集合的含義及表示

關(guān)于集合的含義及表示問題提出

“集合”是日常生活中的一個常用詞，現(xiàn)代漢語解釋為:許多的人或物聚在一起.

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，集合是一種簡潔、高雅的數(shù)學(xué)語言，我們怎樣理解數(shù)學(xué)中的“集合”？集合的含義第2頁,共53頁，星期六，2024年，5月知識探究（一）

考察下列問題：（1）1～20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)；（2）絕對值小于3的整數(shù)；（3）龍一中248（或249）班的所有男同學(xué)；（4）平面上到定點O的距離等于定長的所有的點.

思考1：上述每個問題都由若干個對象組成，每組對象的全體分別形成一個集合，集合中的每個對象都稱為元素.上述4個集合中的元素分別是什么？第3頁,共53頁，星期六，2024年，5月

思考3：組成集合的元素所屬對象是否有限制？集合中的元素個數(shù)的多少是否有限制？

思考2：一般地，怎樣理解“元素”與“集合”？

把研究的對象稱為元素，通常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示；把一些元素組成的總體叫做集合，簡稱集，通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示.第4頁,共53頁，星期六，2024年，5月知識探究（二）

任意一組對象是否都能組成一個集合？集合中的元素有什么特征？

思考1：某單位所有的“帥哥”能否構(gòu)成一個集合？由此說明什么？集合中的元素必須是確定的

思考2：在一個給定的集合中能否有相同的元素？由此說明什么？集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的

思考3：0706班的全體同學(xué)組成一個集合，調(diào)整座位后這個集合有沒有變化？由此說明什么？集合中的元素是沒有順序的第5頁,共53頁，星期六，2024年，5月知識探究（三）

思考1：設(shè)集合A表示“1～20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)”，那么3，4，5，6這四個元素哪些在集合A中？哪些不在集合A中？

思考2：對于一個給定的集合A，那么某元素a與集合A有哪幾種可能關(guān)系？

思考3：如果元素a是集合A中的元素，我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)化的語言表達(dá)？a屬于集合A，記作

思考4：如果元素a不是集合A中的元素，我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)化的語言表達(dá)？a不屬于集合A，記作第6頁,共53頁，星期六，2024年，5月自然數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集）：記作

N正整數(shù)集：記作或整數(shù)集：記作

Z有理數(shù)集：記作

Q實數(shù)集：記作

R知識探究（四）

思考1：所有的自然數(shù)，正整數(shù)，整數(shù)，有理數(shù)，實數(shù)能否分別構(gòu)成集合？

思考2：自然數(shù)集，正整數(shù)集，整數(shù)集，有理數(shù)集，實數(shù)集等一些常用數(shù)集，分別用什么符號表示？第7頁,共53頁，星期六，2024年，5月

作業(yè)：P5練習(xí)：1.（1）；P11習(xí)題1.1A組：1.第8頁,共53頁，星期六，2024年，5月1.1.1集合的含義與表示第二課時集合的表示第9頁,共53頁，星期六，2024年，5月問題提出

1.集合中的元素有哪些特征？集合的表示

確定性、無序性、互異性

2.元素與集合有哪幾種關(guān)系？屬于、不屬于

3.用自然語言描述一個集合往往是不簡明的，如“在平面直角坐標(biāo)系中以原點為圓心，2為半徑的圓周上的點”組成的集合，那么，我們可以用什么方式表示集合呢？第10頁,共53頁，星期六，2024年，5月知識探究（一）思考1：這兩個集合分別有哪些元素？

考察下列集合：（1）小于5的所有自然數(shù)組成的集合；（2）方程的所有實數(shù)根組成的集合.（1）0，1，2，3，4；（2）-1，0，1思考2：由上述兩組數(shù)組成的集合可分別怎樣表示？

（1）{0，1，2，3，4}；（2）{-1，0，1}思考3：這種表示集合的方法叫什么名稱？

列舉法思考4：列舉法表示集合的基本模式是什么？

把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來，即第11頁,共53頁，星期六，2024年，5月知識探究（二）

考察下列集合：（1）不等式的解組成的集合；（2）絕對值小于2的實數(shù)組成的集合.思考1：這兩個集合能否用列舉法表示？思考2：如何用數(shù)學(xué)式子描述上述兩個集合的元素特征？

（1）R，且；（2）R，且思考3：上述兩個集合可分別怎樣表示？

（1）{R|}；（2）{R|}思考4：這種表示集合的方法叫什么名稱？

描述法思考5：描述法表示集合的基本模式是什么？

{元素的一般符號及取值范圍|元素所具有的性質(zhì)}第12頁,共53頁，星期六，2024年，5月知識探究（三）思考1：與{}的含義是否相同？思考2：集合{1，2}與集合{（1，2）}相同嗎？思考3:集合的幾何意義如何？xyo第13頁,共53頁，星期六，2024年，5月理論遷移

例1用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）絕對值小于3的所有整數(shù)組成的集合；（2）在平面直角坐標(biāo)系中以原點為圓心,1

為半徑的圓周上的點組成的集合；（3）所有奇數(shù)組成的集合；（4）由數(shù)字1，2，3組成的所有三位數(shù)構(gòu)成的集合.{-2，-1，0，1，2}或{123，132，213，231，312，321}.第14頁,共53頁，星期六，2024年，5月例2用列舉法表示下列集合：（1）;（2）.（1）{-1，1，2，4，5，7}；

（2）{（0,3）,（1,2），（2,1）,（3,0）}第15頁,共53頁，星期六，2024年，5月

例3設(shè)集合，已知，求實數(shù)的值.例4已知集合A={1,2,3},B={1,2},設(shè)集合C=,試用列舉法表示集合C.C={-1，0，1，2}

1或-4第16頁,共53頁，星期六，2024年，5月

1.1.2集合間的基本關(guān)系第一課時子集和等集

第17頁,共53頁，星期六，2024年，5月問題提出1.集合有哪兩種表示方法？

列舉法，描述法

2.元素與集合有哪幾種關(guān)系？

屬于、不屬于

3.集合與集合之間又存在哪些關(guān)系？子集和等集第18頁,共53頁，星期六，2024年，5月知識探究（一）考察下列各組集合：（1）A={1，2，3}與B={1，2，3，4，5}；（2）A=與B=.（3）A={x|x是正三角形}與B={x|x是等腰 三角形}.思考1:上述各組集合中，集合A中的元素與集合B有什么關(guān)系？A中的元素都屬于B

第19頁,共53頁，星期六，2024年，5月思考2:上述各組集合中A與B有包含關(guān)系，我們把集合A叫做集合B的子集.一般地，如何定義集合A是集合B的子集？

對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，則稱集合A為集合B的子集.思考3:如果集合A是集合B的子集，我們怎樣用符號表示？

（或），讀作：“A含于B”（或“B包含A”）第20頁,共53頁，星期六，2024年，5月思考4:我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為venn圖，那么，集合A是集合B的子集用圖形如何表示？AB思考5:如果，且，則集合A與集合C的關(guān)系如何？

思考6:怎樣表述，，兩兩之間的關(guān)系？

第21頁,共53頁，星期六，2024年，5月知識探究（二）考察下列各組集合：（1）與；（2）與；（3）與.思考1:上述各組集合中，集合A與集合B之間的關(guān)系如何？

相等思考2:上述各組集合中，集合A是集合B的子集嗎？集合B是集合A的子集嗎？第22頁,共53頁，星期六，2024年，5月思考3：對于實數(shù),如果且，則與的大小關(guān)系如何？思考4：從子集的關(guān)系分析，在什么條件下集合A與集合B相等？第23頁,共53頁，星期六，2024年，5月理論遷移例1寫出滿足的所有集 合A.

{1，2},{1，2，3},{1,2,4},{1，2，3，4}例2已知集合， ,試確定集合A與 B的關(guān)系.第24頁,共53頁，星期六，2024年，5月例3設(shè)集合，,若， 求實數(shù)的值.-1或0例4設(shè)集合，， 若，求實數(shù)的取值范圍.第25頁,共53頁，星期六，2024年，5月作業(yè):P7練習(xí)：3.P12習(xí)題1.1A組：5（1）.

思考題：已知集合A={1，2}， , 若，求實數(shù)的值.第26頁,共53頁，星期六，2024年，5月

1.1.2集合間的基本關(guān)系第二課時真子集和空集第27頁,共53頁，星期六，2024年，5月問題提出1.的含義是什么？從子集的關(guān)系分析，A=B可怎樣理解？2.若，則集合A與B一定相等嗎？3.若，則可能有A=B，也可能.當(dāng)，且時，我們?nèi)绾芜M行數(shù)學(xué)解釋？真子集和空集第28頁,共53頁，星期六，2024年，5月知識探究（一）考察下列兩組集合：（1）集合A={1，2，3，4}與（2）集合A={0，1，2，3，4}與思考1:上述兩組集合中，集合A與集合B之間的關(guān)系如何？

思考2:上述兩組集合中，集合A都是集合B的子集，這兩個子集關(guān)系有什么不同？思考3:為了區(qū)分這兩種不同的子集關(guān)系，我們把（1）中的集合A叫做集合B的真子集，那么如何定義集合A是集合B的真子集？第29頁,共53頁，星期六，2024年，5月

如果，但存在元素且，則稱集合A是集合B的真子集.思考4:如果集合A是集合B的真子集，我們怎樣用符號表示？思考5:若集合A是集合B的子集，則集合A一定是集合B的真子集嗎？若集合A是集合B的真子集，則集合A一定是集合B的子集嗎？第30頁,共53頁，星期六，2024年，5月知識探究（二）考察下列集合：（1）{x|x是邊長相等的直角三角形}；（2）；（3）.思考1:上述三個集合有何共同特點？集合中沒有元素

思考2:上述三個集合我們稱之為空集，那么什么叫做空集？用什么符號表示？不含任何元素的集合叫做空集，記為第31頁,共53頁，星期六，2024年，5月思考3:對于集合A={1，2}，空集是集合A的子集嗎？

規(guī)定：空集是任何集合的子集

思考4:空集與集合{0}相等嗎？二者之間是什么關(guān)系？思考5:集合{a},{a,b},{a,b,c}分別有多少個子集？

思考6:一般地，集合共有多少個子集？多少個真子集？多少個非空真子集？第32頁,共53頁，星期六，2024年，5月理論遷移

例1已知集合M滿足M{1，2，3}，且集合M中至少含有一個奇數(shù)，試寫出所有的集合M.{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}

例2設(shè)集合，，若AB，求實數(shù)m的值.m=0或或-1第33頁,共53頁，星期六，2024年，5月

例3已知集合，

,若AB，求實數(shù)的取值范圍.第34頁,共53頁，星期六，2024年，5月作業(yè):P7練習(xí)：2.P12習(xí)題1.1A組：5（2）,（3）.思考題:已知集合A=,B={x|x<0},若AB,求實數(shù)的取值范圍.第35頁,共53頁，星期六，2024年，5月

1.1.3

集合的基本運算

第一課時并集和交集

第36頁,共53頁，星期六，2024年，5月問題提出1.對于兩個集合A、B，二者之間一定具有包含關(guān)系嗎？試舉例說明.

2.兩個實數(shù)可以進行加、減、乘、除四則運算，那么兩個集合是否也可以進行某種運算呢？

交集和并集第37頁,共53頁，星期六，2024年，5月知識探究（一）考察下列兩組集合：（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4}， C={1，2，3，4，5}；（2），， .思考1:上述兩組集合中，集合A，B與集合C的關(guān)系如何？思考2:我們把上述集合C稱為集合A與B的并集，一般地，如何定義集合A與B的并集？

由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集第38頁,共53頁，星期六，2024年，5月思考3:我們用符號“”表示集合A與B的并集，并讀作“A并B”，那么如何用描述法表示集合？AB思考4:如何用venn圖表示？思考5:集合A、B與集合的關(guān)系如何？ 與的關(guān)系如何？第39頁,共53頁，星期六，2024年，5月思考6:集合，分別等于什么？思考7:若，則等于什么？反之成立嗎？思考8:若，則說明什么？第40頁,共53頁，星期六，2024年，5月知識探究（二）考察下列兩組集合：（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4}， C={1，3}；（2），，思考1:上述兩組集合中，集合A，B與集合C的關(guān)系如何？思考2:我們把上述集合C稱為集合A與B的交集，一般地，如何定義集合A與B的交集？

由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合A與B的交集第41頁,共53頁，星期六，2024年，5月思考3:我們用符號“”表示集合A與B的交集，并讀作“A交B”，那么如何用描述法表示集合？思考4:如何用venn圖表示？AB思考5:集合A、B與集合的關(guān)系如何？ 與的關(guān)系如何？第42頁,共53頁，星期六，2024年，5月思考6:集合，分別等于什么？思考7:若，則等于什么？反之成立嗎？思考8:若，則說明什么？集合A與B沒有公共元素或第43頁,共53頁，星期六，2024年，5月理論遷移

例1寫出滿足條件的所有集合M.{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}

例2已知集合，

,若，求{-1，0，1}第44頁,共53頁，星期六，2024年，5月

1.1.3

集合的基本運算

第二課時全集和補集

第45頁,共53頁，星期六，2024年，5月問題提出2.對于任意兩個集合，是否都可以進行交與并的運算？全集和補集1.對于集合A，B，和的含義如何？3.兩個集合之間的運算除了“并”與“交”以外，還有其他運算嗎？

集合{x|x是直線}與集合{x|x是圓}的交集是什么？第46頁,共53頁，星期六，2024年，5月知識探究（一）思考1:方程在有理數(shù)范圍內(nèi)的解是什么？在實數(shù)范圍內(nèi)的解是什么？{2}思考2:不等式在實數(shù)范圍內(nèi)的解集是什么？在整數(shù)范圍內(nèi)的解集是什么？

{2，3，4}

第47頁,共53頁，星期六，2024年，5月思考3:在不同范圍內(nèi)研究同一個問題，可能有不同的結(jié)果.我們通常把研究問題前給定的范圍所對應(yīng)的集合稱為全集，如Q，R，Z等.那么全集的含義如何呢？

如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，則稱這個集合為全集，通常記作U第48頁,共53頁，星期六，2024年，5月知識探究（二）考察下列各組集合：（1）U={1，2，3，4，…，10}，A={1，3，5，7，9}，B={2，4，6，8,10}；（2）