江蘇省南京師大附中2024屆高三2月寒假測試（新結構）數(shù)學試題及答案

2023-2024學年南京師大附中高三年級寒假模擬測試

數(shù)學2024.2

本試卷共19題，滿分150分，考試時間120分鐘

注意事項：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合4=｛2|2=『+",〃€^）,則A的元素個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

2.用數(shù)學歸納法證明：/（?）=1+|+|+（〃eN*）的過程中，從"=%至?。?/p>

〃=k+1時，/（%+1）比/優(yōu)）共增加了（）

A.1項B.2上-1項C.2皿項D.2上項

3.已知函數(shù)"x）=f+依-%,若°,6都是區(qū)間［0,4］內的數(shù)，則使得“1）2。成立的概

率是（）

A.-B.-C.-D.-

8888

4.已知正三棱臺ABC-ABC1的上，下底面邊長分別為2和6,側棱長為4,以下底面頂

點A為球心，2近為半徑的球面與側面BCq片的交線長為（）

2兀4兀

A.—B.兀C.—D.2兀

33

13

5.設4=sin0.2,/?=0.16,。=—In—,則（）

22

A.a>c>bB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

6.17到19世紀間，數(shù)學家們研究了用連分式求解代數(shù)方程的根，并得到連分式的一個重

要功能：用其逼近實數(shù)求近似值.例如，把方程爐-*-1=0改寫成尤=1+，①，將x再代

X

11x=l+―

入等式右邊得到Y—1-I--------1-----,繼續(xù)利用①式將X再代入等式右邊得到1+：1……反

X1+一

X

.J_1+—^-j-

復進行，取X=1時，由此得到數(shù)列1,1+彳，二］，1+—\，L,記作｛%｝,則當

111+；

“足夠大時，。.逼近實數(shù)上手.數(shù)列｛%｝的前2024項中，滿足?！?笥^<0.0。5的4,

的個數(shù)為（參考數(shù)據：上至*1.618）

2

A.1007B.1009C.2014D.2018

7.如圖，已知橢圓和雙曲線G具有相同的焦點耳（-c，。），E（G。），A、B、C、。是它

們的公共點，且都在圓/+r=。2上，直線A5與X軸交于點P,直線CP與雙曲線G交于

點。，記直線AC、A。的斜率分別為人、Z2,若橢圓C］的離心率為半，則匕?42的值為

4

C.-D.4

3

2222

8.若橢圓C］和C?的方程分別為j+R=l(a>b>0)和=+與=2(。>6>0">0且

abab

2222

/Ul)則稱G和c?為相似橢圓.己知橢圓G：Y+(=1,C2：?+\=2(0</1<1),過C2

上任意一點尸作直線交Cl于M,N兩點，且PM+PN=O，則△A/ON的面積最大時，2

的值為（）

A.-B.1C.-D.且

3242

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有錯選得0分.

已知當尤時，（）

9.>0-!-<lnl+-<-,則()

1+xXX

10I9B.In9<1+—+4-i<lnl0

AA.——<e9<-

9829

C.（—）9<9!

e

22

10.已知橢圓c：上+上=1上有一點尸，耳、鳥分別為左、右焦點，/耳「8=。,4P4心的

169

面積為S,則下列選項正確的是（）

A.若6=60。，則S=3也

B.若S=9,貝1］，=90°

C.若△尸片區(qū)為鈍角三角形，則Se0,于

D.橢圓C內接矩形的周長范圍是（12,20］

11.在平面直角坐標系中，定義d（平B）=max｛歸-即-力,為兩點A（4％）、3（孫％）

的“切比雪夫距離”，又設點P及I上任意一點Q,稱〃（尸，Q）的最小值為點P到直線I的“切比

雪夫距離”，記作d（P,/）,給出下列四個命題，正確的是（）

A.對任意三點AB,C,都有d（C,A）+d（C,B）Nd（A,B）；

Q

B.已知點P（2,l）和直線/:x-2y-2=0,則d（R/）=§；

C.到定點M的距離和到M的“切比雪夫距離”相等的點的軌跡是正方形.

D.定點爪-c,。）、鳥（。,0）,動點P（x,y）滿足|d（P,居）-d（P，K）|=2a（2c>2a>0）,

則點尸的軌跡與直線>=左（左為常數(shù)）有且僅有2個公共點.

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12

12.若事件A,B發(fā)生的概率分別為P（A）=5，P（8）=§，且A與B相互獨立，貝I

尸（4J8）=.

13.已知集合/={尤€M2了-3<2},則/的非空子集的個數(shù)是.

14.如圖，在四棱柱ABCD-ABIGA中，底面A3C。為正方形，AB=4,=BCi.

BBX±BDr,且二面角4-3，-G的正切值為行.若點尸在底面ABC。上運動，點。在

四棱柱ABC。-A耳G2內運動，D、Q=與,則P4+PQ的最小值為.

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

15.（13分）已知函數(shù)〃x）=|lgx-l|

⑴解關于x的不等式：

14

⑵若“。）=/（6）（?'b）,求上+；的最小值.

ab

16.（15分）設（2x+iy的第"項系數(shù)為a”.

⑴求凡的最大值.

4

1

（2）若國表示％的整數(shù)部分，S-色廠，求S-網的值.

22

17.（15分）已知橢圓C:\+2=l（a>6>0）的短軸長為由，右頂點到右焦點的距離為

ab

1

⑴求橢圓C的標準方程；

⑵如圖所示，設點A是橢圓C的右頂點.過點（3,0）的直線/與橢圓C相交于不同的兩點

E,F,且都在無軸的上方.在x軸上是否存在點尸，使ZAPE=NOPF,若存在，請求出點尸

的坐標；若不存在，請說明理由.

18.（17分）如圖所示，四邊形ABCD為正方形，四邊形ABEE,8所為兩個全等的等

腰梯形，AB=4,EF//AB,AB=2EF,EA=ED=FB=FC=3.

（1）當點N為線段AD的中點時，求證：AD±FN；

（2）當點N在線段AO上時（包含端點）,求平面ARV和平面ADE的夾角的余弦值的取值

范圍.

19.（17分）在平面直角坐標系xOy中，若在曲線G的方程P（x,y）=O中，以（尢0y）

（4為非零的正實數(shù)）代替（x,y）得到曲線C2的方程網拉力）=0,則稱曲線G、C?關于

原點“伸縮”，變換（x,y）f（八,勿）稱為“伸縮變換”，X稱為伸縮比.

22

（1）已知C］的方程為］一3=1,伸縮比4=2,求C］關于原點“伸縮變換，，所得曲線Q的

方程；

（2）射線/的方程y=（x>0）,如果橢圓C|：亮+:=1經”伸縮變換，，后得到橢圓

、

C2,若射線/與橢圓G、C?分別交于兩點AB,且|AB|=0,求橢圓方程；

2

（3）對拋物線G：/=2Plx,作變換（羽y）f（4x，4y）,得拋物線C2：y=2p2x■對

2

C2作變換（x,y）f得拋物線C3：y=2p3x,如此進行下去，對拋物線C"：

V=2p/作變換（尤,,得C,+i：廿=2p“+F…若R=1,4,,求數(shù)列

{A}的通項公式P”.

備選題：20.某款游戲預推出一項皮膚抽卡活動，玩家每次抽卡需要花費10元，現(xiàn)有以下

兩種方案.方案一：沒有保底機制，每次抽卡抽中新皮膚的概率為Pi；方案二：每次抽卡

抽中新皮膚的概率為外，若連續(xù)99次未抽中，則第100次必中新皮膚.已知

0<p2<Pi<l,玩家按照一、二兩種方案進行抽卡，首次抽中新皮膚時的累計花費為X,

Y（元）.

⑴求x,丫的分布列；

⑵求E（X）；

⑶若A=2P②=0.02,根據花費的均值從游戲策劃角度選擇收益較高的方案.（參考數(shù)

據：O.99100~0.37.）

2023-2024學年南京師大附中高三年級寒假模擬測試

數(shù)學學科參考答案

第I卷（選擇題）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

12345678

cDCCDDBB

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有錯選得0分.

91011

ACDACDAD

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.-13.714.8--

62

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

15.（1）由題意可知口gx—<1=—l<lgx—1<1,

即0=lgl<lgx<2=lgl00=xe(l,100)；

(2)因為〃a)=/0),所以|lga-l|=|建-1|,

不妨設a<b,由對數(shù)函數(shù)的性質可知

貝叩=]_lga=|lgb_l|=lgb_lnlgM=2,

所以次7=100,

i4b4、「Ib42

貝壯+3=當且僅當a=5,b=20時取得等號.

ab100bN100b5

16.（1）由題可知，（2x+l）展開式中第左+1項為:

小=Cg(2x)8-'x/=晨2s-kx8-k,

11人,8—左〉11左一1,8—（女—1）

則系數(shù)最大的項需滿足：一一二8（z），“eN*,解得％=2或后=3,

C%28—左>c左十]28—（化+1）

所以系數(shù)最大為第3項或第4項，即“=3或”=4,

所以最大項系數(shù)為%=%=C；2”2=1792.

43

a=++<7+<3

（2）因為盤〃2i+l=〃1+〃3+〃5+〃7+〃9，a2i+2^2^468，

z=0i=0

且由（2%+1）8展開式中第2+1項為：兀1=C；（2%廣J晨28-k產出,

765432ax+a,

所以（2x+17=qf+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x+a7x+s9

8

令x=l,%+a2+%+a4+a5+a6+a7+a8+a9=3,

即：J^^2z+1+a2i+2~3,

z=0z=0

令%=_],%%-〃4+%-4+%-4+〃9=1，

BP：J^^2z+1~12i+2=1，

z=0z=0

4

所以所以”魚曝一3%1，

'二。2

而38+1=（4—1）8+1

=C^48（-1）°+C^47（-1）1++04°（-1）8+1

=4+1+1

=4+2

432

所以S=±[47—C；46+C；45—C；44+C^4-C^4+C；4-C；+2

4

+0.5,

由題可知，[S]=C；47-Cg46+Cg45-C^44+Cg43-C^42+C；4—C；,

所以s-[S]的值為0.5.

2b—\/3,

1

17.(1)依題意得<

25

a2=b2+c2

解得"=1*?

2丁_

二橢圓C的標準方程為廠+虧=1

4

(2)存在點尸，使NAPE=/OP尸，點尸的坐標為理由如下:

直線/過點(3,0),與橢圓。:爐+52=1交于不同的兩點瓦尸.且都在工軸上方.

，直線/的斜率存在且不為0,設直線I的方程為y=k(x-3\k^0.

y=%（元-3）,

聯(lián)立方程F+42_］消去y可得：（3+4^2）X2-24k2x+36k2-3=0.

龍w一,

24k236/-3

此時A>0,設E(x，%)，*孫y2bp(。0)，則可+々=

3+442-3+4?2?

ZAPE=NOPF,

左（西-3）（X2-ni）+k（x2-3）（%-m）

kpE+kpF——-......1———

jq—mx2—m（%—m）（x2-m）

12k2-6-（3+m）-24k\+6m

k2^X2—（3+;〃）（玉+々）+6m卜3+4.2、）3+4公

（X1-MI）（尤2一相）（無］-m）（x2-ni）

12k--6-12k1-24/MF+18W+24〃很?

=k-=0.

/.18m-6=0,/.m=—

3

存在P點滿足條件.

r.P點坐標為

18.(1)因為點N為線段AD的中點，且E4=EE>,

所以ADLEN,

因為EF〃鉆，且四邊形ABC。為正方形，故AD1AB,

所以AD_LEF,而ENEF=E,EN,EFu平面EFN,

故AT>J_平面EFN,又FNu平面EFN,

所以AD_L/W；

（2）設正方形ABCD的中心為0,分別取尸的中點為尸,Q,S,

設點H為線段AD的中點，由（1）知瓦尸,H,Q四點共面，且AD_L平面EFH,

連接QS,QSu平面瓦汨，故ADLOS,

又ADu平面ABCD,故平面ABCD1平面EHQF,

且平面ABCDc平面EHQF=HQ,

由題意可知四邊形E”。尸為等腰梯形，故OS，"Q,

OSu平面EHQF,故OS_L平面ABCD,

故以0為坐標原點，OP,OQ,OS為尤,Mz軸建立空間直角坐標系，

因為AB=4,則為2,-2,0),8(2,2,0),C(-2,2,0)Q(-2,-2,0),又AB=2EF,故E尸=2,

設EF到底面ABCD的距離為h,

四邊形的￡,CD所為兩個全等的等腰梯形，且防〃AB,

故￡(0,-1,/?),F(O,1,h),又EA=ED=FB=FC=3,

故V22+l2+/?=3,.'.h=2,則磯0,T2),F(0,l,2),

AE=(-2,1,2),AD=(T,0,0),跖=(-2,-1,2),BA=(0,-4,0),

設4V=AAD,Ae[0,1],:.BN=BA+AN=BA+AAD=(⑷,-4,0),

設平面BFN的一個法向量為n=(x,y,z),

ri-BF=—2x—y+2z=0

則,令x=2,...〃=(2,—22,2—/i),

n?BN=-4Ax—4y=0

設平面ADE的一個法向量為機=（a,。,c）,

m-AD=-4a=0

則,C—],/.m=(0,—2,1),

m-AE=-2a+/?+2c=0

ly+N_3I"j

故?I\m-n\

cosn,m2

HIMA/5x752-42+8下15儲-42+8

3m2

cosn,m=

m=—G—,—則底,232116，

Y15m---m-\----

\39

「131

令"〉eI，|,則…飛”衛(wèi)

\93

令/⑺=當產-率+5,則八。在m上單調遞增，

故當，〈時，〃入n=d：=||，當，《時，/((U=H=18,

后

故COS",MWM

千

即平面3網和平面ADE的夾角的余弦值得取值范圍為母，交

19.(1)由條件得?［一處1=1，得C?：~9

(2)-/c2,G關于原點“伸縮變換”，對C|作變換(x,y)f(2x,Xy)(2>0),得到

G紅+立=1,

2164

y=#x(x20)

得點A的坐標為j孚,半

解方程組

X—T7

1164

孝尤(MO)、

y二

解方程組得3點的坐標為

立+比=17

〔164

|陰==A/2,

化簡后得3萬一8彳+4=0,解得4=2,4=j

222

因止匕橢圓。2的方程為土+/=1或土+匕=1.

4369

(3)對Q：=2p“x作變換(x,y)->(4x，4y)得拋物線Cm：=2p"&t,得

2—功”

y-A

4

又：了2=2外+小，.\。"+1=9，即旦旦=；=2",

4,p?4

1+2+3+，+n-1

p2一.，3.-，4......一。二—?——=2?22?2^........2"?則Pn—2"（）_Z