人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專(zhuān)題02與三角形的角有關(guān)的三種題型(原卷版+解析)

專(zhuān)題02與三角形的角有關(guān)的三種題型類(lèi)型一、與角平分線(xiàn)有關(guān)的內(nèi)角和問(wèn)題例．如圖，中，，平分，若，，則（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】如圖，在，、分別是高和角平分線(xiàn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，交于，交于，下列結(jié)論：①；②；③；④，正確的是（）

A．1 B．2 C．3 D．4【變式訓(xùn)練2】如圖，中，，，平分，于，，則的度數(shù)=

【變式訓(xùn)練3】如圖，在中，線(xiàn)段平分，交邊于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若，則度．

類(lèi)型二、折疊問(wèn)題例．如圖，將沿折疊，使、與邊分別相交于點(diǎn)、，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】如圖，將紙片沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，且平分平分，若，則．【變式訓(xùn)練2】在中，，，將、按照如圖所示折疊，若，則°【變式訓(xùn)練3】如圖，在中，，，點(diǎn)D是上的一點(diǎn)，將沿翻折得到，邊交于點(diǎn)F，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．類(lèi)型三、多邊形角度問(wèn)題例．一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于與它相鄰的內(nèi)角，這個(gè)多邊形是（

）邊形A．四 B．五 C．六 D．八例2.（1）如圖1所示，；（2）如果把圖1稱(chēng)為二環(huán)三角形，它的內(nèi)角和為；圖2稱(chēng)為二環(huán)四邊形，它的內(nèi)角和為，則二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為；二環(huán)五邊形的內(nèi)角和為；二環(huán)n邊形的內(nèi)角和為．【變式訓(xùn)練1】如圖所示，已知，試求的度數(shù)．

【變式訓(xùn)練2】根據(jù)題意解答：(1)如圖1，點(diǎn)、、、在同一直線(xiàn)上，平分，，若為度，求的度數(shù)（用關(guān)于的代數(shù)式表示），并說(shuō)明理由．(2)如圖2，某停車(chē)場(chǎng)入口大門(mén)的欄桿如圖所示，地面，地面，求的度數(shù)，并說(shuō)明理由．(3)如圖3，若，，，則__________度．課后訓(xùn)練1．如圖，在中，，將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到．若點(diǎn)恰好落在邊上，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．如圖，點(diǎn)在同一平面內(nèi)，連接，若，則（

）

A． B． C． D．3．如圖在五角星中，的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．4．一副三角板如圖方式擺放，平分，平分，則的度數(shù)為．

5．把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中，，，，則．

6．如圖，在中，，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，是與平分線(xiàn)的交點(diǎn)，是的兩外角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，若，則的度數(shù)．

7．如圖，在中．若，，則°．

8．探究與發(fā)現(xiàn)：(1)如圖1，在中，，分別平分和．①若，則______；②若，用含有的式子表示的度數(shù)為_(kāi)_____；(2)如圖2，在四邊形中，，分別平分和，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，在六邊形中，，分別平分和，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系．

專(zhuān)題02與三角形的角有關(guān)的三種題型類(lèi)型一、與角平分線(xiàn)有關(guān)的內(nèi)角和問(wèn)題例．如圖，中，，平分，若，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，那么，然后利用分別表示，，，最后利用三角形內(nèi)角和定理建立方程解決問(wèn)題．【詳解】解：∵中，，∴設(shè)，那么，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，同時(shí)也利用了角平分線(xiàn)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練使用三角形內(nèi)角和定理．【變式訓(xùn)練1】如圖，在，、分別是高和角平分線(xiàn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，交于，交于，下列結(jié)論：①；②；③；④，正確的是（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①根據(jù)，，以及即可推出；②根據(jù)角平分線(xiàn)的定義和三角形外角的性質(zhì)證明即可；③證明，由①知：即可證明；④由同角的余角相等證明，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及角平分線(xiàn)的性質(zhì)即可推出．【詳解】解：∵，∴．∵，∴．∵，∴．故①正確；∵平分，∴．∵，∴．∵，∴．故②正確；∵平分，∴．∵，∴．∴．由①知：，∴．故③正確；∵，，∴，．∴．∵平分，∴，∴．故④正確；綜上可知，正確的有①②③④，共4個(gè)，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，同角的余角相等等知識(shí)，正確運(yùn)用三角形的高、角平分線(xiàn)的概念以及三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】如圖，中，，，平分，于，，則的度數(shù)=

【答案】/70度【分析】先求出，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得出，根據(jù)垂直的定義得出，求出，進(jìn)而求出，再得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出答案．【詳解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線(xiàn)的定義，三角形內(nèi)角和定理，垂直的定義，掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】如圖，在中，線(xiàn)段平分，交邊于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若，則度．

【答案】【分析】由三角形內(nèi)角和定理結(jié)合已知條件得出，由角平分線(xiàn)的定義得出，進(jìn)而得出，得出，由垂線(xiàn)的定義求出，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)．【詳解】解：，，，，平分，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，角平分線(xiàn)的定義，垂直的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．類(lèi)型二、折疊問(wèn)題例．如圖，將沿折疊，使、與邊分別相交于點(diǎn)、，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】可得，，可求，從而可求，由，，即可求解．【詳解】解：由翻折得：，，，，，，，，，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，掌握性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】如圖，將紙片沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，且平分平分，若，則．【答案】/80度【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)的定義和三角形的內(nèi)角和定理可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得，即可求解.【詳解】解：連接．∵平分平分，，∴，，∴，∴，∵，，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)以及角平分線(xiàn)的定義等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)、得出是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練2】在中，，，將、按照如圖所示折疊，若，則°【答案】【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)求出，，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，，進(jìn)而求出，然后求出四邊形內(nèi)角和，進(jìn)而得出，即可得出答案．【詳解】根據(jù)折疊性質(zhì)得，，．∵，，∴，，∴，，∴．在四邊形中，.∴，即，∴，∴．故答案為：265．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和等，確定各角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】如圖，在中，，，點(diǎn)D是上的一點(diǎn)，將沿翻折得到，邊交于點(diǎn)F，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出，求出，根據(jù)，即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，根據(jù)折疊可知，，∴，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出．類(lèi)型三、多邊形角度問(wèn)題例．一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于與它相鄰的內(nèi)角，這個(gè)多邊形是（

）邊形A．四 B．五 C．六 D．八【答案】A【分析】先求出多邊形的外角度數(shù)，再根據(jù)多邊形的外角和等于求出邊數(shù)即可．【詳解】解：一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于和它相鄰的內(nèi)角，這個(gè)多邊形的每一個(gè)外角的度數(shù)為，多邊形的邊數(shù)為，即多邊形是四邊形，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角，能根據(jù)多邊形的外角和求出多邊形的邊數(shù)是即此題的關(guān)鍵，注意：邊數(shù)為的多邊形的內(nèi)角和，多邊形的外角和等于．例2.（1）如圖1所示，；（2）如果把圖1稱(chēng)為二環(huán)三角形，它的內(nèi)角和為；圖2稱(chēng)為二環(huán)四邊形，它的內(nèi)角和為，則二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為；二環(huán)五邊形的內(nèi)角和為；二環(huán)n邊形的內(nèi)角和為．【答案】360°720°1080°【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)對(duì)頂角和三角形內(nèi)角和的知識(shí)，得，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；（2）連接，交于點(diǎn)M，根據(jù)三角形內(nèi)角和和對(duì)頂角的知識(shí)，得；結(jié)合五邊形內(nèi)角和性質(zhì)，得；結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】（1）如圖所示，連接AD，交于點(diǎn)M∵，，∴；故答案為：360°（2）如圖，連接，交于點(diǎn)M∴，∵∴∴∵∴∴∴二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為：∵二環(huán)三角形的內(nèi)角和為：二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為：∴二環(huán)五邊形的內(nèi)角和為：∴二環(huán)n邊形的內(nèi)角和為：故答案為：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和、對(duì)頂角、數(shù)字規(guī)律的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和、多邊形內(nèi)角和、數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)，從而完成求解．【變式訓(xùn)練1】若一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是．【答案】八/8【分析】利用任何多邊形的外角和是，用除以一個(gè)外角度數(shù)即可求出答案．【詳解】解：多邊形外角個(gè)數(shù)：，所以多邊形的邊數(shù)為，故答案為：八．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的外角和定理，已知外角求邊數(shù)的這種方法是需要熟記的內(nèi)容．外角和定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】如圖所示，已知，試求的度數(shù)．

【答案】【分析】連接AD．由四邊形ABCD的內(nèi)角和定理可推得，然后證明，則可證．【詳解】解：連接．設(shè)與相交于點(diǎn)O．

由四邊形的內(nèi)角和可得：，∵，∴．在與中，∴即即(注：，)【點(diǎn)睛】本題考查了三角形與多邊形內(nèi)角和求法，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)的多邊形內(nèi)角和定理將所求的角集中在一起．【變式訓(xùn)練3】根據(jù)題意解答：(1)如圖1，點(diǎn)、、、在同一直線(xiàn)上，平分，，若為度，求的度數(shù)（用關(guān)于的代數(shù)式表示），并說(shuō)明理由．(2)如圖2，某停車(chē)場(chǎng)入口大門(mén)的欄桿如圖所示，地面，地面，求的度數(shù)，并說(shuō)明理由．(3)如圖3，若，，，則__________度．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析；(2)，理由見(jiàn)解析；(3)．【分析】（1）根據(jù)平角定義表示，由角平分線(xiàn)定義得：，最后根據(jù)平行線(xiàn)性質(zhì)得結(jié)論；（2）作平行線(xiàn)，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得：和，所以；（3）作輔助線(xiàn)，根據(jù)外角定理和四邊形的內(nèi)角和列式后可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴．（2）解：過(guò)作，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．（3）解：延長(zhǎng)圖中線(xiàn)段，構(gòu)建如圖所示的三角形和四邊形，由三角形外角定理得：，，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)和多邊形的內(nèi)角和，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解答本題的關(guān)鍵；熟練掌握外角定理：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，知道四邊形的內(nèi)角和為．課后訓(xùn)練1．如圖，在中，，將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到．若點(diǎn)恰好落在邊上，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，從而利用等腰三角形的性質(zhì)可得，然后利用三角形內(nèi)角和定理可得，即可解答．【詳解】由旋轉(zhuǎn)得：，，∴，∴，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，點(diǎn)在同一平面內(nèi)，連接，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，再利用四邊形內(nèi)角和減去和的和，即可得到結(jié)果．【詳解】解：連接，

，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，四邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造三角形和四邊形．3．如圖在五角星中，的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形外角的性質(zhì)可得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：利用三角形外角的性質(zhì)可得，，

再根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)可得：，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．4．一副三角板如圖方式擺放，平分，平分，則的度數(shù)為．

【答案】【分析】首先根據(jù)三角板的性質(zhì)得到，，然后利用角平分線(xiàn)的概念得到，，最后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】∵一副三角板如圖方式擺放，∴，，∵平分，平分，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了三角板中角的運(yùn)算，角平分線(xiàn)的概念，三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．5．把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中，，，，則．

【答案】【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和解答即可．【詳解】解：如圖可知：，，，，，故答案為：．

【點(diǎn)睛】此題考查三角形內(nèi)角和，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)解答．6．如圖，在中，，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，是與平分線(xiàn)的交點(diǎn)，是的兩外角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，若，則的度數(shù)．

【答案】/10度【分析】利用角平分線(xiàn)的定義，可得出，，結(jié)合，可得出的度數(shù)，再利用三角形的外角性質(zhì)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：平分，平分，，，，，又，．，，∵，∴，又，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)以及角平分線(xiàn)的定義，牢記“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在中．若，，則°．

【答案】【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和得出，再根據(jù)整理即可得證，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得出答案．【詳解】是的一個(gè)外角即是的一個(gè)外角即故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和和外角的定義，根據(jù)圖形找到角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．探究與發(fā)現(xiàn)：(1)如圖1，在中，，分別平分和．①若，則______；②若，用含有的式子表示的度數(shù)為_(kāi)_____；(2)如圖2，在四邊形中，，分別平分和，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，在六邊形中，，分別平分和，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①；②(2)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和，