中考數(shù)學(xué)《專項(xiàng)三壓軸題》精講教學(xué)案類型⑦ 平行四邊形及矩形、菱形、正方形存在性問題探究

類型⑦平行四邊形及矩形、菱形、正方形存在性問題探究,備考攻略)在平行四邊形有關(guān)存在性問題中，常會遇到這樣兩類探究性的問題：1．已知三點(diǎn)的位置，在二次函數(shù)上或在坐標(biāo)平面內(nèi)找一動點(diǎn)，使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形(簡稱“三定一動”)．2．已知兩個點(diǎn)的位置，在二次函數(shù)上或在坐標(biāo)平面內(nèi)找兩個動點(diǎn)，使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形(簡稱“兩定兩動”)．平行四邊形的這四個點(diǎn)有可能是定序的，也有可能沒有定序．1．確定動點(diǎn)位置時出現(xiàn)遺漏．2．在具體計(jì)算動點(diǎn)坐標(biāo)時出現(xiàn)方法不當(dāng)或錯解．1．分清題型(屬于三定一動還是兩定兩動，因?yàn)檫@兩種題型的分類標(biāo)準(zhǔn)有所不同)．2．分類討論且作圖(利用分類討論不重不漏的尋找動點(diǎn)具體位置)．3．利用幾何特征計(jì)算(不同的幾何存在性要用不同的解題技巧)．可以把存在性問題的基本思路叫做“三步曲”：一“分”二“作”三“算”．1．如果為“三定一動”，要找出平行四邊形第四個頂點(diǎn)，則符合條件的有3個點(diǎn)；這三個點(diǎn)的找法是以三個定點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，過每個頂點(diǎn)畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生所要求的3個點(diǎn)．2．如果為“兩定兩動”，要找出平行四邊形第三、四個頂點(diǎn)，將兩個定點(diǎn)連成定線段，將此線段按照作為平行四邊形的邊或?qū)蔷€兩種分類討論．1．若平行四邊形的四個頂點(diǎn)都能用坐標(biāo)來表示，則直接利用坐標(biāo)系中平行四邊形的基本特征：即對邊平行且相等或?qū)吽骄嚯x相等和豎直距離相等列方程求解．2．若平行四邊形的四個頂點(diǎn)中某些點(diǎn)不能用坐標(biāo)表示，則利用列方程組解圖形交點(diǎn)的方法解決．3．靈活運(yùn)用平行四邊形的中心對稱的性質(zhì)，也可使問題變得簡單．4．平移坐標(biāo)法．先由題目條件探索三點(diǎn)的坐標(biāo)(若只有兩個定點(diǎn)，可設(shè)一個動點(diǎn)的坐標(biāo)).再畫出以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形，根據(jù)坐標(biāo)平移的性質(zhì)寫出第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)．最后根據(jù)題目的要求(動點(diǎn)在什么曲線上)，判斷平行四邊形的存在性．1．矩形：增加對角線相等和鄰邊垂直的性質(zhì)，還可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的存在性問題．2．菱形：增加四邊相等和對角線垂直的性質(zhì)，還可以轉(zhuǎn)化為直角三角形或等腰(等邊)三角形存在性問題．3．正方形：兼顧以上性質(zhì)，還可以轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形存在性問題．,典題精講)◆平移坐標(biāo)法【例1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝－x2－2x＋3與x軸交于A，B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，如果以點(diǎn)P，A，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解析】P，A，C三點(diǎn)是確定的，過△PAC的三個頂點(diǎn)分別畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個符合條件的點(diǎn)D(如圖)．由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得A(－3，0)，C(0，3)，P(－1，4)．由于A(－3，0)eq\o(=,\s\up7(右3，上3))C(0，3)，所以P(－1，4)eq\o(=,\s\up7(右3，上3))D1(2，7)．由于C(0，3)eq\o(=,\s\up7(下3，左3))A(－3，0)，所以P(－1，4)eq\o(=,\s\up7(下3，左3))D2(－4，1)．由于P(－1，4)eq\o(=,\s\up7(右1，下1))C(0，3)，所以A(－3，0)eq\o(=,\s\up7(右1，下1))D3(－2，－1)．我們看到，用坐標(biāo)平移的方法，遠(yuǎn)比用解析式構(gòu)造方程組求交點(diǎn)方便多了．【答案】點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，7)或(－4，1)或(－2，－1)．◆兩定兩動的分類討論(對點(diǎn)法的應(yīng)用)【例2】如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2－2ax－3a(a＜0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，經(jīng)過點(diǎn)A的直線l：y＝kx＋b與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個交點(diǎn)為D，且CD＝4AC.(1)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)解析式；(其中k，b用含a的式子表示)(2)點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的動點(diǎn)，若△ACE的面積的最大值為eq\f(5,4)，求a的值；(3)設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．圖①備用圖【解析】1.過點(diǎn)E作x軸的垂線交AD于F，那么△AEF與△CEF是共底的兩個三角形．2．以AD為分類標(biāo)準(zhǔn)討論矩形，當(dāng)AD為邊時，AD與QP平行且相等，對角線AP＝QD；當(dāng)AD為對角線時，AD與PQ互相平分且相等．【答案】解：(1)由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)．由CD＝4AC，得xD＝4.所以D(4，5a)．由A(－1，0)，D(4，5a)，得直線l的函數(shù)解析式為y＝ax＋a；(2)如圖②，過點(diǎn)E作x軸的垂線交AD于F.設(shè)E(x，ax2－2ax－3a)，F(xiàn)(x，ax＋a)，那么EF＝y(tǒng)E－yF＝ax2－3ax－4a.由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝eq\f(1,2)EF(xE－xA)－eq\f(1,2)EF(xE－xC)＝eq\f(1,2)EF(xC－xA)＝eq\f(1,2)(ax2－3ax－4a)＝eq\f(1,2)aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(25,8)a，得△ACE面積的最大值為－eq\f(25,8)a.解方程－eq\f(25,8)a＝eq\f(5,4)，得a＝－eq\f(2,5)；(3)已知A(－1，0)，D(4，5a)，xP＝1，以AD為分類標(biāo)準(zhǔn)，分兩種情況討論：①如圖③，如果AD為矩形的邊，那么AD∥QP，AD＝QP，對角線AP＝QD.由xD－xA＝xP－xQ，得xQ＝－4.當(dāng)x＝－4時，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a.所以Q(－4，21a)．由yD－yA＝y(tǒng)P－yQ，得yP＝26a.所以P(1，26a)．由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2.整理，得7a2＝1.所以a＝－eq\f(\r(7),7).此時Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(26\r(7),7)))；②如圖④，如果AD為矩形的對角線，那么AD與PQ互相平分且相等．由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2.所以Q(2，－3a)．由yD＋yA＝y(tǒng)P＋yQ，得yP＝8a.所以P(1，8a)．由AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2.整理，得4a2＝1.所以a＝－eq\f(1,2).此時P(1，－4)．圖②圖③圖④1．已知拋物線y＝－x2－2x＋3與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P.若以A，C，P，M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo).(三定一動型)解：(1)確定位置：如圖．①以A，C，P三個定點(diǎn)為頂點(diǎn)畫△APC；②過點(diǎn)A作PC的平行線，過點(diǎn)P作AC的平行線，過點(diǎn)C作AP的平行線；三條直線相交于M1，M2，M3；(2)代數(shù)法求點(diǎn)M的坐標(biāo)：如圖：設(shè)點(diǎn)M1(m，n)，利用平行四邊形對邊水平距離相等和豎直距離相等可得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n－0＝4－3，,－3－m＝0－（－1），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝1，,m＝－4，))即M1(－4，1)．同理可得：M2(－2，－1)，M3(2，7)．綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－4，1)，(－2，－1)，(2，7)．2．如圖，拋物線y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，0)，過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q.(1)求點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求直線BD的解析式；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動時，直線l交BD于點(diǎn)M，試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形．解：(1)當(dāng)x＝0時，y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2＝2，∴C(0，2).當(dāng)y＝0時，－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2＝0，解得x1＝－1，x2＝4.∴A(－1，0)，B(4，0)；(2)∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，∴D(0，－2)．設(shè)直線BD為y＝kx－2，把B(4，0)代入，得0＝4k－2，∴k＝eq\f(1,2).∴BD的解析式為y＝eq\f(1,2)x－2；(3)∵P(m，0)，∴M(m，eq\f(1,2)m－2)，Q(m，－eq\f(1,2)m2＋eq\f(3,2)m＋2)．若四邊形CQMD為平行四邊形，∴QM∥CD，QM＝CD＝4，當(dāng)P在線段OB上運(yùn)動時，QM＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)m2＋\f(3,2)m＋2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)m－2))＝－eq\f(1,2)m2＋m＋4＝4，解得m1＝0(不合題意，舍去)，m2＝2.∴m＝2.3．(2017蘭州中考)如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與直線AB交于A(－4，－4)，B(0，4)兩點(diǎn)，直線AC：y＝－eq\f(1,2)x－6交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)E是直線AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥x軸交AC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G.(1)求拋物線y＝－x2＋bx＋c的解析式；(2)連接GB，EO，當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；(3)在y軸上存在一點(diǎn)H，連接EH，HF，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時，以A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時點(diǎn)E，H的坐標(biāo)．解：(1)∵點(diǎn)A(－4，－4)，B(0，4)在拋物線y＝－x2＋bx＋c上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－16－4b＋c＝－4，,c＝4，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝4，))∴拋物線的解析式為y＝－x2－2x＋4;(2)設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋n，∵直線AB過點(diǎn)A，B，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝4，,－4k＋n＝－4，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,n＝4，))∴直線AB的解析式為y＝2x＋4，設(shè)E(m，2m＋4)，∴G(m，－m2－2m＋4)，∵四邊形GEOB是平行四邊形，∴EG＝OB＝4，∴－m2－2m＋4－2m－4＝4，∴m＝－2，∴G(－2，4);(3)①如圖，由(2)知，直線AB的解析式為y＝2x＋4，∴設(shè)E(a，2a＋4)，∵直線AC：y＝－eq\f(1,2)x－6，∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，－\f(1,2)a－6))，設(shè)H(0，p)，∵以點(diǎn)A，E