24.3.1 正多邊形和圓 教學(xué)設(shè)計(jì)

24.3.1正多邊形和圓教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容解析教學(xué)流程圖地位與作用本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了圓心角、圓周角的概念及性質(zhì)以后，進(jìn)一步學(xué)習(xí)多邊形與圓的位置關(guān)系有關(guān)的知識(shí)。當(dāng)多邊形的頂點(diǎn)都在圓上時(shí)，這種多邊形（圓內(nèi)接多邊形）具有非常豐富的幾何性質(zhì)．特別當(dāng)多邊形為正多邊形時(shí)，由于它有一些類似于圓的特殊性質(zhì)，使其有著廣泛的應(yīng)用．概念解析正多邊形的概念中“各邊相等”“各角相等”是正多邊形的兩個(gè)特征．由于三角形具有穩(wěn)定性，所以對(duì)于三角形可以由“各邊相等”推出“各角相等”，也可以由“各角相等”推出“各邊相等”．但對(duì)于邊數(shù)大于3的正多邊形，這兩個(gè)條件相互獨(dú)立，不能相互推出．同時(shí)為了對(duì)正多邊形中某些量進(jìn)行計(jì)算，需要引進(jìn)一些相關(guān)概念，如中心、半徑、中心角、邊心距等．思想方法研究幾何圖形的性質(zhì)是按照從一般到特殊的認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律。通過(guò)增加幾何圖形的限制條件，就會(huì)產(chǎn)生新的性質(zhì)。以正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形與圓的關(guān)系為教學(xué)載體，通過(guò)類比的方法將這些具體圖形的結(jié)論和方法推廣至正“n”邊形，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)由具體與抽象、特殊與一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程，提高學(xué)生的思維能力．知識(shí)類型正多邊形的概念是關(guān)于概念性知識(shí)，正多邊形性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算公式是關(guān)于原理和規(guī)則的知識(shí)．教學(xué)重點(diǎn)本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：正多邊形的相關(guān)計(jì)算問(wèn)題．教學(xué)目標(biāo)解析教學(xué)目標(biāo)：1．理解正多邊形及其相關(guān)概念（中心、半徑、中心角、邊心距）；2．知道正多邊形與圓的關(guān)系，能證明一個(gè)多邊形是正多邊形；3．能解決正多邊形的相關(guān)計(jì)算問(wèn)題．目標(biāo)解析：達(dá)成目標(biāo)1的標(biāo)志是：知道正多邊形的兩個(gè)條件“各邊相等”“各角相等”，并知道任意多邊形的中心、半徑、中心角、邊心距；達(dá)成目標(biāo)2的標(biāo)志是：會(huì)作任意正多邊形的外接圓，會(huì)利用等分圓周的方法得到正五邊形、正六邊形，并能證明是正多邊形；達(dá)成目標(biāo)3的標(biāo)志是：能解決正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形的相關(guān)計(jì)算問(wèn)題，并將結(jié)論和方法推廣至正n邊形．教學(xué)問(wèn)題診斷分析具備的基礎(chǔ)學(xué)生已學(xué)過(guò)三角形、四邊形的相關(guān)知識(shí)，并能對(duì)其邊長(zhǎng)、角、面積等相關(guān)量進(jìn)行計(jì)算．已掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)，會(huì)利用垂徑定理和圓周角定理及其推論進(jìn)行相關(guān)計(jì)算和證明．與本課目標(biāo)的差距分析本節(jié)課在回顧學(xué)生已經(jīng)了解的正多邊形概念的基礎(chǔ)上，以正五邊形為例，證明了利用等分圓周得到正五邊形的方法．接下來(lái)以實(shí)際問(wèn)題為例，求一個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)和面積，并引出正多邊形的有關(guān)概念，并歸納出利用半徑、邊心距和邊長(zhǎng)所構(gòu)成的直角三角形來(lái)解決正多邊形中計(jì)算問(wèn)題．正多邊形的有關(guān)計(jì)算是本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，這些計(jì)算都是幾何中的基礎(chǔ)知識(shí)，正確掌握它們要綜合運(yùn)用以前所學(xué)的知識(shí)，這些知識(shí)在生產(chǎn)和生活中也常用到．存在的問(wèn)題：本節(jié)課教學(xué)難點(diǎn)在學(xué)生對(duì)正n邊形中“n”的接受和理解上．學(xué)生對(duì)三角形、四邊形、圓等具體圖形比較習(xí)慣，對(duì)于泛指的n邊形并不習(xí)慣．應(yīng)對(duì)策略：本節(jié)課的證明、計(jì)算等問(wèn)題都結(jié)合具體的多邊形為例，教學(xué)時(shí)要注意把這種針對(duì)具體圖形的結(jié)論和方法推廣，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)由具體到抽象、特殊到一般的認(rèn)識(shí)上的飛躍，提高學(xué)生的思維能力．教學(xué)過(guò)程要關(guān)注：證明一個(gè)正多邊形是通過(guò)等分圓周的方法進(jìn)行解決；研究正多邊形相關(guān)計(jì)算時(shí)通過(guò)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中問(wèn)題來(lái)解決．通過(guò)這些知識(shí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)化未知為已知、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單的方法，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．教學(xué)難點(diǎn)本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：對(duì)正“n”邊形圖形的證明和計(jì)算．教學(xué)支持條件分析可借助幾何畫(huà)板等動(dòng)態(tài)幾何軟件，利用作圓、等分圓周、測(cè)量等功能，研究正多邊形的性質(zhì)以及與圓的關(guān)系，通過(guò)動(dòng)態(tài)的幾何圖形，可以幫助學(xué)生抽象概念、探究性質(zhì)?？捎脦熒换テ脚_(tái)對(duì)學(xué)生進(jìn)行實(shí)時(shí)測(cè)評(píng)，測(cè)評(píng)可用常用統(tǒng)計(jì)軟件統(tǒng)計(jì)顯示測(cè)評(píng)結(jié)果；根據(jù)測(cè)評(píng)結(jié)果，對(duì)測(cè)評(píng)1沒(méi)有達(dá)標(biāo)的部分內(nèi)容、沒(méi)有達(dá)標(biāo)的部分同學(xué)，用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)技術(shù)推送測(cè)評(píng)2．教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)課前檢測(cè)1．一副三角板如圖所示，其中AC=8cm，F(xiàn)E=10cm，則BC=_______cm，AB=_______cm，DE=_______cm，DF=_______cm．2．（1）若一個(gè)n邊形內(nèi)角和是900°，則n為多少？（2）一多邊形的外角都等于60°，這是幾邊形？（3）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍，它是幾邊形？3．如圖，⊙O的直徑CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足為M，則DM的長(zhǎng)為_(kāi)______．4．如圖，P是△ABC的外接圓⊙O上的一點(diǎn)且∠APC=∠CPB=60°，求證：△ABC是等邊三角形．設(shè)計(jì)意圖：在本節(jié)課前，學(xué)生應(yīng)已學(xué)習(xí)了有特殊角的直角三角形的三邊比，會(huì)利用任意多邊形的內(nèi)角和和外角和進(jìn)行相應(yīng)計(jì)算，會(huì)利用垂徑定理和圓周角定理及其推論進(jìn)行相關(guān)計(jì)算和證明．若該檢測(cè)未達(dá)要求，建議在新課前先回顧上節(jié)課的知識(shí)（1.特殊三角形的計(jì)算；2.多邊形的內(nèi)角和、外角和；3.垂徑定理；4.圓周角定理）．情境引入我們的身邊有許多多邊形圖形，大到城市規(guī)劃，建筑設(shè)計(jì)，小至分子結(jié)構(gòu)，都與多邊形有著密切的聯(lián)系．今天我們來(lái)研究一些特殊的多邊形．問(wèn)題1：交流合作：同桌合作，將下列多邊形進(jìn)行分類，并寫(xiě)明分類標(biāo)準(zhǔn)?師生活動(dòng)設(shè)計(jì)：（1）學(xué)生交流合作并展示分類情況，教師評(píng)價(jià)；（2）學(xué)生可能出現(xiàn)的分類有兩類按邊分類:①、⑤、⑧三角形；②、④、⑥四邊形；③五邊形；⑦六邊形；⑨八邊形按圖形的特殊性分類：①、③、④、⑦、⑨正多邊形；②、⑤、⑥、⑧非正多邊形兩種分類都給予肯定，并指出第二類中正多邊形是我們今天所要學(xué)習(xí)的一類特殊多邊形．問(wèn)題2：怎樣的多邊形是正多邊形？追問(wèn)1：圖⑥菱形四邊相等，為何不是正多邊形？追問(wèn)2：圖①正三角形的定只要說(shuō)明“三邊相等”或“三個(gè)內(nèi)角相等”即可．師生活動(dòng)設(shè)計(jì)：（1）教師提問(wèn)，學(xué)生各抒己見(jiàn)，不斷完善正多邊形的概念；（2）教師在評(píng)價(jià)的過(guò)程中要總結(jié)正多邊形概念的兩個(gè)特征“各邊相等”“各角相等”．由于三角形具有穩(wěn)定性，所以對(duì)于三角形可以由“各邊相等”推出“各角相等”，也可以由“各角相等”推出“各邊相等”．但對(duì)于邊數(shù)大于3的正多邊形，這兩個(gè)條件相互獨(dú)立，不能相互推出．測(cè)評(píng)1：已知一個(gè)正多邊形的內(nèi)角是140°，它是幾邊形？師生活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生獨(dú)立完成，并展示答案，教師分析并評(píng)價(jià)答案．設(shè)計(jì)意圖：檢測(cè)目標(biāo)（1）是否達(dá)成．若測(cè)評(píng)不合格，則講解測(cè)評(píng)1，完成后再測(cè)評(píng)2．測(cè)評(píng)2：有沒(méi)有內(nèi)角為100°的正多邊形，請(qǐng)說(shuō)明理由．鞏固新知問(wèn)題3：我們可以作正三角形的外接圓，如圖所示，請(qǐng)同學(xué)們?cè)谑Ｏ碌恼叫?、正五邊形、正六邊形中任選一個(gè)，尺規(guī)作圖它們的外接圓．師生活動(dòng)設(shè)計(jì)：（1）學(xué)生獨(dú)立完成，教師評(píng)價(jià)；（2）展示兩種作圖方法，方法1：中垂線找圓心法.方法2：對(duì)角線找圓心法（3）教師小結(jié)：①作任意正多邊形外接圓方法：確定圓心和半徑；②經(jīng)過(guò)正多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做正多邊形的外接圓．任何一個(gè)正多邊形都有外接圓．這個(gè)正多邊形叫作圓的內(nèi)接正多邊形．設(shè)計(jì)意圖：正“n”邊形與圓的關(guān)系是學(xué)生理解上的難點(diǎn)，該環(huán)節(jié)以正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形與圓的關(guān)系為教學(xué)載體，利用極限思想將這些具體圖形的結(jié)論和方法推廣至正“n”邊形，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)由具體到抽象、特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程，提高學(xué)生的思維能力．問(wèn)題4：如圖，把已知☉O分成相等的5段弧，依次連接各分點(diǎn)得到五邊形ABCDE．證明：五邊形ABCDE是正五邊形．∵，∴，∴，∴，∴。又五邊形ABCDE的頂點(diǎn)都在上，∴五邊形ABCDE是的內(nèi)接正五邊形；是正五邊形的外接圓。師生活動(dòng)設(shè)計(jì)：（1）學(xué)生獨(dú)立思考完成證明，展示方法，教師小結(jié)；（2）講解時(shí)強(qiáng)調(diào)“以此連接”等條件，結(jié)合圖形，總結(jié)證明思路：弧相等→弦相等、圓周角相等→多邊形各邊相等、各角相等→多邊形是正多邊形．（3）明確這個(gè)結(jié)論對(duì)于任意正n邊形都成立．測(cè)評(píng)1：如圖，把已知分成相等的6段弧，依次連接各分點(diǎn)得到六邊形ABCDEF．證明：六邊形ABCDEF是正六邊形．師生活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生獨(dú)立完成，并展示答案，教師分析并評(píng)價(jià)答案．設(shè)計(jì)意圖：檢測(cè)目標(biāo)（2）是否達(dá)成．深化理解問(wèn)題5：探索研究：正多邊形的軸對(duì)稱性和中心對(duì)稱性填寫(xiě)下表師生活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生獨(dú)立完成，相互交流，教師分析并評(píng)價(jià)答案．設(shè)計(jì)意圖：（1）由于正多邊形和圓的密切關(guān)系，所以正多邊形和圓有一些類似的性質(zhì)，如軸對(duì)稱性、中心對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性．（2）再次讓學(xué)生體驗(yàn)從特殊到一般的過(guò)程，從正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形歸納出正n邊形的結(jié)論．（3）通過(guò)對(duì)稱軸的尋找，使學(xué)生初步建立正多邊形中通過(guò)中心作邊的垂線，連接半徑，把正多邊形中的半徑，邊長(zhǎng)，邊心距所構(gòu)成的直角三角形這一常見(jiàn)圖形的認(rèn)識(shí)．問(wèn)題6：如圖，有一個(gè)亭子，它的地基是半徑為4m的正六邊形，求地基的周長(zhǎng)和面積．師生活動(dòng)設(shè)計(jì)：（1）學(xué)生獨(dú)立完成，相互交流，教師分析并評(píng)價(jià)答案；（2）教師總結(jié)給出正多邊形中心、半徑、中心角和邊心距的概念；（3）強(qiáng)調(diào)正多邊形中通過(guò)中心作邊的垂線，連接半徑，利用正多邊形中的半徑，邊長(zhǎng)，邊心距所構(gòu)造的直角三角形是解決正多邊形相關(guān)計(jì)算的一般方法．測(cè)評(píng)1：（1）完成下表中有關(guān)正多形的計(jì)算：（2）古代數(shù)學(xué)家祖沖之和他的兒子根據(jù)劉徽的“割圓術(shù)”（用圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)代替圓周長(zhǎng)），來(lái)計(jì)算圓周率π的近似值．他從正六邊形算起，一直算到正24576邊形，將圓周率精確到小數(shù)后七位，在世界上領(lǐng)先一千多年．根據(jù)這個(gè)辦法，由圓內(nèi)接正六邊形算得的圓周率π的近似值是_______．設(shè)計(jì)意圖：檢測(cè)目標(biāo)（3）是否達(dá)成．若測(cè)評(píng)不合格，則講解測(cè)評(píng)1，完成后再測(cè)評(píng)2．測(cè)評(píng)2：（1）圖中的正三角形和正六邊形有公共的外接圓．求這個(gè)正三角形和正六邊形邊長(zhǎng)的比．（2）如圖，正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長(zhǎng)為2，正六邊形A2B2C2D2E2F2的外接圓與正六邊形A1B1C1D1E1F1的各邊相切，正六邊形A3B3C3D3E3F3的外接圓與正六邊形A2B2C2D2E2F2的各邊相切，…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，A11B11C11D11E11F11的邊長(zhǎng)為_(kāi)______．課堂小結(jié)結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程，回答下列問(wèn)題：（1）什么是正多邊形？正多邊形有哪些重要特征？（2）正n邊形中，哪些是軸對(duì)稱圖形？對(duì)稱軸有多少？哪些是中心對(duì)稱圖形？對(duì)稱中心在哪里？（3）如果正n邊形的邊長(zhǎng)為a，那么你能計(jì)算這個(gè)正n邊形的內(nèi)角度數(shù)？外接圓半徑？正n邊形的面積？設(shè)計(jì)意圖：（1）以正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形與圓的關(guān)系為教學(xué)載體，將這些具體圖形的結(jié)論和方法推廣至正“n”邊形，實(shí)現(xiàn)由具體到抽象、特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程；（2）明確正多邊形中的半徑，邊長(zhǎng)，邊心距所構(gòu)造的直角三角形是解決正多邊形相關(guān)計(jì)算的一般方法．目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于，半徑為4，則這個(gè)正六邊形的邊心距OM的長(zhǎng)為（）A．2B．2C．D．42．如圖圖形中，正多邊形內(nèi)接于半徑相等的圓，其中正多邊形周長(zhǎng)最大的是（）A．B．C．D．3．若一個(gè)正多邊形的中心角等于其內(nèi)角，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）A．3B．4C．5D．64．頤和園是我國(guó)現(xiàn)存規(guī)模最大，保存最完整的古代皇家園林，它和承德避暑山莊、蘇州拙政園、蘇州留園并稱為中國(guó)四大名園．該園有一個(gè)六