甘肅省蘭州市示范初中2025屆高一下數(shù)學期末教學質(zhì)量檢測試題含解析

甘肅省蘭州市示范初中2025屆高一下數(shù)學期末教學質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．一組數(shù)據(jù)0，1，2，3，4的方差是A． B． C．2 D．42．如圖，是圓的直徑，，假設(shè)你往圓內(nèi)隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為（）A． B． C． D．3．下列四個函數(shù)中，與函數(shù)完全相同的是（）A． B．C． D．4．若直線與直線互相平行，則的值等于（）A．0或或3 B．0或3 C．0或 D．或35．在中，，則等于（）A． B． C． D．6．在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD一定是（）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四邊形7．已知數(shù)列的前項和，則的值為（）A．-199 B．199 C．-101 D．1018．已知數(shù)列{an}前n項和為Sn，且滿足①數(shù)列{an}必為等比數(shù)列；②p=1時，S5=3132；③正確的個數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．49．設(shè)函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減．若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．10．在中，角所對的邊分別為，已知下列條件，只有一個解的是()A．，， B．，，C．，， D．，，二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列的前項和滿足，則______．12．若x、y滿足約束條件，則的最大值為________.13．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，那么使其前項和最小的是______.14．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則的值為______.15．已知一組數(shù)據(jù)、、、、、，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為__________.16．若點到直線的距離是，則實數(shù)=______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知點A(1，2)，B(3，1)，C(2，2)，D(1，m)(1)若向量∥，求實數(shù)m的值；(2)若m＝3，求向量與的夾角．18．如圖，長方形材料中，已知，.點為材料內(nèi)部一點，于，于，且，.現(xiàn)要在長方形材料中裁剪出四邊形材料，滿足，點、分別在邊，上.（1）設(shè)，試將四邊形材料的面積表示為的函數(shù)，并指明的取值范圍；（2）試確定點在上的位置，使得四邊形材料的面積最小，并求出其最小值.19．設(shè)數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，，．（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和；（3）設(shè)數(shù)列，試問是否存在正整數(shù)，，使，，成等差數(shù)列？若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由.20．如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為邊長為2的等邊三角形，，為中點.(1)證明:;(2)求點到平面的距離.21．從高三學生中抽出50名學生參加數(shù)學競賽，由成績得到如圖所示的頻率分布直方圖.利用頻率分布直方圖求：（1）這50名學生成績的眾數(shù)與中位數(shù)；（2）這50名學生的平均成績.（答案精確到0.1）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

先求得平均數(shù)，再根據(jù)方差公式計算?！驹斀狻繑?shù)據(jù)的平均數(shù)為：方差是＝2，選C。【點睛】方差公式，代入計算即可。2、B【解析】

先根據(jù)條件計算出陰影部分的面積，然后計算出整個圓的面積，利用幾何概型中的面積模型即可計算出對應(yīng)的概率.【詳解】設(shè)圓的半徑為，因為，所以，又因為，所以落到陰影部分的概率為.故選：B.【點睛】本題考查幾何概型中的面積模型的簡單應(yīng)用，難度較易.注意幾何概型的常見概率公式：.3、C【解析】

先判斷函數(shù)的定義域是否相同，再通過化簡判斷對應(yīng)關(guān)系是否相同，從而判斷出與相同的函數(shù).【詳解】的定義域為，A.，因為，所以，定義域為或，與定義域不相同；B.，因為，所以，所以定義域為，與定義域不相同；C.，因為，所以定義域為，又因為，所以與相同；D.，因為，所以，定義域為，與定義域不相同.故選：C.【點睛】本題考查與三角函數(shù)有關(guān)的相同函數(shù)的判斷，難度一般.判斷相同函數(shù)時，首先判斷定義域是否相同，定義域相同時再去判斷對應(yīng)關(guān)系是否相同（函數(shù)化簡），結(jié)合定義域與對應(yīng)關(guān)系即可判斷出是否是相同函數(shù).4、D【解析】

根據(jù)直線的平行關(guān)系，列方程解參數(shù)即可.【詳解】由題：直線與直線互相平行，所以，，解得：或.經(jīng)檢驗，當或時，兩條直線均平行.故選：D【點睛】此題考查根據(jù)直線平行關(guān)系求解參數(shù)的取值，需要熟記公式，注意考慮直線重合的情況.5、D【解析】

先根據(jù)向量的夾角公式計算出的值，然后再根據(jù)同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解出的值.【詳解】因為，所以，所以，所以.故選：D.【點睛】本題考查坐標形式下向量的夾角計算，難度較易.注意：的夾角并不是，而應(yīng)是的補角.6、D【解析】試題分析：因為,根據(jù)向量的三角形法則，有,則可知,故四邊形ABCD為平行四邊形.考點：向量的三角形法則與向量的平行四邊形法則.7、D【解析】

由特點可采用并項求和的方式求得.【詳解】本題正確選項：【點睛】本題考查并項求和法求解數(shù)列的前項和，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

由數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義可得數(shù)列{an}為首項為p【詳解】Sn+an=2pn?2時，Sn-1+a相減可得2an-an-1=0，即有數(shù)列由①可得p=1時，S5|a|a5|+|由①可得am·a可得p=1故選：C．【點睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運用，以及等比數(shù)列的定義和通項公式、求和公式的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．9、B【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的定義可變形，再直接比較的大小關(guān)系，即可利用函數(shù)的單調(diào)性得出，，的大小關(guān)系．【詳解】因為函數(shù)是上的偶函數(shù)，所以，而，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以．故選：B．【點睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，涉及奇偶性，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解析】

首先根據(jù)正弦定理得到，比較與的大小關(guān)系即可判定A，B錯誤，再根據(jù)大邊對大角即可判定C錯誤，根據(jù)勾股定理即可判定D正確.【詳解】對于A，因為，，所以，有兩個解，故A錯誤.對于B，因為，，所以，無解，故B錯誤.對于C，因為，所以，即，，所以無解，故C錯誤.對于D，，為直角三角形，故D正確.故選：D【點睛】本題主要考查三角形個數(shù)的判斷，利用正弦定理判斷為解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、5【解析】

利用求得，進而求得的值.【詳解】當時，，當時，，當時上式也滿足，故的通項公式為，故.【點睛】本小題主要考查已知求，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12、18【解析】

先作出不等式組所表示的平面區(qū)域，再觀察圖像即可得解.【詳解】解：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，由圖可得：目標函數(shù)所在直線過點時，取最大值，即，故答案為：.【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，重點考查了作圖能力，屬基礎(chǔ)題.13、5【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式，判斷開口方向，計算出對稱軸，即可得出答案。【詳解】因為等差數(shù)列前項和為關(guān)于的二次函數(shù)，又因為，所以其對稱軸為，而，所以開口向上，因此當時最小．【點睛】本題考查等差數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。14、－6【解析】

由題意可得，求解即可.【詳解】因為等差數(shù)列的前項和為，，所以由等差數(shù)列的通項公式與求和公式可得解得.故答案為-6.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

利用平均數(shù)公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，數(shù)據(jù)、、、、、的平均數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題考查平均數(shù)的計算，考查平均數(shù)公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、或1【解析】

由點到直線的距離公式進行解答，即可求出實數(shù)a的值．【詳解】點（1，a）到直線x﹣y+1＝0的距離是，∴；即|a﹣2|＝3，解得a＝﹣1，或a＝1，∴實數(shù)a的值為﹣1或1．故答案為：﹣1或1．【點睛】本題考查了點到直線的距離公式的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)熟記點到直線的距離公式，是基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)1；（2）.【解析】

(1)先求出，的坐標，再根據(jù)兩向量平行坐標交叉相乘相減等于零求解；(2)先求出，的坐標和模，再求，的數(shù)量積，即可求向量與的夾角．【詳解】(1)因為A(1，2)，B(3，1)，C(2，2)，D(1，m)，所以，，若向量∥，則，即，(2)若m＝3，則，，所以，，，所以，故向量與的夾角為.【點睛】本題考查向量平行與夾角的計算.向量平行根據(jù)向量共線定理，求向量的夾角要選擇合適的公式.18、(1)見解析;(2)當時，四邊形材料的面積最小，最小值為.【解析】分析：（1）通過直角三角形的邊角關(guān)系，得出和，進而得出四邊形材料的面積的表達式，再結(jié)合已知尺寸條件，確定角的范圍.（2）根據(jù)正切的兩角差公式和換元法，化簡和整理函數(shù)表達式，最后由基本不等式，確定面積最小值及對應(yīng)的點在上的位置.詳解：解：（1）在直角中，因為，，所以，所以，在直角中，因為，，所以，所以，所以，.（2）因為，令，由，得，所以，當且僅當時，即時等號成立，此時，，，答：當時，四邊形材料的面積最小，最小值為.點睛：本題考查三角函數(shù)的實際應(yīng)用，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化，注意換元法和基本不等式的合理運用.換元法求函數(shù)的值域，通過引入新變量（輔助式，輔助函數(shù)等），把所有分散的已知條件聯(lián)系起來，將已知條件和要求的結(jié)果結(jié)合起來，把隱藏在條件中的性質(zhì)顯現(xiàn)出來，或把繁瑣的表達式簡化，之后就可以利用各種常見的函數(shù)的圖象和性質(zhì)或基本不等式來解決問題.常見的換元方法有代數(shù)和三角代換兩種.要特別注意原函數(shù)的自變量與新函數(shù)自變量之間的關(guān)系.19、(1)；.(2)(3)存在，或者，【解析】

（1）令，得，故，代入等式得到，計算得到.（2）利用錯位相減法得到前N項和.（3），假設(shè)存在正整數(shù)，，使成等差數(shù)列，則，解得或者.【詳解】（1）令，得，所以將代入，得所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，即.（2）兩式相減得到化簡得到.（3），假設(shè)存在正整數(shù)，，使成等差數(shù)列則，即，因為，為正整數(shù)，所以存在或者，使得成等差數(shù)列.【點睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式，錯位相減法，綜合性大，技巧性強，意在考查學生的綜合應(yīng)用能力.20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）由題設(shè)AB=AC=SB=SC=SA，連結(jié)OA，推導(dǎo)出SO⊥BC，SO⊥AO，由此能證明SO⊥平面ABC;（2）設(shè)點B到平面SAC的距離為h，由VS﹣BAC=VB﹣SAC，能求出點B到平面SAC的距離．【詳解】（1）由題設(shè)，連結(jié)，為等腰直角三角形，所以，且，又為等腰三角形，故，且，從而．所以為直角三角形，．又．所以平面，故AC⊥SO．（2）設(shè)B到平面SAC的距離為，則由（Ⅰ）知：三棱錐即∵為等腰直角三角形,且腰長為2.∴∴∴△SAC的面積為=△ABC面積為,∴,∴B到平面SAC的距離為【點睛】本題考查線面垂直的證明，考查點到平面距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、空間想象能力、運算求