2025年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題58 二次函數(shù)中的面積問(wèn)題（原卷版）

例題精講例題精講求三角形的面積是幾何題中常見(jiàn)問(wèn)題之一，可用的方法也比較多，比如面積公式、割補(bǔ)、等積變形、三角函數(shù)甚至海倫公式，本文介紹的方法是在二次函數(shù)問(wèn)題中常用的一種求面積的方法——鉛垂法．【問(wèn)題描述】在平面直角坐標(biāo)系中，已知、、，求△ABC的面積．【分析】顯然對(duì)于這樣一個(gè)位置的三角形，面積公式并不太好用，割補(bǔ)倒是可以一試，比如這樣：構(gòu)造矩形ADEF，用矩形面積減去三個(gè)三角形面積即可得△ABC面積．這是在“補(bǔ)”，同樣可以采用“割”：此處AE+AF即為A、B兩點(diǎn)之間的水平距離．由題意得：AE+BF=6．下面求CD：根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)求得直線AB解析式為：由點(diǎn)C坐標(biāo)（4,7）可得D點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，將4代入直線AB解析式得D點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，故D點(diǎn)坐標(biāo)為（4,2），CD=5,．【方法總結(jié)】作以下定義：A、B兩點(diǎn)之間的水平距離稱(chēng)為“水平寬”；過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線與AB交點(diǎn)為D，線段CD即為AB邊的“鉛垂高”．如圖可得：【解題步驟】（1）求A、B兩點(diǎn)水平距離，即水平寬；（2）過(guò)點(diǎn)C作x軸垂線與AB交于點(diǎn)D，可得點(diǎn)D橫坐標(biāo)同點(diǎn)C；（3）求直線AB解析式并代入點(diǎn)D橫坐標(biāo)，得點(diǎn)D縱坐標(biāo)；（4）根據(jù)C、D坐標(biāo)求得鉛垂高；（5）利用公式求得三角形面積．

例題精講例題精講【例1】．如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)P為拋物線第二象限上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC、BC，求△PBC面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l與拋物線交于點(diǎn)C，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)是（4，3）．（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；（2）若點(diǎn)E是（1）中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點(diǎn)的坐標(biāo)．【變1-2】．如圖，直線y＝﹣x+2交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)C，拋物線y＝﹣+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)C，且交x軸于另一點(diǎn)B．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)M，求四邊形ABCM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．【例2】．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l交拋物線于點(diǎn)C（2，m），點(diǎn)P是線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)P在何處時(shí)，△ACE面積最大．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖，拋物線y＝ax2+bx+2交x軸于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0），交y軸于點(diǎn)C．（1）求這個(gè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ADCP面積的最大值．【變2-2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x﹣2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)y＝+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，動(dòng)點(diǎn)D在直線BC下方的二次函數(shù)圖象上．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接DC，DB，設(shè)△BCD的面積為S，求S的最大值．1．如圖，拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，若點(diǎn)P是線段BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BCP的面積取得最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A．（2，3） B．（，） C．（1，3） D．（3，2）2．如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線過(guò)B、C兩點(diǎn)，連接AC．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為拋物線上直線BC上方的一動(dòng)點(diǎn)，求△PBC面積的最大值，并求出點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)Q為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，求△QAC周長(zhǎng)的最小值．3．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值．若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣5與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的二次函數(shù)解析式：（2）若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，當(dāng)以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)H是直線BC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接BH，CH．當(dāng)△BCH的面積最大時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）連接PO，PC，并將△POC沿y軸對(duì)折，得到四邊形POP'C．是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP'C為菱形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積．6．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），作直線BC．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為拋物線上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜3），求△ABP的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）條件同（2），若△ODP與△COB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．7．如圖，拋物線y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，直線y＝x+經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3，線段PQ在線段AB上移動(dòng)，PQ＝1，分別過(guò)點(diǎn)P、Q作x軸的垂線，交拋物線于E、F，交直線于D，G．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)四邊形DEFG為平行四邊形時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；（3）在線段PQ的移動(dòng)過(guò)程中，以D、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形面積是否有最大值，若有求出最大值，若沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理由．8．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象交x軸于點(diǎn)A（1，0），B（3，0），交y軸于點(diǎn)C．E是BC上一點(diǎn)，PE∥y軸．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，求BCP面積的最大值；（3）直線x＝m分別交直線BC和拋物線于點(diǎn)M，N，當(dāng)m為何值時(shí)MN＝BM，9．已知直線y＝x﹣3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝﹣x2+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C．（1）求此拋物線的解析式；（2）在直線CA上方的拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得△ACD的面積最大？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），過(guò)點(diǎn)B的直線y＝＝x﹣2交拋物線于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與點(diǎn)B，C重合），求△PBC面積的最大值．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y＝x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于另一點(diǎn)C（﹣1，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)M為直線AB下方拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N為y軸上一點(diǎn)，當(dāng)△MAB的面積最大時(shí)，求MN+ON的最小值．12．直線y＝﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若P是直線AB上方拋物線上一點(diǎn)；①當(dāng)△PBA的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②在①的條件下，點(diǎn)P關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，在直線AB上是否存在點(diǎn)M，使得直線QM與直線BA的夾角是∠QAB的兩倍？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B（﹣3，0）和點(diǎn)C（1，0）．（1）求此拋物線的表達(dá)式．（2）若點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABP的面積最大時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△ABP的最大面積．（3）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為D，在（2）的條件下直線AB上確定一點(diǎn)H，使△DHP為等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)．14．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（1，0）、C（﹣2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N，其頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；（2）在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)M，使△ANM的周長(zhǎng)最?。舸嬖?，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)和△ANM周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△APC的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PBC面積最大，求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)和△PBC的最大面積．（3）是否存在點(diǎn)P，使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)M，連接BC、CM．求△BCM的周長(zhǎng)及tan∠BCM的值；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)A的直線m∥BC，點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥m，垂足為點(diǎn)D，連接BD，CD，CP，PB．當(dāng)四邊形BDCP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及四邊形BDCP面積的最大值．17．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線F1：y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0）．（1）求拋物線F1的解析式；（2）如圖2，作拋物線F2，使它與拋物線F1關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)，請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線F2的解析式；（3）如圖3，將（2）中拋物線F2向上平移2個(gè)單位，得到拋物線F3，拋物線F1與拋物線F3相交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)）．①求點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；②若點(diǎn)M，N分別為拋物線F1和拋物線F3上C，D之間的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M，N與點(diǎn)C，D不重合），試求四邊形CMDN面積的最大值．18.將拋物線y＝ax2（a≠0）向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位后，得到拋物線H：y＝a（x﹣h）2+k．拋物線H與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C．已知A（﹣3，0），點(diǎn)P是拋物線H上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．