2025屆廣西壯族自治區(qū)貴港市港南中學高一數(shù)學第二學期期末質量檢測試題含解析

2025屆廣西壯族自治區(qū)貴港市港南中學高一數(shù)學第二學期期末質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．直線的傾斜角是()A． B． C． D．2．設數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項和，且，，則下列結論中錯誤的是（）A． B． C． D．與均為的最大值3．在如圖的正方體中，M、N分別為棱BC和棱的中點,則異面直線AC和MN所成的角為()A． B． C． D．4．在等差數(shù)列中，若前項的和，，則()A． B． C． D．5．過點A(3，3)且垂直于直線的直線方程為A． B． C． D．6．關于的不等式的解集為（）A． B． C． D．7．已知，則().A． B． C． D．8．下列函數(shù)的最小值為的是（）A． B．C． D．9．某單位有職工160人，其中業(yè)務員有104人，管理人員32人，后勤服務人員24人，現(xiàn)用分層抽樣法從中抽取一個容量為20的樣本，則抽取管理人員()A．3人 B．4人 C．7人 D．12人10．已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（）A．若則 B．若則C．若則 D．若則二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)f（x）＝2cos（x）﹣1的對稱軸為_____，最小值為_____．12．已知樣本數(shù)據(jù)的方差是1，如果有，那么數(shù)據(jù)，的方差為______.13．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，則△ABC的面積S＝_____．14．已知向量，則與的夾角是_________.15．函數(shù)的最小正周期為________16．三棱錐P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AC＝BC＝2，AB＝2，側面PAB是等邊三角形且與底面ABC垂直，則該三棱錐的外接球表面積為_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在等差數(shù)列中，為其前項和()，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項為，證明：18．現(xiàn)需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐，下部分的形狀是正四棱柱（如圖所示），并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍.（1）若則倉庫的容積是多少？（2）若正四棱錐的側棱長為，則當為多少時，倉庫的容積最大？19．已知函數(shù)，數(shù)列中，若，且.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設數(shù)列的前項和為，求證：.20．已知三角形ABC的頂點為，，，M為AB的中點．（1）求CM所在直線的方程；（2）求的面積．21．已知向量，（1）若，求的坐標；（2）若與垂直，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

先求斜率，即傾斜角的正切值，易得．【詳解】，可知，即，故選B【點睛】一般直線方程求傾斜角將直線轉換為斜截式直線方程易得斜率，然后再根據(jù)直線的斜率等于傾斜角的正切值易得傾斜角，屬于簡單題目．2、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質，結合，，分析出錯誤結論.【詳解】由于，，所以，，，所以，與均為的最大值.而，所以，所以C選項結論錯誤.故選：C.【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質，考查分析與推理能力，屬于基礎題.3、C【解析】

將平移到一起，根據(jù)等邊三角形的性質判斷出兩條異面直線所成角的大小.【詳解】連接如下圖所示，由于分別是棱和棱的中點，故，根據(jù)正方體的性質可知，所以是異面直線所成的角，而三角形為等邊三角形，故.故選C.【點睛】本小題主要考查空間異面直線所成角的大小的求法，考查空間想象能力，屬于基礎題.4、C【解析】試題分析：.考點：等差數(shù)列的基本概念.5、D【解析】過點A(3，3)且垂直于直線的直線斜率為，代入過的點得到.故答案為D.6、B【解析】

將不等式化為，等價于，解出即可．【詳解】由原式得且，解集為，故選B．【點睛】本題考查分式不等式的解法，解分式不等式時，要求右邊化為零，等價轉化如下：；；；.7、C【解析】

分子分母同時除以，利用同角三角函數(shù)的商關系化簡求值即可.【詳解】因為，所以，于是有，故本題選C.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)的商關系，考查了數(shù)學運算能力.8、C【解析】分析：利用基本不等式的性質即可判斷出正誤，注意“一正二定三相等”的使用法則．詳解：A.時顯然不滿足條件；B.其最小值大于1．D.令因此不正確．故選C.點睛：本題考查基本不等式，考查通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法．9、B【解析】

根據(jù)分層抽樣原理求出應抽取的管理人數(shù)．【詳解】根據(jù)分層抽樣原理知，應抽取管理人員的人數(shù)為：故選：B【點睛】本題考查了分層抽樣原理應用問題，是基礎題．10、D【解析】

A項，可能相交或異面,當時，存在，，故A項錯誤；B項，可能相交或垂直,當

時，存在，，故B項錯誤；C項，可能相交或垂直,當

時，存在，，故C項錯誤；D項，垂直于同一平面的兩條直線相互平行，故D項正確,故選D.本題主要考查的是對線，面關系的理解以及對空間的想象能力.考點：直線與平面、平面與平面平行的判定與性質；直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、﹣3【解析】

利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性，余弦函數(shù)的最值，求得結論．【詳解】解：對于函數(shù)，令，求得，根據(jù)余弦函數(shù)的值域可得函數(shù)的最小值為，故答案為：；．【點睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對稱性，余弦函數(shù)的最值，屬于基礎題．12、1【解析】

利用方差的性質直接求解．【詳解】根據(jù)題意，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是1，則有，對于數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，其方差為，故答案為1.【點睛】本題考查方差的求法，考查方差的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．13、【解析】

用余弦定理求出邊的值，再用面積公式求面積即可．【詳解】解：據(jù)題設條件由余弦定理得，即，即解得，故的面積，故答案為：．【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于基礎題．14、【解析】

利用向量的數(shù)量積直接求出向量的夾角即可.【詳解】由題知，，因為，所以與的夾角為.故答案為：.【點睛】本題考查了利用向量的數(shù)量積求解向量的夾角，屬于基礎題.15、【解析】

根據(jù)的最小正周期判斷即可.【詳解】因為的最小正周期均為,故的最小正周期為.故答案為：【點睛】本題主要考查了正切余切函數(shù)的周期,屬于基礎題型.16、【解析】

求出的外接圓半徑，的外接圓半徑，求出外接球的半徑，即可求出該三棱錐的外接球的表面積．【詳解】由題意，設的外心為，的外心為，則的外接圓半徑，在中，因為，由余弦定理可得，所以，所以的外接圓半徑，在等邊中，由，所以，所以，設球心為，球的半徑為，則，又由面，面，則，所以該三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了三棱錐的外接球的表面積的求解，其中解答中熟練應用空間幾何體的結構特征，確定球的半徑是解答的關鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運算能力，屬于中檔試題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解析】

（1）運用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，解方程組，可得首項和公差，即可得到所求通項；（2）化簡，再利用裂項相消求數(shù)列的和，化簡整理，即可證得．【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差是，由，，得解得，，∴.（2）由（1）知，，∴，，因為，則成立.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式的求法，也考查了裂項相消求和求數(shù)列的和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．18、（1）312（2）【解析】試題分析：（1）明確柱體與錐體積公式的區(qū)別，分別代入對應公式求解；（2）先根據(jù)體積關系建立函數(shù)解析式，，然后利用導數(shù)求其最值.試題解析：解：（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.因為A1B1=AB=6，所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積所以倉庫的容積V=V錐+V柱=24+288=312（m3）.（2）設A1B1=a（m），PO1=h（m），則0<h<6，OO1=4h.連結O1B1.因為在中，所以，即于是倉庫的容積，從而.令，得或（舍）.當時，，V是單調增函數(shù)；當時，，V是單調減函數(shù).故時，V取得極大值，也是最大值.因此，當m時，倉庫的容積最大.【考點】函數(shù)的概念、導數(shù)的應用、棱柱和棱錐的體積【名師點睛】對應用題的訓練，一般從讀題、審題、剖析題目、尋找切入點等方面進行強化，注重培養(yǎng)將文字語言轉化為數(shù)學語言的能力，強化構建數(shù)學模型的幾種方法.而江蘇高考的應用題往往需結合導數(shù)知識解決相應的最值問題，因此掌握利用導數(shù)求最值方法是一項基本要求，需熟練掌握.19、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）將代入到函數(shù)表達式中，得，兩邊都倒過來，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由（1）得出an的通項公式，然后根據(jù)不等式＜在求和時進行放縮法的應用，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式進行計算，即可證出．【詳解】（1）由函數(shù)，在數(shù)列中，若，得：，上式兩邊都倒過來，可得：＝＝﹣2，∴﹣1＝﹣2﹣1＝﹣1＝1（﹣1）．∵﹣1＝1．∴數(shù)列是以1為首項，1為公比的等比數(shù)列．（2）由（1），可知：＝1n，∴an＝，n∈N*．∵當n∈N*時，不等式＜成立．∴Sn＝a1+a2+…+an＝＝＝﹣?＜．∴．【點睛】本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應用，根據(jù)條件推出數(shù)列的遞推公式，由遞推公式推出通項公式與放縮法的應用是解決本題的兩個關鍵點，屬于中檔題．20、（1）（2）【解析】

（1）先求出點M的坐標，再寫出直線的兩點式方程化簡即得解；（2）求出和點A到直線CM的距離即得解.【詳解】（1）AB中點M的坐標是，所以中線CM所在直線的方程是，即．（2），因為直線CM的方程是，所以點A到直線