廣東省珠海市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（教師版）

珠海市2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測高一數(shù)學(xué)試題2023.7本試卷共5頁，22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法和共軛復(fù)數(shù)的定義求解.【詳解】若，則，所以.故選：D2.如圖所示，的直觀圖是邊長為4的等邊，則在原圖中，邊上的高為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出直觀圖中上的高，即可求出，從而求出，即可得解.【詳解】在直觀圖中，因?yàn)檫呴L為的等邊，所以上的高，∴，∴在原圖中，上的高.故選：A3.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和正弦兩角和公式求解即可.【詳解】.故選：C.4.在正方體中，E是的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC所成角的余弦值是（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得異面直線DE與AC所成角為（或的補(bǔ)角），在中利用余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/，且，則為平行四邊形，可得//，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則//，所以//，故異面直線DE與AC所成角為（或的補(bǔ)角），設(shè)正方體的棱長為2，則，在中，由余弦定理，所以異面直線DE與AC所成角的余弦值是.故選：D.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題干條件及二倍角公式，可得，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可得解.【詳解】因?yàn)椋?所以原式可化簡為：，因?yàn)椋?，所以，又，所以或（舍去?故選：B.6.在四面體中，，，向量與的夾角為，若，，則該四面體外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，將四面體補(bǔ)形為直三棱柱，與余弦定理可得的長，再由正弦定理可得外接圓的半徑，從而得到外接球的半徑，即可得到結(jié)果.【詳解】將四面體補(bǔ)成如圖所示的直三棱柱，因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，所以，則，外接圓的半徑，該四面體外接球的半徑，所以該四面體外接球的表面積為．故選:D7.已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式、正弦型函數(shù)的最值以及二倍角公式求得結(jié)果.【詳解】，設(shè)，，則，由題意知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，所以，，即，，故，所以.故選：D.8.在中，，，，是的外接圓上的一點(diǎn)，若，則的最大值是（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理與勾股定理得是直角三角形，進(jìn)而可以建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得向量的坐標(biāo)，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得的表達(dá)式，進(jìn)而利用三角函數(shù)求最值即可.【詳解】因?yàn)樵谥?，，，，由余弦定理得，所以，則，所以，故以AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，易得，則，，設(shè)的坐標(biāo)為，則，又，所以，則，得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，即的最大值為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系，利用向量的線性運(yùn)算法則得到的關(guān)系式，從而利用三角函數(shù)的性質(zhì)得解.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（）A. B.C.復(fù)數(shù)的虛部為 D.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為【答案】BD【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法計(jì)算出判斷選項(xiàng)A，模的公式計(jì)算復(fù)數(shù)的模判斷選項(xiàng)B，由定義得復(fù)數(shù)的虛部判斷選項(xiàng)C，共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的幾何意義判斷選項(xiàng)D.【詳解】對于A，由，得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B，，B選項(xiàng)正確，對于C，復(fù)數(shù)的虛部為1，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，對于D，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，它在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為，D選項(xiàng)正確.故選：BD10.下列說法正確的有（）A.已知，，若，則B.已知，若，，則C.若，則一定不與共線D.若，，為鈍角，則實(shí)數(shù)的范圍是【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示、共線的條件以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示逐一判斷各選項(xiàng).【詳解】對于A，根據(jù)向量垂直的充要條件，解得，故A正確；對于B，因?yàn)橛袟l件，若，，則根據(jù)兩個(gè)向量的共線定理，當(dāng)或時(shí)，顯然成立；當(dāng)且時(shí)，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，，則，所以.故B正確對于C，，沒有限制兩個(gè)向量的方向，所以可以共線，故C錯(cuò)誤；對于D，為鈍角，則，且與不反向，即，且，得且.故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)兩角和得正弦公式計(jì)算即可判斷A；將兩邊平方，結(jié)合二倍角得正弦公式即可判斷B；結(jié)合B選項(xiàng)可判斷得符號，進(jìn)而可判斷C；結(jié)合C選項(xiàng)求出，再根據(jù)商數(shù)關(guān)系即可判斷D.【詳解】，故A錯(cuò)；，平方得：，所以，故B對；，又因?yàn)?，，由B選項(xiàng)知：，所以，因此，故C錯(cuò)；由C得，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，故D對，故選：BD.12.如圖，矩形ABCD中，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，且，，現(xiàn)將沿AE向上翻折，使B點(diǎn)移到P點(diǎn)，則在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是（）A. B.存在點(diǎn)P，使得C.存在點(diǎn)P，使得 D.三棱錐的體積最大值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用平面圖形翻折前后折線兩側(cè)量的關(guān)系，結(jié)合線線垂直、平行的判定判斷BC；由線面垂直推理判斷C；求出錐體體積最大值判斷D作答.【詳解】依題意，，則四邊形為平行四邊形，有，而，，即有，因此，即，因此，A正確；因?yàn)?，，因此不平行，即不存在點(diǎn)P，使得，B錯(cuò)誤；連接，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，即，則，而，平面，因此平面，又分別為的中點(diǎn)，即，于是平面，而平面，則，C正確；在翻折過程中，令與平面所成角為，則點(diǎn)到平面的距離，又的面積，因此三棱錐的體積，當(dāng)且僅當(dāng)，即平面時(shí)取等號，所以三棱錐的體積最大值為，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.13.已知復(fù)數(shù)滿足，則______.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出，再求出其模作答.【詳解】由，得，因此，所以.故答案為：514.已知，是與方向相同的單位向量，若在上的投影向量為，則______.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)投影向量公式求得結(jié)果即可.【詳解】

在上的投影向量為，所以故答案為：2.15.已知，則______.【答案】##【解析】【分析】利用輔助角公式以及二倍角的余弦公式得出結(jié)果.【詳解】∵，∴所以，∴所以.故答案為：.16.在中，，，為的外心，，，分別為，，的中點(diǎn)，且，則______.【答案】【解析】【分析】先求出，由，，兩邊平方，結(jié)合及數(shù)量積的定義直接求解.【詳解】如圖，設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理，則，又因?yàn)?，，分別為，，的中點(diǎn)，所以，，，三式平方相加可得，又因，代入得結(jié)果為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知，，是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中.（1）若，且，求坐標(biāo)；（2）若為單位向量，且，求與的夾角.【答案】（1）或者（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，由已知條件，列方程組求未知數(shù)；（2）由，求出，可得與的夾角.【小問1詳解】設(shè)，由已知可得，解得或，所以或者.【小問2詳解】由已知，.由得，即，即，所以，所以.因?yàn)?，，?18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，，且直線PD與底面ABCD所成的角為．（1）求證：平面平面PAC；（2）求點(diǎn)C到平面PBD的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面角可得底面ABCD為正方形，進(jìn)而根據(jù)線線垂直可得線面垂直即可求面面垂直，（2）利用等體積法,結(jié)合三棱錐的體積公式即可求解.【小問1詳解】證明：∵平面ABCD，故為直線PD與平面ABCD所成的角，因此，又，∴∵底面ABCD為矩形，且，∴底面ABCD為正方形，∴又，而，平面PAC，∴平面PAC，又平面PBD，∴平面平面PAC，【小問2詳解】，由于,所以，設(shè)點(diǎn)C到平面PBD的距離為d，則∵，∴，解得：∴設(shè)點(diǎn)C到平面PBD的距離為．19.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，設(shè).（1）求角；（2）若，且，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理，邊轉(zhuǎn)角得到，再利用角的范圍，即可求出結(jié)果；（2）利用余弦定理得，根據(jù)結(jié)合余弦定理得到，再利用重要不等式，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得：，∴，所以整理得，，即所以，又，，所以或者（舍）或者（舍），所以，又，所以；【小?詳解】在中，由余弦定理得：，得，①又因?yàn)?，所以，且，即，△ADB和△ADC中，由余弦定理得，②聯(lián)立①②消去得（當(dāng)且僅時(shí)等號成立），所以的面積.所以面積最大值為.20.已知函數(shù).（1）設(shè)，函數(shù)是奇函數(shù)，求的值；（2）若在區(qū)間上恰有三條對稱軸，求實(shí)數(shù)取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）化簡得到，根據(jù)是一個(gè)奇函數(shù)得到，，結(jié)合所給范圍得到答案.（2）確定，根據(jù)對稱軸得到，解得答案.【小問1詳解】，是奇函數(shù)，，即，又因?yàn)?，所以?【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，要讓函數(shù)恰有3條對稱軸，那么，解得，即.21.中國剪紙是一種民間藝術(shù).具有廣泛的群眾基礎(chǔ)，交融于各族人民的社會生活，現(xiàn)有一張矩形卡片，對角線長為（為常數(shù)），從中裁出一個(gè)內(nèi)接正方形紙片，使得點(diǎn)，分別，上，設(shè)，矩形紙片的面積為，正方形紙片的面積為.（1）當(dāng)時(shí)，求正方形紙片的邊長（結(jié)果用表示）；（2）當(dāng)變化時(shí)，求的最大值及對應(yīng)的值【答案】（1）（2）最大值為，【解析】【分析】（1）設(shè)正方形的邊長為，則，，則，求出，代入即可.（2）表示，得到，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.【小問1詳解】設(shè)正方形的邊長為，因?yàn)?，易知，又，所以，，，，即，整理得到，?dāng)時(shí)，.【小問2詳解】，因?yàn)?，則，，則，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，故的最大值為，此時(shí)，，故，即.22.幾何體是四棱錐，為正三角形，，，為線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得四點(diǎn)共面？若存在，請求出的值；若不存在，并說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）先由線面平行的判定理證得平面，再證得平面，由此利用面面平行的判定定理證得面面，從而得到平面；（2）先由線面平行