備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章 三角函數(shù)與解三角形

第四章eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,,,,))三角函數(shù)與解三角形第一節(jié)任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1.了解任意角的概念和弧度制.,2.能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性.,3.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)正弦、余弦、正切的定義.))1．三角函數(shù)的基本概念定義角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形分類(1)按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角；(2)按終邊位置分為象限角和軸線角終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}2.象限角象限角角的表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}3.弧度制定義長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1rad弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長用l表示，半徑用r表示)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.3°弧長公式弧長l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r24.任意角的三角函數(shù)(1)定義定義設(shè)α是一個任意角，α∈R，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)推廣設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于原點的任一點，它到原點的距離為r(r>0)，那么：sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)(2)幾何表示三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示．正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是(1,0)．如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線、余弦線和正切線．1．幾點注意(1)三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)若α∈0，eq\f(π,2)，則tanα>α>sinα.(3)角度制與弧度制可利用180°＝πrad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制必須一致，不可混用．(4)已知三角函數(shù)值的符號確定角的終邊位置，不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況．(5)區(qū)分兩個概念①第一象限角未必是銳角，但銳角一定是第一象限角．②不相等的角未必終邊不相同，終邊相同的角也未必相等．2．常用結(jié)論(1)α，β終邊相同?β＝α＋2kπ，k∈Z.(2)α，β終邊關(guān)于x軸對稱?β＝－α＋2kπ，k∈Z.(3)α，β終邊關(guān)于y軸對稱?β＝π－α＋2kπ，k∈Z.(4)α，β終邊關(guān)于原點對稱?β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.1．角－870°的終邊所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選C∵－870°＝－1080°＋210°，∴角－870°的終邊在第三象限．2．已知角α的終邊上有一點P(1，－2)，則sinα－cosα的值為()A.eq\f(\r(5),5) B．－eq\f(\r(5),5)C.eq\f(3\r(5),5) D．－eq\f(3\r(5),5)解析：選D因為sinα＝eq\f(－2,\r(1＋4))＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(1,\r(1＋4))＝eq\f(\r(5),5)，所以sinα－cosα＝－eq\f(2\r(5),5)－eq\f(\r(5),5)＝－eq\f(3\r(5),5).3．已知α∈(0,2π)，sinα<0，cosα>0，則角α的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))解析：選D因為sinα<0，cosα>0，所以α為第四象限角，故α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，故選D.4．已知扇形的圓心角為60°，其弧長為2π，則此扇形的面積為________．解析：設(shè)此扇形的半徑為r，由題意得eq\f(π,3)r＝2π，所以r＝6，所以此扇形的面積為eq\f(1,2)×2π×6＝6π.答案：6π5．在0到2π范圍內(nèi)，與角－eq\f(4π,3)終邊相同的角是________．解析：與角－eq\f(4π,3)終邊相同的角是2kπ＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))，k∈Z，令k＝1，可得在0到2π范圍內(nèi)與角－eq\f(4π,3)終邊相同的角是eq\f(2π,3).答案：eq\f(2π,3)層級一/基礎(chǔ)點——自練通關(guān)(省時間)基礎(chǔ)點(一)角的概念與表示[題點全訓(xùn)]1．下列命題中正確命題的個數(shù)是()①第二象限角大于第一象限角②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角③若sinα＝sinβ，則α與β的終邊相同④若cosθ<0，則θ是第二或第三象限的角A．0 B．1C．2 D．3解析：選A①由任意角的定義，各象限的角都有可能為正角或負(fù)角，故第二象限角大于第一象限角，錯誤；②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角，也有可能是軸線角，錯誤；③當(dāng)α＝eq\f(π,3)，β＝eq\f(2π,3)時，sinα＝sinβ，顯然α與β的終邊不相同，錯誤；④cosθ＝－1<0，此時θ終邊在x軸負(fù)半軸上，錯誤．所以正確命題的個數(shù)為0.2．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(aeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))kπ≤α≤kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z))中的角所表示的范圍(陰影部分)是()解析：選B當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，2nπ≤α≤2nπ＋eq\f(π,4)(n∈Z)，此時α的終邊和0≤α≤eq\f(π,4)的終邊一樣，當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,4)(n∈Z)，此時α的終邊和π≤α≤π＋eq\f(π,4)的終邊一樣．3．已知α是第二象限角，則()A.eq\f(α,2)是第一象限角 B．sineq\f(α,2)>0C．sin2α<0 D．2α是第三或第四象限角解析：選C∵α是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，即eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，∴eq\f(α,2)是第一或第三象限角，故A錯誤；由eq\f(α,2)是第一或第三象限角，得sineq\f(α,2)>0或sineq\f(α,2)<0，故B錯誤；∵eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，∴2α是第三或第四象限角或終邊在y軸非正半軸上，sin2α<0，故C正確，D錯誤．4．在－720°～0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為________．解析：所有與45°終邊相同的角可表示為：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，則令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)，解得－eq\f(765,360)≤k<－eq\f(45,360)(k∈Z)，從而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：－675°或－315°[一“點”就過]1．利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角．2．確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍，再寫出kα或eq\f(α,k)的范圍，然后根據(jù)k的可能取值討論確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在位置．基礎(chǔ)點(二)三角函數(shù)值符號的確定[題點全訓(xùn)]1．設(shè)a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，則()A．c>b>a B．b>c>aC．a(chǎn)>b>c D．c>a>b解析：選A∵b＝cos55°＝sin35°>sin33°＝a，c＝tan35°>sin35°＝b，∴c>b>a.故選A.2．已知點P(tanα，sinα)在第三象限，則角α在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選D∵點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanα，sinα))在第三象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα<0，,sinα<0，))∴α在第四象限．3．設(shè)α是三角形的一個內(nèi)角，在sinα，sineq\f(α,2)，cosα，cos2α，tan2α，taneq\f(α,2)中可能為負(fù)數(shù)的值的個數(shù)是()A．2 B．3C．4 D．5解析：選A由題意，得0°<α<180°，若0°<α<90°，則0°<2α<180°，可能為負(fù)數(shù)的有cos2α，tan2α；若90°<α<135°，則180°<2α<270°，可能為負(fù)數(shù)的有cosα，cos2α；若135°<α<180°，則270°<2α<360°，可能為負(fù)數(shù)的有cosα，tan2α，故選A.[一“點”就過]要判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號確定三角函數(shù)值的符號．如果不能確定角所在象限，那就要進行分類討論求解．層級二/重難點——逐一精研(補欠缺)重難點(一)三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用[典例](1)已知角α的終邊在直線y＝2x上，則sinα的值為()A．±2 B．eq\f(2\r(5),5)C．±eq\f(2\r(5),5) D．±eq\f(\r(5),5)(2)已知角α的終邊上一點P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，則cosα＝________，tanα＝________.[解析](1)設(shè)直線y＝2x上任意一點P的坐標(biāo)為(m,2m)(m≠0)，則OP＝eq\r(m2＋2m2)＝eq\r(5)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m))(O為坐標(biāo)原點)，根據(jù)正弦函數(shù)的定義得：sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(2m,OP)＝eq\f(2m,\r(5)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m)))，m>0時，sinα＝eq\f(2\r(5),5)；m<0時，sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，所以選項C正確．(2)設(shè)P(x，y)．由題設(shè)知x＝－eq\r(3)，y＝m，所以r2＝OP2＝(－eq\r(3))2＋m2(O為原點)，即r＝eq\r(3＋m2)，所以sinα＝eq\f(m,r)＝eq\f(\r(2)m,4)＝eq\f(m,2\r(2))，所以r＝eq\r(3＋m2)＝2eq\r(2)，即3＋m2＝8，解得m＝±eq\r(5).當(dāng)m＝eq\r(5)時，cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝－eq\f(\r(15),3)；當(dāng)m＝－eq\r(5)時，cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝eq\f(\r(15),3).[答案](1)C(2)－eq\f(\r(6),4)－eq\f(\r(15),3)或eq\f(\r(15),3)[方法技巧]常見的3種題型及解題方法題型解題方法已知角α的終邊上的一點P的坐標(biāo)，求角α的三角函數(shù)值先求出點P到原點的距離r，再利用三角函數(shù)的定義求解已知角α的一個三角函數(shù)值和終邊上一點P的橫(縱)坐標(biāo)，求與角α有關(guān)的三角函數(shù)值先求出點P到原點的距離(帶參數(shù))，根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出未知數(shù)，從而求解問題已知角α的終邊所在的直線方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函數(shù)值先設(shè)出終邊上一點P(a，ka)，a≠0，求出點P到原點的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解[針對訓(xùn)練]1．已知角α的終邊經(jīng)過點(3，－4)，則sinα＋eq\f(1,cosα)＝()A．－eq\f(1,5) B．eq\f(37,15)C.eq\f(37,20) D．eq\f(13,15)解析：選D∵角α的終邊經(jīng)過點(3，－4)，∴sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，∴sinα＋eq\f(1,cosα)＝－eq\f(4,5)＋eq\f(5,3)＝eq\f(13,15).2．若tanα＝2，且α終邊上點P到原點的距離為eq\r(5)，則點P的坐標(biāo)為________．解析：設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))，則由題可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋y2)＝\r(5)，,tanα＝\f(y,x)＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))故點P的坐標(biāo)為(1,2)或(－1，－2)．答案：(1,2)或(－1，－2)重難點(二)弧度制及其應(yīng)用[典例]已知某半徑小于π的扇形OAB，其周長是6＋2π，面積是3π.(1)求該扇形的圓心角的弧度數(shù)；(2)求該扇形中所含的弓形面積(注：弓形是指在圓中由弦及其所對的弧組成的圖形)．[解](1)由題意，設(shè)扇形的圓心角為α，所在圓的半徑為R，則該扇形弧長為αR，扇形的周長αR＋2R＝6＋2π，扇形的面積S＝eq\f(1,2)·αR·R＝3π，R<π，解得α＝eq\f(2π,3)，R＝3，故圓心角弧度數(shù)為eq\f(2π,3).(2)所以扇形中除弓形外所含的三角形的高為Rsineq\f(π,6)＝eq\f(3,2)，底為2Rcoseq\f(π,6)＝3eq\r(3)，S三角形面積＝eq\f(1,2)×3eq\r(3)×eq\f(3,2)＝eq\f(9\r(3),4)，所以S弓形面積＝S扇形－S三角形面積＝3π－eq\f(9\r(3),4).故S弓形面積＝3π－eq\f(9\r(3),4).[方法技巧]應(yīng)用弧度制解決問題時的關(guān)鍵點(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決，有時也利用基本不等式及導(dǎo)數(shù)求最值．(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．[針對訓(xùn)練]1．一個扇形的弧長與面積的數(shù)值都是3，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為()A.eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C.eq\f(3,2) D．2解析：選C設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為α，半徑為r，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(αr＝3，,\f(1,2)αr2＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝2，,α＝\f(3,2).))2．已知扇形的周長為20cm，則當(dāng)扇形的圓心角α＝________時扇形面積最大．解析：設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，由題意，2r＋l＝20?l＝20－2r(0<r<10)，扇形的面積為S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(20－2r)r＝10r－r2＝－(r－5)2＋25(0<r<10)，所以當(dāng)r＝5時，扇形面積取最大值25，此時l＝20－10＝10，所以扇形的圓心角α＝eq\f(l,r)＝eq\f(10,5)＝2時，扇形面積最大．答案：2層級三/細(xì)微點——優(yōu)化完善(掃盲點)1．(忽略三角函數(shù)值的符號)已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，若A(－1，y)是角θ終邊上的一點，且sinθ＝－eq\f(3\r(10),10)，則y＝()A．3 B．－3C．1 D．－1解析：選B因為sinθ＝－eq\f(3\r(10),10)<0，A(－1，y)是角θ終邊上一點，所以y<0，由三角函數(shù)的定義，得eq\f(y,\r(y2＋1))＝－eq\f(3\r(10),10).解得y＝－3.2．(創(chuàng)新考查方式)密位制是度量角的一種方法，把一周角等分為6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，單位可省去不寫，采用四個數(shù)碼表示角的大小，在百位數(shù)與十位數(shù)之間畫一條短線，如7密位寫成“0－07”，478密位寫成“4－78”．如果一個半徑為4的扇形，其圓心角用密位制表示為12－50，則該扇形的面積為()A.eq\f(10π,3) B．2πC.eq\f(5π,3) D．eq\f(5π,6)解析：選A依題意，該扇形的圓心角為eq\f(1250×360°,6000)＝75°.又75°＝eq\f(5π,12)，故所求扇形的面積為S＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)×eq\f(5π,12)×42＝eq\f(10π,3).3．(創(chuàng)新考查方式)如圖是一個近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的長為l(l<r)．為了方便觀光，欲在A，B兩點之間修建一條筆直的走廊AB.若當(dāng)0<x<eq\f(1,2)時，sinx≈x－eq\f(x3,6)，扇形OAB的面積記為S，則eq\f(AB,S)的值約為()A.eq\f(2,l)－eq\f(r2,12l3) B．eq\f(2,r)－eq\f(l2,12r3)C.eq\f(1,l)－eq\f(r2,24l3) D．eq\f(1,r)－eq\f(l2,24r3)解析：選B設(shè)扇形OAB的圓心角為α，則α＝eq\f(l,r)，在△OAB中，AB＝2rsineq\f(α,2)＝2rsineq\f(l,2r)，又S＝eq\f(1,2)lr，∴eq\f(AB,S)＝eq\f(2rsin\f(l,2r),\f(1,2)lr)＝eq\f(4,l)sineq\f(l,2r)，又0<eq\f(l,2r)<eq\f(1,2)，∴eq\f(AB,S)＝eq\f(4,l)sineq\f(l,2r)≈eq\f(4,l)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(l,2r)－\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2r)))3,6)))＝eq\f(2,r)－eq\f(l2,12r3).4．(忽視角的范圍)若α是第四象限角，則eq\f(α,2)－eq\f(π,2)在第________象限．解析：α是第四象限角，則eq\f(3π,2)＋2kπ<α<2π＋2kπ，k∈Z，故eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)－eq\f(π,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，當(dāng)k為偶數(shù)時，eq\f(α,2)－eq\f(π,2)在第一象限；當(dāng)k為奇數(shù)時，eq\f(α,2)－eq\f(π,2)在第三象限．答案：一或三5．(忽視對參數(shù)的討論)已知角α的終邊過點P(－4m，3m)(m≠0)，則2sinα＋cosα＝________.解析：易知OP＝eq\r(－4m2＋3m2)＝5|m|，則sinα＝eq\f(3m,5|m|)，cosα＝eq\f(－4m,5|m|).當(dāng)m>0時，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，2sinα＋cosα＝eq\f(2,5)；當(dāng)m<0時，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，∴2sinα＋cosα＝－eq\f(2,5).故2sinα＋cosα＝±eq\f(2,5).答案：±eq\f(2,5)[課時驗收評價]一、點全面廣強基訓(xùn)練1．已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長為()A．2 B．4C．6 D．8解析：選C設(shè)扇形的半徑為r(r>0)，弧長為l，則由扇形面積公式可得2＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2＝eq\f(1,2)×4×r2，解得r＝1，l＝|α|r＝4，所以所求扇形的周長為2r＋l＝6.2．已知角α(0°≤α<360°)終邊上一點的坐標(biāo)為(sin150°，cos150°)，則α＝()A．150° B．135°C．300° D．60°解析：選C由sin150°＝eq\f(1,2)>0，cos150°＝－eq\f(\r(3),2)<0，可知角α終邊上一點的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，故該點在第四象限，由三角函數(shù)的定義得sinα＝－eq\f(\r(3),2)，因為0°≤α<360°，所以角α為300°.3．已知角α的終邊經(jīng)過點(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]解析：選A由cosα≤0，sinα＞0可知，角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))解得－2＜a≤3.4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，α為第二象限角，P(－eq\r(3)，y)為其終邊上一點，且sinα＝eq\f(\r(2)y,4)，則y的值為()A.eq\r(3) B．－eq\r(5)C.eq\r(5) D．eq\r(3)或eq\r(5)解析：選C由題意知|OP|＝eq\r(3＋y2)，則sinα＝eq\f(y,\r(3＋y2))＝eq\f(\r(2)y,4)，解得y＝0(舍去)或y＝±eq\r(5)，因為α為第二象限角，所以y>0，則y＝eq\r(5).5．已知角α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)，若角θ與角α的終邊相同，則y＝eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值為()A．1 B．－1C．3 D．－3解析：選B由α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)及終邊相同的概念知，角α的終邊在第四象限，因為角θ與角α的終邊相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ＜0，cosθ＞0，tanθ＜0.所以y＝－1＋1－1＝－1.6．已知α，β是第一象限角，且sinα>sinβ，則()A．α>β B．α<βC．cosα>cosβ D．tanα>tanβ解析：選D因為α，β是第一象限角，所以sinα>0，sinβ>0，又sinα>sinβ，所以sin2α>sin2β>0，所以1－cos2α>1－cos2β，所以cos2α<cos2β，所以eq\f(1,cos2α)>eq\f(1,cos2β)>0，所以tan2α>tan2β，因為tanα>0，tanβ>0，所以tanα>tanβ.故選D.7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，60°角終邊上一點P的坐標(biāo)為(1，m)，則實數(shù)m的值為________．解析：∵60°角終邊上一點P的坐標(biāo)為(1，m)，∴tan60°＝eq\f(m,1)，∵tan60°＝eq\r(3)，∴m＝eq\r(3).答案：eq\r(3)8．若角α的終邊與直線y＝3x重合，且sinα<0，又P(m，n)是角α終邊上一點，且|OP|＝eq\r(10)，則m－n＝________.解析：由已知tanα＝3，∴n＝3m，又m2＋n2＝10，∴m2＝1，又sinα<0，∴m＝－1，n＝－3.∴m－n＝2.答案：29．已知扇形的周長為4，當(dāng)它的半徑為________和圓心角為______弧度時，扇形面積最大，這個最大面積是________．解析：設(shè)扇形圓心角為α，半徑為r，則2r＋|α|r＝4，∴|α|＝eq\f(4,r)－2.∴S扇形＝eq\f(1,2)|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，∴當(dāng)r＝1時，(S扇形)max＝1，此時|α|＝2.答案：12110．已知角α的終邊在直線y＝－3x上，則10sinα＋eq\f(3,cosα)的值為________．解析：設(shè)角α終邊上任一點為P(k，－3k)，則r＝eq\r(k2＋－3k2)＝eq\r(10)|k|.當(dāng)k＞0時，r＝eq\r(10)k，所以sinα＝eq\f(－3k,\r(10)k)＝－eq\f(3,\r(10))，eq\f(1,cosα)＝eq\f(\r(10)k,k)＝eq\r(10)，所以10sinα＋eq\f(3,cosα)＝－3eq\r(10)＋3eq\r(10)＝0；當(dāng)k＜0時，r＝－eq\r(10)k，所以sinα＝eq\f(－3k,－\r(10)k)＝eq\f(3,\r(10))，eq\f(1,cosα)＝eq\f(－\r(10)k,k)＝－eq\r(10)，所以10sinα＋eq\f(3,cosα)＝3eq\r(10)－3eq\r(10)＝0.綜上，10sinα＋eq\f(3,cosα)＝0.答案：011.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合且與單位圓相交于A點，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點B，始邊不動，終邊在運動．(1)若點B的橫坐標(biāo)為－eq\f(4,5)，求tanα的值；(2)若△AOB為等邊三角形，寫出與角α終邊相同的角β的集合．解：(1)由題意可得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))，根據(jù)三角函數(shù)的定義得tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(3,4).(2)若△AOB為等邊三角形，則∠AOB＝eq\f(π,3)，故與角α終邊相同的角β的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β|β＝\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)).二、重點難點培優(yōu)訓(xùn)練1．設(shè)角α屬于第二象限，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq\f(α,2)，則角eq\f(α,2)屬于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選C∵α為第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，∴45°＋k·180°<eq\f(α,2)<90°＋k·180°(k∈Z)；當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，eq\f(α,2)為第一象限角；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，eq\f(α,2)為第三象限角；∴eq\f(α,2)為第一或第三象限角；∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq\f(α,2)，∴coseq\f(α,2)<0，∴eq\f(α,2)為第三象限角．2．“角α，β的終邊關(guān)于x軸對稱”是“sinα＋sinβ＝0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A由角α，β的終邊關(guān)于x軸對稱，可知sinα＝－sinβ，即sinα＋sinβ＝0成立，當(dāng)sinα＋sinβ＝0時，角α，β的終邊關(guān)于x軸對稱或α＝β＋kπ，所以“角α，β的終邊關(guān)于x軸對稱”是“sinα＋sinβ＝0”的充分不必要條件．3．已知角θ的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點P(t，－eq\r(t))(t>0)，則()A．cos2θ>0 B．cos2θ<0C．sin2θ>0 D．sin2θ<0解析：選D由題意知，設(shè)坐標(biāo)原點為O，則OP＝eq\r(t2＋t)，t>0，由三角函數(shù)的定義，得cosθ＝eq\f(t,OP)＝eq\f(t,\r(t2＋t))，sinθ＝eq\f(－\r(t),OP)＝eq\f(－\r(t),\r(t2＋t))，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝eq\f(－2\r(t),t＋1)<0，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝eq\f(t－1,t＋1)，當(dāng)0<t<1時，cos2θ<0；當(dāng)t≥1時，cos2θ≥0.第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，\f(sinα,cosα)＝tanα.,2.借助單位圓的對稱性，利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,2)，α±π的正弦、余弦、正切)).))1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1商數(shù)關(guān)系tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))2.誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sin_α－sinαsinαcosαcos_α余弦cosα－cosαcosα－cos_αsin_α－sinα正切tanαtanα－tan_α－tan_α記憶口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限奇變偶不變，符號看象限(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的幾種變形①sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.②sinα＝tanαcosαα≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.③sin2α＝eq\f(sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α,tan2α＋1)；cos2α＝eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1,tan2α＋1).(2)在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號．1．sin1665°的值為()A．－eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)答案：A2．已知cosα＝－eq\f(1,3)，且α為第三象限角，則sinα＝()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(2\r(2),3) D．eq\f(2\r(2),3)答案：C3．若角α的終邊過點A(2,1)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝()A．－eq\f(2\r(5),5) B．－eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(5),5) D．eq\f(2\r(5),5)解析：選A由題意知cosα＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－cosα＝－eq\f(2\r(5),5).4．已知tanα＝eq\f(3,4)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π))，則cosα的值是()A．±eq\f(4,5) B．eq\f(4,5)C．－eq\f(4,5) D．eq\f(3,5)解析：選C由tanα＝eq\f(3,4)，可得eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4)，又sin2α＋cos2α＝1，可得eq\f(9,16)cos2α＋cos2α＝1，解得cos2α＝eq\f(16,25)，因為α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π))，所以cosα＝－eq\f(4,5).5．若sinθcosθ＝eq\f(1,2)，則tanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)＝________.解析：tanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(1,cosθsinθ)＝2.答案：2層級一/基礎(chǔ)點——自練通關(guān)(省時間)基礎(chǔ)點(一)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系[題點全訓(xùn)]1．若sinα＝－eq\f(5,13)，且α為第四象限角，則tanα的值等于()A.eq\f(12,5) B．－eq\f(12,5)C.eq\f(5,12) D．－eq\f(5,12)解析：選D因為α為第四象限角，故cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))2)＝eq\f(12,13)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(－\f(5,13),\f(12,13))＝－eq\f(5,12).2．若tanα＝2，則eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋cos2α＝()A.eq\f(16,5) B．－eq\f(16,5)C.eq\f(8,5) D．－eq\f(8,5)解析：選Aeq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋cos2α＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＋eq\f(1,tan2α＋1)，將tanα＝2代入上式，則原式＝eq\f(16,5).3．已知sinαcosα＝－eq\f(12,25)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))，則sinα＋cosα＝()A．－eq\f(1,5) B．eq\f(1,5)C．－eq\f(7,5) D．eq\f(7,5)解析：選B(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,25)))＝eq\f(1,25)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))，所以sinα＋cosα>0，所以sinα＋cosα＝eq\f(1,5).[一“點”就過]知弦求弦利用誘導(dǎo)公式及平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1求解知弦求切常通過平方關(guān)系，與對稱式sinα±cosα，sinα·cosα建立聯(lián)系，注意tanα＝eq\f(sinα,cosα)的靈活應(yīng)用知切求弦先利用商數(shù)關(guān)系得出sinα＝tanα·cosα或cosα＝eq\f(sinα,tanα)，然后利用平方關(guān)系求解基礎(chǔ)點(二)誘導(dǎo)公式[題點全訓(xùn)]1．若tan(π－x)＝eq\f(1,2)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝()A．±eq\f(\r(5),5) B．±eq\f(2\r(5),5)C．－eq\f(\r(5),5) D．eq\f(2\r(5),5)解析：選A因tan(π－x)＝eq\f(1,2)，則tanx＝－eq\f(1,2)，即cosx＝－2sinx，而sin2x＋cos2x＝1，于是得sin2x＝eq\f(1,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝－sinx＝±eq\f(\r(5),5).2．已知角α的終邊經(jīng)過點P(－2,1)，則tanα＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝()A．－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(5),5) B．－eq\f(1,2)－eq\f(\r(5),5)C．－2＋eq\f(\r(5),5) D．－2－eq\f(\r(5),5)解析：選A由已知可得tanα＝－eq\f(1,2)，sinα＝eq\f(1,\r(1＋－22))＝eq\f(\r(5),5)，則tanα＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝tanα＋sinα＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(5),5).3．若tanθ＝2，則f(θ)＝eq\f(sinπ－θ－cosθ－π,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2))))＝()A．－1 B．1C．－3 D．3解析：選Df(θ)＝eq\f(sinπ－θ－cosθ－π,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2))))＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ).因為tanθ＝2，所以cosθ≠0.所以f(θ)＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(tanθ＋1,tanθ－1)＝eq\f(2＋1,2－1)＝3.4．sin(－1200°)tan1290°＝________.解析：原式＝－sin1200°tan1290°＝－sin(3×360°＋120°)·tan(3×360°＋210°)＝－sin120°tan210°＝－sin(180°－60°)tan(180°＋30°)＝－sin60°tan30°＝－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),3)＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)[一“點”就過]1．誘導(dǎo)公式的兩個應(yīng)用(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了．(2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了．2．含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進行運算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.層級二/重難點——逐一精研(補欠缺)eq\a\vs4\al(重難點)|誘導(dǎo)公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系的綜合[典例](1)已知α是第四象限角，且3sin2α＝8cosα，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2021π,2)))＝()A．－eq\f(2\r(2),3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(2\r(2),3) D．eq\f(1,3)(2)已知θ是第四象限角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝________.[解析](1)∵3sin2α＝8cosα，∴sin2α＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3sin2α,8)))2＝1，整理可得9sin4α＋64sin2α－64＝0，解得sin2α＝eq\f(8,9)或sin2α＝－8(舍去)，又∵α是第四象限角，∴sinα＝－eq\f(2\r(2),3)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2021π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋1010π＋\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝－sinα＝eq\f(2\r(2),3)，故選C.(2)由題意知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，θ是第四象限角，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＞0，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))＝eq\f(4,5).taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)－\f(π,2)))＝－eq\f(\a\vs4\al(sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))))),cos\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))))＝－eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))＝－eq\f(4,5)×eq\f(5,3)＝－eq\f(4,3).[答案](1)C(2)－eq\f(4,3)[方法技巧]利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式解題的思路(1)分析結(jié)構(gòu)特點，尋求條件與所求間的關(guān)系，尤其是有關(guān)角之間的關(guān)系；(2)恰當(dāng)選擇公式，利用公式靈活變形；(3)化簡求值．[提醒](1)角的范圍會影響三角函數(shù)值的符號，開方時要先判斷三角函數(shù)值的符號．(2)化簡過程是恒等變換．[針對訓(xùn)練]1．若α是三角形的一個內(nèi)角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝eq\f(1,5)，則tanα的值是()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(3,4)C．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4) D．不存在解析：選A由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝eq\f(1,5)，得cosα＋sinα＝eq\f(1,5)，∴2sinαcosα＝－eq\f(24,25)<0.∵α∈(0，π)，∴α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinα－cosα＝eq\r(1－2sinαcosα)＝eq\f(7,5)，∴sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5)，∴tanα＝－eq\f(4,3)，故選A.2．已知sinα＋3cosα＝eq\r(10)，則sin2α＋cos(2021π＋α)·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))的值為()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C.eq\f(4,5) D．eq\f(3,4)解析：選B由sinα＋3cosα＝eq\r(10)，得sin2α＋6sinαcosα＋9cos2α＝10，∴6sinαcosα＋8cos2α＝9，即eq\f(6sinαcosα＋8cos2α,sin2α＋cos2α)＝9，∴9tan2α－6tanα＋1＝0，解得tanα＝eq\f(1,3)，∴sin2α＋cos(2021π＋α)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝sin2α＋sinαcosα＝eq\f(sin2α＋sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α＋tanα,tan2α＋1)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋\f(1,3),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋1)＝eq\f(2,5)，故選B.層級三/細(xì)微點——優(yōu)化完善(掃盲點)1．(忽視角所在的象限)已知α是第二象限角，sinα＝eq\f(5,13)，則cosα等于()A．－eq\f(12,13) B．－eq\f(5,13)C.eq\f(5,13) D．eq\f(12,13)解析：選A∵α是第二象限角，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(12,13).2．(創(chuàng)新解題思維·利用勾股數(shù))已知tanα＝eq\f(3,4)，sinα<0，則cosα＝()A.eq\f(3,5) B．－eq\f(3,5)C.eq\f(4,5) D．－eq\f(4,5)解析：選D由tanα＝eq\f(3,4)，想到勾股數(shù)(3,4,5)，結(jié)合sinα<0，得cosα＝－eq\f(4,5).3.(借助數(shù)學(xué)文化)《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成的一個大的正方形，若圖中所示的角為α(0°<α<45°)，且小正方形與大正方形面積之比為1∶25，則tanα的值為()A.eq\f(3,5) B．eq\f(3,4)C.eq\f(4,5) D．eq\f(24,25)解析：選B設(shè)直角三角形較短的直角邊長為a，則較長直角邊長為eq\f(a,tanα)，所以，小正方形的邊長為aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tanα)－1))，大正方形的邊長為eq\f(a,sinα)，由于小正方形與大正方形面積之比為1∶25，所以eq\f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tanα)))－1,\f(a,sinα))＝cosα－sinα＝eq\f(1,5)，由于0°<α<45°，則cosα>sinα>0.由已知條件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα－sinα＝\f(1,5)，,cos2α＋sin2α＝1，,cosα>sinα>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＝\f(4,5)，,sinα＝\f(3,5)，))因此，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4).故選B.4．(忽視角的范圍導(dǎo)致產(chǎn)生增根)已知θ∈(0，π)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(4,3)，則sinθ＋cosθ＝________.解析：由題知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(4,3)＝eq\f(1＋tanθ,1－tanθ)?tanθ＝eq\f(1,7)，又因為θ∈(0，π)，且tanθ>0，所以θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(sinθ,cosθ)＝\f(1,7)，,cos2θ＋sin2θ＝1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(\r(2),10)，,cosθ＝\f(7\r(2),10)，))所以sinθ＋cosθ＝eq\f(8\r(2),10)＝eq\f(4\r(2),5).答案：eq\f(4\r(2),5)5．(忽視三角函數(shù)式符號的判斷)已知sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，則sinθ－cosθ的值為________．解析：∵sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)，∴sinθcosθ＝eq\f(7,18)，∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝eq\f(2,9)，又θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，∴sinθ<cosθ，∴sinθ－cosθ＝－eq\f(\r(2),3).答案：－eq\f(\r(2),3)6．(創(chuàng)新命題角度)已知曲線f(x)＝eq\f(2,3)x3在點(1，f(1))處的切線的傾斜角為α，則eq\f(sin2α－cos2α,2sinαcosα＋cos2α)的值為________．解析：由f(x)＝eq\f(2,3)x3得f′(x)＝2x2，∴f′(1)＝2，故tanα＝2.∴eq\f(sin2α－cos2α,2sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(tan2α－1,2tanα＋1)＝eq\f(22－1,2×2＋1)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)[課時驗收評價]一、點全面廣強基訓(xùn)練1．(2023·營口模擬)已知sinx＝eq\f(1,4)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋x))＝()A.eq\f(1,4) B．－eq\f(1,4)C.eq\f(\r(15),16) D．－eq\f(\r(15),16)解析：選Acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋x))＝sinx＝eq\f(1,4).2．(2023·邯鄲一模)若cosα＝eq\f(3,5)，且α在第四象限，則tanα＝()A.eq\f(3,4) B．－eq\f(3,4)C.eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)解析：選D∵cosα＝eq\f(3,5)，且α在第四象限，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(4,5)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).3．在平面直角坐標(biāo)系中，角α的頂點在坐標(biāo)原點，始邊在x軸的非負(fù)半軸，終邊過點(x,4)且tan(－π＋α)＝－2，則cosα＝()A．－eq\f(2\r(5),5) B．－eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(5),5) D．eq\f(2\r(5),5)解析：選B由題意角α終邊過點(x,4)且tan(－π＋α)＝－2，所以tanα＝－2，即eq\f(4,x)＝－2，所以x＝－2，故cosα＝eq\f(－2,\r(－22＋42))＝－eq\f(\r(5),5).4．若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的兩根，則m的值為()A．1＋eq\r(5) B．1－eq\r(5)C．1±eq\r(5) D．－1－eq\r(5)解析：選B由題意知sinθ＋cosθ＝－eq\f(m,2)，sinθcosθ＝eq\f(m,4).∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，∴eq\f(m2,4)＝1＋eq\f(m,2)，解得m＝1±eq\r(5)，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－eq\r(5).5．在△ABC中，eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝3sin(π－A)，且cosA＝－eq\r(3)cos(π－B)，則△ABC為()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形解析：選B將eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝3sin(π－A)化為eq\r(3)cosA＝3sinA，則tanA＝eq\f(\r(3),3)，則A＝eq\f(π,6)，將cosA＝－eq\r(3)cos(π－B)化為coseq\f(π,6)＝eq\r(3)cosB，則cosB＝eq\f(1,2)，則B＝eq\f(π,3)，故△ABC為直角三角形．6．sin613°＋cos1063°＋tan(－30°)的值為________．解析：原式＝sin(180°＋73°)＋cos(－17°)－tan30°＝－sin73°＋cos(－17°)－tan30°＝－cos17°＋cos17°－eq\f(\r(3),3)＝－eq\f(\r(3),3).答案：－eq\f(\r(3),3)7．已知sineq\f(π,2)＋α＝－eq\f(4,5)，那么tanα·sinα＝________.解析：∵sineq\f(π,2)＋α＝－eq\f(4,5)，∴cosα＝－eq\f(4,5)，sin2α＝1－cos2α＝1－eq\f(16,25)＝eq\f(9,25)，∴tanα·sinα＝eq\f(sin2α,cosα)＝eq\f(\f(9,25),－\f(4,5))＝－eq\f(9,20).答案：－eq\f(9,20)8．若tanα＝cosα，則eq\f(1,sinα)＋cos4α＝________.解析：tanα＝cosα?eq\f(sinα,cosα)＝cosα?sinα＝cos2α，故eq\f(1,sinα)＋cos4α＝eq\f(sin2α＋cos2α,sinα)＋cos4α＝sinα＋eq\f(cos2α,sinα)＋cos4α＝sinα＋eq\f(sinα,sinα)＋sin2α＝sin2α＋sinα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.答案：29．已知0<α<π，tanα＝2.(1)求cosα的值；(2)求2sin2α－sinαcosα＋cos2α的值．解：(1)由0<α<π，tanα＝2>0可知0<α<eq\f(π,2)，故cosα>0.由于tanα＝2?sinα＝2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，進而可得cos2α＝eq\f(1,5)，因為cosα>0，故cosα＝eq\f(\r(5),5).(2)2sin2α－sinαcosα＋cos2α＝eq\f(2sin2α－sinαcosα＋cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tan2α－tanα＋1,tan2α＋1)＝eq\f(8－2＋1,4＋1)＝eq\f(7,5).10．已知α為第三象限角，f(α)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))·tanπ－α,tan－α－π·sin－α－π).(1)化簡f(α)；(2)若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq\f(1,5)，求f(α)的值．解：(1)f(α)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))·tanπ－α,tan－α－π·sin－α－π)＝eq\f(－cosα·sinα·－tanα,－tanα·sinα)＝－cosα.(2)∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq\f(1,5)，∴－sinα＝eq\f(1,5)，從而sinα＝－eq\f(1,5).又∵α為第三象限角，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(6),5)，∴f(α)＝－cosα＝eq\f(2\r(6),5).二、重點難點培優(yōu)訓(xùn)練1．已知角α的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(m，－4)，其中m<0，若cos2α＝－eq\f(7,25)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(mπ,2)))＝()A．2 B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(4,3) D．－eq\f(3,4)解析：選D依題意，tanα＝－eq\f(4,m)>0，又cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝－eq\f(7,25)，解得tanα＝eq\f(4,3)，從而得m＝－3，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(mπ,2)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2))))＝eq\f(cosα,－sinα)＝－eq\f(1,tanα)＝－eq\f(3,4).2．已知sinα＋cosα＝eq\f(1,2)，α∈(0，π)，則eq\f(1－tanα,1＋tanα)＝()A．－eq\r(7) B．eq\r(7)C.eq\r(3) D．－eq\r(3)解析：選A因為sinα＋cosα＝eq\f(1,2)，所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝eq\f(1,4)，所以sinαcosα＝－eq\f(3,8)，又因為α∈(0，π)，所以sinα>0，cosα<0，所以cosα－sinα<0，因為(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)))＝eq\f(7,4)，所以cosα－sinα＝－eq\f(\r(7),2)，所以eq\f(1－tanα,1＋tanα)＝eq\f(1－\f(sinα,cosα),1＋\f(sinα,cosα))＝eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)＝eq\f(－\f(\r(7),2),\f(1,2))＝－eq\r(7).3．已知θ是第一象限角，若sinθ－2cosθ＝－eq\f(2,5)，則sinθ＋cosθ＝________.解析：∵sinθ－2cosθ＝－eq\f(2,5)，∴sinθ＝2cosθ－eq\f(2,5)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cosθ－\f(2,5)))2＋cos2θ＝1，∴5cos2θ－eq\f(8,5)cosθ－eq\f(21,25)＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ－\f(3,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5cosθ＋\f(7,5)))＝0.又∵θ為第一象限角，∴cosθ＝eq\f(3,5)，∴sinθ＝eq\f(4,5)，∴sinθ＋cosθ＝eq\f(7,5).答案：eq\f(7,5)4．已知關(guān)于x的方程2x2－(eq\r(3)＋1)x＋m＝0的兩根分別是sinθ和cosθ，θ∈(0,2π)，求：(1)eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cosθ,1－tanθ)的值；(2)m的值；(3)方程的兩根及此時θ的值．解：(1)原式＝eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cosθ,1－\f(sinθ,cosθ))＝eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cos2θ,cosθ－sinθ)＝eq\f(sin2θ－cos2θ,sinθ－cosθ)＝sinθ＋cosθ.由條件知sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(3)＋1,2)，故eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cosθ,1－tanθ)＝eq\f(\r(3)＋1,2).(2)由已知，得sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(3)＋1,2)，sinθcosθ＝eq\f(m,2)，因為1＋2sinθcosθ＝(sinθ＋cosθ)2，所以1＋2×eq\f(m,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋1,2)))2，解得m＝eq\f(\r(3),2).(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ＝\f(\r(3)＋1,2)，sinθcosθ＝\f(\r(3),4)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(\r(3),2)，,cosθ＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(1,2)，,cosθ＝\f(\r(3),2).))又θ∈(0,2π)，故θ＝eq\f(π,3)或θ＝eq\f(π,6).故當(dāng)sinθ＝eq\f(\r(3),2)，cosθ＝eq\f(1,2)時，θ＝eq\f(π,3)；當(dāng)sinθ＝eq\f(1,2)，cosθ＝eq\f(\r(3),2)時，θ＝eq\f(π,6).第三節(jié)三角恒等變換1.會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.2.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3.利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.4.能運用上述公式進行簡單的恒等變換包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶.1．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β?sin_αsin_β；(3)tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sin_αcos_α；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3．輔助角公式一般地，函數(shù)f(α)＝asinα＋bcosα(a，b為常數(shù))可以化為f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq\r(a2＋b2)cos(α－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝eq\f(a,b))).1．兩角和與差的正切公式的變形tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)；tanα·tanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β)－1.2．降冪公式3．升冪公式e