤+3；造

27.【答案】D

28.【答案】（1）解：9：^CAE+^BEA=180°,^AEC+Z.BEA=180°,

：.^CAE=Z.AEC,

：.AC=CE,

Vzc=38°,

：.^CAE=乙AEC=71°,

??ZAD=25°,

：.^.CAE=71°-25°=46°；