高二數(shù)學下第八講導數(shù)的應用(學案)

第八講 導數(shù)的應用一．課時目標1.通過實例了解函數(shù)導數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性之間的關系；2.能夠利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；.會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3.理解極值的有關概念．了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件．4.會用導數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值.5.能夠區(qū)分極值與最值兩個不同的概念．6.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).二．重點難點1.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(重點)2.利用數(shù)形結(jié)合思想理解導函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關系．(難點).3.利用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值．(重點)4.導數(shù)等于0的點與極值點的關系．(易混點)5.有關函數(shù)的最值問題．(重點),6.最值與函數(shù)的極值．(易混點)三．知識梳理1．函數(shù)的單調(diào)性：在(a，b)內(nèi)可導函數(shù)f(x)，f′(x)在(a，b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.則有：f′(x)≥0?f(x)為f′(x)≤0?f(x)為2．函數(shù)的極值：(1)判斷f(x0)是極值的方法，一般地，當函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時，①如果在x0附近的左側(cè)，右側(cè)，那 么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側(cè)，右側(cè)， 那么f(x0)是極小值．(2)求可導函數(shù)極值的步驟：①求f′(x)；②求方程的根；③檢查f′(x)在方程的根左右值的符號．如果 左正右負，那么f(x)在這個根處取得；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得.3．函數(shù)的最值：(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增為函數(shù)的最小值，為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則為函數(shù)的最大值，為函數(shù)的最小值．(3)設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：①求f(x)在(a，b)內(nèi)的；②將f(x)的各極值與比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．4．生活中的優(yōu)化問題：解決優(yōu)化問題的基本思路是：eq\x(優(yōu)化問題)eq\x(用函數(shù)表示數(shù)學問題)優(yōu)化問題答案eq\x(用導數(shù)解決數(shù)學問題)四正本清源1．f′(x)>0在(，b)上成立是f(x)在(，b)上單調(diào)遞增的充分條件利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性的定義要方便，但應注意f′(x)>0(或f′(x)<0)僅是f(x)在某個區(qū)間上遞增(或遞減)的充分條件．在區(qū)間(，b)內(nèi)可導的函數(shù)f(x)在(，b)上遞增(或遞減)的充要條件應是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.這就是說，函數(shù)f(x)在區(qū)間上的增減性并不排斥在該區(qū)間內(nèi)個別點x0處有f′(x0)＝0，甚至可以在無窮多個點處f′(x0)＝0，只要這樣的點不能充滿所給區(qū)間的任何子區(qū)間，因此在已知函數(shù)f(x)是增函數(shù)(或減函數(shù))求參數(shù)的取值范圍時，應令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出參數(shù)的取值范圍，然后檢驗參數(shù)的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，則參數(shù)的這個值應舍去，若f′(x)不恒為0，則由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定．五．典例分析題型一函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù) 例1已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍．思維啟迪：(1)通過解f′(x)≥0求單調(diào)遞增區(qū)間；(2)轉(zhuǎn)化為恒成立問題，求a.探究提高在區(qū)間內(nèi)f′(x)>0(f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分條件而不是必要條件，如果出現(xiàn)個別點使f′(x)＝0，不會影響函數(shù)f(x)在包含該點的某個區(qū)間上的單調(diào)性．一般地，可導函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是：對任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零．特別是在已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍時，要特別注意“＝”是否可以取到．變式訓練1已知a∈R，函數(shù)f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))．(1)當a＝2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍題型二函數(shù)的極值與導數(shù)例2(2010·全國)已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)設a＝2，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設f(x)在區(qū)間(2,3)中至少有一個極值點，求a的取值范圍．思維啟迪(1)單調(diào)區(qū)間即為f′(x)>0，f′(x)<0的解區(qū)間．(2)f′(x)的零點在(2,3)內(nèi)至少有一個．探究提高(1)導函數(shù)的零點并不一定就是函數(shù)的極值點．所以在求出導函數(shù)的零點后一定注意分析這個零點是不是函數(shù)的極值點．(2)本題的易錯點為不對1－a2討論，致使解答不全面．變式訓練2設函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函數(shù)．(1)求b、c的值；(2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．題型三函數(shù)的最值與導數(shù)例3已知a為實數(shù)，且函數(shù)f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)求導函數(shù)f′(x)；(2)若f′(－1)＝0，求函數(shù)f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值．思維啟迪：先求函數(shù)的極值，然后再與端點值進行比較確定最值．探究提高在解決類似的問題時，首先要注意區(qū)分函數(shù)最值與極值的區(qū)別．求解函數(shù)的最值時，要先求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]內(nèi)所有使f′(x)＝0的點，再計算函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)所有使f′(x)＝0的點和區(qū)間端點處的函數(shù)值，最后比較即得．變式訓練3已知函數(shù)f(x)＝ax3－6ax2＋b，是否存在實數(shù)a、b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3、最小值－29？若存在，求出a、b的值，若不存在，請說明理由．題型四生活中的優(yōu)化問題例4某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛，年銷售量為5000輛．本年度為適應市場需求，計劃提高產(chǎn)品檔次，適當增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<1)，則出廠價相應提高的比例為0.7x，年銷售量也相應增加．已知年利潤＝(每輛車的出廠價－每輛車的投入成本)×年銷售量．(1)若年銷售量增加的比例為0.4x，為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應在什么范圍內(nèi)？(2)年銷售量關于x的函數(shù)為s＝3240eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋\f(5,3)))，則當x為何值時,本年度的年利潤最大？最大利潤為多少？思維啟迪：(1)建立本年度的利潤函數(shù)解析式，構(gòu)造不等式求解．(2)建立本年度利潤的函數(shù)解析式，運用導數(shù)研究最大值．探究提高利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題時：(1)既要注意將問題中涉及的變量關系用函數(shù)關系表示，還要注意確定出函數(shù)關系式中自變量的定義區(qū)間．(2)一定要注意求得結(jié)果的實際意義，不符合實際的值應舍去．(3)如果目標函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么根據(jù)實際意義該極值點就是最值點．變式訓練4用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2∶1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？六，課后小結(jié)：方法與技巧：1．注意單調(diào)函數(shù)的充要條件，尤其對于已知單調(diào)性求參數(shù)值(范圍)時，隱含恒成立思想．2．求極值、最值時，要求步驟規(guī)范、表格齊全；含參數(shù)時，要討論參數(shù)的大?。?．在實際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么只要根據(jù)實際意義判定最大值還是最小值即可，不必再與端點的函數(shù)值比較．失誤與防范：1．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)極值時要養(yǎng)成列表的習慣，可使問題直觀且有條理，減少失分的可能．2．求函數(shù)最值時，不可想當然地認為極值點就是最值點，要通過認真比較才能下結(jié)論．3．要強化自己用導數(shù)知識處理函數(shù)最值、單調(diào)性、方程的根、不等式的證明等數(shù)學問題的意識．七家庭作業(yè)1.（2011年福建文高考題10）若a＞0，b＞0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值等于A．2 B．3 C．6 D．92，（2011年遼寧理高考題11）函數(shù)的定義域為，，對任意，，則的解集為 A．（，1） B．（，+） C．（，） D．（，+）3，（2011年山東理高考題9）函數(shù)的圖象大致是0.51xyO0.54.(2011年安徽文0.51xyO0.5區(qū)間〔0,1〕上的圖像如圖所示，則n可能是（A）1(B)2(C)3(D)45.（2011年廣東理高考題12）函數(shù)在處取得極小值.6.（2011年安徽理高考題16）設，其中為正實數(shù)（Ⅰ）當時，求的極值點；（Ⅱ）若為上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。7，（2011年北京理高考題18）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；8.（2011年北京文高考題18）已知函數(shù)，（I）求的單調(diào)區(qū)間；（II）求在區(qū)間上的最小值。答案例1解(1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.令f′(x)≥0，得ex≥a， 當a≤0時，有f′(x)>0在R上恒成立；當a>0時，有x≥lna.綜上，當a≤0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞)；當a>0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[lna，＋∞)．(2)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上單調(diào)遞增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立．∵x∈R時，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.即a的取值范圍為(－∞，0]．變式訓練1解(1)當a＝2時，f(x)＝(－x2＋2x)ex，∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，∵ex>0，∴－x2＋2>0，解得－eq\r(2)<x<eq\r(2).∴a＝2時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－eq\r(2)，eq\r(2))．(2)∵函數(shù)f()在(－1,1)上單調(diào)遞增，∴f′()≥0對∈(－1,1)都成立．∵f′()＝(－2＋)ex＋(－2＋)ex＝[－2＋(－2)＋]ex，∴[－2＋(－2)＋]ex≥0對∈(－1,1)都成立．∵ex>0，∴－2＋(－2)＋≥0對∈(－1,1)都成立．即a≥eq\f(x2＋2x,x＋1)＝eq\f(x＋12－1,x＋1)＝x＋1－eq\f(1,x＋1)對x∈(－1,1)都成立．令y＝x＋1－eq\f(1,x＋1)，則y′＝1＋eq\f(1,x＋12)>0∴y＝x＋1－eq\f(1,x＋1)在(－1,1)上單調(diào)遞增．∴y<1＋1－eq\f(1,1＋1)＝eq\f(3,2)，∴a≥eq\f(3,2).，即a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).例2解(1)當a＝2時，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，f′(x)＝3x2－12x＋3＝3(x－2＋eq\r(3))(x－2－eq\r(3))．當x∈(－∞，2－eq\r(3))時，f′(x)>0，f(x)在(－∞，2－eq\r(3))上單調(diào)遞增；當x∈(2－eq\r(3)，2＋eq\r(3))時，f′(x)<0，f(x)在(2－eq\r(3)，2＋eq\r(3))上單調(diào)遞減；當x∈(2＋eq\r(3)，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)在(2＋eq\r(3)，＋∞)上單調(diào)遞增．綜上，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，2－eq\r(3))和(2＋eq\r(3)，＋∞)，f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(2－eq\r(3)，2＋eq\r(3))．(2)f′(x)＝3x2－6ax＋3＝3[(x－a)2＋1－a2]．當1－a2≥0時，f′(x)≥0，f(x)為增函數(shù)，故f(x)無極值點；當1－a2<0時，f′(x)＝0有兩個根x1＝a－eq\r(a2－1)，x2＝a＋eq\r(a2－1).由題意，知2<a－eq\r(a2－1)<3，①或2<a＋eq\r(a2－1)<3，②①無解，②的解為eq\f(5,4)<a<eq\f(5,3)，因此a的取值范圍為(eq\f(5,4)，eq\f(5,3))．變式訓練2解(1)∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.∴g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c，由題意得g(0)＝0，∴c＝0，由奇函數(shù)的定義得b＝3.(2)由(1)知g(x)＝x3－6x，從而g′(x)＝3x2－6，由此可知，(－∞，－eq\r(2))和(eq\r(2)，＋∞)是函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(－eq\r(2)，eq\r(2))是函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．∴g(x)在x＝－eq\r(2)時取得極大值，極大值為4eq\r(2)，g(x)在x＝eq\r(2)時取得極小值，極小值為－4eq\r(2).例3解(1)由f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，得f′(x)＝3x2－2ax(2)因為f′(－1)＝0，所以a＝eq\f(1,2)，有f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2－4x＋2，f′(x)＝3x2－x－4.令f′(x)＝0，則x＝eq\f(4,3)或x＝－1.又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＝－eq\f(50,27)，f(－1)＝eq\f(9,2)，f(－2)＝0，f(2)＝0，所以f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值分別為eq\f(9,2)、－eq\f(50,27).變式訓練3解顯然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4(舍去)．(1)當ax0(0,2)＋0－f(x)極大值 ∴當x＝0時，f(x)取得最大值，f(0)＝3，∴b＝3.又f(－1)＝－7a＋3>f(2)＝－16∴最小值f(2)＝－16a＋3＝－29，a＝2.(2)當ax0(0,2)－0＋f(x)極小值∴當x＝0時，f(x)取得最小值，∴b＝－29.又f(－1)＝－7a－29<f(2)＝－16∴最大值f(2)＝－16a－29＝3，a＝－2.綜上，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－29.))例4解(1)由題意得：上年度的利潤為(13－10)×5000＝15000萬元；本年度每輛車的投入成本為10×(1＋x)萬元；本年度每輛車的出廠價為13×(1＋0.7x)萬元；本年度年銷售量為5000×(1＋0.4x)輛．因此本年度的利潤為y＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5000×(1＋0.4x)＝(3－0.9x)×5000×(1＋0.4x)＝－1800x2＋1500x＋15000(0<x<1)．由－1800x2＋1500x＋15000>15000，解得0<x<eq\f(5,6)，所以要使本年度的年利潤比上年度有所增加，投入成本增加的比例的范圍為0<x<eq\f(5,6).(2)本年度的利潤為f(x)＝(3－0.9x)×3240×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋\f(5,3)))＝3240×(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)．則f′(x)＝3240×(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)．由f′(x)＝0，解得x＝eq\f(5,9)或x＝3(舍去)．當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,9)))時，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)；當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)，1))時，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù)，∴當x＝eq\f(5,9)時，f(x)取得最大值，最大值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))＝20000.∴當x＝eq\f(5,9)時，本年度的年利潤最大，最大利潤為20000萬元．變式訓練4解設長方體的寬為x(m)，則長為2x(