初中幾何教學設計

初中幾何教學設計

初中幾何教學設計1

1問題提出

義務教育數(shù)學課程標準（20__版）（下稱“課標”）倡導積極思考、動手實踐、自主探索的數(shù)學學習方式，強調(diào)數(shù)學教學過程中要鼓勵學生自主探究，引導學生主動地從事觀察、實驗、猜測、推理等數(shù)學活動[1]，探究性教學活動就成了數(shù)學教學中不可或缺的重要形式.如何進行初中幾何探究教學的設計與實踐？本文利用兩個案例的分析，對這個問題進行探討.

2幾何探究教學的設計與實踐

課標指出：在教學中要處理好過程與結果、直觀與抽象、直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗的關系.數(shù)學教學活動要激發(fā)學生的興趣和學習積極性，引發(fā)學生的數(shù)學思考，鼓勵學生的創(chuàng)造性思維[1]，探究性教學成為實現(xiàn)上述目標的一種教學方式.下面以兩個幾何探究教學活動的設計與實踐為例，從幾何圖形性質(zhì)和關系兩個角度說明如何進行探究教與學，以幫助學生積累幾何探究的活動經(jīng)驗，發(fā)展學生幾何探究能力.

2.1在數(shù)學實驗過程中探究，理解幾何圖形性質(zhì)的內(nèi)涵

數(shù)學教育家波利亞指出：“數(shù)學具有兩個面，以歐幾里得方式表現(xiàn)出來的數(shù)學看上去是一種系統(tǒng)的演繹科學；但在形成過程中的數(shù)學看上去卻是一種實驗性的歸納科學”，數(shù)學實驗是學生通過觀察、操作、試驗等實踐活動來進行數(shù)學探究學習的一種形式.學生在動手操作、測量等數(shù)學實驗活動中獲得對幾何圖形性質(zhì)的初步認識，在推理中加深理解，深刻理解幾何圖形性質(zhì)的內(nèi)涵.

“垂線段最短”是認識直線“垂直”的過程中得到的一個重要性質(zhì)，為了幫助學生獲得這一結論，并較好理解其內(nèi)涵，可以嘗試在數(shù)學實驗活動中探究得到結論，并自然過渡到簡單說理.

案例1“垂線段最短”的探究

（1）設置實際問題情境，引發(fā)探究幾何圖形性質(zhì)的興趣

問題1如圖1，怎樣測量跳遠成績？為什么這樣測量？

問題2如圖2，點P是直線l外一點，點P與直線l上的各點所連的線段中，沒有最長的，但好像有最短的，哪一條線段的長最短？

圖1圖2設計意圖與效果分析創(chuàng)設問題情境，使探究活動意義明確，主題清楚，其中問題1從學生體育活動中的跳遠成績的測量引發(fā)學生的思考，為點到直線的距離的定義做好鋪墊；問題2直接給出學生下面探究的主題，明確探究的起點，激發(fā)探究的好奇心和興趣.

（2）在實驗過程中操作、思考，經(jīng)歷幾何圖形性質(zhì)的獲得過程

活動1利用直尺度量線段的長度，感受“垂線段最短”.

圖3如圖3，通過直尺度量，發(fā)現(xiàn)PO1>PO2>PO3>…>PO，PO5>PO4>…>PO，其中PO⊥l，垂足為O.從上面的測量可以感受并猜想“點P與l上的點所連線中，垂線段最短”.

設計意圖與效果分析這里要求學生利用直尺度量的方法，在操作過程中猜想直線外一點與直線上各點所連的線段中垂線段可能最短，這種操作活動只能做有限次，學生只能從有限次測量中進行比較，是一種不完全歸納的過程.

活動2利用幾何畫板軟件測量，體會“垂線段最短”.

通過幾何畫板課件，學生在直線l外取一點P，設Q為直線l上動點，度量PQ的長度，在直線l上拖動點Q，觀察并記錄PQ的長度及變化情況，發(fā)現(xiàn)當PQ⊥l時，PQ的長度最小，并通過點Q的運動，體會變化的全過程，進一步體會到“點P與l上的點所連線中，垂線段最短”.

設計意圖與效果分析這里要求學生在幾何畫板軟件中度量直線外一點與直線上一個動點之間的距離，當拖動動點時，可以觀察到所測量的距離的連續(xù)變化過程，覆蓋了直線上所有點的情形，直觀體會“垂線段最短”，是一次完全歸納的過程.

活動3利用折紙?zhí)骄坎L試說理，說明“垂線段最短”.

（1）折紙：如圖4，將長方形紙片對折，再對折，展開得到兩個折痕PS、MN，并交于點O.

問題：兩個折痕PS、MN的關系如何？

分析：根據(jù)折疊，∠POM=PON=90°，OP⊥MN，OP=OS.

圖4圖5圖6（2）說理：如圖5，設點P為線段MN外的一點，點Q為線段MN上的任意一點（與點O不重合），試比較PQ與PO的大小.

如圖6，連接QS.根據(jù)折疊，PQ=QS.根據(jù)兩點之間線段最短，得QS+QP>PS=PO+OS.即2PQ>2PO.所以PQ>PO.

（3）結論：點P與線段MN上的點所連的線段中，垂線段PO最短.

設計意圖與效果分析這里要求學生在折紙的過程中研究圖形的軸對稱性及相關結論，直接提出折痕外一點到折痕上任意一點（除垂足）之間的距離與該點到兩條折痕的交點的距離（垂線段的長度）的大小比較問題，并根據(jù)軸對稱性轉(zhuǎn)化為兩點之間連線的長度問題，再根據(jù)“兩點之間線段最短”說明“垂線段最短”，學生在折紙的過程中經(jīng)歷動手操作、數(shù)學思考的實驗活動過程，初步感受說理，加深對“垂線段最短”的內(nèi)涵的理解.

學生從特殊到一般進行歸納，并在折紙中滲透說理，體會從合情推理到演繹推理的數(shù)學思維過程，經(jīng)歷從“實驗幾何”學習到“論證幾何”學習的過渡過程，為初中平面幾何學習做好準備，從而形成幾何探究的策略，既培養(yǎng)學生幾何直觀能力，也發(fā)展學生的推理能力.

2.2在類比中探究，經(jīng)歷研究幾何圖形關系的過程

類比是根據(jù)兩個或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其它屬性也相同的推理，可以較好地發(fā)現(xiàn)知識、獲得方法，是一種合情推理方式；在類比過程中，需要結合必要的說理對所獲得的結論進行證實或證偽，形成嚴謹?shù)臄?shù)學探究過程.

三角形全等和三角形相似都反映兩個三角形的關系，其中三角形全等是三角形相似的特殊情形，因此可以將特殊推廣到一般，將探索三角形全等條件的方法類比到探索三角形相似條件的過程中，使探究的“路”和“法”較為清晰，便于學生在探究過程中，積極思考，自主探究，積累探究活動經(jīng)驗.

案例2“三角形相似的條件”的探究.

（1）再現(xiàn)“三角形全等條件”的探索過程，讓“三角形相似的條件”的探索有“路”可比

問題1兩個三角形全等的條件有哪些？

生1：有四種方法，即兩邊及夾角分別相等、兩角及夾邊分別相等、兩角及其中一角的對邊分別相等、三邊分別相等的兩個三角形全等，用符號表示為SAS、ASA、AAS、SSS.

問題2探索兩個三角形全等的條件時的方法是什么？

生2：我們知道能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形，根據(jù)定義可以知道三個角分別相等和三邊分別相等的三角形是全等三角形.

生3：我們可以將這6個條件適當減少，使判定時更加簡單易操作，最終得到除定義外的其它四種方法.

問題3除了將6個條件適當減少，還有其它路徑嗎？

生4：我們可以將條件由少到多，即一邊分別相等、一角分別相等、兩邊分別相等、兩角分別相等、一邊和一角分別相等的兩個三角形全等嗎？若不全等，能否舉出反例.

設計意圖與效果分析通過三角形全等條件探索的再現(xiàn)，提出關于探索三角形全等條件的3個問題，明確三角形全等條件探索的路徑和方法，即將條件逐步減少和條件逐步增加的方法進行探究，使學生在探索三角形相似時有“路”可類比.

（2）類比“三角形全等條件”的探索，讓“三角形相似的條件”的探索有“法”可探

問題4兩個三角形相似的定義是什么？

生5：形狀相同的三角形叫做相似三角形，即各角分別相等、各邊分別成比例的兩個三角形叫做相似三角形.即

問題5類比三角形全等條件的探索，可以怎樣探索三角形相似的條件？

生6：我們可以通過減少條件或增加條件的方法探究.

生7：通過增加條件的方法：

（1）一組條件：一組角分別相等或兩組對邊分別成比例的兩個三角形不一定相似，反例如下：

設計意圖與效果分析這里設置2個問題，問題4引導學生回憶三角形相似的定義，為三角形相似條件的增加和減少做好鋪墊，問題5提出”探索三角形相似的條件”的`大問題，引導學生利用不斷增加條件的方法，從一組條件到兩組條件，并分類考慮各種情形：對不能判斷相似的條件通過舉反例的方式說理；對能說明相似的條件，首先利用“平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似”來證明“兩個角分別相等的兩個三角形相似”，再以此為基礎通過說理的方式說明其它條件的正確性；對于三組條件成立可以轉(zhuǎn)化為兩組條件研究，滲透推理能力的培養(yǎng).

在探究過程中，也可以嘗試減少一組條件、二組條件、三組條件進行探索，最終得到兩組條件的三種方法.需要根據(jù)學生的思維過程自然過渡，選擇符合學生思維方式的探究方式.

探究過程中依據(jù)全等三角形條件探索的經(jīng)驗，類比獲得研究兩個三角形相似的經(jīng)驗和方法，采用條件“由少增加”或“由多減少”的探究路徑，通過說理證實或舉反例證偽的方法說明各種條件的正確與否，最終獲得三角形相似的最簡條件，探究過程思路清晰，方法明晰，讓探究過程有“法”可探，幫助學生積累探索幾何圖形關系的數(shù)學活動經(jīng)驗.

3教學反思

3.1幾何探究活動要尊重學生認知規(guī)律

幾何探究活動必須建立在學生的認知水平和已有的知識經(jīng)驗基礎之上，始終處于學生的“最近發(fā)展區(qū)”，學生已有的認知結構是學生知識的生長點，也是教師開展教學活動的起點，既要依據(jù)課程標準確定學生的學習目標，更要著眼于問題解決，追求合理、有效的探究方式[3].根據(jù)這一原則，探究活動中設置的問題的思維容量應有個“度”.如果探究問題過難，那么學生難以企及，會望而生畏；如果探究問題過易，那么不能引起學生的探究欲望，也沒有探究的價值.案例1和案例2中問題的設置根據(jù)這些要求設置，從學生已有的探索三角形全等條件的經(jīng)驗和生活中已有的測量跳遠的距離的經(jīng)驗出發(fā)，揭示探究的方向，明確探究的必要，整個探究活動是基于學生認知基礎的自然生長.

3.2幾何探究過程中要發(fā)展學生數(shù)學思維能力

課標指出：數(shù)學教學活動，特別是課堂教學應激發(fā)學生興趣，調(diào)動學生積極性，引發(fā)學生的數(shù)學思考，鼓勵學生的創(chuàng)造性思維[1].幾何探究活動要注重培養(yǎng)學生良好的數(shù)學學習習慣，掌握恰當?shù)臄?shù)學學習方法，發(fā)展數(shù)學思維能力.

學生在數(shù)學實驗過程中，利用一定的物質(zhì)手段（含物質(zhì)材料、計算機軟件等），通過動手、動腦，用觀察、實驗、猜想等手段獲得結論，在活動中進行數(shù)學探究，在“做中學”，培養(yǎng)科學素養(yǎng)和探究精神[2].案例1中的數(shù)學實驗活動為學生提供了“做中學”數(shù)學的過程，進而為“悟中學”提供了可能.學生經(jīng)歷了三個不斷遞進、思維過程由低到高的數(shù)學實驗活動，完成了“垂線段最短”的深度探究，學生在從不完全歸納到完全歸納、從感性到理性的數(shù)學思維活動中，真實有效地實現(xiàn)探究目的，探究的三個活動之間聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，學生自主動手操作、獨立思考，在數(shù)學實驗活動中完成一次真正的、有價值的探究活動.

案例2中，與三角形全等條件探索過程類比，提出三角形相似的條件，并通過說理證實和舉反例證偽，探究過程路徑清晰、方法簡便，引導學生數(shù)學地思考，發(fā)展數(shù)學思維能力.

3.3幾何探究活動要滲透研究幾何問題的經(jīng)驗

在初中幾何探究學習中，學生通過觀察實物、測量、實驗、歸納、類比等方法研究幾何圖形的關系，發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)，通過演繹推理證明數(shù)學結論，培養(yǎng)學生言之有理和有條理地思考、表達的能力[4].在案例1中，經(jīng)過“測量—折紙—推理”的過程獲得“直線外一點與直線上各點所連的線段中，垂線段最短”的性質(zhì)；在案例2中，利用引理證明“兩角分別相等的三角形相似”，再類比說明其它條件成立，經(jīng)歷“推理（舉反例）—結論”的過程研究圖形之間的關系；這些探究思路和方法均是研究幾何圖形的重要方法和經(jīng)驗，需要學生在學習中不斷積累和內(nèi)化，發(fā)展數(shù)學探究能力.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（20__版）[M].北京師范大學出版社20__.

[2]董林偉.數(shù)學實驗：促進初中生數(shù)學學習的一種有效方法[J].中國數(shù)學教育，20125：2-5

[3]陳鋒，薛鶯.從課堂“微探究”談初中數(shù)學有效教學[J].初中數(shù)學教與學20136：30-32.

[4]李海東.滲透幾何研究方法，做好實驗幾何到論證幾何的過渡[J].中學數(shù)學教學參考20131-2：7-10初中幾何教學設計2

【學生分析】

大部分學生思維活躍，肯鉆、肯想、敢說、敢問，對立體圖形認識有一定知識積累，有探究、合作等學習方法積累，促進學生知識深化和延伸尤為重要。

【設計思路】

將電視娛樂節(jié)目的形式植入數(shù)學課堂，體現(xiàn)用活教材激活課堂的理念思想，方法教學成為主導，指導學習方向，復習活動貫穿課前、課中，采用分組競賽、分組合作的形式，使學生在積極主動的狀態(tài)下理解本課重點，疏通并構建知識網(wǎng)絡，掌握復習方法。

【課前準備】

每組據(jù)分工專門研究一個立體圖形的特征，整理出3個有關的涵蓋面寬，較富挑戰(zhàn)性的，主要針對基礎知識的問題。同時，據(jù)猜測準備好別組涉及問題的答案。

【教學目標】

1、知識目標：使學生進一步識記各圖形特征，掌握不同圖形之間的異同，學會觀察體會幾何圖形間的聯(lián)系和區(qū)別。

2、能力目標：通過小組競賽合作整理知識框架，提高學習的系統(tǒng)性，培養(yǎng)學生回憶、質(zhì)疑、梳理、歸納、總結等自主復習整理的意識和方法以及能力，同時也加強合作學習能力。

3、情感目標：利用幾何圖形的美，增進學生對數(shù)學的興趣，復習方法自主構建的嘗試，激發(fā)學生自信心，滲透事物普遍聯(lián)系的辯證唯物主義觀點。

【重難點】

教學重點

溝通各圖形內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學生主動整理知識的意識，使學生掌握一定的復習整理方法。

教學難點

描述幾何圖形特征的語言的準確性訓練，以及知識延伸，進一步發(fā)展學生空間觀念。

【教學過程】

一、構建幾何圖形的簡單知識網(wǎng)絡，感知平面圖形和立體圖形的密切聯(lián)系。

1、完善幾何圖形知識圖：

師：除了平面圖形，你覺得還有哪類圖形?(立體圖形)

2、感知平面圖形和立體圖形的密切聯(lián)系。

師：這是一個平面圖形還是立體圖形?

師：從它的表面上，你觀察到哪些平面圖形?

3、強調(diào)平面圖形和立體圖形的區(qū)別。

(1)試一試：把下列幾何圖形分類?

(2)你感覺二者的區(qū)別主要是什么?師舉例說明。

強調(diào)：各部分是否在同一平面

二、展開復習活動，自主系統(tǒng)整理，感知立體圖形和立體圖形的聯(lián)系。

(1)梳理五種立體圖形的基本構成，加強和生活聯(lián)系。

1、出示五種立體圖形。

(1)憶一憶：你認識這些幾何體嗎?說名稱

(2)暢所欲言：舉出日常生活中和它們類似的物體。

(小組比賽，看誰說得多，讓學生感覺正是這些基本圖形構成我們生活的空間)

(3)議一議，認真觀察，識記圖形。

出示情景圖：圖中你熟悉的物體類似于哪些圖形?

2、說出各立體圖形各部分名稱，各字母表示什么?

3、立體圖形分類

師：分兩類，怎么分?為什么?

(二)主動回憶，梳理知識。

1、談話引入：關于我們要復習的知識你想留下深刻清晰的印象嗎?老師給大家介紹一個復習的好方法。

2、出示復習方法：

關于要復習的`知識(1)我已知道什么?(2)你想怎樣去整理它?(3)怎樣得到更多、更好的整理方法?(4)動手檢測自己，(5)你還有什么不明白的?

3、據(jù)復習方法依次展開活動

(1)關于立體圖形，我已知道了什么?

以電視節(jié)目“開心辭典”和小組競賽的形式進行。

每組提出關于本組研究內(nèi)容的三個問題，其他組回答，教師宣布好比賽規(guī)則，充當裁判和記分員。

(2)你想怎樣去整理?

①師引導給出學生整理的方法。

a:正方體、長方體在一塊兒整理......

b:找相同點、不同點

c：據(jù)構成名稱分層分類對比整理。

②小組合作：嘗試整理正、長方體的特點

③實物展臺展示學生成果

④師課件演示整理結果：正、長方體的特征

⑤按上述復習整理方法自主整理圓柱、圓錐、球的特征，先獨立整理，再小組交流，展臺展示學生不同方法的成果，教師課件演示。

三、知識檢測，形成反饋

1、一組判斷題

(1)長方體和正方體都有六個面，而