2023-2024學年北師版八年級數學寒假專題拔高作業(yè) 第11節(jié)幾何綜合（含答案）

第11講幾何綜合（學生版）目標層級圖課前檢測1．在四邊形中，對角線平分．（1）如圖①，當，時，求證：．（2）如圖②，當，與互補時，線段、、有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并給予證明．（3）如圖③，當，與互補時，線段、、有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并給予證明．課中講解一.中點問題例1．已知：如圖，中，，于，平分，且于，與相交于點，是邊的中點，連接與相交于點．（1）求證：；（2）求證：；（3）與的大小關系如何？試證明你的結論．過關檢測1．如圖所示，在中，，．（1）點在邊上，，垂足為，，垂足為，求證：．（2）如圖2，點在邊上，點關于直線的對稱點恰落在邊上，，垂足為，求的值．例2．已知中，（1）如圖1，點為的中點，連并延長到點，使得，直接寫出和的關系；（2）如圖2，若，點為邊上一點，過點作的垂線交的延長線于點，連，若，求證：；（3）如圖3，點在內部，且滿足，，點在的延長線上，連交的延長線于點，若點為的中點，求證：．過關檢測1．如圖3，已知和都為等腰直角三角形，，。是的中點，連接并延長至點，．求證：．二.對角互補模型例3．如圖，，平分．將一塊足夠大的三角尺的直角頂點落在射線的任意一點上，并使三角尺的一條直角邊與（或的延長線）交于點，另一條直角邊與交于點．（1）如圖1，當與邊垂直時，證明：；（2）如圖2，把三角尺繞點旋轉，三角尺的兩條直角邊分別交，于點，，在旋轉過程中，與相等嗎？請直接寫出結論：（填，，，（3）如圖3，三角尺繞點繼續(xù)旋轉，三角尺的一條直角邊與的延長線交于點，另一條直角邊與交于點．在旋轉過程中，與相等嗎？若相等，請給出證明；若不相等，請說明理由．例4．四邊形被對角線分為等腰直角和直角，其中和都是直角，另一條對角線的長度為2，求四邊形的面積．過關檢測1．【感知】如圖①，，平分．于點，于點，可知．（不要求證明）【拓展】在圖①中，作，，分別交射線，于，兩點，求證：．【應用】如圖②，與均為直角三角形，平分，，兩點在的異側．已知，，，求線段的長．2．如圖，正方形的頂點與正方形的對角線交點重合，正方形和正方形的邊長都是，則圖中重疊部分的面積是．例5．如圖，，平分，，與射線相交于點，與直線相交于點．把繞著點旋轉．（1）如圖1，當點在射線上時，求證：；（2）如圖2，當點在射線的反向延長線上時，與，之間的數量關系是（直接寫出結論，不必證明）過關檢測1．如圖，一傘狀圖形，已知，點是角平分線上一點，且，，與交與點，與交于點．（1）如圖一，當與重合時，探索，的數量關系．（2）如圖二，將在（1）的情形下繞點逆時針旋轉度，繼續(xù)探索，的數量關系，并求四邊形的面積．例6．如圖，在中，，點是的中點，、分別是、上的點，且和互補．（1）當，如圖1，線段、、之間的數量關系是；（2）當，如圖2，求證：；（3）在（2）的條件下，若，，設線段交直線于點，求的長．過關檢測1．在中，，，，，分別交直線、于點、．（1）如圖1，當時，求證：；（2）如圖2，當時，問線段、、之間有何數量關系，并證明；（3）如圖3，當時，旋轉，問線段之間、、有何數量關系？并證明．例7．如圖所示，，平分，點是射線上的一個定點，點在直線上運動，連接，將的兩邊射線和分別繞點順時針旋轉，旋轉后角的兩邊分別與射線交于點和點．（1）如圖1所示，當點在射線上時，①請判斷線段與的數量關系，直接寫出結論；②請?zhí)骄烤€段、和之間的數量關系，寫出結論并證明；（2）如圖2所示，當點在射線的反向延長線上時，交射線于點，若，，請直接寫出線段的長．

三.手拉手模型例8．（青羊區(qū)校級期末）在等腰與等腰中，，，，且點、、三點在同一條直線上，連接．（1）如圖1，求證：（2）如圖2，當時，試猜想線段，，之間的數量關系，并寫出證明過程；（3）如圖3，當時，請直接寫出線段，，之間的數量關系式為：（不寫證明過程）

例9．【問題背景】如圖1，是正三角形外一點，，則．小明為了證明這個結論，將繞點逆時針旋轉，請幫助小明完成他的作圖；【遷移應用】如圖2，在等腰中，，，點在外部，使得，若，求；【拓展創(chuàng)新】如圖3，在四邊形中，，點在四邊形內部，且，，，，，直接寫出的長．

過關檢測1．如圖，和均為等腰三角形，點，，在同一直線上，連接．（1）如圖1，若①求證：；②求的度數．（2）如圖2，若，為中邊上的高，為中邊上的高，試證明：．

2．（1）方法探索如圖1，在等邊中，點在內，且，，，求的長．小敏在解決這個問題時，想到了以下思路：如圖1，把繞著點順時針旋轉得到△，連接，分別證明△和△是特殊三角形，從而得解．請在此思路提示下，求出的長．解：把繞著點順時針旋轉得到△，連接．接著寫下去：（2）方法應用請借鑒上述利用旋轉構圖的方法，解決下面問題：①如圖2，點在等邊外，且，，，若，求度數．②如圖3，在中，，，是外一點，連接、、．已如，．請直接寫出的長．

四.半角模型例10．如圖1，四邊形是正方形，，分別在邊、上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方法．（1）在圖1中，連接，為了證明結論““，小亮將繞點順時針旋轉后解答了這個問題，請按小亮的思路寫出證明過程；（2）如圖2，當繞點旋轉到圖2位置時，試探究與、之間有怎樣的數量關系？（3）如圖3，如果四邊形中，，，，且，，，求的長．

過關檢測1．探究：如圖①，點、分別在正方形的邊、上，，連結，求證：．應用：如圖②，在四邊形中，點、分別在、上，，，，若，，則．學習任務1．如圖，點為定角的平分線上的一個定點，且與互補，若在繞點旋轉的過程中，其兩邊分別與、相交于、兩點，則以下結論：（1）恒成立；（2）的值不變；（3）四邊形的面積不變；（4）的長不變，其中正確的結論有．2．（成都期末）定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．如圖1，等腰中，，，作于點，則為的中點，，，在直角三角形中，，且；遷移應用：如圖2，和都是等腰三角形，，、、三點在同一條直線上，連接．（1）求證：；（2）請直接寫出線段，，之間的等量關系式；（3）如圖2，若，，求線段的長．3．如圖與為正三角形，點為射線上的動點，作射線與直線相交于點，將射線繞點逆時針旋轉，得到射線，射線與直線相交于點．（1）如圖①，點與點重合時，點，分別在線段，上，求證：；（2）如圖②，當點在的延長線上時，，分別在線段的延長線和線段的延長線上，請寫出，，三條線段之間的數量關系，并說明理由；（3）點在線段上，若，，當時，請直接寫出的長．第11講幾何綜合（解析版）目標層級圖本節(jié)內容主要講解幾何綜合部分，課程目標為帶領學生回顧常見幾何模型和輔助線做法，加深對模型和對幾何知識點（比如三線合一）的理解，提升學生的幾何思維和解決綜合類幾何問題的能力。本節(jié)內容一共分為4個板塊，分別為中點問題的處理策略（本節(jié)主例題主要中點所引發(fā)的三線合一與倍長中線），對角互補模型，手拉手模型和半角模型，其中對角互補模型定位為新課，其余3個板塊在前面學員都有學習，定位為復習內容。幾何綜合部分一直屬于學生得分率較低的部分，建議授課中多加強模型關鍵點的梳理，增加對學生思路的引導，確保學生切實掌握每種模型。本講義容量偏大，教師可根據實際情況刪減例題，半角模型和手拉手模型學生相對熟悉，如果學生掌握的不錯，這兩個板塊可以所見例題和練習量。注：具體的例題設計邏輯在每個例題處會有標注說明。課前檢測1．在四邊形中，對角線平分．（1）如圖①，當，時，求證：．（2）如圖②，當，與互補時，線段、、有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并給予證明．（3）如圖③，當，與互補時，線段、、有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并給予證明．【分析】（1）由平分，，可得，又由，即可得，根據直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可得；（2）首先過點分別作和延長線的垂線段，垂足分別為、，由平分，可得，又由與互補，可證得，則可得，又由，則可得線段、、有怎樣的數量關系為；（3）首先過點分別作和延長線的垂線段，垂足分別是、，與（2）同理可得，則可得，即可求得線段、、有怎樣的數量關系為．【解答】證明：（1）在四邊形中，平分，，．又，．，即．（2）．證明如下：如圖②，過點分別作和延長線的垂線段，垂足分別為、．平分，．，，．又，．．．為角平分線，，，，，．．（3）．證明如下：如圖③，過點分別作和延長線的垂線段，垂足分別是、．平分，，，．，，．又．．．延長至，使，連接．，，．．．．．．課中講解一.中點問題（例1考查三線合一，第（3）問的輔助線也是常見的中垂線輔助線作法，最后一問的結論也可寫成是）例1．已知：如圖，中，，于，平分，且于，與相交于點，是邊的中點，連接與相交于點．（1）求證：；（2）求證：；（3）與的大小關系如何？試證明你的結論．【分析】（1）利用判定，從而得出．（2）利用判定，得出，又因為，所以．（3）利用等腰三角形“三線合一”和勾股定理即可求解．【解答】（1）證明：，，是等腰直角三角形．．，，且，．在和中，．；（2）證明：平分，．在和中，．．又由（1），知，；（3）證明：，垂直于，則．為中點，則（等腰三角形“三線合一”連接，則，，．又垂直，，．是直角三角形，，垂直平分，，；即，，．方法2，證明：，垂直于，則．為中點，則（等腰三角形“三線合一”連接，則，，．又垂直，．．過關檢測（第（2）問核心突破點為B關于AQ的對稱點恰落在AC上，說明AQ平分∠BAC，又CN⊥AQ，因此想到三線合一，才有了答案中的輔助線作法）1．如圖所示，在中，，．（1）點在邊上，，垂足為，，垂足為，求證：．（2）如圖2，點在邊上，點關于直線的對稱點恰落在邊上，，垂足為，求的值．【分析】（1）利用證明，可得；（2）如圖2，延長、，交于，先證明，可得，再證明，則，可得結論．【解答】證明：（1）如圖1，，，，，，，在和中，，，；（2）如圖2，延長、，交于，點關于直線的對稱點恰落在邊上，平分，，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，．

（例2第（3）考查倍長中線，輔助線還涉及截取法，難度較大，答案給出的輔助線是過點作交的延長線于，建議改成延長BN至點T，使得NT=BN,連接MT，有意識地讓學生知道是在利用倍長中線）例2．已知中，（1）如圖1，點為的中點，連并延長到點，使得，直接寫出和的關系；（2）如圖2，若，點為邊上一點，過點作的垂線交的延長線于點，連，若，求證：；（3）如圖3，點在內部，且滿足，，點在的延長線上，連交的延長線于點，若點為的中點，求證：．【分析】（1）結論：，．證明，可得結論；（2）如圖2中，過點作于，過點作交的延長線于．利用全等三角形的性質證明，即可解決問題；（3）過點作交的延長線于，交于，在上取一點，使得，連接．利用全等三角形的性質證明，，即可解決問題．【解答】（1）解：結論：，．理由：如圖1中，，，，，，，．（2）證明：如圖2中，過點作于，過點作交的延長線于．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．（3）證明：過點作交的延長線于，交于，在上取一點，使得，連接．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．過關檢測（要注意隱藏的手拉手模型）1．如圖3，已知和都為等腰直角三角形，，。是的中點，連接并延長至點，．求證：．【分析】延長至，使，連接，由“”可證，可得，，由等腰三角形的性質可得，即可得結論．【解答】如圖3，延長至，使，連接，是的中點，，在和中，，，，，又易證（手拉手模型），又，，，．

二.對角互補模型對角互補模型知識點由于學生版篇幅限制所以沒有放置，教師需要把該內容給學生進行補充講解，對角互補模型的常見處理策略包括2個，一是引垂線構造全等，二是利用旋轉構造全等類型一：含90°的對角互補模型（1）如圖，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，則有以下結論：；；作法1作法2（2）如圖，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，當∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D時，則有以下結論：；； 作法1作法2類型二：含120°的對角互補模型（1）如圖，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，則有以下結論：；；作法1作法2

（2）如圖，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，當∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D時，則有以下結論：；； 作法1作法2（含90°的對角互補模型）例3．如圖，，平分．將一塊足夠大的三角尺的直角頂點落在射線的任意一點上，并使三角尺的一條直角邊與（或的延長線）交于點，另一條直角邊與交于點．（1）如圖1，當與邊垂直時，證明：；（2）如圖2，把三角尺繞點旋轉，三角尺的兩條直角邊分別交，于點，，在旋轉過程中，與相等嗎？請直接寫出結論：（填，，，（3）如圖3，三角尺繞點繼續(xù)旋轉，三角尺的一條直角邊與的延長線交于點，另一條直角邊與交于點．在旋轉過程中，與相等嗎？若相等，請給出證明；若不相等，請說明理由．【分析】（1）先判斷出，再判斷出，進而判斷出，即可得出結論；（2）先判斷出四邊形是矩形，得出，進而得出，判斷出，即可得出結論；（3）同（2）的方法即可得出結論．【解答】（1）證明：，，，是的平分線，，，，；（2）解：，理由：如圖2，過點作于，于，，，，四邊形是矩形，，，是的平分線，，，，，在和中，，，，故答案為：；（3）解：如圖3，過點作于，于，，，，四邊形是矩形，，，是的平分線，，，，，在和中，，，；

（含90°的對角互補模型面積的計算）例4．四邊形被對角線分為等腰直角和直角，其中和都是直角，另一條對角線的長度為2，求四邊形的面積．【分析】將繞點旋轉，使與重合，到點，由條件可得出是等腰直角三角形，且可證明，可得出四邊形的面積等于的面積，利用條件可求得四邊形的面積．【解答】解：將繞點旋轉，使與重合，到點，則有，所以、、在同一直線上，則是三角形，又因為，所以是等腰直角三角形，在和中，四邊形的面積等于等腰直角三角形的面積，所以．

過關檢測1．【感知】如圖①，，平分．于點，于點，可知．（不要求證明）【拓展】在圖①中，作，，分別交射線，于，兩點，求證：．【應用】如圖②，與均為直角三角形，平分，，兩點在的異側．已知，，，求線段的長．【分析】拓展如圖①，證明；證明；證明，得到．應用如圖②，作輔助線；類比（1）中的結論得到：；結合，，得到，；運用勾股定理即可解決問題．【解答】解：【拓展】平分，，，，；，四邊形為正方形，，；，；在與中，，，．【應用】如圖②，過點作；，交的延長線于點；由（1）知：（設為，四邊形為正方形，；而，，，，；由勾股定理得：，．2．如圖，正方形的頂點與正方形的對角線交點重合，正方形和正方形的邊長都是，則圖中重疊部分的面積是1．【分析】根據題意可得：，所以，從而可求得其面積．【解答】解：如圖，正方形和正方形的邊長都是，，，，在和中，，，；則圖中重疊部分的面積是，故答案為：1．（含120°的對角互補模型）例5．如圖，，平分，，與射線相交于點，與直線相交于點．把繞著點旋轉．（1）如圖1，當點在射線上時，求證：；（2）如圖2，當點在射線的反向延長線上時，與，之間的數量關系是（直接寫出結論，不必證明）【分析】（1）作，交于，證明是等邊三角形，得出，，證出，證明，得出，即可得出結論；（2）作，交于，證明是等邊三角形，得出，，證出，證明，得出，即可得出結論．【解答】（1）證明：作，交于，如圖1所示：，平分，，，，是等邊三角形，，，，，在和中，，，，，；（2）解：，理由如下：作，交于，如圖2所示：，平分，，，，，是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，，；故答案為：

過關檢測1．如圖，一傘狀圖形，已知，點是角平分線上一點，且，，與交與點，與交于點．（1）如圖一，當與重合時，探索，的數量關系．（2）如圖二，將在（1）的情形下繞點逆時針旋轉度，繼續(xù)探索，的數量關系，并求四邊形的面積．【分析】（1）根據角平分線定義得到，推出是等邊三角形，得到；（2）過點作，，根據角平分線的性質得到，，根據全等三角形的性質得到，，求得，，根據三角形的面積公式即可得到結論．【解答】解：（1），平分，，，，是等邊三角形，；（2）過點作，，平分，，，，，，，在與中，，，，，，平分，，，，，四邊形的面積．（沒有鄰邊等的對角互補模型，通常采用旋轉構造全等）例6．如圖，在中，，點是的中點，、分別是、上的點，且和互補．（1）當，如圖1，線段、、之間的數量關系是；（2）當，如圖2，求證：；（3）在（2）的條件下，若，，設線段交直線于點，求的長．【分析】（1）過作交于，由點是的中點，得到，，證得，根據全等三角形的性質得到，即可得到結論；（2）連接，由，得到，推出，根據全等三角形的性質得到，于是得到結論；（3）連接，，通過，由全等三角形的性質得到，于是得到是等腰直角三角形，根據勾股定理得到，可得，設，，由勾股定理列方程，即可得到結論．【解答】解：（1）；如圖1，過作交于，點是的中點，，，，，，，在與中，，，，；故答案為：；（2）如圖2，連接，，，，，，，即，在與中，，，，；

（3）如圖3，連接，，，，，，在與中，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，設，，，即，解得：（舍去），，．

過關檢測1．在中，，，，，分別交直線、于點、．（1）如圖1，當時，求證：；（2）如圖2，當時，問線段、、之間有何數量關系，并證明；（3）如圖3，當時，旋轉，問線段之間、、有何數量關系？并證明．【分析】（1）如圖1，連接，由等腰直角三角形可得，，，由“”可證，可得；（2）如圖2，在上截取，連接，，由“”可證，可得，，由“”可證，可得，則；（3）如圖3，過點作，連接，由“”可證，可得，，由“”可證，可得，則．【解答】證明：（1）如圖1，連接，，，，，，，，，且，，；（2），理由如下：如圖2，在上截取，連接，，，，，，，，，，，，，，，且，，且，，，；（3），理由如下：如圖3，過點作，連接，，，，，，，，，，，且，，，，，，，，，．（含60°的對角互補模型）例7．如圖所示，，平分，點是射線上的一個定點，點在直線上運動，連接，將的兩邊射線和分別繞點順時針旋轉，旋轉后角的兩邊分別與射線交于點和點．（1）如圖1所示，當點在射線上時，①請判斷線段與的數量關系，直接寫出結論；②請?zhí)骄烤€段、和之間的數量關系，寫出結論并證明；（2）如圖2所示，當點在射線的反向延長線上時，交射線于點，若，，請直接寫出線段的長．【分析】（1）①結論：．只要證明即可．②結論：．只要證明，再證明即可解決問題；（2）如圖2中，作于，于，于．由（1）可知，，，易知，，，，推出．【解答】解：（1）①結論：．理由：如圖1中，作于，于．，平分，于，于，，，，，．②結論：．，，，，，，，，，，，，，，．（2）如圖2中，作于，于，由（1）可知，，，易知，，，，．三.手拉手模型手拉手模型為七下講解內容，在難版講義中放置的手拉手例題綜合性較強，帶領學生回顧模型時一定讓學生抓住關鍵點：共頂點；兩個頂角相等的等腰三角形；左手拉左手，右手拉右手（注意判斷左右的相對位置）（例8涉及手拉手模型和特殊角的直角三角形三邊比，120度角的三角形腰比底=）例8．（青羊區(qū)校級期末）在等腰與等腰中，，，，且點、、三點在同一條直線上，連接．（1）如圖1，求證：（2）如圖2，當時，試猜想線段，，之間的數量關系，并寫出證明過程；（3）如圖3，當時，請直接寫出線段，，之間的數量關系式為：（不寫證明過程）【分析】（1）由“”可證；（2）由“”可證，可得，由直角三角形的性質可得，可得結論；（3）由，可知，由勾股定理可求，由，，推出，由，即可解決問題；【解答】證明：（1），，又，，；（2），理由如下：，，又，，；，，，，，；（3）作于．，，又，，；，，，，，，，，，，故答案為：．

（例9屬于手拉手模型的構造，難度較大）例9．【問題背景】如圖1，是正三角形外一點，，則．小明為了證明這個結論，將繞點逆時針旋轉，請幫助小明完成他的作圖；【遷移應用】如圖2，在等腰中，，，點在外部，使得，若，求；【拓展創(chuàng)新】如圖3，在四邊形中，，點在四邊形內部，且，，，，，直接寫出的長．【分析】【問題背景】按題意畫出圖形即可；【遷移應用】作線段垂直于交的延長線于點，連接，證得，證明，得出，由三角形的面積可求出答案；【拓展創(chuàng)新】將繞點順時針旋轉至，連接，證得，由勾股定理求出，證明，由全等三角形的性質得出．【解答】解：【問題背景】如圖1．【遷移應用】如圖2，作線段垂直于交的延長線于點，連接，，，為等腰直角三角形，，，，，在和中，，，，，．【拓展創(chuàng)新】如圖3，將繞點順時針旋轉至，連接，則，，，，，，，，，，，即，，，，，，在和中，，，．過關檢測1．如圖，和均為等腰三角形，點，，在同一直線上，連接．（1）如圖1，若①求證：；②求的度數．（2）如圖2，若，為中邊上的高，為中邊上的高，試證明：．【分析】（1）①通過角的計算找出，再結合和均為等腰三角形可得出“，”，利用全等三角形的判定即可證出，由此即可得出結論；②結合①中的可得出，再通過角的計算即可算出的度數；（2）根據等腰三角形的性質結合頂角的度數，即可得出底角的度數，利用（1）的結論，通過解直角三角形即可求出線段、的長度，二者相加即可證出結論．【解答】（1）①證明：，．，，．和均為等腰三角形，，．在和中，有，，．②解：，．點，，在同一直線上，且，，．，且，．（2）證明：和均為等腰三角形，且，．，，．在中，，，．，，，．在中，，，．，，．2．（1）方法探索如圖1，在等邊中，點在內，且，，，求的長．小敏在解決這個問題時，想到了以下思路：如圖1，把繞著點順時針旋轉得到△，連接，分別證明△和△是特殊三角形，從而得解．請在此思路提示下，求出的長．解：把繞著點順時針旋轉得到△，連接．接著寫下去：（2）方法應用請借鑒上述利用旋轉構圖的方法，解決下面問題：①如圖2，點在等邊外，且，，，若，求度數．②如圖3，在中，，，是外一點，連接、、．已如，．請直接寫出的長．【分析】（1）如圖1中，把繞著點順時針旋轉得到△，連接，證明△是直角三角形即可解解決問題．（2）①如圖2中，把繞著點順時針旋轉得到，連接，證明．，共線，利用勾股定理的逆定理證明即可解決問題．②如圖3中，過點作，使得，連接，．證明，推出，求出即可解決問題．【解答】解：（1）如圖1中，把繞著點順時針旋轉得到△，連接，由旋轉不變性可知，，，，，，△為等邊三角形，，，在△中，，，．（2）①如圖2中，把繞著點順時針旋轉得到，連接，是等邊三角形，，，由旋轉不變性可知，，，，，，為等邊三角形，，，，，共線，，，，，．②如圖3中，過點作，使得，連接，．，都是等腰直角三角形，，，，，，，，過點作于，，，，在中，，，，，，，在中，，．解法二：把繞著點逆時針旋轉得到，連接，先證明、、共線，再利用勾股定理求解即可．四.半角模型半角模型為七下講解內容，在該部分主要以復習為主，半角模型的復習也要帶領學生回顧半角模型的關鍵點：存在半角，產生半角的兩邊相等，有一組補角。半角模型的核心點就是通過上述條件進行能將三角形進行旋轉，然后在通過半角條件在證明一組全等三角形。（例10常見的半角模型）例10．如圖1，四邊形是正方形，，分別在邊、上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方法．（1）在圖1中，連接，為了證明結論““，小亮將繞點順時針旋轉后解答了這個問題，請按小亮的思路寫出證明過程；（2）如圖2，當繞點旋轉到圖2位置時，試探究與、之間有怎樣的數量關系？（3）如圖3，如果四邊形中，，，，且，，，求的長．【分析】（1）利用旋轉的性質，證明即可；（2）把繞點逆時針旋轉到，交于點，證明即可求得．（3）如圖3中，在上取一點，使得，證明，推出，，證明，推出，設，則，，在中，根據，構建方程求出即可解決問題．【解答】（1）證明：如圖1中，由旋轉可得，，，四邊形為正方形，，，，，在和中，，，，，．（2）解：結論：，理由：如圖2中，把繞點逆時針旋轉到，交于點，同（1）可證得，，且，．（3）解：如圖3中，在上取一點，使得，，，，，，，，，，，，，，，，，，設，則，，在中，，，，．過關檢測1．探究：如圖①，點、分別在正方形的邊、上，，連結，求證：．應用：如圖②，在四邊形中，點、分別在、上，，，，若，，則．【分析】（1）如圖①中，把繞點逆時針旋轉得到，只要證明即可解決問題．（2）如圖②中，將繞點旋轉到位置連接．，只要證明得，在△中利用勾股定理即可解決問題．【解答】（1）證明：如圖①中，在正方形中，，，把繞點逆時針旋轉得到，，點、、共線，，在和中，，，．（2）解：如圖②中，因為，所以可以將繞點旋轉到位置，連接．，，，，，，在和中，，，，在△中，，，，．故答案為．學習任務1