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內(nèi)蒙古自治區(qū)呼倫貝爾市2024屆高三下學(xué)期二模試題
數(shù)學(xué)(理科)
本試卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘
注意事項(xiàng):
1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需
改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在
本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.
第I卷
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一
項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合"='"工礦},若AuB中恰有三個(gè)元素,則由。的取值組成的集合為()
A-{0}B.{-1,2}C.{0,2}D.{0,-1,2}
2.若a,buR,純虛數(shù)z滿足z—a=(22—Z?)i,則一=()
b
11
A.2B.—2C.—D.--
22
x—2y+220
3.設(shè)x,y滿足約束條件42x+y-l<0,則z=2%—y的最大值為()
x+y+2>0
A.11B.7C.-1D.-4
4.已知/,機(jī)是兩條不同的直線,。,尸是兩個(gè)不同的平面,且/ua;mu0,下列命題為真命題的是
()
A.若/「加,則e〃£B.若a〃£,貝心£
C.若/,加,貝|/,尸D.若a1_萬,貝加
5.已知曲線y=/+3x+幺在x=l處的切線與直線x—2y+l=0垂直,則。=()
X
911
A.3B.-C.7D.—
22
1-
6.中,AB=2,AC=3,ABAC=60。,BE=FC=-BC,則()
7.橢圓E:二+馬=1(?!?〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為目,招,若E上恰有4個(gè)不同的點(diǎn)P,使得△尸耳心
a"b"
為直角三角形,則E的離心率的取值范圍為()
8.已知變量x與y具有線性相關(guān)關(guān)系,在研究變量無與y之間的關(guān)系時(shí),進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后得到了一組樣本數(shù)據(jù)
&,%),(%,%),???,(七,y5),(6,28),(0,28),利用此樣本數(shù)據(jù)求得的線性回歸方程為y=—x+——,現(xiàn)
發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)(6,28)和(0,28)誤差較大,剔除這兩對(duì)數(shù)據(jù)后,求得的線性回歸方程為£=4%+根,且
5
£%=140,則機(jī)=()
1=1
A.8B.12C.16D.20
/兀)兀兀
9.已知函數(shù)〃x)=sins+§在-5,萬上的圖象大致如圖所示,則/(2x)的最小正周期為()
3
10.己知遞增數(shù)列{4}的前見項(xiàng)和為S",若q=l,Sn+1+2aii+1-3=-Sn,則左的取值范圍為()
K
A.(0,4)B,(4,+co)C.(0,3)D,(3,+<?)
11.在半徑為5的球體內(nèi)部放置一個(gè)圓錐,則該圓錐體積的最大值為()
4000714000兀2000兀2000兀
A------B.------C.------D.------
12.已知定義在R上的函數(shù)〃力滿足/(2+x)-/(2-x)=4x.若〃2x—3)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱,
且"0)=0,則/⑴+/(2)+…+〃50)=()
A.0B.50C.2509D.2499
第II卷
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分把答案填在答題卡中的橫線上.
13.在等差數(shù)列{4}中,%+%+卬8=12,則{4}的前19項(xiàng)和49=.
cos2(?+尸)
14.已知tana,tan/7是方程/+5%—3=。的兩個(gè)根,則.,(--3=.
15.為了響應(yīng)中央號(hào)召,某地教育部門計(jì)劃安排甲、乙、丙、丁等6名教師前往四個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)支教,要求每
個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少安排1名教師,則甲、乙在同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)支教且丙、丁不在同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)支教的安排方法共有
種.
22
16.已知可,居分別是雙曲線--匕=1左、右焦點(diǎn),M是E的左支上一點(diǎn),過居作/耳崢角平
~412一一
分線的垂線,垂足為N,。為坐標(biāo)原點(diǎn),貝U|ON|=.
三、解答題:共70分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17~21題為必考題,
每個(gè)試題考生都必須作答.第22,23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.
(一)必考題:共60分.
17.已知.ABC的內(nèi)角A5c的對(duì)邊分別為“,4c,M3?2+3c2=3^2+2^Z?csinA.
(1)求5;
(2)若b=4,a+c=6,求ABC的面積.
18.為提升基層綜合文化服務(wù)中心服務(wù)效能,廣泛開展群眾性文化活動(dòng),某村干部在本村的村民中進(jìn)行問卷
調(diào)查,將他們的成績(jī)(滿分:100分)分成7組:[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
整理得到如下頻率分布直方圖.
(1)求。的值并估計(jì)該村村民成績(jī)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);
(2)從成績(jī)?cè)冢?0,40),[80,90)內(nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人,再從這6人中任選3人,記這3
人中成績(jī)?cè)冢?0,90)內(nèi)的村民人數(shù)為X,求X的分布列與期望.
19.如圖,在四棱錐P—ABCD中,平面上鉆,平面ABCD,底面A3CD為菱形,NA3C=60,
AB=母PA=42PB=2,E是CD的中點(diǎn).
(1)證明:平面MCI平面上4E.
(2)求二面角£>—AP—£的余弦值.
20.設(shè)拋物線C:丁=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,已知點(diǎn)F到圓E:(X+3)?+/=1上一點(diǎn)的距離的最大值為
6.
(1)求拋物線C的方程.
(2)設(shè)。是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)p(2,4),A3是拋物線。上異于點(diǎn)P的兩點(diǎn),直線PA,依與y軸分別相交于
M,N兩點(diǎn)(異于點(diǎn)。),且。是線段的中點(diǎn),試判斷直線A5是否經(jīng)過定點(diǎn).若是,求出該定點(diǎn)坐
標(biāo);若不是,說明理由.
QX
21.已知函數(shù)/(%)=lnx-----.
e'
(1)當(dāng)。=1時(shí),證明:/⑶有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
(2)當(dāng)x>0時(shí),/(x)Kx恒成立,求4的取值范圍.
、丁口口In2In3Inne(l-e-n)_7*、
(3)證明:----1-------1----1------<n--------------(zn>2,neN).
23ne-1
(二)選考題:共10分請(qǐng)考生從第22,23兩題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一
個(gè)題目計(jì)分.
[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)
22.在直角坐標(biāo)系中,傾斜角為。的直線/的參數(shù)方程為1C為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極
y=tsma
點(diǎn),X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為夕2+4夕cose+l=0.
(1)求/和C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若/和C恰有一個(gè)公共點(diǎn),求sina.
[選修4-5:不等式選講](10分)
23.已知函數(shù)/(尤)=|2x+a|+|x-2|.
(1)若。=2,求不等式/(%)212的解集;
(2)對(duì)于任意xe[-5,-2],都有/(x)<2a,求a的取值范圍.
參考答案
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一
項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合"={1'。},'={2,/},若AuB中恰有三個(gè)元素,則由。的取值組成的集合為()
A.{0}B.{-1,2}C.{0,2}D.{0,-1,2}
【答案】D
【解析】
【分析】中恰有三個(gè)元素,則兩集合中有一個(gè)相同元素,分類討論列方程求解并檢驗(yàn)即可.
【詳解】因?yàn)橹星∮腥齻€(gè)元素,所以。=2或a=/或1=",
結(jié)合集合中元素的互異性,解得。=2或。=0或。=1(舍去)或a=-l.
故選:D.
2.若eR,純虛數(shù)z滿足z—a=(2z—b)i,則一=()
b
i1
A.2B.-2C.£D.——
22
【答案】B
【解析】
【分析】利用純虛線的定義假設(shè)2=〃疝,再利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)數(shù)相等的條件得到。,。關(guān)于陽的表示,
從而得解.
【詳解】設(shè)2="五(/neR,且加w0),
則一。+"尢=(2"近一〃)i=—2"/一歷,
所以〃=2m,b--m,則f二一2.
b
故選:B.
x-2y+2>0
3.設(shè)羽y滿足約束條件2%+y—1?0,則z=2%—y的最大值為()
x+y+2>0
A.11B.7C.-1D.-4
【答案】A
【解析】
【分析】畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)2的幾何意義得到當(dāng)丁=2%-2過點(diǎn)4(3,-5)時(shí),z取得最大值,求
出答案.
【詳解】由約束條件作出可行域和目標(biāo)函數(shù),
2=2工_'變形為,=2工_2,由于-Z為y=2x-z在y軸上的截距,
要想得到z的最大值,只需得到y(tǒng)=2x-z在〉軸上的截距的最小值,
顯然當(dāng)y=2x-z過點(diǎn)A時(shí),z取得最大值,
將4(3,-5)代入,z=2x-y=6+5=ll,
當(dāng)直線/:z=2x—y經(jīng)過點(diǎn)(3,—5)時(shí),z取得最大值11.
故選:A
4.已知/,機(jī)是兩條不同的直線,戊,用是兩個(gè)不同的平面,目lua;mu/3,下列命題為真命題的是
()
A.若/「加,則a.0B.若aB,貝hB
C.若/,加,貝D.若a_L/?,則/〃m
【答案】B
【解析】
【分析】考查線與面,面與面之間位置關(guān)系,關(guān)鍵是掌握線面、面面等的位置關(guān)系及其性質(zhì),再結(jié)合圖形分
析.
【詳解】如圖,當(dāng)///"Z時(shí),a與£可相交也可平行,故A錯(cuò);
當(dāng)。//,時(shí),由平行性質(zhì)可知,必有///,,故B對(duì);
如圖,當(dāng)加時(shí),///,或/口(3,故C錯(cuò);當(dāng)a,/7時(shí),可相交、平行,故D錯(cuò).
故選:B.
5.已知曲線丁=/+3%+@在x=l處的切線與直線x—2y+l=0垂直,則a=()
X
911
A.3B.—C.7D.—
22
【答案】C
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率,再結(jié)合垂直關(guān)系列式計(jì)算即得.
【詳解】由丁=/+3》+幺,求導(dǎo)得y'=2x+3—二,當(dāng)x=l時(shí),y'=5—a,
XX
由曲線丁=必+3工+@在x=l處切線與直線x—2y+l=0垂直,得5—a=—2,
x
所以a=7.
故選:C
1--
6.在中,AB=2,AC=3,ABAC=60°,BE=FC=-BC,則()
.413229
A.—B.4C.—D.—
996
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量的加法法則,減法法則,將4E,AP用AB,表示,再利用向量的數(shù)量積公式
計(jì)算即可求解.
【詳解】因?yàn)?石=/。=工3。,
3
1101
所以AE=AB+3E=AB+—3C=AB+—(AC—AB)=—AB+—AC,
33、>33
111Q
AF=AC+CF=AC——BC=AC——(AC-AB\=-AB+-AC,
33、'33
又AB=2,AC=3,NB4c=60。,
2-25-2-2251241
=-AB+-ABAC+-AC=-x4+-x2x3x-+-x9=—.
99999299
故選:A.
22
7.橢圓比—+£=l(a〉》〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為瓦,工,若E上恰有4個(gè)不同的點(diǎn)P,使得△尸耳心
為直角三角形,則E的離心率的取值范圍為()、
D.
7
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性,結(jié)合橢圓離心率公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)E的上頂點(diǎn)為A,
因?yàn)镋上恰有4個(gè)不同的點(diǎn)尸,使得月為直角三角形,
Cr21
所以N£AE,<90。,則一<1,所以。2<。2一°2,即二<_1,
ba22
故E的離心率的取值范圍為
8.已知變量尤與y具有線性相關(guān)關(guān)系,在研究變量尤與y之間的關(guān)系時(shí),進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后得到了一組樣本數(shù)據(jù)
6,%),,%),…,(6,28),(0,28),利用此樣本數(shù)據(jù)求得的線性回歸方程為/=與%+與,現(xiàn)
發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)(6,28)和(0,28)誤差較大,剔除這兩對(duì)數(shù)據(jù)后,求得的線性回歸方程為£=4%+根,且
5
2%=140,則m=()
;=1
A.8B.12C.16D.20
【答案】C
【解析】
【分析】由題意求出剔除后的平均數(shù)了'=28,進(jìn)而求出剔除前的平均數(shù)歹,根據(jù)回歸直線必過樣本點(diǎn)中心,
得到無,進(jìn)而得到將點(diǎn)(孔y)代入g=4x+m,即可求解.
【詳解】設(shè)沒剔除兩對(duì)數(shù)據(jù)前的x,>的平均數(shù)分別為了,歹,
剔除兩對(duì)數(shù)據(jù)后的x,》的平均數(shù)分別為亍,了,
因?yàn)椤?gt;=140,所以9=垃/=28,則亍=上?=里二生,
M5M44
因?yàn)閮蓪?duì)數(shù)據(jù)為(6,28)和(0,28),所以歹=;x(140+56)=28,
所以元=,j(7義了一166)=3,
(7x—6—0)28—/11碗/日,(
所以x=---------------=3=---------,解得加=16.
54
故選:C.
I7t)兀兀
9.已知函數(shù)/(x)=sin[ox+j在一3,上的圖象大致如圖所示,則/(2x)的最小正周期為()
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圖象確定周期的范圍,得出2<何|<4,再由特殊點(diǎn)求出。=—3—36左即可得解.
兀2兀
【詳解】由圖可知,5<間<兀,則2<|。|<4.
①兀兀兀
-----1—=—卜2kit,k£Z.解得口=—3—36左,k£Z,故g=—3,
1832
則/(x)=sin-3%+y,所以以(2%)=sinf-6x+g
/、2兀兀
故/(2x)的最小正周期為「a=y.
故選:B
10.己知遞增數(shù)列{4}的前"項(xiàng)和為S",若q=l,Sn+l+2an+l-3=-Sn,則上的取值范圍為()
K
A.(0,4)B,(4,+co)C.(0,3)D.(3,+co)
【答案】C
【解析】
【分析】利用數(shù)列和與項(xiàng)的關(guān)系求出通項(xiàng)公式,結(jié)合遞增數(shù)列的定義可得答案.
QQ。7IQ
【詳解】當(dāng)〃=1時(shí),52+2^2—3=—S],即1+。2+2。2-3=—9則。2=------------.
kk3k
33
當(dāng)〃22時(shí),由5角+2%「3=尸〃,得S“+2a〃-3=尸”一
kk
32左+32k+3
得4+i+2a“+i—2%=7%,,則3%+1=—^“”,易知即二
kkQf15k
a,2k+3,2k+3
又上=f-,所以{(qj是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列.
5k3k
7Q
又{4}單調(diào)遞增,所以>1,解得0〈左<3.
故選:c
11.在半徑為5的球體內(nèi)部放置一個(gè)圓錐,則該圓錐體積的最大值為()
4000兀4000?r2000兀2000兀
A.--------B.---------C.---------D.---------
81278127
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意,當(dāng)圓錐體積最大時(shí),此時(shí)圓錐內(nèi)接于球,且球心在圓錐的高上,求出球心到圓錐底而
的距離,然后表示出圓錐的體積,求導(dǎo)即可得到其最值.
【詳解】由題知,如圖,當(dāng)圓錐體積最大時(shí),此時(shí)圓錐內(nèi)接于球,球心在圓錐的高上,
設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為〃(0</2<10),則/2=52—(〃—5)2=—/?+10/2,
所以該圓錐的體積V=g兀/力=g兀卜川+10層),
則v'=;1兀"(—3/7+20).當(dāng)丸時(shí),V>0,當(dāng)"eg,10時(shí),r<0.
3
故當(dāng)/?=當(dāng)時(shí),v取得最大值,且最大值為"5如.
381
故選:A.
12.己知定義在R上的函數(shù)滿足〃2+x)—/(2—x)=4x.若〃2x—3)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱,
且/(。)=0,則/⑴+/(2)+…+/(50)=()
A.0B.50C.2509D.2499
【答案】D
【解析】
【分析】由〃2x—3)圖象的對(duì)稱中心得圖象的對(duì)稱中心,由/?(2+x)—/(2—x)=4x,構(gòu)造函數(shù)
g(x)=/(x)-2x,求出g(x)圖象的對(duì)稱性和周期,由
/⑴+/⑵+…+/(50)=g⑴+g⑵+…+g(50)+2(l+2+…+50)求值即可.
【詳解】因?yàn)椤?x—3)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱,所以〃2x—3)+/(2(4—%)—3)=2,
即/(2x-3)+/(5-2x)=2,從而/(x_3)+/(5—x)=2,
則的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱.
由/(2+x)-/(2-x)=4x,可得/(2+x)-2(2+x)=/(2-x)-2(2-x).
^g(x)=f(x)-2x,得g(2+x)=g(2f),則g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.
g(l+x)+g(l-x)=/(l+x)-2(l+x)+=/(l+x)+/(l-x)-4=-2,
則g(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對(duì)稱,則有g(shù)(2—x)+g(x)=-2,
所以g(2+尤)+g(x)=-2,g(4+x)+g(2+^r)=-2,
兩式相減得g(x+4)=g(x),故g(x)是以4為周期的函數(shù).
因?yàn)間(o)=〃。)-2x0=。,g(l)=-l,g(2)=-2-g(0)=-2,g(3)=g⑴=T,
所以〃1)+/(2)+…+/(50)=g⑴+g(2)+…+g(50)+2(l+2+…+50)
=7x12—1—2+2550=2499.
故選:D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:
關(guān)于函數(shù)圖象對(duì)稱性的幾個(gè)結(jié)論:
1、函數(shù)y=/(%)滿足f(T+x)=f(T-x)(T為常數(shù))的充要條件是y=/(尤)的圖象關(guān)于直線x=T對(duì)稱.
2、函數(shù)y=滿足于(x)=f(2T-x)(T為常數(shù))的充要條件是y=/(%)的圖象關(guān)于直線x=T對(duì)稱.
3、函數(shù)y=f{x)滿足f(a+x)=f(b-x)的充要條件是y=f{x)圖象關(guān)于直線
(a+x)+(b-x)a+b
x=1------------=------對(duì)稱.
22
4、若滿足/(%)=-/(-x),則y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
5、若滿足〃x)=-/(-x+2a),則y=〃足的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.
6、若滿足了(無)=—/(—%+2a)+2),則y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,〃)對(duì)稱.
第II卷
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分把答案填在答題卡中的橫線上.
13.在等差數(shù)列中,a5+tz7+o18=12,則{a,J的前19項(xiàng)和S19=.
【答案】76
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式,化簡(jiǎn)表達(dá)式可得。i+9d=4,再由等差數(shù)列的求和公式求得19.
【詳解】設(shè){4}的公差為d,則%+%+%8=3囚+27〃=12,即q+9d=4.
19(4+4+18d)/、
故S19=52-------=19+9d)=76.
故答案為:76.
cos2(?+B\
14.己知tanc,tan/7是方程%2+5%-3=。的兩個(gè)根,則一^——±=.
sin-
【答案】t
37
【解析】
【分析】利用韋達(dá)定理可得tana+tan〃=-5,tanatan£=-3,再利用兩角和差公式和三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)
系求解即可.
【詳解】因?yàn)閠antz,tan/J是方程32+5%—3=0的兩個(gè)根,
所以tana+tan分=-5,tanatan6=-3,貝Ucosacos0芋0,
cos2(cif+/?)(cosacos/-sinasin尸Y(1-tanortan/?Y
所以
sin2(a-(sinqcos/?-cosasin/?J(tana-tan/?,
_____________16______________16
(tani+tan/?)-4tanciftan(337,
故答案為:魯
37
15.為了響應(yīng)中央的號(hào)召,某地教育部門計(jì)劃安排甲、乙、丙、丁等6名教師前往四個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)支教,要求每
個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少安排1名教師,則甲、乙在同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)支教且丙、丁不在同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)支教的安排方法共有
種.
【答案】216
【解析】
【分析】先分組后排列計(jì)算即可得.
【詳解】若這6名教師的分組為3,1,1,1,則甲、乙必在三人組中,丙、丁分開,
不同的安排方法有C:A:=96種;
若這6名教師的分組為2,2,1,1,則甲、乙必在二人組中,丙、丁分開,
不同的安排方法有C;C;A:+A:=120種.
故不同的安排方法共有216種.
故答案為:216.
22
16.已知耳,凡分別是雙曲線--乙=1的左、右焦點(diǎn),M是E的左支上一點(diǎn),過凡作/耳”居角平
412
分線的垂線,垂足為N,。為坐標(biāo)原點(diǎn),則|QV|=.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的定義求解.
22
【詳解】雙曲線土—匕=1的實(shí)半軸長(zhǎng)為。=2,
412
延長(zhǎng)KN交直線〃耳于點(diǎn)〃,由題意有|聞囿=|"閭,加劇=|人名|,
又O是耳月中點(diǎn),所以QM=3閨叫=3(|“叫—陽聞)=5|知工|一|加4|)=a=2,
故答案為:2.
H
三、解答題:共70分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17~21題為必考題,
每個(gè)試題考生都必須作答.第22,23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.
(-)必考題:共60分.
17.己知的內(nèi)角A5c的對(duì)邊分別為“,4c,且3a2+3c2=3/+2&csinA.
(1)求8;
(2)若匕=4,a+c=6,求ABC的面積.
【答案】(1)8=三7T
(2)
3
【解析】
【分析】(1)利用正弦定理可得asinB=bsinA,代入已知條件結(jié)合余弦定理即可求解;
(2)利用余弦定理求出這,代入三角形面積公式即可.
【小問1詳解】
因?yàn)锳BC中3a2+3(?=3〃+26besinA,由正弦定理"="得asin5=Z?sinA,
sinAsinB
r-r,.1J22226.22n
u\以Z?—ci+c-----besinA=a+c------etcsinB,
33
又由余弦定理可得y=4+o2—2accos3,所以"sinB=cos3,即tan5=JL
3
因?yàn)锽e(O,兀),所以8=
【小問2詳解】
由(1)可知,b2=6i2+c2—6zc=(6i+c)2—3ac,
rrq7,(二匚[、[(〃+C)-/20
因b=4Aj〃+c=6,所以de—-----------=—,
33
則ABC的面積S=^acsin3=述.
23
18.為提升基層綜合文化服務(wù)中心服務(wù)效能,廣泛開展群眾性文化活動(dòng),某村干部在本村的村民中進(jìn)行問卷
調(diào)查,將他們的成績(jī)(滿分:100分)分成7組:[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
整理得到如下頻率分布直方圖.
頻率
(1)求a的值并估計(jì)該村村民成績(jī)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);
(2)從成績(jī)?cè)冢?0,40),[80,90)內(nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人,再從這6人中任選3人,記這3
人中成績(jī)?cè)冢?0,90)內(nèi)的村民人數(shù)為X,求X的分布列與期望.
【答案】(1)0.005;64.5
(2)分布列見詳解;E(X)=2
【解析】
【分析】(1)由頻率和為1,可求。的值,再由平均數(shù)計(jì)算公式求解;
(2)根據(jù)分層抽樣可確定X的取值,再分別求出概率,最后利用期望公式求解.
【小問1詳解】
由圖可知,10(3a+0.01+0.015+0.03x2)=l,
解得a=0.005,
該村村民成績(jī)的平均數(shù)約為
(35+45+95)x0.05+(55+65)x0.3+75x0.15+85x0.1=64.5;
【小問2詳解】
從成績(jī)?cè)冢?0,40),[80,90)內(nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人,
其中成績(jī)?cè)冢?0,40)的村民有6x黑開=2人,
成績(jī)?cè)冢?0,90)的村民有4人,
從中任選3人,X的取值可能為1,2,3,
P"=l)=胃4,°(X=2)=胃=|,P"=3)=窘=g
則X的分布列為
X123
131
P———
555
19.如圖,在四棱錐P—A6CD中,平面?A3,平面A3CD,底面A3CD為菱形,NA3C=60,
AB=①PA=41PB=2,E是CD的中點(diǎn).
(1)證明:平面P3C1平面B4E.
(2)求二面角O—AP—石的余弦值.
【答案】(1)證明見解析.
【解析】
【分析】⑴取A3中點(diǎn)。,連接OROC,證明尸平面A3CD,分別以BOCOP為蒼y,z軸建立空
間直角坐標(biāo)系,用空間向量法證明面面垂直;
(2)用空間向量法求二面角.
【小問1詳解】
取A5中點(diǎn)。,連接OROC,如圖,
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形且NABC=60°,所以一ABC和八位)。都是正三角形,又E是。中點(diǎn),
所以O(shè)CLABAELCD,OC=^AB=6從而有OC//AE,
2
又CE//AO,所以49CE是矩形.
XAB=y/2PA=42PB-所以B42+P52=452,所以A4_L?B,即Q43是等腰直角三角形,
所以PO=^AB=1,P01AB,
2
又因?yàn)槠矫鍾IB,平面A6CD,平面MBc平面ABC。=AB,POu平面石鉆,
所以PO1平面ABC。,
分別以moc,o尸為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,
則8(1,0,0),尸(0,0,1),C(0,V3,0),A(-1,0,0),磯―。(—2,6,0),
PB=(1,0,-1),PC=(0,A/3,-1),PA=(-1,0,-1),PE=(-1,5-l),PD=(-2,瓜-1),
設(shè)平面尸3C的一個(gè)法向量是加=(x,y,z),則
PB-m=X—z=0
取y=l得病=(石,1,6),
PC-m=6y-z=0
設(shè)平面R4£的一個(gè)法向量是〃=(%0,%/0),則
PA-n=-x-z=0
00取九0=G得〃=(g,。,—,
PE-n=-x0+6yo-z0=0
加.〃=3+0-3=0,所以m_!_〃,
所以平面尸5cl平面B4£;
【小問2詳解】
設(shè)平面尸AD的一個(gè)法向量是,=(〃,4c),
PDtt——2。+y/3b—c—0
則《取Z?=1得/=(6,1,-6),
PA,t——a—c—0
設(shè)二面角D—AP—£的大小為6,由圖知。為銳角,
所以8S*E止犒=5^=絹
20.設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為已知點(diǎn)尸到圓E:(X+3)2+/=1上一點(diǎn)的距離的最大值為
6.
(1)求拋物線。的方程.
(2)設(shè)。是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)。(2,4),A3是拋物線。上異于點(diǎn)p的兩點(diǎn),直線與y軸分別相交于
”,N兩點(diǎn)(異于點(diǎn)。),且。是線段的中點(diǎn),試判斷直線A3是否經(jīng)過定點(diǎn).若是,求出該定點(diǎn)坐
標(biāo);若不是,說明理由.
【答案】(1)/=8%
(2)過定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2)
【解析】
【分析】⑴點(diǎn)歹到圓E上點(diǎn)的最大距離為附+1,即((+3]+1=6,計(jì)算即可;
(2)由已知設(shè)M(0,m),N(0,-附,求得則E4,PB方程,聯(lián)立以與拋物線。的方程求得A點(diǎn)坐標(biāo),
同理可得8點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求得直線的方程得出結(jié)果.
【小問1詳解】
點(diǎn)尸到圓E上點(diǎn)的最大距離為1Ml+1,即1+3+1=6,得°=4,
故拋物線。的方程為y2=8x.
【小問2詳解】
4—TH4+
設(shè)M(0,〃z),N(0,一根),則Q4方程為y=2x+冽,P3方程為y=-—x-m,
聯(lián)立Q4與拋物線C方程可得―一3―尹學(xué)”=0,即(y-4)[y-/L]=o,
4-m4-mI4-m)
4m次=2m2
因此A點(diǎn)縱坐標(biāo)為%=,代入拋物線方程可得A點(diǎn)橫坐標(biāo)為4
4—m8(4-777)'
C、’2m2、
2m47n4m
則A點(diǎn)坐標(biāo)為2,同理可得3點(diǎn)坐標(biāo)為
(4-m)2,4-勺(4+m)24+m
7
1A2
因此直線AB的斜率為k==—4L
-xBm
/
4-tn16—in2m
代入B點(diǎn)坐標(biāo)可以得到AB方程為y+--=——X--------S
4+mmz4+
(1)當(dāng)。=1時(shí),證明:/a)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
(2)當(dāng)尤>0時(shí),/(x)<x恒成立,求a的取值范圍.
n
s、,XRnIn2In3Inne(l:-e-).z*、
(3)證明:----1------------1--------1----------<n---------(n>2,neN).
23ne-1
【答案】(1)證明見解析;
(2)[-e,+a>);
(3)證明見解析.
【解析】
【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性,再利用零點(diǎn)存在性定理推理即得.
(2)等價(jià)變形給定的不等式,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即得.
InX|
(3)利用(2)的結(jié)論得——<1--,再賦值并借助不等式性質(zhì),等比數(shù)列前“項(xiàng)和公式推理即得.
x尸
【小問1詳解】
11%2
當(dāng)。=1時(shí),函數(shù)/(x)=lnx—W定義域?yàn)?0,+s),則r(x)=._==e
exelxel
令g(x)=e'+f—x,則g'(x)=e*+2x—1〉0在(0,+s)上恒成立,則g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增,
貝1Jg(x)>g(0)=l,即/'(%)>0在(0,+s)上恒成立,了⑺在(0,+8)上單調(diào)遞增,
1P
而/⑴=_—<0,/(e)=l-->0,
ee
所以根據(jù)零點(diǎn)存在定理知,"X)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
【小問2詳解】
當(dāng)尤>0時(shí),/(>)4%等價(jià)于。2/吐£
X
人7/、lnx-xex4日/日7“、e^(x-l)(lnx-x-l)人/、11
令〃(%)=-----------,求導(dǎo)得"(%)==——、--------令0(x)=ln1—x—l,
XX
貝!Jd(x)=L^,當(dāng)X£(O,1)時(shí),(p\x)>Q,。(工)單調(diào)遞增,當(dāng)X£(1,+GO)時(shí),0(%)<0,夕(九)單調(diào)遞
X
減,
則0(X)<0(1)=—2,于是當(dāng)xe(0,1)時(shí),勿(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)xe(l,+8)時(shí),h'(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減,因此/z(x)4Ml)=-e,
所以a取值范圍為[—e,+8).
【小問3詳解】
XI
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