2025屆宜昌市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末聯(lián)考試題含解析

2025屆宜昌市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末聯(lián)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若平面和直線，滿足，，則與的位置關(guān)系一定是（）A．相交 B．平行 C．異面 D．相交或異面2．設(shè)在中,角所對的邊分別為,若,則的形狀為（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定3．某班由50個編號為01，02，03，…50的學(xué)生組成，現(xiàn)在要選取8名學(xué)生參加合唱團(tuán)，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表的第1行的第11列開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則該樣本中選出的第8名同學(xué)的編號為（）495443548217379323783035209623842634916450258392120676572355068877047447672176335025839212067649544354827447A．20 B．25 C．26 D．344．若平面α∥平面β，直線平面α，直線n?平面β，則直線與直線n的位置關(guān)系是（）A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面5．閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行該程序，則輸出的值為（）A．3 B．1C．-1 D．06．若實(shí)數(shù)x,y滿足x2y2A．4，8 B．8，+7．已知向量，滿足：則A． B． C． D．8．已知平面平面，直線，直線，則直線，的位置關(guān)系為（）A．平行或相交 B．相交或異面 C．平行或異面 D．平行?相交或異面9．已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．10．已知，，，若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于（）.A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知單位向量與的夾角為，且，向量與的夾角為，則=.12．如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，平面，，給出下列結(jié)論：①；②直線平面；③平面平面；④異面直線與所成角為；⑤直線與平面所成角的余弦值為.其中正確的有_______（把所有正確的序號都填上）13．對于數(shù)列滿足：，其前項和為記滿足條件的所有數(shù)列中，的最大值為，最小值為，則___________14．?dāng)?shù)列{}的前項和為，若，則{}的前2019項和____.15．函數(shù)的最大值為______.16．已知，且，則_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)遞增數(shù)列共有項，定義集合，將集合中的數(shù)按從小到大排列得到數(shù)列；（1）若數(shù)列共有4項，分別為，，，，寫出數(shù)列的各項的值；（2）設(shè)是公比為2的等比數(shù)列，且，若數(shù)列的所有項的和為4088，求和的值；（3）若，求證：為等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列恰有7項；18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)與兩個定點(diǎn)，的距離之比為.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式；（2）求面積的最大值；（3）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）為數(shù)列的前n項和，，求數(shù)列的前n項和．20．如圖，某地三角工廠分別位于邊長為2的正方形的兩個頂點(diǎn)及中點(diǎn)處.為處理這三角工廠的污水，在該正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）與等距的點(diǎn)處建一個污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道，記輔設(shè)管道總長為千米.（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：（i）設(shè)，將表示成的函數(shù)；（ii）設(shè)，將表示成的函數(shù)；（2）請你選用一個函數(shù)關(guān)系，確定污水廠位置，使鋪設(shè)管道總長最短.21．已知是的內(nèi)角，分別是角的對邊.若,（1）求角的大??；（2）若，的面積為，為的中點(diǎn)，求

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

當(dāng)時與相交，當(dāng)時與異面.【詳解】當(dāng)時與相交，當(dāng)時與異面.故答案為D【點(diǎn)睛】本題考查了直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型.2、B【解析】

利用正弦定理可得，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式可得，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，，所以，所以是直角三角?【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.3、D【解析】

利用隨機(jī)數(shù)表依次選出8名學(xué)生的二位數(shù)的編號，超出范圍的、重復(fù)的要舍去.【詳解】從隨機(jī)數(shù)表的第1行的第11列開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，選出來的8名學(xué)生的編號分別為：17，37，（93舍去）23，（78舍去）30，35，20，（96舍去）（23舍去）（84舍去）26，1；∴樣本選出來的第8名同學(xué)的編號為1．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了利用隨機(jī)數(shù)表法求抽樣編號的問題，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解析】

由面面平行的定義，可得兩直線無公共點(diǎn)，可得所求結(jié)論．【詳解】平面α∥平面β，可得兩平面α，β無公共點(diǎn)，即有直線與直線也無公共點(diǎn)，可得它們異面或平行，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查空間線線的位置關(guān)系，考查面面平行的定義，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解析】

從起始條件、開始執(zhí)行程序框圖，直到終止循環(huán).【詳解】，，，，，輸出.【點(diǎn)睛】本題是直到型循環(huán)，只要滿足判斷框中的條件，就終止循環(huán)，考查讀懂簡單的程序框圖.6、A【解析】

利用基本不等式得x2y2【詳解】∵x2y2≤(x2+y2)24∴x2故選A．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求最值問題，解題關(guān)鍵是掌握基本不等式的變形應(yīng)用：ab≤(a+b)7、D【解析】

利用向量的數(shù)量積運(yùn)算及向量的模運(yùn)算即可求出．【詳解】∵||=3，||=2，|+|=4，∴|+|2=||2+||2+2=16，∴2=3，∴|﹣|2=||2+||2﹣2=9+4﹣3=10，∴|﹣|=，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量模的計算，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】

根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系，結(jié)合題意，進(jìn)行選擇.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫本€，直線，所以直線沒有公共點(diǎn)，所以兩條直線平行或異面.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.9、A【解析】

根據(jù)題意可知方程有解即可，代入解析式化簡后，利用基本不等式得出，再利用分類討論思想即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】由題意知，方程有解，則，化簡得，即，因?yàn)椋?，?dāng)時，化簡得，解得；當(dāng)時，化簡得，解得，綜上所述的取值范圍為．故答案為：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，以及利用基本不等式求最值的應(yīng)用，其中解答中利用題設(shè)條件化簡，合理利用基本不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．10、A【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，即，所以，，因此，因?yàn)椋缘淖畲笾档扔?，?dāng)，即時取等號．考點(diǎn)：1、平面向量數(shù)量積；2、基本不等式．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】試題分析：因?yàn)樗钥键c(diǎn)：向量數(shù)量積及夾角12、①③④⑤【解析】

設(shè)出幾何體的邊長，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，線面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，異面直線所成角，線面角有關(guān)知識，對五個結(jié)論逐一分析，由此得出正確結(jié)論的序號.【詳解】設(shè)正六邊形長為，則.根據(jù)正六邊形的幾何性質(zhì)可知，由平面得，所以平面，所以，故①正確.由于，而，所以直線平面不正確，故②錯誤.易證得,所以平面，所以平面平面，故③正確.由于,所以是異面直線與所成角，在中，，故，也即異面直線與所成角為，故④正確.連接，則，由①證明過程可知平面，所以平面，所以是所求線面角，在三角形中，，由余弦定理得，故⑤正確.綜上所述，正確的序號為①③④⑤.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面垂直的判定，面面垂直的判定，考查線線角、線面角的求法，屬于中檔題.13、1【解析】

由，，，，，分別令，3，4，5，求得的前5項，觀察得到最小值，，計算即可得到的值．【詳解】由，，，，，可得，解得，又，，可得或，又，，，可得或5；或6；或或8；又，，，，可得或6或7；或7或8；或8或9或10或12；或10或12或1．綜上可得的最大值，最小值為，則．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的和的最值，注意運(yùn)用元素與集合的關(guān)系，運(yùn)用列舉法，考查判斷能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．14、1009【解析】

根據(jù)周期性，對2019項進(jìn)行分類計算，可得結(jié)果?！驹斀狻拷猓焊鶕?jù)題意，的值以為循環(huán)周期，=1009故答案為：1009.【點(diǎn)睛】本題考查了周期性在數(shù)列中的應(yīng)用，屬于中檔題。15、【解析】

設(shè)，，，則，，可得，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)的最值．【詳解】解：函數(shù)，設(shè)，，則，，，，故當(dāng)，即時，函數(shù)，故故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查求函數(shù)的值域，正弦函數(shù)的定義域和值域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

首先根據(jù)已知條件求得的值，平方后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得的值.【詳解】由得，兩邊平方并化簡得，由于，所以.而，由于，所以【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查兩角和的正弦公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，，，；（2），；（3）證明見解析；【解析】

(1)根據(jù)題意從小到大計算中的值即可.(2)易得數(shù)列的所有項的和等于中的每個項重復(fù)加了次,再根據(jù)等比數(shù)列求和即可.(3)分別證明當(dāng)時,若為等差數(shù)列則數(shù)列恰有7項以及當(dāng)數(shù)列恰有7項證明為等差數(shù)列即可.【詳解】(1)易得當(dāng),,,時,,,,,.(2)若是公比為2的等比數(shù)列,且,則數(shù)列的所有項的和等于中每一項重復(fù)加了次,故.即,又,故,易得隨著的增大而增大.當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,故,此時.(3)證明：先證明充分性：若,且為等差數(shù)列,不妨設(shè),則數(shù)列也為等差數(shù)列為的等差數(shù)列.且最小值為,最大值為.故數(shù)列恰有7項.再證明必要性：若數(shù)列恰有7項.則因?yàn)?故的7項分別為.又,可得,即.同理有,故為等差數(shù)列.綜上可知,若,則為等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列恰有7項【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列綜合運(yùn)用,需要根據(jù)題意分析與的關(guān)系,將中的通項用中的項表達(dá),再計算即可.同時也考查了推理證明的能力.屬于難題.18、（1）（2）3；（3）【解析】

（1）根據(jù)題意，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式，可以得到等式，化簡后得到點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式；（2）設(shè)是曲線上任一點(diǎn)，求出的表達(dá)式，結(jié)合的取值范圍，可以求出面積的最大值；（3）恒成立，則恒成立.設(shè)，當(dāng)它與圓相切時，取得最大和最小值，利用點(diǎn)到直線距離公式，可以求出取得最大和最小值，最后可以求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)的坐標(biāo)是，由，得，化簡得.（2）由（1）得，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上.設(shè)是曲線上任一點(diǎn)，則，又，故的最大值為：.（3）由（1）得：圓的方程是若恒成立，則恒成立.設(shè)，當(dāng)它與圓相切時，取得最大和最小值，由得：，，故當(dāng)時，原不等式恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查了求點(diǎn)的軌跡方程，考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了求三角形面積最大值問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.19、（1），n∈N+；（2）【解析】

（1）設(shè)公比為q，q>0，運(yùn)用等比數(shù)列的通項公式，解方程即可得到所求；（2），再由數(shù)列的裂項相消求和，計算可得所求和．【詳解】(1)數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)公比為q，q>0，，.即,，解得,可得，n∈N+；(2)，前n項和，由(1)可得a1=2,，即有.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項和求和，數(shù)列求和的常用方法有:分組求和,錯位相減求和,倒序相加求和等，本題解題關(guān)鍵是裂項的形式，本題屬于中等題.20、（1）（i）（，其中）.（ii).（2）污水廠設(shè)在與直線距離處【解析】

（1）（i）設(shè)的中點(diǎn)為，則，，，，由此可得關(guān)于的函數(shù)；（ii）由題意，則，，由此可得關(guān)于的函數(shù)；（2）設(shè)，，則，然后利用基本不等式求最值．【詳解】解：（1）（i）設(shè)中點(diǎn)，則，，，，∴（，其中）；（ii），，；（2）設(shè)，，則，，當(dāng)，即時，取最小值，∴污水廠設(shè)在與直線距離處時，鋪設(shè)管道總長最短，最短長度為千米．【點(diǎn)睛】本題主