2025屆浙江省寧波市東恩中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末聯(lián)考試題含解析

2025屆浙江省寧波市東恩中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知點(diǎn)G為的重心，若，，則=()A． B． C． D．2．在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（）345.156.1264.04187.51218.01A． B． C． D．3．已知扇形的圓心角為120°，半徑為6，則扇形的面積為（）A． B． C． D．4．點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．5．在等差數(shù)列中,，則（）A．5 B．8 C．10 D．146．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，則為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且在上單調(diào)，同時(shí)的圖象向左平移個(gè)單位之后與原來的圖象重合，當(dāng)，且時(shí)，，則A． B． C． D．8．在1和19之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，若這個(gè)數(shù)中第一個(gè)為，第個(gè)為，當(dāng)取最小值時(shí)，的值是（）A．4 B．5 C．6 D．79．設(shè)數(shù)列滿足，且，則數(shù)列中的最大項(xiàng)為（）A． B． C． D．10．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列，若對(duì)任意正整數(shù)都有，則正整數(shù)______；12．已知正方形，向正方形內(nèi)任投一點(diǎn)，則的面積大于正方形面積四分之一的概率是______．13．已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)（且）取得最大值，則時(shí)，的值為__________．14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若，則=___________.15．若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.16．下列結(jié)論中正確的是______.（1）將圖像向左平移個(gè)單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的倍，得到的圖像；（2）將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的倍，再將圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像；（3）將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的倍，再將圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像；（4）將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，再將圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像；（5）將圖像向左平移個(gè)單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的倍，得到的圖像；三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.18．某中學(xué)從高三男生中隨機(jī)抽取n名學(xué)生的身高，將數(shù)據(jù)整理，得到的頻率分布表如表所示：組號(hào)分組頻數(shù)頻率第1組50.05第2組a0.35第3組30b第4組200.20第5組100.10合計(jì)n1.00（1）求出頻率分布表中的值，并完成下列頻率分布直方圖；（2）為了能對(duì)學(xué)生的體能做進(jìn)一步了解，該校決定在第1，4，5組中用分層抽樣取7名學(xué)生進(jìn)行不同項(xiàng)目的體能測(cè)試，若在這7名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行引體向上測(cè)試，求第4組中至少有一名學(xué)生被抽中的概率.19．已知是圓的直徑，垂直圓所在的平面,是圓上任一點(diǎn)．求證:平面⊥平面.20．如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，點(diǎn)P，Q在單位圓上，以x軸正半軸為始邊，以射線為終邊的角為，以射線為終邊的角為，滿足.（1）若，求（2）當(dāng)點(diǎn)P在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求函數(shù)的解析式，并求的最大值.21．已知函數(shù)，，值域?yàn)椋蟪?shù)、的值；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

由重心分中線為，可得，又（其中是中點(diǎn)），再由向量的加減法運(yùn)算可得．【詳解】設(shè)是中點(diǎn)，則，又為的重心，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，解題關(guān)鍵是掌握三角形重心的性質(zhì)，即重心分中線為兩段．2、A【解析】

由表中的數(shù)據(jù)分析得：自變量基本上是等速增加，相應(yīng)的函數(shù)值增加的速度越來越快，結(jié)合基本初等函數(shù)的單調(diào)性，即可得出答案.【詳解】對(duì)于A：函數(shù)在是單調(diào)遞增，且函數(shù)值增加速度越來越快，將自變量代入，相應(yīng)的函數(shù)值，比較接近，符合題意，所以正確；對(duì)于B：函數(shù)值隨著自變量增加是等速的，不合題意；對(duì)于C：函數(shù)值隨著自變量的增加比線性函數(shù)還緩慢，不合題意；選項(xiàng)D：函數(shù)值隨著自變量增加反而減少，不合題意.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的選擇和應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是掌握各種基本初等函數(shù)，如一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

根據(jù)扇形的面積公式即可求得.【詳解】解：由題意：，所以扇形的面積為：故選：C【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積公式，考查運(yùn)算求解能力，核心是記住公式.4、A【解析】

設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，根據(jù)斜率關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，列出方程組，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得，即點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求解，其中解答中熟記點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的解法是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】試題分析：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題設(shè)知，，所以，所以，故選B.考點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)公式.6、A【解析】分析：利用二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)得，根據(jù)周期公式求出周期為，從而可得結(jié)果.詳解：首先對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)得，又由關(guān)于的取值表：123456可得的周期為，則可得，設(shè)，則，故選A．點(diǎn)睛：本題考查二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的周期性以及等差數(shù)列的求和公式，意在考查靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力以及計(jì)算能力，求求解過程要細(xì)心，注意避免計(jì)算錯(cuò)誤.7、A【解析】由題設(shè)可知該函數(shù)的周期是，則過點(diǎn)且可得，故，由可得，所以由可得，注意到，故，所以，應(yīng)選答案A點(diǎn)睛：已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)求.8、B【解析】

設(shè)等差數(shù)列公差為,可得,再利用基本不等式求最值,從而求出答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為,則,從而,此時(shí),故,所以,即,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取“=”,又,解得,所以,所以,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列和不等式的綜合運(yùn)用,需要學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通,靈活運(yùn)用.9、A【解析】

利用累加法求得的通項(xiàng)公式，再根據(jù)的單調(diào)性求得最大項(xiàng).【詳解】因?yàn)楣使蕜t，其最大項(xiàng)是的最小項(xiàng)的倒數(shù)，又，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，取得最小值7.故得最大項(xiàng)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查由累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的單調(diào)性，屬綜合基礎(chǔ)題.10、D【解析】

由幾何體的三視圖得該幾何體是一個(gè)底面半徑，高的扣在平面上的半圓柱，由此能求出該幾何體的體積【詳解】由幾何體的三視圖得：

該幾何體是一個(gè)底面半徑，高的放在平面上的半圓柱，如圖，

故該幾何體的體積為：故選：D【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的體積的求法，考查幾何體的三視圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，是中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、9【解析】

分析數(shù)列的單調(diào)性，以及數(shù)列各項(xiàng)的取值正負(fù)，得到數(shù)列中的最大項(xiàng)，由此即可求解出的值.【詳解】因?yàn)?，所以時(shí)，，時(shí)，，又因?yàn)樵谏线f增，在也是遞增的，所以，又因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)都有，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的單調(diào)性以及數(shù)列中項(xiàng)的正負(fù)判斷，難度一般.處理數(shù)列單調(diào)性或者最值的問題時(shí)，可以采取函數(shù)的思想來解決問題，但是要注意到數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)的定義域?yàn)?12、【解析】

向正方形內(nèi)任投一點(diǎn)，所有等可能基本事件構(gòu)成正方形區(qū)域，當(dāng)?shù)拿娣e大于正方形面積四分之一的所有基本事件構(gòu)成區(qū)域矩形區(qū)域，由面積比可得概率值.【詳解】如圖邊長(zhǎng)為1的正方形中，分別是的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的面積為，所以的面積大于正方形面積四分之一，此時(shí)點(diǎn)應(yīng)在矩形內(nèi)，由幾何概型得：，故填.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型，利用面積比求概率值，考查對(duì)幾何概型概率計(jì)算.13、3【解析】

先將函數(shù)的解析式利用降冪公式化為，再利用輔助角公式化為，其中，由題意可知與的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及求出的值．【詳解】，其中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則，，所以，，解得，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)最值，解題時(shí)首先應(yīng)該利用降冪公式、和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)為的形式，本題中用到了與之間的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題．14、【解析】試題分析：因?yàn)楹完P(guān)于軸對(duì)稱，所以，那么，（或），所以.【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)，誘導(dǎo)公式，兩角差的余弦公式【名師點(diǎn)睛】本題考查了角的對(duì)稱關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式，常用的一些對(duì)稱關(guān)系包含：若與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則，若與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則，若與的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則.15、【解析】

令，可得，從而將問題轉(zhuǎn)化為和的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，作出圖形，可求出答案.【詳解】由題意，令，則，則和的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，作出的圖象，如下圖，是過點(diǎn)的直線，當(dāng)直線斜率時(shí)，和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)問題，考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.16、（1）（3）【解析】

根據(jù)三角函數(shù)圖像伸縮變換與平移變換的原則，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）將圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的倍，得到的圖像；（1）正確；（2）將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的倍，得到的圖像，再將圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像；（2）錯(cuò)；（3）將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的倍，得到的圖像，再將圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像；（3）正確；（4）將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到的圖像，再將圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像；（4）錯(cuò)；（5）將圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的倍，得到的圖像；（5）錯(cuò)；故答案為（1）（3）【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換，熟記圖像變換原則即可，屬于常考題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見證明；（2）見證明【解析】

（1）由，得，兩式作差可得，利用等比數(shù)列的定義，即可作出證明；（2）由（1）可得，得到，利用裂項(xiàng)法求得數(shù)列的和，即可作出證明.【詳解】（1）證明：由，得，兩式作差可得：，即，即，又，得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；（2）由（1）可得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，又由，所以.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的定義，以及數(shù)列“裂項(xiàng)法”求和的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)，以及合理利用數(shù)列的“裂項(xiàng)法”求得數(shù)列的前n項(xiàng)和是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）直方圖見解析；（2）.【解析】

（1）由題意知，0.050，從而n＝100，由此求出第2組的頻數(shù)和第3組的頻率，并完成頻率分布直方圖．（2）利用分層抽樣，35名學(xué)生中抽取7名學(xué)生，設(shè)第1組的1位學(xué)生為，第4組的4位同學(xué)為,第5組的2位同學(xué)為，利用列舉法能求出第4組中至少有一名學(xué)生被抽中的概率．【詳解】（1）由頻率分布表可得，所以，；（2）因?yàn)榈?，4，5組共有35名學(xué)生，利用分層抽樣，在35名學(xué)生中抽取7名學(xué)生，每組分別為：第1組；第4組；第5組.設(shè)第1組的1位學(xué)生為，第4組的4位同學(xué)為,第5組的2位同學(xué)為.則從7位學(xué)生中抽兩位學(xué)生的基本事件分別為：一共21種.記“第4組中至少有一名學(xué)生被抽中”為事件，即包含的基本事件分別為：一共3種，于是所以，.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查頻率分布直方圖、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．19、證明見解析【解析】

先證直線平面，再證平面⊥平面.【詳解】證明:∵是圓的直徑，是圓上任一點(diǎn)，，，平面，平面，，又，平面，又平面，平面⊥平面.【點(diǎn)睛】本題考查圓周角及線面垂直判定定理、面面垂直判定定理的應(yīng)用，考查垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單證明.20、（1）（2），最大值.【解析】

（1）由角的定義求出，再由數(shù)量積定義計(jì)算；（2）由三角函數(shù)定義寫出坐標(biāo)，求出的坐標(biāo)，計(jì)算出，利用兩角和的正弦公式可化函數(shù)為一個(gè)三角函數(shù)形式，由正弦函數(shù)