廣東省韶關(guān)市新豐一中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

廣東省韶關(guān)市新豐一中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，,=1，若，則＝()A．22019 B．22020 C．22017 D．220182．?dāng)?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A． B．C． D．3．設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車(chē)以勻速?gòu)募椎氐揭业赜昧?0分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速?gòu)囊业胤祷氐郊椎赜昧?0分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過(guò)的路程y和其所用的時(shí)間x的函數(shù)圖象為()A． B．C． D．4．函數(shù)的最小正周期是A． B． C． D．5．如圖，是的直觀圖，其中軸，軸，那么是（）A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形6．如圖是某地某月1日至15日的日平均溫度變化的折線圖，根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）A．這15天日平均溫度的極差為B．連續(xù)三天日平均溫度的方差最大的是7日，8日，9日三天C．由折線圖能預(yù)測(cè)16日溫度要低于D．由折線圖能預(yù)測(cè)本月溫度小于的天數(shù)少于溫度大于的天數(shù)7．已知銳角滿足，則（）A． B． C． D．8．已知在中，，那么的值為（）A． B． C． D．9．已知向量，，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D10．一實(shí)體店主對(duì)某種產(chǎn)品的日銷(xiāo)售量（單位：件）進(jìn)行為期n天的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，得到如下統(tǒng)計(jì)圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A． B．中位數(shù)為17C．眾數(shù)為17 D．日銷(xiāo)售量不低于18的頻率為0.5二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱(chēng)．從外表上看，六根等長(zhǎng)的正四棱柱體分成三組，經(jīng)榫卯起來(lái)，如圖3，若正四棱柱體的高為，底面正方形的邊長(zhǎng)為，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為_(kāi)_________．（容器壁的厚度忽略不計(jì)）12．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則________13．住在同一城市的甲、乙兩位合伙人,約定在當(dāng)天下午4.00-5：00間在某個(gè)咖啡館相見(jiàn)商談合作事宜，他們約好當(dāng)其中一人先到后最多等對(duì)方10分鐘,若等不到則可以離去,則這兩人能相見(jiàn)的概率為_(kāi)_________．14．已知函數(shù)，下列說(shuō)法：①圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)；②的最小正周期為；③在區(qū)間上單調(diào)遞減；④圖像關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)；⑤的最小正周期為；正確的是________.15．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______16．若函數(shù)圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，再向左平移個(gè)單位，得到的函數(shù)圖象離原點(diǎn)最近的的對(duì)稱(chēng)中心是______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．設(shè)矩形的周長(zhǎng)為，把沿向折疊，折過(guò)去后交于，設(shè)，的面積為．（1）求的解析式及定義域；（2）求的最大值．18．在銳角中，角,,所對(duì)的邊分別為，，.已知,.（1）求的值；（2）若,求的面積.19．在數(shù)列中，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列．（2）若對(duì)恒成立，求的取值范圍．20．已知函數(shù)，且，.（1）求該函數(shù)的最小正周期及對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)；（2）若方程的根為，且，求的值.21．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，，．求證：⑴平面；⑵．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】由題知∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，an≠1（n∈N*），a1+a2019＝1，∴a1+a2019＝a2+a2018＝a3+a2017＝…＝a1009+a1011a1010=1,∴a1010∴f（a1）×f（a2）×…×f（a2019）＝41009×（﹣2）＝﹣1．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題，注意：若{an}為等差數(shù)列，且m+n=p+q,則，性質(zhì)的應(yīng)用.2、C【解析】

利用特殊值,將代入四個(gè)選項(xiàng)即可排除錯(cuò)誤選項(xiàng).【詳解】將代入四個(gè)選項(xiàng),可得A中B中D中只有C中所以排除ABD選項(xiàng)故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)幾個(gè)項(xiàng)選擇數(shù)列的通項(xiàng)公式,特殊值法是解決此類(lèi)問(wèn)題的簡(jiǎn)單方法,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】試題分析：根據(jù)題意，甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車(chē)以勻速?gòu)募椎氐揭业赜昧?0min，在乙地休息10min后，他又以勻速?gòu)囊业胤祷氐郊椎赜昧?0min，那么可知先是勻速運(yùn)動(dòng)，圖像為直線，然后再休息，路程不變，那么可知時(shí)間持續(xù)10min，那么最后還是同樣的勻速運(yùn)動(dòng)，直線的斜率不變可知選D.考點(diǎn)：函數(shù)圖像點(diǎn)評(píng)：主要是考查了路程與時(shí)間的函數(shù)圖像的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解析】

的最小正周期為，求解得到結(jié)果.【詳解】由解析式可知，最小正周期本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

利用斜二測(cè)畫(huà)法中平行于坐標(biāo)軸的直線，平行關(guān)系不變這個(gè)原則得出的形狀．【詳解】在斜二測(cè)畫(huà)法中，平行于坐標(biāo)軸的直線，平行關(guān)系不變，則在原圖形中，軸，軸，所以，，因此，是直角三角形，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查斜二測(cè)直觀圖還原，解題時(shí)要注意直觀圖的還原原則，并注意各線段長(zhǎng)度的變化，考查分析能力，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

利用折線圖的性質(zhì)，結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得解．【詳解】由某地某月1日至15日的日平均溫度變化的折線圖，得：在中，這15天日平均溫度的極差為：，故錯(cuò)誤；在中，連續(xù)三天日平均溫度的方差最大的是7日，8日，9日三天，故正確；在中，由折線圖無(wú)法預(yù)測(cè)16日溫度要是否低于，故錯(cuò)誤；在中，由折線圖無(wú)法預(yù)測(cè)本月溫度小于的天數(shù)是否少于溫度大于的天數(shù)，故錯(cuò)誤．故選．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查折線圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．7、D【解析】

根據(jù)為銳角可求得，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值可知，從而得到，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】，又，即本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)值的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠熟悉特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)角的范圍確定特殊角的取值.8、A【解析】

，不妨設(shè)，,則，選A.9、A【解析】

根據(jù)向量共線定理進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)椋?，有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了用向量共線定理證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，屬于?？碱}.10、B【解析】

由統(tǒng)計(jì)圖,可計(jì)算出總數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù),算得銷(xiāo)量不低于18件的天數(shù),即可求得頻率.【詳解】由統(tǒng)計(jì)圖可知,總數(shù),所以A正確;從統(tǒng)計(jì)圖可以看出,從小到大排列時(shí),中間兩天的銷(xiāo)售量的平均值為,所以B錯(cuò)誤;從統(tǒng)計(jì)圖可以看出,銷(xiāo)量最高的為17件,所以C正確;從統(tǒng)計(jì)圖可知,銷(xiāo)量不低于18的天數(shù)為,所以頻率為,所以D正確.綜上可知,錯(cuò)誤的為B故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了統(tǒng)計(jì)中的總數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和頻率的相關(guān)概念和性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】表面積最小的球形容器可以看成長(zhǎng)、寬、高分別為1、2、6的長(zhǎng)方體的外接球．設(shè)其半徑為R,，所以該球形容器的表面積的最小值為．【點(diǎn)睛】將表面積最小的球形容器，看成其中兩個(gè)正四棱柱的外接球，求其半徑，進(jìn)而求體積．12、5【解析】

由等差數(shù)列的前和公式，求得，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)等差數(shù)列的前和公式，可得，解得，又由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的性質(zhì)，以及合理應(yīng)用等差數(shù)列的前和公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

將甲、乙到達(dá)時(shí)間設(shè)為（以為0時(shí)刻，單位為分鐘）.則相見(jiàn)需要滿足：畫(huà)出圖像，根據(jù)幾何概型公式得到答案.【詳解】根據(jù)題意：將甲、乙到達(dá)時(shí)間設(shè)為（以為0時(shí)刻，單位為分鐘）則相見(jiàn)需要滿足：畫(huà)出圖像：根據(jù)幾何概型公式：【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型的應(yīng)用，意在考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力.14、②③⑤【解析】

將函數(shù)解析式改寫(xiě)成：，即可作出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象即可判定.【詳解】由題：，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，，是該函數(shù)的周期，結(jié)合圖象分析是其最小正周期，，作出函數(shù)圖象：可得，該函數(shù)的最小正周期為，圖像不關(guān)于對(duì)稱(chēng)；在區(qū)間上單調(diào)遞減；圖像不關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)；故答案為：②③⑤【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)圖象及其性質(zhì)的辨析，涉及周期性，對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性，作為填空題，恰當(dāng)?shù)乩脠D象解決問(wèn)題能夠起到事半功倍的作用.15、【解析】

根據(jù)反余弦函數(shù)的定義，可得函數(shù)滿足，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)反余弦函數(shù)的定義，可得函數(shù)滿足，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了反余弦函數(shù)的定義的應(yīng)用，其中解答中熟記反余弦函數(shù)的定義，列出不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，然后由三角函數(shù)圖象變換得新解析式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得對(duì)稱(chēng)中心．【詳解】由題意，經(jīng)過(guò)圖象變換后新函數(shù)解析式為，由，，，絕對(duì)值最小的是，因此所求對(duì)稱(chēng)中心為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查二倍角公式，掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）的最大值為.【解析】

（1）利用周長(zhǎng)，可以求出的長(zhǎng)，利用平面幾何的知識(shí)可得，再利用勾股定理，可以求出的值，由矩形的周長(zhǎng)為，可求出的取值范圍，最后利用三角形面積公式求出的解析式；（2）化簡(jiǎn)（1）的解析式，利用基本不等式，可以求出的最大值．【詳解】（1）如下圖所示：∵設(shè)，則，又，即，∴，得，∵，∴，∴的面積．（2）由（1）可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴的最大值為，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)解析式，考查了基本不等式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18、（1）2；（2）3.【解析】

（1）利用正弦定理可得，消元后可得關(guān)于的三角方程，從該方程可得的值.（2）利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式結(jié)合（1）中的結(jié)果可得，再根據(jù)題設(shè)條件得到后再利用正弦定理可求的值，從而得到所求的面積.【詳解】(1)在由正弦定理得，①，因?yàn)?所以，又因?yàn)?，所以，整理得到，?(2)在銳角中，因?yàn)?，所以，將代入①?在由正弦定理得，所以.【點(diǎn)睛】在解三角形中，如果題設(shè)條件是邊角的混合關(guān)系，那么我們可以利用正弦定理或余弦定理把這種混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式或角的關(guān)系式.另外，三角形中共有七個(gè)幾何量（三邊三角以及外接圓的半徑），一般地，知道兩角及一邊，用正弦定理.另外，如果知道兩個(gè)角的三角函數(shù)值，則必定可以求第三角的三角函數(shù)值，此時(shí)涉及到的公式有同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式和兩角和差的三角公式、倍角公式等.19、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）根據(jù)已知可變形為常數(shù)；（2）首先求數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)相消法求，若滿足對(duì)恒成立，需滿足，，求的取值范圍.【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?，，則．又，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可知，則．因?yàn)?，所以，所以．易知單調(diào)遞增，則．所以，且，解得．故的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了證明等差數(shù)列的方法，以及裂項(xiàng)相消法求和，本題的一個(gè)亮點(diǎn)是與函數(shù)結(jié)合考查數(shù)列的最值問(wèn)題，涉及最值時(shí)，需先判斷函數(shù)的單調(diào)性，可以根據(jù)函數(shù)特征直接判斷單調(diào)性或是根據(jù)的正負(fù)判斷單調(diào)性，然后求最值.20、(1)最小正周期為.對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為；(2)-1【解析】

（1）由題意兩未知數(shù)列兩方程即可求出、的值，再進(jìn)行三角變換，可得的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期公式、圖象的對(duì)稱(chēng)性，即可得出結(jié)論．（2）先由條件求得的值，可得的值．【詳解】（1）