2022年福建省福州市數(shù)學(xué)高三上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，.設(shè)在上的最大值為（），且數(shù)列的前項的和為.若對于任意正整數(shù)不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C．2 D．3．已知等邊△ABC內(nèi)接于圓：x2+y2=1，且P是圓τ上一點，則的最大值是（）A． B．1 C． D．24．為了加強(qiáng)“精準(zhǔn)扶貧”，實現(xiàn)偉大復(fù)興的“中國夢”，某大學(xué)派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加三個貧困縣的調(diào)研工作，每個縣至少去1人，且甲、乙兩人約定去同一個貧困縣，則不同的派遣方案共有（）A．24 B．36 C．48 D．645．已知函數(shù)（），若函數(shù)有三個零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．6．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．如圖，在中，，是上一點，若，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．8．定義兩種運算“★”與“◆”，對任意，滿足下列運算性質(zhì)：①★，◆；②（）★★，◆◆，則（◆2020）（2020★2018）的值為()A． B． C． D．9．已知，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．10．已知向量，是單位向量，若，則（）A． B． C． D．11．已知滿足，則（）A． B． C． D．12．函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)，則使得不等式成立的的取值范圍為_________.14．設(shè)滿足約束條件，則的取值范圍為__________.15．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且周期為，當(dāng)時，，則的值為___________________．16．已知一個正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為，側(cè)面積為，則該棱錐的體積為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中,有一個微型智能機(jī)器人（大小不計）只能沿著坐標(biāo)軸的正方向或負(fù)方向行進(jìn),且每一步只能行進(jìn)1個單位長度,例如：該機(jī)器人在點處時,下一步可行進(jìn)到、、、這四個點中的任一位置．記該機(jī)器人從坐標(biāo)原點出發(fā)、行進(jìn)步后落在軸上的不同走法的種數(shù)為．（1）分別求、、的值；（2）求的表達(dá)式．18．（12分）已知均為正實數(shù)，函數(shù)的最小值為.證明：（1）；（2）.19．（12分）棉花的纖維長度是評價棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)，某農(nóng)科所的專家在土壤環(huán)境不同的甲、乙兩塊實驗地分別種植某品種的棉花，為了評價該品種的棉花質(zhì)量，在棉花成熟后，分別從甲、乙兩地的棉花中各隨機(jī)抽取21根棉花纖維進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如下表：（記纖維長度不低于311的為“長纖維”，其余為“短纖維”）纖維長度甲地（根數(shù)）34454乙地（根數(shù)）112116（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)，填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過1.125的前提下認(rèn)為“纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.甲地乙地總計長纖維短纖維總計附：（1）；（2）臨界值表；1．111.151.1251.1111.1151.1112.7163.8415.1246.6357.87911.828（2）現(xiàn)從上述41根纖維中，按纖維長度是否為“長纖維”還是“短纖維”采用分層抽樣的方法抽取8根進(jìn)行檢測，在這8根纖維中，記乙地“短纖維”的根數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.20．（12分）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的周長是否有最大值？如果有，求出這個最大值，如果沒有，請說明理由.21．（12分）設(shè)，，，.（1）若的最小值為4，求的值；（2）若，證明：或.22．（10分）設(shè)函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+|x|（a＞0）．（1）若不等式f（x）﹣|x|≥4x的解集為{x|x≤1}，求實數(shù)a的值；（2）證明：f（x）．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由已知先求出，即，進(jìn)一步可得，再將所求問題轉(zhuǎn)化為對于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，只需找到數(shù)列的最大值即可.【詳解】當(dāng)時，則，，所以，，顯然當(dāng)時，，故，，若對于任意正整數(shù)不等式恒成立，即對于任意正整數(shù)恒成立，即對于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，，令，解得，令，解得，考慮到，故有當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，有單調(diào)遞減，故數(shù)列的最大值為，所以.故選：C.【點睛】本題考查數(shù)列中的不等式恒成立問題，涉及到求函數(shù)解析、等比數(shù)列前n項和、數(shù)列單調(diào)性的判斷等知識，是一道較為綜合的數(shù)列題.2、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，化簡出，即可得出虛部.【詳解】解：=，故虛部為-2.故選：D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)數(shù)的概念.3、D【解析】

如圖所示建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，計算得到答案.【詳解】如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則.當(dāng)，即時等號成立.故選：.【點睛】本題考查了向量的計算，建立直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)計算是解題的關(guān)鍵.4、B【解析】

根據(jù)題意，有兩種分配方案，一是，二是，然后各自全排列，再求和.【詳解】當(dāng)按照進(jìn)行分配時，則有種不同的方案；當(dāng)按照進(jìn)行分配，則有種不同的方案.故共有36種不同的派遣方案，故選：B.【點睛】本題考查排列組合、數(shù)學(xué)文化，還考查數(shù)學(xué)建模能力以及分類討論思想，屬于中檔題.5、A【解析】

分段求解函數(shù)零點，數(shù)形結(jié)合，分類討論即可求得結(jié)果.【詳解】作出和，的圖像如下所示：函數(shù)有三個零點，等價于與有三個交點，又因為，且由圖可知，當(dāng)時與有兩個交點，故只需當(dāng)時，與有一個交點即可.若當(dāng)時，時，顯然??=??(??)與??=4|??|有一個交點??，故滿足題意；時，顯然??=??(??)與??=4|??|沒有交點，故不滿足題意；時，顯然??=??(??)與??=4|??|也沒有交點，故不滿足題意；時，顯然與有一個交點，故滿足題意.綜上所述，要滿足題意，只需.故選：A.【點睛】本題考查由函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，屬中檔題.6、D【解析】

將復(fù)數(shù)化簡得,,即可得到對應(yīng)的點為,即可得出結(jié)果.【詳解】，對應(yīng)的點位于第四象限.故選:.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算,考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點的對應(yīng),難度容易.7、C【解析】

由題意，可根據(jù)向量運算法則得到（1﹣m），從而由向量分解的唯一性得出關(guān)于t的方程，求出t的值.【詳解】由題意及圖，，又，，所以，∴（1﹣m），又t，所以，解得m，t，故選C．【點睛】本題考查平面向量基本定理，根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

根據(jù)新運算的定義分別得出◆2020和2020★2018的值，可得選項.【詳解】由（）★★，得（+2）★★，又★，所以★，★，★，，以此類推，2020★2018★2018，又◆◆，◆，所以◆，◆，◆，，以此類推，◆2020，所以（◆2020）（2020★2018），故選：B.【點睛】本題考查定義新運算，關(guān)鍵在于理解，運用新定義進(jìn)行求值，屬于中檔題.9、D【解析】

由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得最小，利用作差法，結(jié)合對數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較和的大小關(guān)系，進(jìn)而得解.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，由對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，，所以最??；而由對數(shù)換底公式化簡可得由基本不等式可知，代入上式可得所以，綜上可知，故選：D.【點睛】本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式的化簡變形，對數(shù)換底公式及基本不等式的簡單應(yīng)用，作差法比較大小，屬于中檔題.10、C【解析】

設(shè)，根據(jù)題意求出的值，代入向量夾角公式，即可得答案；【詳解】設(shè)，，是單位向量，,，，聯(lián)立方程解得：或當(dāng)時，；當(dāng)時，；綜上所述：.故選：C.【點睛】本題考查向量的模、夾角計算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意的兩種情況.11、A【解析】

利用兩角和與差的余弦公式展開計算可得結(jié)果.【詳解】，.故選：A.【點睛】本題考查三角求值，涉及兩角和與差的余弦公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出正確選項.【詳解】函數(shù)的定義域為，，該函數(shù)為偶函數(shù)，排除B、D選項；當(dāng)時，，排除C選項.故選：A.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式辨別函數(shù)的圖象，一般分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點以及函數(shù)值符號，結(jié)合排除法得出結(jié)果，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

分，兩種情況代入討論即可求解.【詳解】，當(dāng)時，，符合；當(dāng)時，，不滿足.故答案為：【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的計算，考查了分類討論的思想.14、【解析】

由題意畫出可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為，數(shù)形結(jié)合即可得到的最值，即可得解.【詳解】由題意畫出可行域，如圖：轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為，通過平移直線，數(shù)形結(jié)合可知：當(dāng)直線過點A時，直線截距最大，z最??；當(dāng)直線過點C時，直線截距最小，z最大.由可得，由可得，當(dāng)直線過點時，；當(dāng)直線過點時，，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由題意可得：，周期為，可得，可求出，最后再求的值即可.【詳解】解：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，.由周期為，可知，，..故答案為：.【點睛】本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

如圖所示，正四棱錐，為底面的中心，點為的中點，則，設(shè)，根據(jù)正四棱錐的側(cè)面積求出的值，再利用勾股定理求得正四棱錐的高，代入體積公式，即可得到答案.【詳解】如圖所示，正四棱錐，為底面的中心，點為的中點，則，設(shè)，，，，，，.故答案為：.【點睛】本題考查棱錐的側(cè)面積和體積，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運算求解能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）,,,（2）【解析】

（1）根據(jù)機(jī)器人的進(jìn)行規(guī)律可確定、、的值；（2）首先根據(jù)機(jī)器人行進(jìn)規(guī)則知機(jī)器人沿軸行進(jìn)步,必須沿軸負(fù)方向行進(jìn)相同的步數(shù),而余下的每一步行進(jìn)方向都有兩個選擇(向上或向下),由此結(jié)合組合知識確定機(jī)器人的每一種走法關(guān)于的表達(dá)式,并得到的表達(dá)式,然后結(jié)合二項式定理及展開式的通項公式進(jìn)行求解.【詳解】解：（1）,,（2）設(shè)為沿軸正方向走的步數(shù)（每一步長度為1）,則反方向也需要走步才能回到軸上,所以,1,2,……,,（其中為不超過的最大整數(shù)）總共走步,首先任選步沿軸正方向走,再在剩下的步中選步沿軸負(fù)方向走,最后剩下的每一步都有兩種選擇（向上或向下）,即等價于求中含項的系數(shù),為其中含項的系數(shù)為故．【點睛】本題考查組合數(shù)、二項式定理,考查學(xué)生的邏輯推理能力,推理論證能力以及分類討論的思想.18、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）運用絕對值不等式的性質(zhì)，注意等號成立的條件，即可求得最小值，再運用柯西不等式，即可得到最小值.（2）利用基本不等式即可得到結(jié)論，注意等號成立的條件.【詳解】（1）由題意，則函數(shù)，又函數(shù)的最小值為，即，由柯西不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”.故.（2）由題意，利用基本不等式可得，，，（以上三式當(dāng)且僅當(dāng)時同時取“=”）由（1）知，，所以，將以上三式相加得即.【點睛】本題主要考查絕對值不等式、柯西不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算能力，屬于中檔題.19、（1）在犯錯誤概率不超過的前提下認(rèn)為“纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)系”．（2）見解析【解析】試題分析：（1）可以根據(jù)所給表格填出列聯(lián)表，利用列聯(lián)表求出，結(jié)合所給數(shù)據(jù)，應(yīng)用獨立性檢驗知識可作出判斷；（2）寫出的所有可能取值，并求出對應(yīng)的概率，可列出分布列并進(jìn)一步求出的數(shù)學(xué)期望．試題解析：（Ⅰ）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：甲地乙地總計長纖維91625短纖維11415總計212141根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得所以，在犯錯誤概率不超過的前提下認(rèn)為“纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)系”．（Ⅱ）由表可知在8根中乙地“短纖維”的根數(shù)為，的可能取值為：1,1,2,3，，，，．∴的分布列為：1123∴．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）有最大值，最大值為3.【解析】

（Ⅰ）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；（Ⅱ）由正弦定理可得，則，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】（Ⅰ）由得再由正弦定理得因此，又因為，所以.（Ⅱ）