專題 二次函數(shù)中的角度問題40題專練 中考數(shù)學

專題08二次函數(shù)中的角度問題（4大題型）40題專練通用的解題思路：1、角的數(shù)量關系處理的一般方法如下：

（1）證等角：常運用等腰三角形兩底角相等，等角的余角相等，等角的補角相等、全等三角形和相似三角形的對應角相等及兩角的銳角三角函數(shù)值相等，等等；

（2）證二倍角：常構造輔助圓，利用圓周角定理；

（3）證和差角：常旋轉(zhuǎn)、翻折、平移構造角．2.特殊角問題處理的一般方法如下：

（1）運用三角函數(shù)值；

（2）遇45°構造等腰直角三角形；

（3）遇30°，60°構造等邊三角形；

（4）遇90°構造直角三角形．題型一：角相等問題對于二次函數(shù)中的角相等問題，首選方法是利用等角的三角比解決問題（利用一線三等角模型或者拆分特殊角來發(fā)現(xiàn)等角），其次選擇利用相似三角形中的比例線段解決問題。

二次函數(shù)中的角相等問題比較靈活，在遇到具體問題時具體分析，合理構造等角，解決問題。1．（2024·山西太原·三模）綜合與探究如圖1，經(jīng)過原點O的拋物線與x軸的另一個交點為A，直線l與拋物線交于A，B兩點，已知點B的橫坐標為1，點M為拋物線上一動點．

(1)求出A，B兩點的坐標及直線l的函數(shù)表達式．(2)如圖2，若點M是直線l上方的拋物線上的一個動點，直線交直線l于點C，設點M的橫坐標為m，求的最大值．(3)如圖3，連接，拋物線上是否存在一點M，使得，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．2．（23-24九年級下·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，頂點為．

(1)請直接寫出、、三點坐標．(2)如圖，點是第四象限內(nèi)拋物線上的一點，過點作軸的垂線，交直線于點，求線段長度的最大值；(3)如圖，若點在拋物線上且滿足，求點的坐標；3．（23-24九年級下·湖南永州·開學考試）綜合與探究．如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，連接．(1)求，，三點的坐標；(2)若點是軸上一點，當為等腰三角形時，求點的坐標；(3)點是二次函數(shù)圖象上的一個動點，請問是否存在點使？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．4．（2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐標系（如圖）中，已知拋物線經(jīng)過點、兩點，與軸的交點為點，對稱軸為直線．(1)求此拋物線的表達式；(2)已知以點為圓心，半徑為的圓記作圓，以點A為圓心的圓記作圓A，如果圓A與圓外切，試判斷對稱軸直線與圓A的位置關系，請說明理由；(3)已知點在軸的正半軸上，且在點的上方，如果，請求出點的坐標．5．（2023·海南·模擬預測）如圖1，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．直線與拋物線交于，兩點．點是拋物線上一動點．(1)求該拋物線的表達式及點的坐標；(2)當點的坐標為時，求四邊形的面積；(3)拋物線上是否存在點，使？若存在，求出點的橫坐標；若不存在，請說明理由；(4)如圖2，點、是對稱軸上的兩個動點，且，點在點的上方，求四邊形的周長的最小值．6．（2024·上海靜安·二模）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線關于直線對稱，且經(jīng)過點和點，橫坐標為4的點在此拋物線上．(1)求該拋物線的表達式；(2)聯(lián)結、、，求的值；(3)如果點P在對稱軸右方的拋物線上，且，過點P作軸，垂足為Q，請說明，并求點P的坐標．7．（2024·廣西·一模）如圖，已知拋物線交x軸于，兩點，交y軸于點C，P是拋物線上一點，連接、．(1)求拋物線的解析式；(2)連接，，若，求點P的坐標；(3)若，直接寫出點P的坐標．8．（2024·山東濟南·一模）如圖，二次函數(shù).的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D，其對稱軸與線段交于點E，與x軸交于點F．連接．

(1)若，求B點和C點坐標；(2)若求m的值；(3)若在第一象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上，始終存在一點P，使得請結合函數(shù)的圖象，直接寫出m的范圍．9．（2024·廣東·一模）綜合應用．如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，連接．

(1)求A，B，C三點的坐標，并直接寫出直線的函數(shù)表達式；(2)點P是二次函數(shù)圖象上的一個動點，請問是否存在點P使？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，作出該二次函數(shù)圖象的對稱軸直線l，交x軸于點D．若點M是二次函數(shù)圖象上一動點，且點M始終位于x軸上方，作直線，，分別交l于點E，F(xiàn)，在點M的運動過程中，的值是否為定值？若是，請直接寫出該定值；若不是，請說明理由．10．（2024·江蘇宿遷·二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過、、三點，已知，，．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)點是拋物線上任意一點，若，求點的坐標；(3)點是拋物線上任意一點，若以、、為頂點的三角形是直角三角形，請直接寫出點的坐標．題型二：二倍角關系問題對于平面直角坐標系中的二倍角問題，往往將其轉(zhuǎn)化成等角問題。對于等角問題，往往有以下解決路徑：等角的構造方法（1）將等角轉(zhuǎn)化在一個三角形中，利用等腰三角形兩邊相等，借助距離公式解決；（2）用等角的三角比相等，構造直角三角形，尋找比例關系；；（3）利用角的和差關系，尋找等角，而等角存在兩個相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例線段構建數(shù)量關系；（4）利用角平分線的相關性質(zhì)定理。二倍角的構造方法如圖，已知，我們可以利用等腰三角形和外角定理去構造，在BC邊上找一點D，使得BD=AD，則.這樣我們就構造出了二倍角，接下來利用三角函數(shù)（一般用正切）計算就可以了1．（2024·陜西西安·二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸分別交于，兩點，點的坐標是，點的坐標是，與軸交于點，是拋物線上一動點，且位于第二象限，過點作軸，垂足為，線段與直線相交于點

(1)求該拋物線的解析式；(2)連接，是否存在點，使得？若存在，求出點的橫坐標；若不存在，請說明理由．2．（2024·河南·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸分別交于A，B兩點，點A的坐標是，點B的坐標是，與y軸交于點C，P是拋物線上一動點，且位于第二象限，過點P作軸，垂足為D，線段與直線相交于點E．(1)求該拋物線的解析式；(2)連接，是否存在點P，使得？若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．3．（2023·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點，且經(jīng)過點和點．(1)請直接寫出，的值；(2)直線交軸于點，點是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動點，過點作直線的垂線，垂足為．①求的最大值；②若中有一個內(nèi)角是的兩倍，求點的橫坐標．4．（2024·西藏·二模）已知拋物線與x軸交于點和點B，對稱軸為直線，拋物線與y軸交于C點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖（甲），P是拋物線第一象限內(nèi)的任一點，過點P作軸于D，直線與交于點E，當是以為底的等腰三角形時，求P點的坐標；(3)如圖（乙），若點M是拋物線上任意一點，且滿足，求M的坐標．題型三：兩角和與差問題1．（2024·山西臨汾·一模）綜合與探究如圖，拋物線的圖像與x軸交于兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點，作直線．(1)求拋物線表達式及所在直線的函數(shù)表達式；(2)若點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，連接，求面積的最大值及此時點P的坐標；(3)若點M是拋物線上的點，且，請直接寫出點M的坐標．2．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點；(1)如圖1，求的長度．(2)如圖2，點為第一象限拋物線上一點，連接，取上一點，以為底向下作等腰，設點橫坐標為，試用含的代數(shù)式表示的值為______（直接填空）．(3)如圖3，在（2）的條件下，點為第一象限拋物線上一點，連接交于點，連接、且，連接并延長與交于點，當時，求點橫坐標．3．（2024·江蘇揚州·一模）如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知拋物線的頂點坐標為，與x軸分別交于點A，B．連接，點D是線段上方拋物線上的一動點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，在點D運動過程中，連接，求面積的最大值；(3)如圖2，在點D運動過程中，連接交于點E，點F在線段上，連接，若，求點F橫坐標的最大值．4．（2024·山東泰安·一模）如圖，拋物線的圖象與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，作直線．(1)求拋物線表達式及所在直線的函數(shù)表達式；(2)若點是拋物線上在第三象限的一個點，且，求出點的坐標；(3)若點是拋物線上的一個動點，連接，，當面積是面積的一半時，請直接寫出點的橫坐標．5．（2022·湖北黃石·中考真題）如圖，拋物線與坐標軸分別交于A，B，C三點，P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點且橫坐標為m．(1)A，B，C三點的坐標為____________，____________，____________；(2)連接，交線段于點D，①當與x軸平行時，求的值；②當與x軸不平行時，求的最大值；(3)連接，是否存在點P，使得，若存在，求m的值，若不存在，請說明理由．6．（2023·遼寧營口·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點，過點作直線軸，過點作，交直線于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點為第三象限內(nèi)拋物線上的點，連接和交于點，當時．求點的坐標；(3)在（2）的條件下，連接，在直線上是否存在點，使得？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．7．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點．

(1)求此拋物線的解析式；(2)已知拋物線上有一點，其中，若，求的值；(3)若點D，E分別是線段，上的動點，且，求的最小值．8．（23-24九年級下·重慶北碚·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點，點是拋物線上一點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接，點P是直線上方拋物線上一點，過點P作交直線于點D，求的最大值及此時點P的坐標；(3)連接，過點A作，交于點F，將原拋物線沿射線方向平移個單位長度得到新拋物線，點Q為新拋物線上一點，直線與射線交于點G，連接．當時，直接寫出所有符合條件的點Q的橫坐標．9．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線交軸的負半軸于點，交軸的正半軸于點，交軸于點．

(1)______________；(2)如圖1，點在第二象限的拋物線上，連接交軸于點，設點的橫坐標為，線段的長為，請直接寫出與的函數(shù)解析式；(3)如圖2，在（2）的條件下，點在第四象限的拋物線上，點在第一象限的拋物線上，連接交軸于點，若，求點的坐標并直接寫出直線的解析式．10．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）如圖，拋物線分別交軸于點和（在左側(cè)），交軸于點，直線交軸于點，交軸于點，連接，的面積是．(1)如圖1，求的值；(2)如圖2，點為第一象限拋物線上一點，點的橫坐標為，連接和，的面積為，求與之間的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(3)如圖3，在（2）的條件下，，直線和直線相交于點，為延長線上一點，連接，，點為上一點，連接，交軸于點，，且，在軸負半軸上一點，使，若求點的坐標．題型四：特殊角問題1．（2024·安徽蕪湖·二模）如圖1，拋物線與軸交于點和點（點在原點的左側(cè)，點在原點的右側(cè)），且．在軸上有一動點，過點作直線軸，交拋物線于點．(1)求點的坐標及拋物線的解析式；(2)如圖2，連接，若，求此時點的坐標；(3)如圖3，連接并延長交軸于點，連接，記的面積為的面積為，若，求此時點的坐標．2．（2024·廣東東莞·一模）如圖，拋物線交軸于，兩點，交軸于點，連接，．

(1)求的面積；(2)點為軸上一點，是否存在點，使得與相似？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；(3)點為拋物線上一點（點與點不重合），且使得中有一個角是，請直接寫出點的坐標．3．（2024·福建泉州·一模）已知拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點，頂點D的坐標是．(1)求該拋物線的解析式；(2)經(jīng)過的直線軸，過點B作于點H．①求證：A，D，H三點共線；②M是拋物線上一點，且，求點M的坐標．4．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與直線交于，B兩點，與y軸交于，直線l與y軸交于點D．(1)求拋物線的函數(shù)表達式：(2)設直線l與拋物線的對稱軸的交點為F，若，求直線l的解析式：(3)若在x軸上存在一點P，使，且，直接寫出k的值．5．（2024·河北邯鄲·一模）【建立模型】（1）如圖1，點B是線段上的一點，，，，垂足分別為C，B，D，．求證：；【類比遷移】（2）如圖2，一次函數(shù)的圖象與y軸交于點A、與x軸交于點B，將線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到、直線交x軸于點D．①點C的坐標為______；②求直線的解析式；【拓展延伸】（3）如圖3，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，已知點，連接，拋物線上是否存在點M，使得，若存在，直接寫出點M的橫坐標．6．（2024·安徽滁州·一模）已知拋物線交x軸于點和點B，交y軸于點C．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)如圖1，已知點P是位于上方的拋物線上的一點，作，垂足為M，求線段長度的最大值；(3)如圖2，已知點Q是第四象限拋物線上一點，，求點Q的坐標．7．（2023·四川自貢·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與軸交于點．

(1)求拋物線解析式及，兩點坐標；(2)以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，求點坐標；(3)該拋物線對稱軸上是否存在點，使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．8．（2024·山西大同·一模）綜合與探究如圖，拋物線與x軸交于點A和B，點A在點B的左側(cè)，交y軸于點C，作直線．(1)求點B的坐標及直線的表達式；(2)當點D在直線下方的拋物線上運動時，連接交于點E，若，求點D的坐標；(3)拋物線上是否存在點F．使得?若存在，直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．9．（2024·山東濟南·一模）如圖，拋物線（）與x軸交于點和點B，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點，過點B作直線軸，過點D作，交直線l于點E．(1)求拋物線的解析式；(2)點P為第四象限內(nèi)拋物線上的點，直線與交于點Q，當時，求點P的坐標；(3)坐標軸上是否存在點F，使得，若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．10．（2024·山東濟南·一模）如圖，二次函數(shù).的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D，其對稱軸與線段交于點E，與x軸交于點F．連接．

(1)若，求B點和C點坐標；(2)若求m的值；(3)若在第一象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上，始終存在一點P，使得請結合函數(shù)的圖象，直接寫出m的范圍．11．（2024·山東棗莊·一模）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于兩點，B（點A在B左邊），交y軸于C，點是拋物線上一點．(1)求拋物線的關系式；(2)在對稱軸上找一點M，使的值最小，求點M的坐標；(3)如圖2，拋物線上是否存在點Q，使？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．12．（2024·黑龍江大慶·一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點，B與y軸交于點，對稱軸為，點P，Q在此拋物線上，其橫坐標分別為m，，連接．

(1)求此拋物線的解析式；(2)當時，求m的值，并直接寫出的面積；(3)設此拋物線在點C與點P之間部分（包括點C和點P）的最高點與最低點的縱坐標的差為，在點C與點Q之間部分（包括點C和點Q）的最高點與最低點的縱坐標的差為．當時，直接寫出m的值．13．（2023·湖南郴州·中考真題）已知拋物線與軸相交于點，，與軸相交于點．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，點是拋物線的對稱軸上的一個動點，當?shù)闹荛L最小時，求的值；(3)如圖2，取線段的中點，在拋物線上是否存在點，使？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．14．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，拋物線交x軸正半軸于點A，過頂點作軸于點．(1)求拋物線的解析式；(2)若時，則函數(shù)的取值范圍是______；(3)點為右側(cè)第一象限拋物線上一點，過點作軸于點，點為軸正半軸上一點，連接，，延長線交軸于點B，點在軸負半軸上，連接、，若，求直線的解析式．15．（2024·廣東廣州·一模）已知二次函數(shù)圖象與x軸交于點A和點，與y軸交于點．(1)求點A的坐標；(2)若點D是直線上方的拋物線上的一點，過點D作軸交射線于點E，過點D作于點F，求的最大值及此時點D坐標；(3)在（2）的條件下，若點P，Q為x軸下方的拋物線上的兩個動點，并且這兩個點滿足，試求點D到直線的最大距離．16．（2024·重慶南岸·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線交軸于點，，與y軸交于點C．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)如圖1，若點M是第四象限內(nèi)拋物線上一點，軸交于點N，求的最大值；(3)如圖2，在軸上取一點，拋物線沿方向平移個單位得新拋物線，新拋物線與軸交于點，，交軸于點，點在線段上運動，線段關于線段的對稱線段所在直線交新拋物線于點，直線與直線所成夾角為，直接寫出點的橫坐標．專題08二次函數(shù)中的角度問題（4大題型）40題專練通用的解題思路：1、角的數(shù)量關系處理的一般方法如下：（1）證等角：常運用等腰三角形兩底角相等，等角的余角相等，等角的補角相等、全等三角形和相似三角形的對應角相等及兩角的銳角三角函數(shù)值相等，等等；（2）證二倍角：常構造輔助圓，利用圓周角定理；（3）證和差角：常旋轉(zhuǎn)、翻折、平移構造角．2.特殊角問題處理的一般方法如下：（1）運用三角函數(shù)值；（2）遇45°構造等腰直角三角形；（3）遇30°，60°構造等邊三角形；（4）遇90°構造直角三角形．題型一：角相等問題對于二次函數(shù)中的角相等問題，首選方法是利用等角的三角比解決問題（利用一線三等角模型或者拆分特殊角來發(fā)現(xiàn)等角），其次選擇利用相似三角形中的比例線段解決問題。

二次函數(shù)中的角相等問題比較靈活，在遇到具體問題時具體分析，合理構造等角，解決問題。1．（2024·山西太原·三模）綜合與探究如圖1，經(jīng)過原點O的拋物線與x軸的另一個交點為A，直線l與拋物線交于A，B兩點，已知點B的橫坐標為1，點M為拋物線上一動點．(1)求出A，B兩點的坐標及直線l的函數(shù)表達式．(2)如圖2，若點M是直線l上方的拋物線上的一個動點，直線交直線l于點C，設點M的橫坐標為m，求的最大值．(3)如圖3，連接，拋物線上是否存在一點M，使得，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)A的坐標為，B的坐標為，直線函數(shù)表達式為；(2)；(3)或．【分析】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用、相似三角形的性質(zhì)證明、一次函數(shù)的應用，掌握相關知識并靈活應用是解題的關鍵．（1）在中，令得得，在中，令得，設直線函數(shù)表達式為，把，代入，即可求解；（2）過M作軸于K，過C作軸于T，則，設直線函數(shù)表達式為，把代入得直線函數(shù)表達式為，進而得，由，，即可求解；（3）過B作軸于R，設直線l交y軸于點E，求出點E的坐標為，則，由得到，則，設，則，得到，解得或，進而可求解；【詳解】（1）解：在中，令得，解得或，∴，在中，令得，∴，設直線函數(shù)表達式為，把，代入得：，解得，∴直線函數(shù)表達式為；∴A的坐標為，B的坐標為，直線函數(shù)表達式為；（2）過M作軸于K，過C作軸于T，如圖：∵點M的橫坐標為m，∴，設直線函數(shù)表達式為，把代入得：，解得，∴直線函數(shù)表達式為，由得，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴當時，取最大值，最大值為；（3）拋物線上存在一點M，使得，理由如下：過作軸于R，設直線l交y軸于點E，如圖：當時，，∴點E的坐標為，∴∵，∴，∵，∴，∴，設，則，∴，解得或，經(jīng)檢驗，或是方程的解且符合題意，∴或．2．（23-24九年級下·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，頂點為．(1)請直接寫出、、三點坐標．(2)如圖，點是第四象限內(nèi)拋物線上的一點，過點作軸的垂線，交直線于點，求線段長度的最大值；(3)如圖，若點在拋物線上且滿足，求點的坐標；【答案】(1)點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為(2)(3)或【分析】（1）由拋物線，分別令，，則可確定拋物線與坐標軸的交點坐標，根據(jù)頂點坐標可確定點的坐標；（2）設軸于點，設，確定直線的解析式為，得到，繼而得到，根據(jù)二次函數(shù)的最值可得結論；（3）確定直線的解析式為，然后分兩種情況進行討論即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，當時，得，解得：或，當時，得，∴，，，∵拋物線的頂點為，∴，即，∴點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為；（2）設軸于點，設，設直線的解析式為，過點，，∴，解得：，∴直線的解析式為，∵過點作軸的垂線，交直線于點，∴，∴，∵，∴當時，線段的長度取得最大值，此時最大值為；（3）設直線的解析式為，過點，，∴，解得：，∴直線的解析式為，①如圖，∵，∴，設直線的解析式為，過點，∴，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得：或，此時點的坐標為；②如圖，設交于點，作射線交于點，∵，∴，∵，，∴，∴垂直平分，∴點是的中點，∴點的坐標是，即，設直線的解析式為，過點，∴，∴，∴直線的解析式為，∵直線：與直線：交于點，聯(lián)立，解得：，∴，設直線的解析式為，過點，，∴，∴解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得：或，此時點的坐標為；綜上所述，點的坐標為或．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)與坐標軸的交點，二次函數(shù)的最值，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平行線的判定，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點，等角對等邊，中點坐標，垂直平分線的判定和性質(zhì)等知識點．掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、確定二次函數(shù)與一次函數(shù)交點坐標的方法是解題的關鍵．3．（23-24九年級下·湖南永州·開學考試）綜合與探究．如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，連接．(1)求，，三點的坐標；(2)若點是軸上一點，當為等腰三角形時，求點的坐標；(3)點是二次函數(shù)圖象上的一個動點，請問是否存在點使？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，(2)或或或(3)或【分析】（1）當時，即，解方程可得圖象與軸交于點，，當時，，從而得圖象與軸交于點；（2）先利用勾股定理求出，再分當，當時，當時，三種情況討論求解即可；（3）分點在上方時和點在下方兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：當時，即，解得：．∴圖象與軸交于點，，當時，，∴圖象與軸交于點，（2）解：∵，，∴，當，則點P的坐標為或；當時，∵，∴，∴點P的坐標為；當時，設點P的坐標為，∴，∴，解得，∴點P的坐標為；綜上所述，點P的坐標為或或；（3）解：當點在上方時，∵，∴，即軸，∴點與點關于拋物線的對稱軸對稱，∵拋物線解析式為，∴拋物線的對稱軸為直線；∵，∴；當點在下方時，設交軸于點，則，．∵，∴．在中，，∴，解得：，∴，設直線的解析式為，，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立，得，解得：舍去，，∴．綜上所述，點的坐標為或；【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，求二次函數(shù)與坐標軸的交點坐標，一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．4．（2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐標系（如圖）中，已知拋物線經(jīng)過點、兩點，與軸的交點為點，對稱軸為直線．(1)求此拋物線的表達式；(2)已知以點為圓心，半徑為的圓記作圓，以點A為圓心的圓記作圓A，如果圓A與圓外切，試判斷對稱軸直線與圓A的位置關系，請說明理由；(3)已知點在軸的正半軸上，且在點的上方，如果，請求出點的坐標．【答案】(1)此拋物線的表達式是(2)對稱軸直線與圓A的位置是相離，理由見詳解(3)點的坐標為【分析】（1）直接用待定系數(shù)法求解即可；（2）設圓A的半徑為r，又圓A與圓外切，所以，得到，即，即可判斷；（3）過點作，垂足為，過點作軸，垂足為G，利用等角的正切值相等解決問題，，所以，，所以，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點、兩點∴，解得∴此拋物線的表達式是；（2）答：對稱軸直線與圓A的位置是相離根據(jù)（1）得，拋物線的對稱軸是直線，拋物線與y軸的交點點坐標為，所以，所以圓的半徑是，設圓A的半徑為r，又圓A與圓外切，所以，又，所以，對稱軸與x軸垂直，設垂足為M，那么的長就是圓A到對稱軸的距離，又對稱軸是直線，所以點的坐標為，所以，因為，即，所以對稱軸直線與圓A的位置是相離．（3）解：過點作，垂足為，過點作軸，垂足為G，易得，，又點坐標為，點坐標為，所以軸，所以，，由勾股定理得，所以，在中，，在中，，因為，所以，所以，所以點的坐標為．【點睛】本題是二次函數(shù)與幾何綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，圓與圓的位置關系，直線與圓的位置關系，二次函數(shù)與角度的存在性問題，熟練掌握知識點是解題的關鍵．5．（2023·海南·模擬預測）如圖1，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．直線與拋物線交于，兩點．點是拋物線上一動點．(1)求該拋物線的表達式及點的坐標；(2)當點的坐標為時，求四邊形的面積；(3)拋物線上是否存在點，使？若存在，求出點的橫坐標；若不存在，請說明理由；(4)如圖2，點、是對稱軸上的兩個動點，且，點在點的上方，求四邊形的周長的最小值．【答案】(1)拋物線的解析式為，(2)(3)存在，點的橫坐標或(4)【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用軸對稱求最短距離，解直角三角形；（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）過點作軸，過點作交于，過點作交于，利用割補法求四邊形的面積即可；（3）連接交于點，則，先求兩直線的交點，可得，設，過點作軸交于，由，得到方程，求出的值即可；（4）連接，過點作，過點作，與交于點，四邊形的周長，當、、三點共線時，四邊形的周長有最小值，分別求出，，即可得四邊形的周長的最小值為．【詳解】（1）解：將、，代入，，解得，拋物線的解析式為，，解得或，；（2）過點作軸，過點作交于，過點作交于，、，，，，，，，四邊形的面積；（3）存在點，使，理由如下：連接交于點，直線與直線平行，，，，，設直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，當時，解得，，，，，設，過點作軸交于，，，解得或或（舍，或；點的橫坐標為或；（4）連接，過點作，過點作，與交于點，四邊形是平行四邊形，，，、關于對稱軸對稱，，四邊形的周長，當、、三點共線時，四邊形的周長有最小值，，，，、，，，四邊形的周長的最小值為．6．（2024·上海靜安·二模）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線關于直線對稱，且經(jīng)過點和點，橫坐標為4的點在此拋物線上．(1)求該拋物線的表達式；(2)聯(lián)結、、，求的值；(3)如果點P在對稱軸右方的拋物線上，且，過點P作軸，垂足為Q，請說明，并求點P的坐標．【答案】(1)該拋物線的表達式為；(2)(3)點的坐標為．【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）先證得是等腰直角三角形，可得，，過點作軸于，則，，，進而證得是等腰直角三角形，可得，，推出，再運用三角函數(shù)定義即可求得答案；（3）連接，先證得，得出，即，設，則，可得，得出，代入拋物線解析式求得，即可求得答案．【詳解】（1）解：拋物線關于直線對稱，設拋物線的解析式為，把、代入，得：，解得：，，該拋物線的表達式為；（2）解：在中，令，得，，、，，是等腰直角三角形，，，如圖，過點作軸于，則，，，，，是等腰直角三角形，，，，；（3）證明：如圖，連接，由（2）知是等腰直角三角形，，，，軸，，，，，，設，則，，，點在對稱軸右方的拋物線上，，且，解得：，當時，，點的坐標為．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，熟練掌握等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識是解題關鍵．7．（2024·廣西·一模）如圖，已知拋物線交x軸于，兩點，交y軸于點C，P是拋物線上一點，連接、．(1)求拋物線的解析式；(2)連接，，若，求點P的坐標；(3)若，直接寫出點P的坐標．【答案】(1)(2)點P的坐標為或；(3)點P的坐標為或．【分析】本題考查的是二次函數(shù)的綜合應用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，正切函數(shù)的定義．（1）將，兩點代入，即可求解；（2）先求出，則，設，可得，即可求點坐標；（3）設交y軸于點，利用正切函數(shù)求得，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，聯(lián)立求得即可；當直線經(jīng)過點關于原點的對稱點時，也符合題意，同理求解即可．【詳解】（1）解：將，兩點代入，，解得，；（2）解：令，則，，，，，，，，設，，，，解得或，∴點P的坐標為或；（3）解：設交y軸于點，∵，，，∴，，∵，∴，∴，即，∴，設直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得或，∴點P的坐標為；當直線經(jīng)過點關于原點的對稱點時，也符合題意，同理求得直線的解析式為，聯(lián)立，解得或，∴點P的坐標為；綜上，點P的坐標為或．8．（2024·山東濟南·一模）如圖，二次函數(shù).的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D，其對稱軸與線段交于點E，與x軸交于點F．連接．(1)若，求B點和C點坐標；(2)若求m的值；(3)若在第一象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上，始終存在一點P，使得請結合函數(shù)的圖象，直接寫出m的范圍．【答案】(1)，(2)1(3)【分析】（1）令，解方程可得，兩點坐標，令，可得點的坐標；（2）由題意得，，，進而可得，推出，連接，由，可得，推出，利用解直角三角形可得，，構建方程，求出即可；（3）設交軸于點，證明，推出，可得結論．【詳解】（1）當時，，令，得，解得：，，點在點的左側(cè)，，令，得，；（2）當時，，解得：，，點在點的左側(cè)，且，，，當時，，，，，，如圖1中，連接，，，，，，，、關于對稱軸直線對稱，，，，，，即，，，，，，，解得：或，經(jīng)檢驗，是方程的根，，；（3）如圖2，設交軸于點，當點在第一象限時，點總是在點的左側(cè)，此時，即．，，，解得：，又，同法可得，，．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．9．（2024·廣東·一模）綜合應用．如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，連接．(1)求A，B，C三點的坐標，并直接寫出直線的函數(shù)表達式；(2)點P是二次函數(shù)圖象上的一個動點，請問是否存在點P使？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，作出該二次函數(shù)圖象的對稱軸直線l，交x軸于點D．若點M是二次函數(shù)圖象上一動點，且點M始終位于x軸上方，作直線，，分別交l于點E，F(xiàn)，在點M的運動過程中，的值是否為定值？若是，請直接寫出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)，，，(2)存在，點的坐標為或(3)的值是定值；【分析】（1）當時，即，解方程可得圖象與軸交于點，，當時，，從而得圖象與軸交于點，利用待定系數(shù)法即可求解直線的函數(shù)表達式；（2）分點在上方時和點在下方兩種情況討論求解即可；（3）由（）得拋物線的對稱軸為直線，從而，設且，進而利用待定系數(shù)法求得直線和直線的解析式，從而得，于是即可得．【詳解】（1）解：當時，即，解得：．∴圖象與軸交于點，，當時，，∴圖象與軸交于點，設直線為：，把，代入得，解得，∴直線的函數(shù)表達式為；（2）解：存在，理由如下：當點在上方時，∵，∴，即軸，∴點與點關于拋物線的對稱軸對稱，∵，∴拋物線的對稱軸為直線；∵，∴；當點在下方時，設交軸于點，則，．∵，∴．在中，，∴，解得：，∴，設直線的解析式為，，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立，得，解得：舍去，，∴．綜上所述，點的坐標為或；（3）解：存在，的值為定值，理由如下：由得拋物線的對稱軸為直線，∴，設且，設直線的解析式為，將和點的坐標代入得：，解得：，∴直線的解析式為，當時，，∴，同理，直線的解析式為：，當時，，∴，∴，∴，∴的值是定值，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二元一次方程組的應用以及勾股定理，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)以及勾股定理是解題的關鍵．10．（2024·江蘇宿遷·二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過、、三點，已知，，．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)點是拋物線上任意一點，若，求點的坐標；(3)點是拋物線上任意一點，若以、、為頂點的三角形是直角三角形，請直接寫出點的坐標．【答案】(1)(2)或(3)或或或【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）①當P在上方時，延長與y軸相交點Q，過B作于N，利用等積法求出，利用勾股定理求出，證明，利用正切定理可得出，求出，得出點Q的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線解析式，把直線、拋物線解析式聯(lián)立方程組，即可求出點P的坐標；②當點P在下方時，設與y軸相交點Q，過B作于N，類似①的方法求解即可；（3）分；；三種情況討論，根據(jù)勾股定理構建方程求解即可．【詳解】（1）解：設拋物線解析式為，∵拋物線經(jīng)過，，，∴，解得，∴；（2）解：①當點P在上方時，延長與y軸相交點Q，過B作于N，∵，，，∴，，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，又，∴，∴，∴，即，解得，∴，設直線解析式為，把B、Q坐標代入，得，解得，∴，聯(lián)立方程組，解得或，∴點P的坐標為；②當點P在下方時，設與y軸相交點Q，過B作于N，∵，，，∴，∴，∴，即，解得，∴，同理可求直線解析式為，聯(lián)立方程組，解得或，∴點P的坐標為；綜上，點P的坐標為或；（3）解：設，∵，，∴，，，當時，，∴，整理得，∴，解得（不符合題意，舍去），（不符合題意，舍去），，，當時，；當時，；∴M的坐標為或；當時，，∴，整理得，解得（不符合題意，舍去），∴∴M的坐標為；當時，，∴，整理得，解得（不符合題意，舍去），∴∴M的坐標為，綜上，M的坐標為或或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識，明確題意，數(shù)形結合，合理分類討論是解題的關鍵．題型二：二倍角關系問題對于平面直角坐標系中的二倍角問題，往往將其轉(zhuǎn)化成等角問題。對于等角問題，往往有以下解決路徑：等角的構造方法（1）將等角轉(zhuǎn)化在一個三角形中，利用等腰三角形兩邊相等，借助距離公式解決；（2）用等角的三角比相等，構造直角三角形，尋找比例關系；；（3）利用角的和差關系，尋找等角，而等角存在兩個相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例線段構建數(shù)量關系；（4）利用角平分線的相關性質(zhì)定理。二倍角的構造方法如圖，已知，我們可以利用等腰三角形和外角定理去構造，在BC邊上找一點D，使得BD=AD，則.這樣我們就構造出了二倍角，接下來利用三角函數(shù)（一般用正切）計算就可以了1．（2024·陜西西安·二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸分別交于，兩點，點的坐標是，點的坐標是，與軸交于點，是拋物線上一動點，且位于第二象限，過點作軸，垂足為，線段與直線相交于點(1)求該拋物線的解析式；(2)連接，是否存在點，使得？若存在，求出點的橫坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為；(2)點的橫坐標為．【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關點坐標和相關線段的長度．（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）證明，則，由，即可求解．【詳解】（1）解：設拋物線的表達式為：，則，解得：，拋物線的解析式為；（2）解：設存在點，使得，理由如下：延長到，設，連接，如圖：，，，，，，，，設，則，，，，，，，解得（舍去）或（舍去）或，點的橫坐標為．2．（2024·河南·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸分別交于A，B兩點，點A的坐標是，點B的坐標是，與y軸交于點C，P是拋物線上一動點，且位于第二象限，過點P作軸，垂足為D，線段與直線相交于點E．(1)求該拋物線的解析式；(2)連接，是否存在點P，使得？若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，點P的橫坐標為【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關點坐標和相關線段的長度．（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）延長到H，設，連接，證明，可得，設，則，根據(jù)，列出方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵點A的坐標是，點B的坐標是，∴可設拋物線的表達式為：，∵拋物線的表達式為：，∴，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：設存在點P，使得，理由如下：對于，當時，,∴點C的坐標為，即，延長到H，設，連接，如圖：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設，則，∴，∴，∵，∴，解得（舍去）或或（舍去），∴點P的橫坐標為．3．（2023·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點，且經(jīng)過點和點．(1)請直接寫出，的值；(2)直線交軸于點，點是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動點，過點作直線的垂線，垂足為．①求的最大值；②若中有一個內(nèi)角是的兩倍，求點的橫坐標．【答案】(1)，(2)①；②2或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①過點作軸平行線分別交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，則，進而可得，求得直線的解析式為，設，則，進而表示出，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．②根據(jù)已知，令，，在上取點，使得，得出，然后根據(jù)，設，．進而分兩種情況討論，ⅰ當時，，則相似比為，得出代入拋物線解析式，即可求解；ⅱ當時，，同理可得，代入拋物線解析式即可求解．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像與軸交于點，且經(jīng)過點和點∴解得：∴，，；（2）①如圖1，過點作軸平行線分別交、于、．∵，當時，，∴，∴，，∴，∴．∵，，∴，∴，∴，∴．∵設直線的解析式為∴解得：直線解析式為．設，，，當時，取得最大值為，的最大值為．②如圖2，已知，令，則，在上取點，使得，∴，設，則，則，解得，∴，即．如圖3構造，且軸，相似比為，又∵，設，則．分類討論：ⅰ當時，則，∴與的相似比為，∴，，∴，代入拋物線求得，（舍）．∴點橫坐標為．ⅱ當時，則，∴相似比為，∴，，∴，代入拋物線求得，（舍）．∴點橫坐標為．綜上所示，點的橫坐標為2或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段長的最值問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，正切的定義．利用分類討論的思想并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．4．（2024·西藏·二模）已知拋物線與x軸交于點和點B，對稱軸為直線，拋物線與y軸交于C點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖（甲），P是拋物線第一象限內(nèi)的任一點，過點P作軸于D，直線與交于點E，當是以為底的等腰三角形時，求P點的坐標；(3)如圖（乙），若點M是拋物線上任意一點，且滿足，求M的坐標．【答案】(1)；(2)；(3)或【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（1）求出直線解析式，設點P坐標為：，則點E坐標為，當是以為底的等腰三角形時，點C在線段垂直平分線上，線段中點的縱坐標為3，由此求出x即可；（3）如圖所示，取點，連，在上取點F，使得，連并延長交拋物線于點M，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和證明，再分別用待定系數(shù)法依次求出直線和直線的解析式，求出直線與拋物線交點M的坐標，再由對稱性求出另一點M的坐標即可．【詳解】（1）解：由題意，得，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2）解：由題意點C坐標為，由拋物線的對稱性，點B的橫坐標為，則B點的坐標為：，設直線解析式為：，把，代入，得，，解得：，∴直線解析式為：，∴設點P坐標為：，則點E坐標為，當是以為底的等腰三角形時，點C在線段垂直平分線上，線段中點的縱坐標為3，∴，解得，（舍去），∴，故P點的坐標為．（3）解：取直線與x軸交點，記為點D，連，在上取點F，使得，連并延長交拋物線于點M，由題意可知，點關于y軸對稱，則有，，∵，∴，∴，設直線解析式為：，把，代入，得，，解得，，∴直線解析式為：設點F坐標為，，，∵，∴，解得，（舍去），則點F坐標為：，設直線的解析式為，把點，代入，得，解得，的解析式為，當時，解得（舍去）∴點M的坐標為，由對稱性可知當F坐標為時，直線與拋物線的另一個交點也滿足題意，同理可以求出此時M的坐標為；綜上，點M的坐標為或．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合與一次函數(shù)的綜合，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等等，解題的關鍵在于能夠利用等腰三角形的性質(zhì)構造出等角關系．題型三：兩角和與差問題1．（2024·山西臨汾·一模）綜合與探究如圖，拋物線的圖像與x軸交于兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點，作直線．(1)求拋物線表達式及所在直線的函數(shù)表達式；(2)若點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，連接，求面積的最大值及此時點P的坐標；(3)若點M是拋物線上的點，且，請直接寫出點M的坐標．【答案】(1)拋物線解析式為，直線的解析式為，(2)面積的最大值為4，此時點P的坐標為(3)或【分析】（1）設出直線解析式，分別把，代入拋物線解析式中和直線解析式中，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過點P作軸交于D，設，則，可得；再由，得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案；（3）如圖所示，取點，連接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明是等腰直角三角形，得到，則點M即為為拋物線的交點，同理可得直線解析式為，聯(lián)立，解得或，則點M的坐標為；求出直線與y軸的交點坐標為；取，則直線解析式為，由對稱性可得，則射線與拋物線的交點即為點M，同理可得點M的坐標為．【詳解】（1）解：把，代入中得：，∴，∴拋物線解析式為；設直線的解析式為，把，代入中得：，∴，∴直線的解析式為；（2）解：如圖所示，過點P作軸交于D，設，則，∴；∵，∴，∵，∴當時，最大，最大值為4，∴此時點P的坐標為（3）解：如圖所示，取點，連接，∵，，∴，，，∴，，∴是直角三角形，且，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴點M即為為拋物線的交點，同理可得直線解析式為，聯(lián)立，解得或，∴點M的坐標為；在中，當時，，∴直線與y軸的交點坐標為；取，則直線解析式為，由對稱性可得，∴射線與拋物線的交點即為點M，聯(lián)立，解得或，∴點M的坐標為；綜上所述，點M的坐標為或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，解（2）的關鍵在于利用線段的長表示出對應三角形的面積，解（3）的關鍵在于取出H點證明等腰直角三角形得到45度的角．2．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點；(1)如圖1，求的長度．(2)如圖2，點為第一象限拋物線上一點，連接，取上一點，以為底向下作等腰，設點橫坐標為，試用含的代數(shù)式表示的值為______（直接填空）．(3)如圖3，在（2）的條件下，點為第一象限拋物線上一點，連接交于點，連接、且，連接并延長與交于點，當時，求點橫坐標．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）令，解方程，即可求解；（2）以為斜邊向上作等腰，過點作軸，過點分別作的垂線，垂足分別為，證明，證明得出，進而設，則，則，，得出，根據(jù)正切的定義，即可求解；（3）證明得出，進而可得，則求得直線的解析式為，證明得出，則，可得直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式，即可求解．【詳解】（1）解：當時，，解得：∴∴（2）解：如圖所示，以為斜邊向上作等腰，過點作軸，過點分別作的垂線，垂足分別為，∵等腰，∴又∵∴，則,∵軸，∴∴在中，∴∴∵點橫坐標為，∴設，則，則，∴∴∴∴故答案為：．（3）解：如圖所示，連接，∵，是等腰直角三角形，∴，又∴∴又∵∴∴∴∴∴設直線的解析式為∴解得：∴直線的解析式為∵是等腰直角三角形，∴∵∴是等腰直角三角形，∴∵且∴又∵，即∴∴∴∵是的中點，∴∴直線的解析式為∴解得：（負值舍去）∴的橫坐標為．【點睛】本題考查了解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．3．（2024·江蘇揚州·一模）如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知拋物線的頂點坐標為，與x軸分別交于點A，B．連接，點D是線段上方拋物線上的一動點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，在點D運動過程中，連接，求面積的最大值；(3)如圖2，在點D運動過程中，連接交于點E，點F在線段上，連接，若，求點F橫坐標的最大值．【答案】(1)(2)1(3)【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，一次函數(shù)與幾何綜合：（1）把拋物線設為頂點式即可得到答案；（2）先求出，進而求出直線解析式為；如圖所示，過點D作軸，交于E，設，則，可得；進而得到，據(jù)此可得答案；（3）利用勾股定理得到，，，則，可得，利用三角形外角的性質(zhì)證明，進而證明，得到，設，則，可得，則當時，有最大值，最大值為1，即點F的橫坐標的最大值為．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點坐標為，∴拋物線解析式為；（2）解：在中，當時，解得或，∴；設直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為；如圖所示，過點D作軸，交于E，設，則，∴；∴，∵，∴當時，有最大值，最大值為1；（3）解：∵，，∴，，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，設，則，∴，∴，∴當時，有最大值，最大值為1，∴點F的橫坐標的最大值為．4．（2024·山東泰安·一模）如圖，拋物線的圖象與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，作直線．(1)求拋物線表達式及所在直線的函數(shù)表達式；(2)若點是拋物線上在第三象限的一個點，且，求出點的坐標；(3)若點是拋物線上的一個動點，連接，，當面積是面積的一半時，請直接寫出點的橫坐標．【答案】(1)拋物線表達式為；所在直線的函數(shù)表達式為；(2)；(3)點的橫坐標是或或或．【分析】（1）設出直線解析式，分別把，代入拋物線解析式中和直線解析式中，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）如圖所示，取點，連接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明是等腰直角三角形，得到，則點M即為為拋物線的交點，同理可得直線解析式為，聯(lián)立，解得或，則點M的坐標為；（3）分點在直線的上方和下方，兩種情況進行討論求解即可．【詳解】（1）解：把，代入中得：，∴，∴拋物線解析式為；設直線的解析式為，把，代入中得：，∴，∴直線的解析式為；（2）解：已知，∴，則，如圖所示，取點，作軸于點，使得，，連接，∴，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形，且，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴點M即為為拋物線的交點，同（1）法可得直線解析式為，聯(lián)立，解得或，∴點M的坐標為；（3）∵，，∴，∴，如圖所示，當點在直線上方時：將直線向上平移1個單位，得到，設直線與軸的交點為，當時，，∴，∴，∵，∴點為直線與拋物線的交點，令，解得：，當點在直線下方時，將直線向下平移1個單位，得到直線，則點為直線與拋物線的交點，令：，解得：．綜上：點的橫坐標為：或或或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)圖象的平移等知識點，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結合和分類討論的思想，進行求解，是解題的關鍵．5．（2022·湖北黃石·中考真題）如圖，拋物線與坐標軸分別交于A，B，C三點，P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點且橫坐標為m．(1)A，B，C三點的坐標為____________，____________，____________；(2)連接，交線段于點D，①當與x軸平行時，求的值；②當與x軸不平行時，求的最大值；(3)連接，是否存在點P，使得，若存在，求m的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1);;(2)①；②(3)存在點P，【分析】(1)令x=0，則y=4，令y=0，則=0，所以x=-2或x=3，由此可得結論；(2)①由題意可知，P(1，4)，所以CP=1，AB=5，由平行線分線段成比例可知，．②過點P作PQ∥AB交BC于點Q，所以直線BC的解析式為：y=-x+4．設點P的橫坐標為m，則P(m，-)，Q(，-)．所以PQ=m-()=-，因為PQ∥AB，所以=，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得結論；(3)假設存在點P使得∠BCO+2∠BCP=90°，即0＜m＜3．過點C作CFx軸交拋物線于點F，由∠BCO+2∠PCB=90°，可知CP平分∠BCF，延長CP交x軸于點M，易證△CBM為等腰三角形，所以M(8，0)，所以直線CM的解析式為：y=-x+4，令=-x+4，可得結論．【詳解】（1）解：令x=0，則y=4，∴C(0，4)；令y=0，則=0，∴x=-2或x=3，∴A(-2，0)，B(3，0)．故答案為：(-2，0)；(3，0)；(0，4)．（2）解：①∵軸，，∴，，又∵軸，∴△CPD∽△BAD∴；②過P作交于點Q，設直線BC的解析式為，把B(3，0)，C(0，4)代入，得，解得，∴直線的解析式為，設，則，∴，∵，∴△QPD∽△BAD∴，∴當時，取最大值；（3）解：假設存在點P使得，即，過C作軸，連接CP，延長交x軸于點M，∴∠FCP=∠BMC，∵，∴平分，∴∠BCP=∠FCP，∴∠BCP=∠BMC，∴BC=BM，∴為等腰三角形，∵，∴，，，設直線CM解析式為y=kx+b，把C(0，4)，代入，得，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得或(舍)，∴存在點P滿足題意，即．【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平行線分線段成比例，角度的存在性等相關內(nèi)容，解本題的關鍵是求拋物線解析式，確定點P的坐標．6．（2023·遼寧營口·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點，過點作直線軸，過點作，交直線于點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點為第三象限內(nèi)拋物線上的點，連接和交于點，當時．求點的坐標；(3)在（2）的條件下，連接，在直線上是否存在點，使得？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)或．【分析】（1）根據(jù)拋物線過點，對稱軸為直線，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)題意求得，，求得，則，進而求得直線的解析式為，過點作軸，交于點，證明，根據(jù)已知條件得出設，則，將點代入，即可求解．（3）根據(jù)題意可得，以為對角線作正方形，則，進而求得的坐標，待定系數(shù)法求得的解析式，聯(lián)立解析式，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點，則對稱軸為直線，∴，解得：∴拋物線解析式為；（2）解：由，當時，，解得：，∴，當時，，則，∵，∴，∴，即，∴，∴，則，設直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為，如圖所示，過點作軸，交于點，∵，∴∵∴，則設，則即，將點代入即解得：或（舍去）當時，，∴；（3）∵，，則，是等腰直角三角形，∴，由（2）可得，∵∴，由（2）可得，設直線的解析式為，則解得：∴直線的解析式為如圖所示，以為對角線作正方形，則，∵，則，則，，設，則，解得：，，則，，設直線的解析式為，直線的解析式為則，，解得：，，設直線的解析式為，直線的解析式為，∴解得：，則，解得：,則，綜上所述，或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．7．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點．(1)求此拋物線的解析式；(2)已知拋物線上有一點，其中，若，求的值；(3)若點D，E分別是線段，上的動點，且，求的最小值．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）在中，，則，得到直線的表達式為：，進而求解；（3）作，證明且相似比為，故當、、共線時，為最小，進而求解．【詳解】（1）解：設拋物線的表達式為：，即，則，故拋物線的表達式為：①；（2）解：在中，，，則，故設直線的表達式為：②，聯(lián)立①②得：，解得：（不合題意的值已舍去）；（3）解：作，設，，且相似比為，則，故當、、共線時，為最小，在中，設邊上的高為，則，即，解得：，則，則，過點作軸于點，則，即點的縱坐標為：，同理可得，點的橫坐標為：，即點，由點、的坐標得，，即的最小值為．【點睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結合的思想把代數(shù)和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．8．（23-24九年級下·重慶北碚·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點，點是拋物線上一點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接，點P是直線上方拋物線上一點，過點P作交直線于點D，求的最大值及此時點P的坐標；(3)連接，過點A作，交于點F，將原拋物線沿射線方向平移個單位長度得到新拋物線，點Q為新拋物線上一點，直線與射線交于點G，連接．當時，直接寫出所有符合條件的點Q的橫坐標．【答案】(1)(2)當時，的最大值為(3)或或或【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）過點作軸，交軸于點，交于點，根據(jù)銳角三角函數(shù)得到，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可；（3）先求出，進而得到為的中點，推出拋物線的平移規(guī)則，求出新的拋物線的解析式，根據(jù)，當點在右側(cè)時，得到四點共圓，推出，利用銳角三角函數(shù)求出的長，進而求出點坐標，得到直線的解析式，聯(lián)立直線和拋物線的解析式，求出點坐標即可，當點在左側(cè)，點是中點時，，根據(jù)中點坐標公式，求出點的坐標，得到直線的解析式，聯(lián)立直線和拋物線的解析式，求出點坐標即可．【詳解】（1）解：把，，代入函數(shù)解析式，得：，解得：，∴；（2）∵，∴當時，，解得：，∴，∵，∴，∴，設直線的解析式為，把代入，得：，∴，過點作軸，交軸于點，交于點，∵，∴，又：，∴，∴，∴，∴，設，則：，∴，∴當時，有最大值為，此時最大為；∴當時，的最大值為．（3）∵，∴，∴，∵，∴點為的中點，∴，過點作軸，∴，，∴，∴，∴，，將原拋物線沿射線方向平移個單位長度得到新拋物線，即將原拋物線先向右平移1個單位，再向上平移1個單位，則新拋物線的的解析式為：，即：∵垂直平分，且點在上，∴，∵，∴，∴，又∵，當點在右側(cè)時，，∴，過點作交于點∵，∴，∴，即：，∴，過點作軸于點，∵，∴，∴，∴，設的解析式為：，把代入，得：，解得：，∴，聯(lián)立，解得：或，∴點的橫坐標為：或，當點在左側(cè)時，點是中點時，，設點，則：解得：，∴，設的解析式為：，把代入，得：，解得：，∴，聯(lián)立，解得：或，∴點的橫坐標為：或，故答案為：或或或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解直角三角形，四點共圓，二次函數(shù)求最值，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點，綜合性強，難度大，計算量大，屬于壓軸題，掌握相關知識點，利用數(shù)形結合的思想進行求解，是解題的關鍵．9．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線交軸的負半軸于點，交軸的正半軸于點，交軸于點．(1)______________；(2)如圖1，點在第二象限的拋物線上，連接交軸于點，設點的橫坐標為，線段的長為，請直接寫出與的函數(shù)解析式；(3)如圖2，在（2）的條件下，點在第四象限的拋物線上，點在第一象限的拋物線上，連接交軸于點，若，求點的坐標并直接寫出直線的解析式．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）待定系數(shù)法求得的值，即可求解；（2）過點作軸于點，根據(jù)點在第二象限的拋物線上，設點的橫坐標為，則，得出，，，根據(jù)得出，即可求解；（3）過點作軸于點，證明是等腰直角三角形，得出，，設則，過點作軸，交的延長線于點，設交軸于點，連接并延長，交于點，連接，證明是等腰直角三角形，得出，，，過點作交于點，進而求得待定系數(shù)法求得直線的解析式為得出直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式得出的坐標，進而得出的解析式，即可求解．【詳解】（1）解：當時，，∴，即∵∴將代入∴解得：故答案為：．（2）如圖所示，過點作軸于點，由（1）可得令，則解得:∴點在第二象限的拋物線上，設點的橫坐標為，則，∴，∴∴∴∵∴即∴（3）解：如圖所示，過點作軸于點，∵，，∴，在中，∴∴，又∴∴，則是等腰直角三角形，∵∴解得：或（舍去）∴，，，，則是的中位線∴，設∴，如圖所示，過點作軸，交的延長線于點，設交軸于點，∵，∴，又∴，∴在中，∴∴連接并延長，交于點，連接，∵∴又∵，，∴，∴，又∵，，，∴，同理可得∴∴∴又∵∴，，∴是等腰直角三角形，∴∴，∵，則，，∴，，過點作交于點，∵∴，又∵即∵∴∵，∴∴設直線的解析式為將，代入得，解得：∴直線的解析式為設直線的解析式為將代入，得解得：∴直線的解析式為聯(lián)立解得：∴設直線的解析式為，將，代入得，解得：∴直線的解析式【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，待定系數(shù)法求解析式，平行線分線段成比例定理，解直角三角形，二次函數(shù)的線段周長問題，角度問題，全等三角形的性質(zhì)；綜合運用以上知識是解題的關鍵．10．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）如圖，拋物線分別交軸于點和（在左側(cè)），交軸于點，直線交軸于點，交軸于點，連接，的面積是．(1)如圖1，求的值；(2)如圖2，點為第一象限拋物線上一點，點的橫坐標為，連接和，的面積為，求與之間的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(3)如圖3，在（2）的條件下，，直線和直線相交于點，為延長線上一點，連接，，點為上一點，連接，交軸于點，，且，在軸負半軸上一點，使，若求點的坐標．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出，得到，進而根據(jù)的面積是，求出，則，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出對稱軸，進而求出點B的坐標，則可求出的長，再求出點P的坐標，進而根據(jù)三角形面積公式求解即可；（3）根據(jù)（2）所求，結合可得，求出直線解析式為，聯(lián)立，可得；過點F作交軸于，可證明，設，利用勾股定理得到，可得，，，證明，求出，設，利用勾股定理可得，解方程可得；過點M作軸，延長交直線于Q，過點G、F分別作的垂線，垂足分別為S、R，過點G作軸于K，設，則，解直角三角形得到，，則，，可得；證明四邊形是矩形，得到，則，，解，得到；進而得到；，證明，求出，則，可證明，推出，則；取，連接，可證明是等腰直角三角形，且，得到，則點H即為與y軸的交點，同理可得直線解析式為，則．【詳解】（1）解：在中，當時，，當時，，∴，∴，∵的面積是，∴，即，∴，∴，∴，把代入中得：，∴；（2）解：由（1）得拋物線解析式為，∵點為第一象限拋物線上一點，點的橫坐標為，∴；∵拋物線對稱軸為直線，∴點B的坐標為，∴，∴；（3）解：由（2）可得，解得或（舍去），∴；設直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，聯(lián)立，解得，∴；如圖所示，過點F作交軸于，∴，∵，∴，∴，設，∴，解得，∴，，∴，∵，∴，∴，即，∴，設，∴，解得或（舍去），∴；如圖所示，過點M作軸，延長交直線于Q，過點G、F分別作的垂線，垂足分別為S、R，過點G作軸于K，設，∴，∴，，∵，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，在中，；∵軸，∴，∴；，∵，∴，∴，∴，∴，即，解得或（此時不滿足，舍去）；∴，∴，∴，∴，∵，∴；如圖所示，取，連接，∴，，，∴，∴是等腰直角三角形，且，∴，∴點H即為與y軸的交點，同理可得直線解析式為，∴．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與幾何綜合，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構造全等三角形，相似三角形和直角三角形是解題的關鍵．題型四：特殊角問題1．（2024·安徽蕪湖·二模）如圖1，拋物線與軸交于點和點（點在原點的左側(cè)，點在原點的右側(cè)），且．在軸上有一動點，過點作直線軸，交拋物線于點．(1)求點的坐標及拋物線的解析式；(2)如圖2，連接，若，求此時點的坐標；(3)如圖3，連接并延長交軸于點，連接，記的面積為的面積為，若，求此時點的坐標．【答案】(1)，；(2)；(3)．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，解直角三角形：（1）先求出，接著利用待定系數(shù)法求出對應的函數(shù)解析式，再根據(jù)對稱性求出點A的坐標即可；（2）點坐標為，則，求出，解直角三角形得到，則，解方程即可得到答案；（3）設直線的表達式為，則，解得，則直線的表達式為，即可得到點坐標為，則，據(jù)此分別求出，再由建立方程求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，把代入中得：，∴，∴拋物線解析式為，∵拋物線對稱軸為直線，∴；（2）解：由題意得點坐標為，∴，∴，，∴，∴，，（舍去）或，；（3）解：由題意得點坐標為設直線的表達式為，則，解得∴直線的表達式為，當時，，∴點坐標為，∴，，，∴或，解得（舍去）或（負值舍去）．2．（2024·廣東東莞·一模）如圖，拋物線交軸于，兩點，交軸于點，連接，．(1)求的面積；(2)點為軸上一點，是否存在點，使得與相似？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；(3)點為拋物線上一點（點與點不重合），且使得中有一個角是，請直接寫出點的坐標．【答案】(1)6(2)存在，點的坐標為或，理由見詳解(3)點坐標為，或．【分析】（1）分別確定點的坐標，進而可得的長度，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可；（2）若與相似，則進行分類討論，當或當，由相似三角形的性質(zhì)可得對應邊成比例，再代入數(shù)值進行計算，即可求解；（3）分三種情況討論：根據(jù)題意，點與點不重合，當時；當時，設交軸于點，過點作于點，證明為等腰直角三角形，結合點坐標可得，設，則，，進而解得，即可確定點坐標，利用待定系數(shù)法解得直線的解析式，聯(lián)立直線的解析式與拋物線解析式，求解即可確定點坐標；當時，同理可解．【詳解】（1）解：對于拋物線，當時，可有，即，當時，可有，解得，，即，，∴，，∴；（2）解：存在，點的坐標為，或理由如下：∵，，，∴，，，如下圖，當時，則有，即，∴，∴，∴；當時，如圖：則有，即，∴，∴則，綜上：或（3）解：根據(jù)題意，點與點不重合；且，如圖結合二次函數(shù)的對稱性，且∴∴則∵∴對稱軸則則∴的坐標為當時，如下圖，設交軸于點，過點作于點，∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，設，則，，∴，解得，∴，∴，∴，設直線的解析式為，將點，代入，可得，解得，∴直線的解析式為，聯(lián)立直線的解析式與拋物線解析式，可得，解得（舍去）或，∴點；當時，如下圖，設交軸于點，過點作于點，∵，∴，∴，∵，即，∴，∴，∵，∴，∴，設，則，，∴，解得，∴，∴，設直線的解析式為，將點，代入，可得，解得，∴直線的解析式為，聯(lián)立直線的解析式與拋物線解析式，可得，解得（舍去）或，∴點．綜上所述，點坐標為，或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合應用，主要考查了坐標與圖形、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、解直角三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)等知識，綜合性強，難度較大，解題關鍵是運用數(shù)形結合和分類討論的思想分析問題．3．（2024·福建泉州·一模）已知拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點，頂點D的坐標是．(1)求該拋物線的解析式；(2)經(jīng)過的直線軸，過點B作于點H．①求證：A，D，H三點共線；②M是拋物線上一點，且，求點M的坐標．【答案】(1)(2)①證明見解析；②【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)解析式，勾股定理和勾股定理的逆定理：（1）利用對稱軸公式求出；代入點C坐標即可求出c，進而求出解析式；（2）①先求出A、B坐標，進而求出點H坐標，再求出直線解析式，最后驗證點H是否在直線上即可；②取，連接，可證明是等腰直角三角形，且，則，即直線與拋物線的交點即為點M，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點坐標為，∴，∴，∵拋物線經(jīng)過，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：①在中，當時，解得或，∴，∵經(jīng)過的直線軸，過點B作于點H，∴；設直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，在中，當時，，∴點在直線上，∴A，D，H三點共線；②如圖所示，取，連接，∵，，∴，，，∴，∴是等腰直角三角形，且，∴，∴直線與拋物線的交點即為點M，同理可得直線解析式為，聯(lián)立，解得或，∴點M的坐標為．4．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與直線交于，B兩點，與y軸交于，直線l與y軸交于點D．(1)求拋物線的函數(shù)表達式：(2)設直線l與拋物線的對稱軸的交點為F，若，求直線l的解析式：(3)若在x軸上存在一點P，使，且，直接寫出k的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）將點，代入，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)拋物線解析式求出對稱軸，過點A作對稱軸于點M，過點B作對稱軸于點