內蒙古自治區(qū)呼倫貝爾市2024屆高三年級下冊二模理科數(shù)學試題（含答案與解析）

內蒙古自治區(qū)呼倫貝爾市2024屆高三下學期二模試題

數(shù)學（理科）

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在

本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合"='"工礦｝,若AuB中恰有三個元素，則由。的取值組成的集合為（）

A-{0}B.{-1,2}C.{0,2}D.{0,-1,2}

2.若a,buR,純虛數(shù)z滿足z—a=(22—Z?)i,則一=()

b

11

A.2B.—2C.—D.--

22

x—2y+220

3.設x,y滿足約束條件42x+y-l<0,則z=2%—y的最大值為（）

x+y+2>0

A.11B.7C.-1D.-4

4.已知/，機是兩條不同的直線，。,尸是兩個不同的平面，且/ua;mu0,下列命題為真命題的是

（）

A.若/「加，則e〃￡B.若a〃￡,貝心￡

C.若/，加，貝|/，尸D.若a1_萬，貝加

5.已知曲線y=/+3x+幺在x=l處的切線與直線x—2y+l=0垂直，則。=（）

X

911

A.3B.-C.7D.—

22

1-

6.中，AB=2,AC=3,ABAC=60。,BE=FC=-BC,則()

7.橢圓E：二+馬=1（。〉6〉0）的左、右焦點分別為目，招，若E上恰有4個不同的點P,使得△尸耳心

a"b"

為直角三角形，則E的離心率的取值范圍為（）

8.已知變量x與y具有線性相關關系，在研究變量無與y之間的關系時，進行實驗后得到了一組樣本數(shù)據(jù)

&,%）,（%,%），???，（七,y5）,（6,28）,（0,28）,利用此樣本數(shù)據(jù)求得的線性回歸方程為y=—x+——，現(xiàn)

發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)（6,28）和（0,28）誤差較大，剔除這兩對數(shù)據(jù)后，求得的線性回歸方程為￡=4%+根，且

5

￡%=140,則機=()

1=1

A.8B.12C.16D.20

/兀）兀兀

9.已知函數(shù)〃x）=sins+§在-5，萬上的圖象大致如圖所示，則/（2x）的最小正周期為（）

3

10.己知遞增數(shù)列｛4｝的前見項和為S",若q=l,Sn+1+2aii+1-3=-Sn,則左的取值范圍為（）

K

A.（0,4）B,（4,+co）C.（0,3）D,（3,+<?）

11.在半徑為5的球體內部放置一個圓錐，則該圓錐體積的最大值為（）

4000714000兀2000兀2000兀

A------B.------C.------D.------

12.已知定義在R上的函數(shù)〃力滿足/（2+x）-/（2-x）=4x.若〃2x—3）的圖象關于點（2,1）對稱,

且"0)=0,則/⑴+/(2)+…+〃50)=()

A.0B.50C.2509D.2499

第II卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在答題卡中的橫線上.

13.在等差數(shù)列｛4｝中，%+%+卬8=12,則｛4｝的前19項和49=.

cos2(?+尸)

14.已知tana,tan/7是方程/+5%—3=。的兩個根，則.,(--3=.

15.為了響應中央號召，某地教育部門計劃安排甲、乙、丙、丁等6名教師前往四個鄉(xiāng)鎮(zhèn)支教，要求每

個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少安排1名教師，則甲、乙在同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)支教且丙、丁不在同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)支教的安排方法共有

種.

22

16.已知可，居分別是雙曲線--匕=1左、右焦點，M是E的左支上一點，過居作/耳崢角平

~412一一

分線的垂線，垂足為N,。為坐標原點，貝U|ON|=.

三、解答題：共70分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17~21題為必考題，

每個試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.已知.ABC的內角A5c的對邊分別為“,4c,M3?2+3c2=3^2+2^Z?csinA.

(1)求5；

(2)若b=4,a+c=6,求ABC的面積.

18.為提升基層綜合文化服務中心服務效能，廣泛開展群眾性文化活動，某村干部在本村的村民中進行問卷

調查,將他們的成績(滿分：100分)分成7組：[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].

整理得到如下頻率分布直方圖.

(1)求。的值并估計該村村民成績的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表);

(2)從成績在［30,40),［80,90)內的村民中用分層抽樣的方法選取6人，再從這6人中任選3人，記這3

人中成績在［80,90)內的村民人數(shù)為X,求X的分布列與期望.

19.如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面上鉆，平面ABCD,底面A3CD為菱形，NA3C=60，

AB=母PA=42PB=2,E是CD的中點.

(1)證明：平面MCI平面上4E.

(2)求二面角￡>—AP—￡的余弦值.

20.設拋物線C:丁=2px(p>0)的焦點為F，已知點F到圓E：(X+3)?+/=1上一點的距離的最大值為

6.

(1)求拋物線C的方程.

(2)設。是坐標原點，點p(2,4),A3是拋物線。上異于點P的兩點，直線PA,依與y軸分別相交于

M,N兩點(異于點。)，且。是線段的中點，試判斷直線A5是否經(jīng)過定點.若是，求出該定點坐

標；若不是，說明理由.

QX

21.已知函數(shù)/(%)=lnx-----.

e'

(1)當。=1時，證明：/⑶有且僅有一個零點.

(2)當x>0時，/(x)Kx恒成立，求4的取值范圍.

、丁口口In2In3Inne(l-e-n)_7*、

(3)證明：----1-------1----1------<n--------------(zn>2,neN).

23ne-1

(二)選考題：共10分請考生從第22,23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一

個題目計分.

［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

22.在直角坐標系中，傾斜角為。的直線/的參數(shù)方程為1C為參數(shù))，以坐標原點為極

y=tsma

點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為夕2+4夕cose+l=0.

（1）求/和C的直角坐標方程；

（2）若/和C恰有一個公共點，求sina.

[選修4-5：不等式選講]（10分）

23.已知函數(shù)/（尤）=|2x+a|+|x-2|.

（1）若。=2,求不等式/（%）212的解集；

（2）對于任意xe[-5,-2],都有/（x）＜2a,求a的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合"={1'。},'={2，/},若AuB中恰有三個元素，則由。的取值組成的集合為（）

A.{0}B.{-1,2}C.{0,2}D.{0,-1,2}

【答案】D

【解析】

【分析】中恰有三個元素，則兩集合中有一個相同元素，分類討論列方程求解并檢驗即可.

【詳解】因為中恰有三個元素，所以。=2或a=/或1="，

結合集合中元素的互異性，解得。=2或。=0或。=1（舍去）或a=-l.

故選：D.

2.若eR,純虛數(shù)z滿足z—a=（2z—b）i,則一=（）

b

i1

A.2B.-2C.￡D.——

22

【答案】B

【解析】

【分析】利用純虛線的定義假設2=〃疝，再利用復數(shù)的四則運算與復數(shù)相等的條件得到。，。關于陽的表示,

從而得解.

【詳解】設2="五（/neR,且加w0）,

則一。+"尢=（2"近一〃）i=—2"/一歷，

所以〃=2m，b--m,則f二一2.

b

故選：B.

x-2y+2>0

3.設羽y滿足約束條件2%+y—1?0,則z=2%—y的最大值為（）

x+y+2>0

A.11B.7C.-1D.-4

【答案】A

【解析】

【分析】畫出可行域和目標函數(shù)，根據(jù)2的幾何意義得到當丁=2%-2過點4（3,-5）時，z取得最大值，求

出答案.

【詳解】由約束條件作出可行域和目標函數(shù)，

2=2工_'變形為,=2工_2,由于-Z為y=2x-z在y軸上的截距,

要想得到z的最大值，只需得到y(tǒng)=2x-z在〉軸上的截距的最小值，

顯然當y=2x-z過點A時，z取得最大值，

將4（3,-5）代入，z=2x-y=6+5=ll,

當直線/：z=2x—y經(jīng)過點（3,—5）時，z取得最大值11.

故選：A

4.已知/，機是兩條不同的直線，戊,用是兩個不同的平面，目lua;mu/3,下列命題為真命題的是

()

A.若/「加，則a.0B.若aB，貝hB

C.若/，加，貝D.若a_L/?,則/〃m

【答案】B

【解析】

【分析】考查線與面，面與面之間位置關系，關鍵是掌握線面、面面等的位置關系及其性質，再結合圖形分

析.

【詳解】如圖，當///"Z時，a與￡可相交也可平行，故A錯;

當。//，時，由平行性質可知，必有///，，故B對;

如圖，當加時，///，或/口(3,故C錯；當a，/7時，可相交、平行，故D錯.

故選：B.

5.已知曲線丁=/+3%+@在x=l處的切線與直線x—2y+l=0垂直，則a=()

X

911

A.3B.—C.7D.—

22

【答案】C

【解析】

【分析】利用導數(shù)求出切線斜率，再結合垂直關系列式計算即得.

【詳解】由丁=/+3》+幺，求導得y'=2x+3—二，當x=l時，y'=5—a,

XX

由曲線丁=必+3工+@在x=l處切線與直線x—2y+l=0垂直，得5—a=—2,

x

所以a=7.

故選：C

1--

6.在中，AB=2,AC=3,ABAC=60°,BE=FC=-BC,則()

.413229

A.—B.4C.—D.—

996

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量的加法法則，減法法則，將4E，AP用AB，表示，再利用向量的數(shù)量積公式

計算即可求解.

【詳解】因為3石=/。=工3。，

3

1101

所以AE=AB+3E=AB+—3C=AB+—（AC—AB）=—AB+—AC,

33、>33

111Q

AF=AC+CF=AC——BC=AC——（AC-AB\=-AB+-AC,

33、'33

又AB=2,AC=3,NB4c=60。，

2-25-2-2251241

=-AB+-ABAC+-AC=-x4+-x2x3x-+-x9=—.

99999299

故選：A.

22

7.橢圓比—+￡=l（a〉》〉0）的左、右焦點分別為瓦，工，若E上恰有4個不同的點P，使得△尸耳心

為直角三角形，則E的離心率的取值范圍為()、

D.

7

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的對稱性，結合橢圓離心率公式進行求解即可.

【詳解】設E的上頂點為A,

因為E上恰有4個不同的點尸，使得月為直角三角形，

Cr21

所以N￡AE,＜90。，則一＜1,所以。2＜。2一°2,即二＜_1,

ba22

故E的離心率的取值范圍為

8.已知變量尤與y具有線性相關關系，在研究變量尤與y之間的關系時，進行實驗后得到了一組樣本數(shù)據(jù)

6,%）,,%），…，（6,28）,（0,28）,利用此樣本數(shù)據(jù)求得的線性回歸方程為/=與％+與，現(xiàn)

發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)（6,28）和（0,28）誤差較大，剔除這兩對數(shù)據(jù)后，求得的線性回歸方程為￡=4%+根，且

5

2%=140,則m=（）

；=1

A.8B.12C.16D.20

【答案】C

【解析】

【分析】由題意求出剔除后的平均數(shù)了'=28,進而求出剔除前的平均數(shù)歹，根據(jù)回歸直線必過樣本點中心，

得到無，進而得到將點（孔y）代入g=4x+m,即可求解.

【詳解】設沒剔除兩對數(shù)據(jù)前的x,>的平均數(shù)分別為了，歹，

剔除兩對數(shù)據(jù)后的x,》的平均數(shù)分別為亍，了，

因為￡>=140,所以9=垃/=28,則亍=上？=里二生，

M5M44

因為兩對數(shù)據(jù)為（6,28）和（0,28）,所以歹=；x（140+56）=28,

所以元=，j（7義了一166）=3,

（7x—6—0）28—/11碗/日,（

所以x=---------------=3=---------,解得加=16.

54

故選：C.

I7t）兀兀

9.已知函數(shù)/（x）=sin[ox+j在一3,上的圖象大致如圖所示，則/（2x）的最小正周期為（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圖象確定周期的范圍，得出2<何|<4,再由特殊點求出。=—3—36左即可得解.

兀2兀

【詳解】由圖可知，5<間<兀，則2<|。|<4.

①兀兀兀

-----1—=—卜2kit,k￡Z.解得口=—3—36左，k￡Z,故g=—3,

1832

則/(x)=sin-3%+y,所以以（2%）=sinf-6x+g

/、2兀兀

故/（2x）的最小正周期為「a=y.

故選：B

10.己知遞增數(shù)列｛4｝的前"項和為S",若q=l,Sn+l+2an+l-3=-Sn,則上的取值范圍為（）

K

A.（0,4）B,（4,+co）C.（0,3）D.（3,+co）

【答案】C

【解析】

【分析】利用數(shù)列和與項的關系求出通項公式，結合遞增數(shù)列的定義可得答案.

QQ。7IQ

【詳解】當〃=1時，52+2^2—3=—S],即1+。2+2。2-3=—9則。2=------------.

kk3k

33

當〃22時，由5角+2%「3=尸〃，得S“+2a〃-3=尸”一

kk

32左+32k+3

得4+i+2a“+i—2%=7％,，則3%+1=—^“”，易知即二

kkQf15k

a,2k+3,2k+3

又上=f-,所以｛（qj是首項為1,公比為的等比數(shù)列.

5k3k

7Q

又｛4｝單調遞增，所以>1,解得0〈左<3.

故選：c

11.在半徑為5的球體內部放置一個圓錐，則該圓錐體積的最大值為（）

4000兀4000?r2000兀2000兀

A.--------B.---------C.---------D.---------

81278127

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，當圓錐體積最大時，此時圓錐內接于球，且球心在圓錐的高上，求出球心到圓錐底而

的距離，然后表示出圓錐的體積，求導即可得到其最值.

【詳解】由題知，如圖，當圓錐體積最大時，此時圓錐內接于球，球心在圓錐的高上，

設圓錐的底面半徑為r,高為〃（0</2<10）,則/2=52—（〃—5）2=—/?+10/2,

所以該圓錐的體積V=g兀/力=g兀卜川+10層），

則v'=；1兀"（—3/7+20）.當丸時,V>0,當"eg,10時，r<0.

3

故當/?=當時，v取得最大值，且最大值為"5如.

381

故選：A.

12.己知定義在R上的函數(shù)滿足〃2+x）—/（2—x）=4x.若〃2x—3）的圖象關于點（2,1）對稱,

且/（。）=0,則/⑴+/（2）+…+/（50）=（）

A.0B.50C.2509D.2499

【答案】D

【解析】

【分析】由〃2x—3)圖象的對稱中心得圖象的對稱中心，由/?(2+x)—/(2—x)=4x,構造函數(shù)

g(x)=/(x)-2x,求出g(x)圖象的對稱性和周期，由

/⑴+/⑵+…+/(50)=g⑴+g⑵+…+g(50)+2(l+2+…+50)求值即可.

【詳解】因為〃2x—3)的圖象關于點(2,1)對稱，所以〃2x—3)+/(2(4—%)—3)=2,

即/(2x-3)+/(5-2x)=2,從而/(x_3)+/(5—x)=2,

則的圖象關于點(1,1)對稱.

由/(2+x)-/(2-x)=4x,可得/(2+x)-2(2+x)=/(2-x)-2(2-x).

^g(x)=f(x)-2x,得g(2+x)=g(2f),則g(x)的圖象關于直線x=2對稱.

g(l+x)+g(l-x)=/(l+x)-2(l+x)+=/(l+x)+/(l-x)-4=-2,

則g(X)的圖象關于點(1,-1)對稱，則有g(2—x)+g(x)=-2,

所以g(2+尤)+g(x)=-2,g(4+x)+g(2+^r)=-2,

兩式相減得g(x+4)=g(x),故g(x)是以4為周期的函數(shù).

因為g(o)=〃。)-2x0=。,g(l)=-l,g(2)=-2-g(0)=-2,g(3)=g⑴=T,

所以〃1)+/(2)+…+/(50)=g⑴+g(2)+…+g(50)+2(l+2+…+50)

=7x12—1—2+2550=2499.

故選：D.

【點睛】方法點睛：

關于函數(shù)圖象對稱性的幾個結論：

1、函數(shù)y=/(%)滿足f(T+x)=f(T-x)(T為常數(shù))的充要條件是y=/(尤)的圖象關于直線x=T對稱.

2、函數(shù)y=滿足于(x)=f(2T-x)(T為常數(shù))的充要條件是y=/(%)的圖象關于直線x=T對稱.

3、函數(shù)y=f{x)滿足f(a+x)=f(b-x)的充要條件是y=f{x)圖象關于直線

(a+x)+(b-x)a+b

x=1------------=------對稱.

22

4、若滿足/(%)=-/(-x),則y=f(x)的圖象關于原點對稱.

5、若滿足〃x)=-/(-x+2a),則y=〃足的圖象關于點(a,0)對稱.

6、若滿足了(無)=—/(—%+2a)+2)，則y=/(x)的圖象關于點(a,〃)對稱.

第II卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在答題卡中的橫線上.

13.在等差數(shù)列中，a5+tz7+o18=12,則｛a,J的前19項和S19=.

【答案】76

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式，化簡表達式可得。i+9d=4,再由等差數(shù)列的求和公式求得19.

【詳解】設｛4｝的公差為d,則%+%+%8=3囚+27〃=12,即q+9d=4.

19(4+4+18d)/、

故S19=52-------=19+9d)=76.

故答案為：76.

cos2(?+B\

14.己知tanc,tan/7是方程%2+5%-3=。的兩個根，則一^——±=.

sin-

【答案】t

37

【解析】

【分析】利用韋達定理可得tana+tan〃=-5,tanatan￡=-3,再利用兩角和差公式和三角函數(shù)的商數(shù)關

系求解即可.

【詳解】因為tantz,tan/J是方程32+5%—3=0的兩個根，

所以tana+tan分=-5,tanatan6=-3,貝Ucosacos0芋0,

cos2(cif+/?)(cosacos/-sinasin尸Y(1-tanortan/?Y

所以

sin2(a-(sinqcos/?-cosasin/?J(tana-tan/?,

_____________16______________16

(tani+tan/?)-4tanciftan(337,

故答案為：魯

37

15.為了響應中央的號召，某地教育部門計劃安排甲、乙、丙、丁等6名教師前往四個鄉(xiāng)鎮(zhèn)支教，要求每

個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少安排1名教師，則甲、乙在同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)支教且丙、丁不在同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)支教的安排方法共有

種.

【答案】216

【解析】

【分析】先分組后排列計算即可得.

【詳解】若這6名教師的分組為3,1,1,1,則甲、乙必在三人組中，丙、丁分開，

不同的安排方法有C：A：=96種；

若這6名教師的分組為2,2,1,1,則甲、乙必在二人組中，丙、丁分開，

不同的安排方法有C；C；A：+A：=120種.

故不同的安排方法共有216種.

故答案為：216.

22

16.已知耳，凡分別是雙曲線--乙=1的左、右焦點，M是E的左支上一點，過凡作/耳”居角平

412

分線的垂線，垂足為N,。為坐標原點，則|QV|=.

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的定義求解.

22

【詳解】雙曲線土—匕=1的實半軸長為。=2,

412

延長KN交直線〃耳于點〃，由題意有|聞囿=|"閭，加劇=|人名|,

又O是耳月中點，所以QM=3閨叫=3（|“叫—陽聞）=5|知工|一|加4|）=a=2,

故答案為：2.

H

三、解答題：共70分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17~21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.己知的內角A5c的對邊分別為“,4c,且3a2+3c2=3/+2&csinA.

(1)求8；

(2)若匕=4,a+c=6,求ABC的面積.

【答案】(1)8=三7T

(2)

3

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理可得asinB=bsinA,代入已知條件結合余弦定理即可求解；

(2)利用余弦定理求出這，代入三角形面積公式即可.

【小問1詳解】

因為ABC中3a2+3(?=3〃+26besinA，由正弦定理"="得asin5=Z?sinA,

sinAsinB

r-r,.1J22226.22n

u\以Z?—ci+c-----besinA=a+c------etcsinB，

33

又由余弦定理可得y=4+o2—2accos3，所以"sinB=cos3,即tan5=JL

3

因為Be(O,兀)，所以8=

【小問2詳解】

由(1)可知，b2=6i2+c2—6zc=(6i+c)2—3ac,

rrq7,(二匚[、[(〃+C)-/20

因b=4Aj〃+c=6,所以de—-----------=—，

33

則ABC的面積S=^acsin3=述.

23

18.為提升基層綜合文化服務中心服務效能，廣泛開展群眾性文化活動，某村干部在本村的村民中進行問卷

調查,將他們的成績(滿分：100分)分成7組：[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].

整理得到如下頻率分布直方圖.

頻率

（1）求a的值并估計該村村民成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；

（2）從成績在［30,40）,［80,90）內的村民中用分層抽樣的方法選取6人，再從這6人中任選3人，記這3

人中成績在［80,90）內的村民人數(shù)為X,求X的分布列與期望.

【答案】（1）0.005；64.5

（2）分布列見詳解；E（X）=2

【解析】

【分析】（1）由頻率和為1,可求。的值，再由平均數(shù)計算公式求解；

（2）根據(jù)分層抽樣可確定X的取值，再分別求出概率，最后利用期望公式求解.

【小問1詳解】

由圖可知，10(3a+0.01+0.015+0.03x2)=l,

解得a=0.005，

該村村民成績的平均數(shù)約為

(35+45+95)x0.05+(55+65)x0.3+75x0.15+85x0.1=64.5；

【小問2詳解】

從成績在［30,40）,［80,90）內的村民中用分層抽樣的方法選取6人,

其中成績在［30,40）的村民有6x黑開=2人，

成績在［80,90）的村民有4人，

從中任選3人，X的取值可能為1,2,3,

P"=l）=胃4，°（X=2）=胃=|，P"=3）=窘=g

則X的分布列為

X123

131

P———

555

19.如圖，在四棱錐P—A6CD中，平面？A3,平面A3CD,底面A3CD為菱形，NA3C=60，

AB=①PA=41PB=2,E是CD的中點.

（1）證明：平面P3C1平面B4E.

（2）求二面角O—AP—石的余弦值.

【答案】（1）證明見解析.

【解析】

【分析】⑴取A3中點。，連接OROC,證明尸平面A3CD,分別以BOCOP為蒼y,z軸建立空

間直角坐標系，用空間向量法證明面面垂直；

（2）用空間向量法求二面角.

【小問1詳解】

取A5中點。，連接OROC,如圖，

因為四邊形ABCD是菱形且NABC=60°,所以一ABC和八位）。都是正三角形，又E是。中點，

所以OCLABAELCD,OC=^AB=6從而有OC//AE,

2

又CE//AO,所以49CE是矩形.

XAB=y/2PA=42PB-所以B42+P52=452,所以A4_L?B，即Q43是等腰直角三角形，

所以PO=^AB=1,P01AB,

2

又因為平面RIB，平面A6CD,平面MBc平面ABC。=AB,POu平面石鉆，

所以PO1平面ABC。，

分別以moc,o尸為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖，

則8(1,0,0),尸(0,0,1),C(0,V3,0),A(-1,0,0),磯―。(—2,6,0),

PB=(1,0,-1),PC=(0,A/3,-1),PA=(-1,0,-1),PE=(-1,5-l),PD=(-2,瓜-1),

設平面尸3C的一個法向量是加=(x,y,z),則

PB-m=X—z=0

取y=l得病=(石,1,6),

PC-m=6y-z=0

設平面R4￡的一個法向量是〃=(%0,%/0)，則

PA-n=-x-z=0

00取九0=G得〃=(g,。,—,

PE-n=-x0+6yo-z0=0

加.〃=3+0-3=0，所以m_!_〃，

所以平面尸5cl平面B4￡；

【小問2詳解】

設平面尸AD的一個法向量是，=(〃,4c),

PDtt——2。+y/3b—c—0

則《取Z?=1得/=(6,1,-6)，

PA，t——a—c—0

設二面角D—AP—￡的大小為6，由圖知。為銳角,

所以8S*E止犒=5^=絹

20.設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為已知點尸到圓E:(X+3)2+/=1上一點的距離的最大值為

6.

(1)求拋物線。的方程.

(2)設。是坐標原點，點。(2,4),A3是拋物線。上異于點p的兩點，直線與y軸分別相交于

”,N兩點(異于點。)，且。是線段的中點，試判斷直線A3是否經(jīng)過定點.若是，求出該定點坐

標；若不是，說明理由.

【答案】(1)/=8%

(2)過定點，定點坐標為(0,-2)

【解析】

【分析】⑴點歹到圓E上點的最大距離為附+1,即((+3]+1=6,計算即可;

(2)由已知設M(0,m),N(0,-附，求得則E4,PB方程，聯(lián)立以與拋物線。的方程求得A點坐標,

同理可得8點坐標，進而求得直線的方程得出結果.

【小問1詳解】

點尸到圓E上點的最大距離為1Ml+1，即1+3+1=6,得°=4,

故拋物線。的方程為y2=8x.

【小問2詳解】

4—TH4+

設M(0,〃z),N(0,一根)，則Q4方程為y=2x+冽，P3方程為y=-—x-m,

聯(lián)立Q4與拋物線C方程可得―一3―尹學”=0,即(y-4)[y-/L]=o,

4-m4-mI4-m)

4m次=2m2

因此A點縱坐標為％=,代入拋物線方程可得A點橫坐標為4

4—m8（4-777）'

C、’2m2、

2m47n4m

則A點坐標為2，同理可得3點坐標為

（4-m）2，4-勺（4+m）24+m

7

1A2

因此直線AB的斜率為k==—4L

-xBm

/

4-tn16—in2m

代入B點坐標可以得到AB方程為y+--=——X--------S

4+mmz4+

(1)當。=1時，證明：/a)有且僅有一個零點.

(2)當尤>0時，/(x)<x恒成立，求a的取值范圍.

n

s、,XRnIn2In3Inne(l:-e-).z*、

(3)證明：----1------------1--------1----------<n---------(n>2,neN).

23ne-1

【答案】(1)證明見解析；

(2)[-e,+a>)；

(3)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)利用導數(shù)探討函數(shù)的單調性，再利用零點存在性定理推理即得.

(2)等價變形給定的不等式，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值即得.

InX|

(3)利用(2)的結論得——<1--,再賦值并借助不等式性質，等比數(shù)列前“項和公式推理即得.

x尸

【小問1詳解】

11%2

當。=1時，函數(shù)/(x)=lnx—W定義域為(0,+s),則r(x)=._==e

exelxel

令g(x)=e'+f—x,則g'(x)=e*+2x—1〉0在(0,+s)上恒成立，則g(x)在(0,+s)上單調遞增,

貝1Jg(x)>g(0)=l，即/'(%)>0在(0,+s)上恒成立，了⑺在(0,+8)上單調遞增，

1P

而/⑴=_—<0,/(e)=l-->0,

ee

所以根據(jù)零點存在定理知，"X）有且僅有一個零點.

【小問2詳解】

當尤＞0時，/（＞）4%等價于。2/吐￡

X

人7/、lnx-xex4日/日7“、e^（x-l）（lnx-x-l）人/、11

令〃（%）=-----------，求導得"（%）==——、--------令0（x）=ln1—x—l,

XX

貝！Jd（x）=L^,當X￡（O,1）時，（p\x）＞Q,。（工）單調遞增，當X￡（1,+GO）時，0（%）＜0,夕（九）單調遞

X

減，

則0（X）＜0（1）=—2,于是當xe（0,1）時，勿（x）＞0,/z（x）單調遞增，

當xe(l,+8)時，h'(x)<0,〃(x)單調遞減，因此/z(x)4Ml)=-e,

所以a取值范圍為［—e,+8）.

【小問3詳解】

XI