人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專(zhuān)題05二次函數(shù)中線段最值的三種考法(原卷版+解析)

專(zhuān)題05二次函數(shù)中線段最值的三種考法類(lèi)型一、單線段轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問(wèn)題例．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)在拋物線上；

(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得周長(zhǎng)最小，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)及周長(zhǎng)的最小值；(3)若點(diǎn)M是直線下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作y軸的平行線與線段交于點(diǎn)N，求線段的最大值．【變式訓(xùn)練1】如圖，已知拋物線：，拋物線與關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，與相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上，且位于點(diǎn)A和點(diǎn)B之間；點(diǎn)N在拋物線上，也位于點(diǎn)A和點(diǎn)B之間，且軸．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求線段長(zhǎng)度的最大值．【變式訓(xùn)練2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，且經(jīng)過(guò)x軸上的兩點(diǎn)A、B與y軸交于點(diǎn)C，直線的解析式為．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P為直線上方的拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于M，交于Q，求的最大值；(3)當(dāng)取最大值時(shí)，求的面積．類(lèi)型二、將軍飲馬型最值問(wèn)題例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)．

(1)求拋物線與直線的解析式；(2)點(diǎn)為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)，在上有一動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值；【變式訓(xùn)練1】如圖，已知拋物線與x軸相交于、兩點(diǎn)，并與直線交于、兩點(diǎn)，其中點(diǎn)是直線與軸的交點(diǎn)，連接．

(1)求、兩點(diǎn)坐標(biāo)以及拋物線的解析式；(2)證明：為直角三角形；(3)求拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出四邊形的面積；(4)在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)的最小時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是位于直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值；(3)若點(diǎn)D是y軸上的一點(diǎn)，且以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(4)若點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)是該拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)M在x軸、點(diǎn)N在y軸上，是否存在點(diǎn)M、N使四邊形的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M、點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．類(lèi)型三、胡不歸最值問(wèn)題例．如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的對(duì)稱軸是直線．

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使的值最?。簏c(diǎn)的坐標(biāo)和的最小值；(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)．依題意補(bǔ)全圖形，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練1】如圖，拋物線的圖象經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．(2)點(diǎn)，為平面內(nèi)兩點(diǎn)，若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．這樣的，兩點(diǎn)是否存在？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)將拋物線的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)）．點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在直線下方．已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．求為何值時(shí)，有最大值，最大值是多少？【變式訓(xùn)練2】已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．(1)求拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如圖1，點(diǎn)P是拋物線上位于直線下方的一動(dòng)點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)E，已知，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)如圖2，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)N，在拋物線對(duì)稱軸上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，連接．求的最小值．【變式訓(xùn)練3】已知拋物線過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)為拋物線上位于直線下方的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．課后訓(xùn)練1．如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)點(diǎn)P是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（）．①當(dāng)時(shí)，求此時(shí)四邊形的面積；②如圖2，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，作軸于點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，求t的值；③如圖3，連接，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)D，求線段的長(zhǎng)的最大值，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．2．已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

(1)填空：_________，_________，_________；(2)如圖1，連接，，，若是以為斜邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點(diǎn)P在直線上方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為Q，求的最大值．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為．

(1)寫(xiě)出C點(diǎn)的坐標(biāo)______，B點(diǎn)的坐標(biāo)______；(2)若二次函數(shù)經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，求該二次函數(shù)的解析式；(3)在（2）條件下，在二次函數(shù)的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得最??？若P點(diǎn)存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若P點(diǎn)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

專(zhuān)題05二次函數(shù)中線段最值的三種考法類(lèi)型一、單線段轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問(wèn)題例．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)在拋物線上；

(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得周長(zhǎng)最小，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)及周長(zhǎng)的最小值；(3)若點(diǎn)M是直線下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作y軸的平行線與線段交于點(diǎn)N，求線段的最大值．【答案】(1)(2),(3)【分析】（1）將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；（2）點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，連接交函數(shù)對(duì)稱軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，求出直線的表達(dá)式，進(jìn)一步即可求解；（3）先求出直線解析式，設(shè)N橫坐標(biāo)為x，用含x的代數(shù)式表示線段，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：將點(diǎn)、代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，拋物線的表達(dá)式為：；（2），令，則,解得或，令，則，故點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：、；函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，

點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，連接交函數(shù)對(duì)稱軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，設(shè)直線的表達(dá)式為，將點(diǎn)D、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，故BD的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，此時(shí)周長(zhǎng)的最小值；（3）如圖，

設(shè)直線的解析式是，把點(diǎn)，代入中，解得，∴直線解析式為．設(shè)N橫坐標(biāo)為x，則，，∴，∵，∴拋物線開(kāi)口向下，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到拋物線和直線的待定系數(shù)法求解析式，軸對(duì)稱-最短問(wèn)題，二次函數(shù)的最值等，解題關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式．【變式訓(xùn)練1】如圖，已知拋物線：，拋物線與關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，與相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上，且位于點(diǎn)A和點(diǎn)B之間；點(diǎn)N在拋物線上，也位于點(diǎn)A和點(diǎn)B之間，且軸．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求線段長(zhǎng)度的最大值．【答案】(1)；(2)8【分析】（1）先求出拋物線：的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，然后求出點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱后的點(diǎn)坐標(biāo)為，再拋物線的解析式為：；（2）先求出A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為和，設(shè)，其中，則，求出最大值即可．【詳解】（1）解：拋物線：的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱后的點(diǎn)坐標(biāo)為，∵拋物線與拋物線關(guān)于成中心對(duì)稱，∴拋物線的解析式為：．（2）解：∵拋物線：與：交于A、B，∴令，解得：或，則A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為和，設(shè)，，其中，則，∴當(dāng)時(shí)，最大為8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，利用對(duì)稱的特征，再根據(jù)頂點(diǎn)情況求解析式以及根據(jù)二次函數(shù)解析式求最大值．【變式訓(xùn)練2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，且經(jīng)過(guò)x軸上的兩點(diǎn)A、B與y軸交于點(diǎn)C，直線的解析式為．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P為直線上方的拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于M，交于Q，求的最大值；(3)當(dāng)取最大值時(shí)，求的面積．【答案】(1)；(2)1；(3)2【分析】（1）先求出A、C的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)，則，則，由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）根據(jù)，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：在中，令，則，令，則，∴，∵拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，且經(jīng)過(guò)x軸上的兩點(diǎn)A、B與y軸交于點(diǎn)C，∴，∴可設(shè)拋物線解析式為，把代入中得，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：設(shè)，則，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值為1；（3）解：由（2）得當(dāng)最大時(shí)，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，求二次函數(shù)解析式等等；靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型二、將軍飲馬型最值問(wèn)題例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)．

(1)求拋物線與直線的解析式；(2)點(diǎn)為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)，在上有一動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值；【答案】(1)拋物線的解析式為，直線的解析式為；(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)；(3)的最小值為；【分析】（1）拋物線與軸交于，、，兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式即可得到拋物線的解析式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，求得直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，求得PE關(guān)于m的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，交直線于點(diǎn)，則的最小值為的長(zhǎng)，證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；【詳解】（1）解：拋物線與軸交于，、，兩點(diǎn)，拋物線的解析式為，令，則，點(diǎn)，，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)，，設(shè)直線的解析式為，，，直線的解析式為；（2）解：過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，

的面積，當(dāng)取得最大值時(shí)，的面積有最大值，同理求得直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，當(dāng)時(shí)，有最大值，的面積有最大值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，；（3）解：拋物線的對(duì)稱軸為直線，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，交直線于點(diǎn)，此時(shí)，根據(jù)垂線段最短知的最小值為的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，，，，，軸，，，，即，，的最小值為．【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，熟練掌握所學(xué)知識(shí)并能夠靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】如圖，已知拋物線與x軸相交于、兩點(diǎn)，并與直線交于、兩點(diǎn)，其中點(diǎn)是直線與軸的交點(diǎn)，連接．

(1)求、兩點(diǎn)坐標(biāo)以及拋物線的解析式；(2)證明：為直角三角形；(3)求拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出四邊形的面積；(4)在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)的最小時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，，(2)證明見(jiàn)解析(3)，(4)【分析】（1）先由直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C求得B，C的坐標(biāo)，再將其代入列方程組求出a、c的值，即可求解；（2）先求得A的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理的逆定理證明是直角三角形；（3）連接，根據(jù)進(jìn)行求解即可；（4）因?yàn)榈拈L(zhǎng)為定值，所以當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，則的周長(zhǎng)最小，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，的值最小，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：在直線中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，，∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線的解析式為．（2）證明：在中，當(dāng)時(shí)，則，解得，，∴．∵，，∴，，，∴，即．∵，∴，，∴，∴，∴是直角三角形；（3）解：∵拋物線解析式為，∴拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是；如圖1，連接，

∴，∴四邊形的面積是．（4）解：∵拋物線解析式為，∴拋物線的對(duì)稱軸為．如圖，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸：與直線交于點(diǎn)E，

點(diǎn)P是直線上的點(diǎn)，連接．∵垂直平分，∴，，∴．∵為定值，∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的周長(zhǎng)最?。撸喈?dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，，∴此時(shí)最?。咧本€，當(dāng)時(shí)，，∴，∴當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用、軸對(duì)稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．【變式訓(xùn)練2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是位于直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值；(3)若點(diǎn)D是y軸上的一點(diǎn)，且以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(4)若點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)是該拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)M在x軸、點(diǎn)N在y軸上，是否存在點(diǎn)M、N使四邊形的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M、點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)D的坐標(biāo)為或(4)，【分析】（1）把，分別代入，利用待定系數(shù)法求解；（2）過(guò)點(diǎn)P作交于點(diǎn)H，根據(jù)得到關(guān)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的二次函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出二次函數(shù)的最值即可；（3）由可知：要使與相似，則有或，分別求解即可；（4）作點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得四邊形的周長(zhǎng)，可知當(dāng)，，M，N在一條直線上時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)取最小值，直線與x軸、y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)M、N，由此可解．【詳解】（1）解：把，分別代入得：，解得，∴拋物線的表達(dá)式為．（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作交于點(diǎn)H，

令，得，∴，∴設(shè)直線的表達(dá)式為：，將，代入，得，解得，∴直線的表達(dá)式為，設(shè)，則，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為，即面積的最大值為；（3）解：如圖，

∵，，，∴，，∴，，要使與相似，則有或，①當(dāng)時(shí)，，解得，則，∴；②當(dāng)時(shí)，，則，∴，即D的坐標(biāo)為或；（4）解：，∵E為拋物線的頂點(diǎn)，∴，∵在拋物線上，∴，∴，如圖，作點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)F關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，，∴四邊形的周長(zhǎng)，∴當(dāng)，，M，N在一條直線上時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)取最小值，因此，直線與x軸、y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)M、N，設(shè)直線的解析式為：，將，代入，得，∴，∴直線的解析式為：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴，．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查一次函數(shù)、二次函數(shù)、軸對(duì)稱、相似三角形等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用上述知識(shí)點(diǎn)，第四問(wèn)的關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱的性質(zhì)找出點(diǎn)M和點(diǎn)N的位置．類(lèi)型三、胡不歸最值問(wèn)題例．如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的對(duì)稱軸是直線．

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使的值最?。簏c(diǎn)的坐標(biāo)和的最小值；(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)．依題意補(bǔ)全圖形，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)點(diǎn)，的最小值為(3)【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，得到，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，為的長(zhǎng)，求出直線的解析式，解析式與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)的坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式求出的長(zhǎng)，即為的最小值；（3）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形，設(shè)，得到，，將的最大值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，即可得解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，∴點(diǎn)為；（2）當(dāng)時(shí)，，∴，連接，

∵，∴，∵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，為的長(zhǎng)，設(shè)直線的解析式為：，則：，解得：，∴，∵點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，∴；∴點(diǎn)，的最小值為；（3）過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)，如圖所示，

∵，設(shè)拋物線的解析式為：，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則：，由（2）知：直線：，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，利用拋物線的對(duì)稱性以及數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】如圖，拋物線的圖象經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．(2)點(diǎn)，為平面內(nèi)兩點(diǎn)，若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．這樣的，兩點(diǎn)是否存在？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)將拋物線的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)）．點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在直線下方．已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．求為何值時(shí)，有最大值，最大值是多少？【答案】(1)，(2)滿足條件的E、F兩點(diǎn)存在，，，(3)當(dāng)時(shí)，的最大值為【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①當(dāng)為正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，分別過(guò)點(diǎn)點(diǎn)作，，使，，連接、，證明，得出，，則同理可得，；②以為正方形的對(duì)角線時(shí)，過(guò)的中點(diǎn)作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，得出，在中，，解得或4，進(jìn)而即可求解；（3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，則，點(diǎn)在拋物線上，且橫坐標(biāo)為得出，進(jìn)而可得，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：把，，代入得

解得

∴

把代入得∴（2）滿足條件的、兩點(diǎn)存在，，，

解：①當(dāng)為正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，分別過(guò)點(diǎn)點(diǎn)作，，使，，連接、.

過(guò)點(diǎn)作軸于.∵，又，∴，∴，∴同理可得，②以為正方形的對(duì)角線時(shí)，過(guò)的中點(diǎn)作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

∵，又∴∴，∵∴∴在中，∴解得或4當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)故舍去；當(dāng)時(shí)，.綜上所述：，，（3）∵向右平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線當(dāng)，即解得：∴，∵過(guò)，，三點(diǎn)∴

在直線下方的拋物線上任取一點(diǎn)，作軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)

∵，∴∴是等腰直角三角形∵，∴又∴是等腰直角三角形∴∵點(diǎn)在拋物線上，且橫坐標(biāo)為∴∴

∵∴∴∴

∴∴當(dāng)時(shí)，的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類(lèi)討論，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．(1)求拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如圖1，點(diǎn)P是拋物線上位于直線下方的一動(dòng)點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)E，已知，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)如圖2，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)N，在拋物線對(duì)稱軸上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，連接．求的最小值．【答案】(1)，(2)點(diǎn)E的坐標(biāo)為：或(3)【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）由，則，由，得到，進(jìn)而求解；（3）過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，則，則此時(shí)為最小，進(jìn)而求解．【詳解】（1）∵拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，∴設(shè)拋物線的解析式為，把點(diǎn)代入得，，解得，故拋物線的表達(dá)式為：；（2）連接,∵，則，過(guò)點(diǎn)A作軸交于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)H，則，則，設(shè)直線的表達(dá)式為，把代入得：，解得，，∴直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時(shí)，，，則，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，則，解得：或2，即點(diǎn)或，同理，由點(diǎn)A、P的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：或，聯(lián)立和得：，解得：，則點(diǎn)；聯(lián)立和得：，解得：，則點(diǎn)，即點(diǎn)E的坐標(biāo)為：或；（3）連接，由點(diǎn)D的坐標(biāo)知，，則，則，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，則，則此時(shí)為最小，則，則，則，即的最小值為．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、解直角三角形、三角形相似、面積的計(jì)算等，其中（2），要注意分類(lèi)求解，避免遺漏【變式訓(xùn)練3】已知拋物線過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)為拋物線上位于直線下方的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)解析式為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為(3)最小值為【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的交點(diǎn)式，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求解即可；（2）作軸，交于點(diǎn)，通過(guò)設(shè)和的坐標(biāo)，利用“割補(bǔ)法”表示出，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可；（3）將直線繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并過(guò)點(diǎn)作其垂線，垂足為，分別連接，，，構(gòu)造出含角的直角三角形，然后轉(zhuǎn)換為求得最小值，繼而確定當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，滿足取得最小值，此時(shí)利用含角的直角三角形的性質(zhì)分段求解再相加即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意，設(shè)拋物線解析式為，其中，∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，將代入，解得：，∴，∴拋物線的解析式為，∵對(duì)稱軸為直線，∴將代入，得：，∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：∵，，∴直線的解析式為：，∵點(diǎn)在拋物線上，且位于直線下方，∴設(shè)，其中，，如圖所示，作軸，交于點(diǎn)，∴，∴，∵，，，∴，∴，整理可得：，其中，∵，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，將代入，得：，∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（3）解：存在最小值，理由如下：如下圖所示，將直線繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并過(guò)點(diǎn)作其垂線，垂足為，分別連接，，，則，，

∴在中，，∴隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，總有，∴，要使得取得最小值，即要使得取得最小值，如下圖，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，滿足取得最小值，

此時(shí)，，，∵，∴，，∴，∴，∴，∴存在最小值，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)綜合面積問(wèn)題，以及利用“胡不歸”模型構(gòu)造三角形求線段和最值問(wèn)題，掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)，熟練運(yùn)用函數(shù)思想解決圖形面積問(wèn)題是解題關(guān)鍵．課后訓(xùn)練1．如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)點(diǎn)P是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（）．①當(dāng)時(shí)，求此時(shí)四邊形的面積；②如圖2，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，作軸于點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，求t的值；③如圖3，連接，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)D，求線段的長(zhǎng)的最大值，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①②③，【分析】（1）根據(jù)拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，直接利用兩點(diǎn)式寫(xiě)出函數(shù)解析式即可；（2）①先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用四邊形的面積，進(jìn)行求解即可；②根據(jù)題意，可得此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線解析式，進(jìn)行求解即可；③過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，推出，進(jìn)而得到當(dāng)最大時(shí)，的值最大，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，則：拋物線的解析式為：，即：；（2）①∵，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴，∵，∴，連接，

則：四邊形的面積；②∵軸于點(diǎn)D，軸于點(diǎn)E，∴，∵，∴，∴，∴，解得：（負(fù)值已舍掉），∴；③設(shè)直線的解析式為，則：，解得：，∴；∵，∴，∴，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，

∵，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，的值最大為2，此時(shí)，∵，軸，∴，又，∴，在中，，∴當(dāng)最大時(shí)，值最大，∵的最大值為2，∴值最大為，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．屬于中考?？?jí)狠S題．2．已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

(1)填空：_________，_________，_________；(2)如圖1，連接，，，若是以為斜邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點(diǎn)P在直線上方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為Q，求的最大值．【答案】(1)，，3；(2)(3)【分析】（1）分別把代入拋物線解析式和一次函數(shù)的解析式，即可求解；（2）作軸于點(diǎn)，根據(jù)題意可得，從而得到