《應用舉例（2）》名師課件

28.2.2應用舉例第二課時（2）勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．（1）銳角三角函數：在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別記為a、b、c，若∠C=90°，則，

，

.（4）30°、45°、60°角的三角函數值：（見下頁）（3）含30°角的直角三角形的三邊比為；含45°角的直角三角形的三邊比為.30°45°60°sinαcosαtanα方位角的定義活動1探究一:什么是方位角、坡角？重點知識★1.方位角：從正北方向或正南方向到目標方向所形成的小于90°的角叫做方向角，如圖所示，∠NOA，∠SOB，∠NOD，∠SOC都是方位角．2．說出下列射線的方向．射線OA是____________，射線OB是____________，射線OC是____________，射線OD是____________________.北偏東55°南偏東30°南偏西35°北偏西45°或西北方向坡角的定義活動2探究一:什么是方位角、坡角？重點知識★坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度的l的比叫做坡度．一般用i表示．坡角：把坡面與水平面的夾角α叫做坡角．坡度i與坡角α之間的關系：

＝tanα.應用知識，解決問題活動1探究二：方位角、坡角在解直角三角形中有什么應用？重點知識★例1.如圖所示，海中一小島A，該島四周10海里內有暗礁，今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后到達該島的南偏西25°的C處，之后，貨輪繼續(xù)向東航行，你認為貨輪向東航行的途中會有觸礁的危險嗎？解：如圖所示，過點A作AD⊥BC交BC的延長線于點D.在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝

，∴BD＝AD?tan55°.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝，∴CD＝AD?tan25°.∵BD＝BC＋CD，∴AD?tan55°＝20＋AD?tan25°.∴AD＝

≈20.79>10.∴輪船繼續(xù)向東行駛，不會有觸礁危險．點撥：觸礁問題的本質是求點到直線的距離，一般作垂線，通過解兩次直角三角形來求公共邊長度（即距離）.應用知識，解決問題活動1例2.同學們，如果你是修建三峽大壩的工程師，現在有這樣一個問題請你解決：如圖，水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，壩底寬AD和斜坡AB的長(精確到0.1m)探究二：方位角、坡角在解直角三角形中有什么應用？重點知識★解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，∵

，

，∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)．FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)．∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．∵斜坡AB的坡度i＝tanα＝≈0.33，∴α≈18.43°，∵

＝sinα，∴AB＝

＝≈72.7(m)．答：斜坡AB的坡角α約為18.43°，壩底寬AD為132.5m，斜坡AB的長約為72.7m.應用知識，解決問題活動1點撥：求解坡角相關的問題，一般作高把斜坡放到直角三角形中來求解.探究二：方位角、坡角在解直角三角形中有什么應用？重點知識★方法總結活動2利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是：1．將實際問題抽象為數學問題（畫出平面圖形，轉化為解直角三

角形的問題）．2．根據條件的特點，適當選用銳角三角函數等去解直角三角形．3．得到數學問題的答案．4．得到實際問題的答案．探究二：方位角、坡角在解直角三角形中有什么應用？重點知識★構造單一直角三角形活動1探究三：怎樣靈活運用解直角三角形的方法解決跟方位角、坡角相關的問題？重點、難點知識★例1：平放在地面上的直角三角形鐵板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意圖如圖所示．量得∠A為54°，斜邊AB的長為2.1m，BC邊上露出部分的長為0.9m．求鐵板BC邊被掩埋部分CD的長．(結果精確到0.1m，參考數據：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38)解：由題意，得∠C＝180°－∠B－∠A

＝180°－36°－54°＝90°.在Rt△ABC中，sinA＝

，則BC＝AB?sinA＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，則CD＝BC－BD＝1.701－0.9＝0.801≈0.8(m)．構造母子三角形活動2解：沒有觸礁的危險．理由如下：作PC⊥AB于C，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝8，設PC＝x，在Rt△PBC中，∵∠PBC＝45°，∴△PBC為等腰直角三角形．∴BC＝PC＝x.在Rt△PAC中，∵tan∠PAC＝

，∴AC＝

，即8＋x＝

，解得x≈10.92，即PC≈10.92.∵10.92>10，∴海輪繼續(xù)向正東方向航行，沒有觸礁的危險．例2：如圖，大海中某燈塔P周圍10海里范圍內有暗礁，一艘海輪在點A處觀察燈塔P在北偏東60°方向，該海輪向正東方向航行8海里到達點B處，這時觀察燈塔P恰好在北偏東45°方向．如果海輪繼續(xù)向正東方向航行，會有觸礁的危險嗎？試說明理由．(參考數據：≈1.73)探究三：怎樣靈活運用解直角三角形的方法解決跟方位角、坡角相關的問題？重點、難點知識★構造背靠背三角形活動3例3：如圖，一艘海輪在A點時測得燈塔C在它的北偏東42°方向上，它沿正東方向航行80海里后到達B處，此時燈塔C在它的北偏西55°方向上．(1)求海輪在航行過程中與燈塔C的最短距離(結果精確到0.1)；(2)求海輪在B處時與燈塔C的距離(結果保留整數)．(參考數據：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111)探究三：怎樣靈活運用解直角三角形的方法解決跟方位角、坡角相關的問題？重點、難點知識★構造背靠背三角形活動3解：(1)過C作CD⊥AB于點D.根據題意得：∠ACD＝42°，∠BCD＝55°.設CD的長為x海里，在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，則AD＝x?tan42°.在Rt△BCD中，tan∠BCD＝

，則BD＝x?tan55°.∵AB＝80海里，∴AD＋BD＝80海里，∴x?tan42°＋x?tan55°＝80.解得x≈34.4答：海輪在航行過程中與燈塔C的最短距離是34.4海里．(2)在Rt△BCD中，cos55°＝

，∴BC＝≈60(海里)．答：海輪在B處時與燈塔C的距離是60海里．探究三：怎樣靈活運用解直角三角形的方法解決跟方位角、坡角相關的問題？重點、難點知識★與梯形有關的角直角三角形活動4例4：如圖，梯形ABCD是攔水壩的橫斷面圖，斜面坡度i＝1∶是指坡面的鉛直高度DE與水平寬度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求攔水壩的橫斷面ABCD的面積．(結果保留小數點后一位．參考數據：

≈1.732，≈1.414)探究三：怎樣靈活運用解直角三角形的方法解決跟方位角、坡角相關的問題？重點、難點知識★與梯形有關的角直角三角形活動4探究三：怎樣靈活運用解直角三角形的方法解決跟方位角、坡角相關的問題？重點、難點知識★解：過點A作AF⊥BC，垂足為點F.在Rt△ABF中，∠B＝60°，AB＝6，∴AF＝AB·sinB＝6·sin60°＝3，BF＝AB·cosB＝6·cos60°＝3.∵AD∥BC，AF⊥BC，DE⊥BC，∴四邊形AFED是矩形．∴DE＝AF＝3，FE＝AD＝4.在Rt△CDE中，i＝

＝

，∴EC＝ED＝×3＝9.∴BC＝BF＋FE＋EC＝3＋4＋9＝16.∴S梯形ABCD＝(AD＋BC)?DE＝(4＋16)×3≈52.0.答：攔水壩的橫斷面ABCD的面積約為52.0.（1）方位角：從正北方向或正南方向到目標方向所形成的小于90°的角叫做方向