2022年福建廈門(mén)湖濱中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A． B．2 C．4 D．32．已知復(fù)數(shù)(1+i)(a+i)為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則實(shí)數(shù)a=（）A．-1 B．1 C．0 D．23．生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個(gè)人才識(shí)技藝過(guò)人，這里的“六藝”其實(shí)源于中國(guó)周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”.為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動(dòng)中開(kāi)展了“六藝”知識(shí)講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿(mǎn)足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂(lè)”必須分開(kāi)安排的概率為（）A． B． C． D．4．在平面直角坐標(biāo)系中，已知是圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，設(shè)到直線(xiàn)的距離之和的最大值為，若數(shù)列的前項(xiàng)和恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．若點(diǎn)x,y位于由曲線(xiàn)x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界），則A．-3,1 B．-3,5 C．-∞,-36．如圖，已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上的投影分別是M，N，若，則的值是（）A． B． C． D．7．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（）A． B． C．2 D．8．已知是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)，若，則的內(nèi)切圓半徑為（）A． B． C． D．9．已知雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C．3 D．410．已知的展開(kāi)式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（）．A． B． C． D．11．已知是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，是的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在過(guò)且斜率為的直線(xiàn)上，為等腰三角形，，則的漸近線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．12．函數(shù)的最大值為，最小正周期為，則有序數(shù)對(duì)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)則______.14．已知單位向量的夾角為,則=_________.15．已知若存在，使得成立的最大正整數(shù)為6，則的取值范圍為_(kāi)_______.16．函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖象如圖所示．函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，．給出下列三個(gè)結(jié)論：①；②函數(shù)在內(nèi)有且僅有個(gè)零點(diǎn)；③不等式的解集為．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：．（2）若，求二面角的余弦值．18．（12分）已知函數(shù)，直線(xiàn)是曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)．（1）求證：無(wú)論實(shí)數(shù)取何值，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明．19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)C：（）的焦點(diǎn)F在直線(xiàn)上，平行于x軸的兩條直線(xiàn)，分別交拋物線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)，交該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于D，E兩點(diǎn).（1）求拋物線(xiàn)C的方程；（2）若F在線(xiàn)段上，P是的中點(diǎn)，證明：.20．（12分）已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.（1）判斷點(diǎn)是否在直線(xiàn)上？說(shuō)明理由；（2）設(shè)點(diǎn)是△的外接圓的圓心，點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)，求的最大值.21．（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（，且）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，22．（10分）的內(nèi)角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、，已知.（1）求的值；（2）若，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出，再由模的定義計(jì)算出模．【詳解】．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法法則，考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】

化簡(jiǎn)得到z=a-1+a+1【詳解】z=1+ia+i=a-1+a+1i為純虛數(shù)，故a-1=0故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)復(fù)數(shù)類(lèi)型求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.3、C【解析】

分情況討論，由間接法得到“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂(lè)”必須分開(kāi)的事件個(gè)數(shù)，不考慮限制因素，總數(shù)有種，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)“數(shù)”位于第一位時(shí)，禮和樂(lè)相鄰有4種情況，禮和樂(lè)順序有2種，其它剩下的有種情況，由間接法得到滿(mǎn)足條件的情況有當(dāng)“數(shù)”在第二位時(shí)，禮和樂(lè)相鄰有3種情況，禮和樂(lè)順序有2種，其它剩下的有種，由間接法得到滿(mǎn)足條件的情況有共有：種情況，不考慮限制因素，總數(shù)有種，故滿(mǎn)足條件的事件的概率為：故答案為：C.【點(diǎn)睛】解排列組合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則：①按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)；②按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步．具體地說(shuō)，解排列組合問(wèn)題常以元素(或位置)為主體，即先滿(mǎn)足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．4、B【解析】

由于到直線(xiàn)的距離和等于中點(diǎn)到此直線(xiàn)距離的二倍，所以只需求中點(diǎn)到此直線(xiàn)距離的最大值即可。再得到中點(diǎn)的軌跡是圓，再通過(guò)此圓的圓心到直線(xiàn)距離，半徑和中點(diǎn)到此直線(xiàn)距離的最大值的關(guān)系可以求出。再通過(guò)裂項(xiàng)的方法求的前項(xiàng)和，即可通過(guò)不等式來(lái)求解的取值范圍.【詳解】由，得，.設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)，則，在圓上，到直線(xiàn)的距離之和等于點(diǎn)到該直線(xiàn)的距離的兩倍，點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值為圓心到直線(xiàn)的距離與圓的半徑之和，而圓的圓心到直線(xiàn)的距離為，，，..故選：【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，數(shù)列求和等知識(shí)，是一道不錯(cuò)的綜合題.5、D【解析】

畫(huà)出曲線(xiàn)x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域，y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)【詳解】畫(huà)出曲線(xiàn)x=y-2+1與y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)和定點(diǎn)P(2,-1)設(shè)k=y+1x-2，結(jié)合圖形可得k≥k由題意得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(3,0),B(1,2)，∴kPA∴k≥1或k≤-3，∴y+1x-2的取值范圍為-∞,-3故選D．【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求解問(wèn)題，即把y+1x-26、C【解析】

直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，由此推導(dǎo)出，由此能求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而能求出的值．【詳解】設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，如圖過(guò)A、B分別作于M，于N，由，則，點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)、連接OB，則，∴，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，把代入直線(xiàn)，解得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)中參數(shù)的求法，考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)，是中檔題，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，屬于中檔題.7、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

首先由求得雙曲線(xiàn)的方程，進(jìn)而求得三角形的面積，再由三角形的面積等于周長(zhǎng)乘以?xún)?nèi)切圓的半徑即可求解.【詳解】由題意將代入雙曲線(xiàn)的方程,得則,由,得的周長(zhǎng)為,設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為,則,故選：B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的內(nèi)心的概念，考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題.9、A【解析】

根據(jù)題意，由拋物線(xiàn)的方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)可得，解可得，由離心率公式計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，則雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)也為，即，則有，解可得，雙曲線(xiàn)的離心率.故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是求出拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．10、D【解析】因?yàn)榈恼归_(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，解得，所以二項(xiàng)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為．考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)和．11、D【解析】

根據(jù)為等腰三角形，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，又由的斜率為可得出關(guān)系，即可求出漸近線(xiàn)斜率得解.【詳解】如圖，因?yàn)闉榈妊切?，，所以?，又，，解得，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.12、B【解析】函數(shù)（為輔助角）∴函數(shù)的最大值為，最小正周期為故選B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先由解析式求得（2），再求（2）．【詳解】（2），，所以（2），故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，分段函數(shù)求值關(guān)鍵是“對(duì)號(hào)入座”,屬于容易題．14、【解析】

因?yàn)閱挝幌蛄康膴A角為，所以，所以==.15、【解析】

由題意得，分類(lèi)討論作出函數(shù)圖象，求得最值解不等式組即可.【詳解】原問(wèn)題等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖此時(shí)，則，解得：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖此時(shí)，則，解得：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖此時(shí)，則，解得：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖此時(shí)，則，解得：；綜上，滿(mǎn)足條件的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的最值求解，存在性問(wèn)題的求解等，考查了分類(lèi)討論，轉(zhuǎn)化與化歸的思想.16、①③【解析】

利用奇函數(shù)和，得出函數(shù)的周期為，由圖可直接判斷①；利用賦值法求得，結(jié)合，進(jìn)而可判斷函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可判斷②的正誤；采用換元法，結(jié)合圖象即可得解，可判斷③的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，又，所以，即，所以，函數(shù)的周期為.對(duì)于①，由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，，故①正確；對(duì)于②，，令，可得，得，所以，函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)為和.因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，所以函數(shù)在內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)，分別是、、、、，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，令，則需求的解集，由圖象可知，，所以，故③正確.故答案為：①③.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及奇偶性、周期性和零點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力和數(shù)形結(jié)合能力，屬于中等題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）由已知可證明平面，從而得證面面垂直，再由，得線(xiàn)面垂直，從而得，由直角三角形得結(jié)論；（2）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法示二面角．【詳解】（1）證明：連接，，．，，平面．平面，平面平面．，為的中點(diǎn)，．平面平面，平面．平面，．為斜邊的中點(diǎn)，，（2），由（1）可知，為等腰直角三角形，則．以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，記平面的法向量為由得到，取，可得，則．易知平面的法向量為．記二面角的平面角為，且由圖可知為銳角，則，所以二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查用面面垂直的性質(zhì)定理證明線(xiàn)面垂直，從而得線(xiàn)線(xiàn)垂直，考查用空間向量法求二面角．在立體幾何中求異面直線(xiàn)成的角、直線(xiàn)與平面所成的角、二面角等空間角時(shí)，可以建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求解空間角，可避免空間角的作證過(guò)程，通過(guò)計(jì)算求解．18、（1）見(jiàn)解析，（2）函數(shù)存在唯一零點(diǎn).【解析】

（1）首先求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出處的切線(xiàn)斜率，利用點(diǎn)斜式即可求出切線(xiàn)方程，根據(jù)方程即可求出定點(diǎn).（2）由（1）求出函數(shù)，令方程可轉(zhuǎn)化為記，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)，由零點(diǎn)存在性定理即可求出零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】所以直線(xiàn)方程為即，恒過(guò)點(diǎn)將代入直線(xiàn)方程，得考慮方程即，等價(jià)于記，則于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，又所以函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，即函數(shù)存在唯一零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)存在性定理，屬于難題.19、（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在直線(xiàn)上，可求得的值，從而求得拋物線(xiàn)的方程；（2）法一：設(shè)直線(xiàn)，的方程分別為和且，，，可得，，，的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線(xiàn)的方程，根據(jù)在直線(xiàn)上，可得，再分別求得，，即可得證；法二：設(shè)，，則，根據(jù)直線(xiàn)的斜率不為0，設(shè)出直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，分別求出，，化簡(jiǎn)，即可得證.【詳解】（1）拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且該點(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，解得，故所求拋物線(xiàn)C的方程為（2）法一：由點(diǎn)F在線(xiàn)段上，可設(shè)直線(xiàn)，的方程分別為和且，，，則，，，.∴直線(xiàn)的方程為，即.又點(diǎn)在線(xiàn)段上，∴.∵P是的中點(diǎn)，∴∴，.由于，不重合，所以法二：設(shè)，，則當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，不符合題意，故可設(shè)直線(xiàn)的方程為聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的方程，得又，為該方程兩根，所以，，，.，由于，不重合，所以【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線(xiàn)的定義，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，屬于中檔題．20、（1）不在，證明見(jiàn)詳解；（2）【解析】

（1）假設(shè)直線(xiàn)方程，并于拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，計(jì)算，可得，然后驗(yàn)證可得結(jié)果.（2）分別計(jì)算線(xiàn)段中垂線(xiàn)的方程，然后聯(lián)立，根據(jù)（1）的條件可得點(diǎn)的軌跡方程，然后可得焦點(diǎn)，結(jié)合拋物線(xiàn)定義可得，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)直線(xiàn)方程，根據(jù)題意可知直線(xiàn)斜率一定存在，則則由所以將代入上式化簡(jiǎn)可得，所以則直線(xiàn)方程為，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，所以可知點(diǎn)不在直線(xiàn)上.（2）設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)為則直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為可知線(xiàn)段的中垂線(xiàn)的方程為由，所以上式化簡(jiǎn)為即線(xiàn)段的中垂線(xiàn)的方程為同理可得：線(xiàn)段的中垂線(xiàn)的方程為則由（1）可知：所以即，所以點(diǎn)軌跡方程為焦點(diǎn)為，所以當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，有最大所以【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)于拋物線(xiàn)的綜合應(yīng)用，第（1）問(wèn)中難點(diǎn)在于計(jì)算處，第（2）問(wèn)中關(guān)鍵在于得到點(diǎn)的軌跡方程，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合常常要聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理，屬難題.21、(1)(2)見(jiàn)證明【解析】

(1)由題意將遞推關(guān)系式整理為關(guān)于與的關(guān)系式，求得前n項(xiàng)和然后確定通項(xiàng)公式即可；(2)由題意結(jié)合通項(xiàng)公式的特征放縮之后裂項(xiàng)求和即可證得題中的不等式.【詳解】（1）由，得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差