同步優(yōu)化設(shè)計2021年高中數(shù)學數(shù)學文化課后篇鞏固提升含解析北師大版選擇性必修第一冊

數(shù)學文化

【數(shù)學文化簡介】

數(shù)學不僅是一門科學，也是一種文化，即“數(shù)學文化”;數(shù)學文化是人類文化的重要組成部分，是人類精神

與社會進步的產(chǎn)物，也是推動社會發(fā)展的動力.對于數(shù)學文化,這在近幾年的高考試題中有所體現(xiàn).我

國古代數(shù)學里有大量的實際問題，世界的數(shù)學寶庫中也有很多經(jīng)典的實例，同時也應了解當前的一些

新科技和一些優(yōu)秀科學家的杰出貢獻.將數(shù)學文化融合到問題當中，這些問題同時也體現(xiàn)了應用性的

考查，要引起學生的重視.比如在《九章算術(shù)?方田》《九章算術(shù)?商攻》《圓錐曲線論》等著作中有

較多關(guān)于本冊知識的典型案例.

【數(shù)學文化舉例】

第一章直線與圓

1.趙州橋是當今世界上建造最早、保存最完整的我國古代單孔敞肩石拱橋（圖1）.若以趙州橋跨徑AB

所在直線為x軸，橋的拱高0P所在直線為y軸,建立平面直角坐標系（圖2）,橋的圓拱APB所在的圓

的方程為f+0+20.7）2=27.92,求|。尸|.

（圖2）

廨|在方程x2+（y+20,7）2=27.92中，令x=0,

則（y+20.7）2=27.92,

解得yi=7.2,”=-48.6（舍去）.

/.\OP\=1.2.

2.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果.他證明過這樣一個

命題:平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k（k>0且厚1）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為“阿波羅尼斯

圓”.在平面直角坐標系中，設(shè)4-3,0）,8（3,0）,動點M滿足黑=2,則動點M的軌跡圍成的面積為（）

A.64兀B.l6nC.47tD.27t

|解析|設(shè)

則|M4|=

J(X+3)2+(y-o)2

同理|MB|=(x-3)2+(y-0)2

而瞥

MBJ(x-3)2+y2

化簡，得3』-30x+27+3）2=0,即Pl（k+9+y2=0,整理，得（片5）2+產(chǎn)=42,

從而M的軌跡是以（5,0）為圓心,4為半徑的圓，

.：動點M的軌跡圍成的面積為4X4乂兀=16兀.

弱B

第二章圓錐曲線

1.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性

質(zhì)網(wǎng)羅殆盡,幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題:平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)

Z（Q0,且厚1）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓捻+，=l（a?>0）AB為橢

圓的長軸端點,CQ為橢圓的短軸端點，動點M滿足瞿=24以48面積的最大值為8公”8面積的最

小值為1,則橢圓的離心率為（）

解析|設(shè)A(40),B(a,0),M(x,y).

:?動點M滿足”=2,

化簡得（*號b+月噂.

：XMAB面積的最大值為8,Z\MCD面積的最小值為1,二Jx2?x，=8,：x2bx|a=l,

解得a=V6,/?=-y,

.:橢圓的離心率為=

§1]D

2.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著.第九章“勾股”，講述了勾股定理及一些應用.直

角三角形的兩直角邊與斜邊的長分別稱“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”.設(shè)尸是橢圓W+

、=l（a>b>0）的左焦點，直線產(chǎn)低交橢圓于A,8兩點，若|AF|,|8尸|恰好是Rt”BF的“勾”“股”，則此橢

圓的離心率為（）

A.V3-1B.y

解析|7|4川,|8用恰好是RSA8尸的“勾''"股”,

ZAF±BF,.：OA=OB=OF=c.

3c2

4--=1

4b2，

rja2-b2a2-b2.

即n,+3Q卞=4,

（，）2+6.&3=0=^J=2V3-3,^2=1-^J=4-2V3,

.：e=V5-l.

ggA

3.位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋（如圖所示）有“仙境之橋”之稱，它的橋形可近似地看成拋物線,

該橋的高度為力,跨徑為“，則橋形對應的拋物線的焦點到準線的距離為（）

na

隆畫根據(jù)題意，以橋頂為坐標原點，橋形的對稱軸為），軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，該拋物線

方程可寫為/二的）?！怠＃?：,該拋物線經(jīng)過點（|,-刀）,代入拋物線方程可得寧=2/卯,解得。=荒，?：橋形

對應的拋物線的焦點到準線的距離即為p=~.

答案

4.

古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在他的著作《圓錐曲線論》中記載了用平面切割圓錐得到圓錐曲線的方

法.如圖，將兩個完全相同的圓錐對頂放置（兩圓錐的軸重合），已知兩個圓錐的底面半徑均為1,母線長

均為2,記過圓錐軸的平面ABCD為平面a（?與兩個圓錐面的交線為4C,8D）,用平行于a的平面截圓

錐,該平面與兩個圓錐側(cè)面的截線即為雙曲線「的一部分，且雙曲線/、的兩條漸近線分別平行于

AC,8。,則雙曲線廠的離心率為（）

A2V3

A.——B.V2

3

C.V3D.2

蜥兩個圓錐的底面半徑為廠=1,母線長均為1=2,

可得圓錐的高為/2-V2M2=73,

由雙曲線廠的兩條漸近線分別平行于AC,BQ,

設(shè)雙曲線的漸近線方程為產(chǎn)士夕,

即有M當則，===尺=斤1=早

軸A

第三章空間向量與立體幾何

1.中國古代數(shù)學家名著《九章算術(shù)》中記載:“芻薨者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.薨,屋蓋也

翻譯為“底面有長有寬為矩形,頂部只有長沒有寬為一條棱.芻薨就是茅草屋頂.”現(xiàn)有一個芻薨如圖所

示,四邊形ABC。為正方形,四邊形尸為兩個全等的等腰梯形48=4,EF團Ia若這個芻薨

的體積為當則異面直線A8與CF所成角的余弦值為（）

A(B4

C.-D呼

3

|解析|取CDAB的中點MM連接FM,FN,

則多面體分割為棱柱與棱錐兩個部分，

E

設(shè)E到平面ABCQ的距離為/?,

則工x4x/?x2+-x4x2x/?=—,

233

?"=2,

:5=716+4=2倔

ZCF=V5T4=3,

VCD//AB.

,：/尸。。為異面直線48與C尸所成角，

在△FCM中,FM=FC=3,CM=2,

ZcosZFCD=-^-=-.

2X3X23

g?A

2.我國古代《九章算術(shù)》里,記載了一個例子:今有羨除，下廣六尺，上廣一丈,深三尺，末廣八尺，無深，袤

七尺，問積幾何?該問題中的羨除是指如圖所示的五面體ABCDEA其三個側(cè)面皆為等腰梯形，且A8〃

C￡)〃EF,兩個底面為直角三角形，且其中AB=6尺,CZ)=10尺,EF=8尺,A8,CD間的

距離為3尺,CD,EF間的距離為7尺，則異面直線。尸與AB所成的角的正弦值為()

0末廣8.

A------------NF

Tr

A9V130n7V130

A.------B.------

130130

C.-D.-

79

|解析如圖,五面體ABCDEF中,四邊形ABFE,ABCD,EFCD均為等腰梯形,

EF//AB//CD,^ADE,^BCF均為直角三角形，

ADVDE,BCVCF,

CD=10,AB=6,AD=y/22+32=A,DE=CF=712+72=5位.

?/sinZDC^/.cosZDCF^,

.：DF=yJ100+50-2X10X5V2XcoszDCF=V130,

VAB//CD,

是異面直線DF與AB所成的角，

CD2+DF2-CF2100+130-50_7/1^

?cosZCZ)F=甯.：siSF=2

2XCDXDF2x10x7130、130J—1301

.:異面直線DF與48所成角的正弦值為乂畫.

答案|B

3.中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)?商攻》中,闡述:“斜解立方，得兩遭堵.斜解遭堵，其一為陽馬，一為鱉嚅.

陽馬居二，鱉膈居一若稱為"陽馬”的某四棱錐如圖所示力BCD為矩形,P。，平面

488,尸。=4。=348=4,則PA與BC所成的角等于;PB與平面PZX7所成角的正弦值等

于.

艇析I：'底面ABC。為矩形,.：AQ〃BC,則NPA。為H4與8c所成的角，

:'P。，平面ABCD,

/.PD±AD,

在Rt△PD4中，：'P。=A。,.：/P4D=45°,即尸A與8C所成的角等于45°.

:?P力，平面ABCRPOu平面POC,則平面PDCJ_平面ABCD,

又平面A8C￡>n平面P。C=￡>C,A。_L。C,可得AD_L平面PDC,

又A力〃BC,.：BC_L平面PDC,

.：NBPC是尸8與平面POC所成的角，

VPD=3,DC=4,.,.PC=5,

又BC=3,.：PB=V32+52=V34.

.：sinZBPC=g=^==—3>/34

gg45。奢

4.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題產(chǎn)今有倉，廣三丈,袤四丈五尺，

容粟一萬斛，問高幾何?”其意思為:“今有一個長方體（記為ABCD-AIBIGOI）的糧倉，寬3丈（即AD=3

丈），長4丈5尺（即AB=4.5丈）,可裝粟一萬斛，問該糧倉的高是多少?”己知1斛粟的體積為2.7立方尺,

一丈為10尺,則下列判斷正確的是.（填寫所有正確結(jié)論的編號）

①該糧倉的高A4是2丈；

②異面直線AD與BC所成角的正弦值為甯;

③長方體ABCD-A\B\C\D\的外接球的表面積為岑IT平方丈.

|解析|長方體A88A5CD中,A￡>=3丈工8=4.5丈,V=10000x2.7x10-3=27（立方丈）,

糧倉的高=J*=2（丈），①正確；

ADAB3X4.5

如圖所示,AO〃BC,

二/CBG是異面直線AO與所成的角,

?：sinNCBC產(chǎn)窘=品=譽，②錯誤；

長方體4804田|。。1的外接球的直徑的平方為（2夫）2=04。）2=22+32+4.52=33.25=當丈），

4

.：外接球的表面積為47t/?2=—m平方丈），③正確.

4

綜上,正確的結(jié)論是①③.

gg①③

5.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，在第一卷《方田》中，將直角梯形稱之為“邪

田”，當直角梯形底邊橫放時，以“頭”稱其上下底，以“正從”稱其高，如圖⑴,在“邪田”ABC。中，區(qū)F分別

在“正從”和“下頭”上，沿EAFDQE將圖形翻折起來，使A,8,C重合為一點O.

⑴求證:OE_LO/；

⑵若在“邪田”ABC。中，“正從"A8=4,“上頭”AO=5,試求二面角O-OF-E的平面角的余弦值.

（1征明|如圖（2）,依題意E,F分別為AB,BC的中點，且由AOJ_AE,BF_L2E,得0￡>_LOE,OE_LOF,

VOFC\OD=O,

.：OE_L平面ODF,

：75Fu平面ODF,.'.OELDF.

（2闕如圖⑶，過。作DGLBC于G,則AD=5,DG=AB=4,

；OD=DA=DC,

.：OC=5,.：CG=3,

；F為BC的中點、,

又BF+CF=8,.：CF=4,

r.FG=\,/.DF=y/17,

由⑴知OE_L平面OOF,所以O(shè)E為平面OOF的一個法向量.

如圖(4),以。為原點,在平面0E力中垂直于。尸的直線為x軸,。尸為)，軸,0E為z軸，建立空間直角坐

標系，

圖(4)

則尸(0,4,0),E(0,0,2),設(shè)D(x,y,0),OF=(0,0,2),

則由|而|=5,|前|=舊，

x2+y2=25,

聯(lián)立方程組

%2+(y-4)2=17,

X=-L

解喏:部V=3

.：。(4,3,0).

設(shè)平面EFD的一個法向量m=3力,c),

Jm-ED=4a+3b-2c=0,

{mEF=4b-2c=0,

令a=l,得m=(l,4,8).

設(shè)所求二面角的平面角為“由圖形知J為銳角，

則cos6)=|cos<OE.m>|=^^=

1'|0E||m|9

.：二面角O-OF-E的平面角的余弦值為，

6.木工技藝是我國傳統(tǒng)文化瑰寶之一，體現(xiàn)了勞動人民的無窮智慧.很多古代建筑和家具不用鐵釘，保

存到現(xiàn)代卻依然牢固，這其中，有連接加固功能的“楔子”發(fā)揮了重要作用.如圖，是一個楔子形狀的直觀

圖.其底面ABCD為一個矩形，其中48=6/0=4.頂部線段EF〃平面ABC￡>，棱

EA=ED=FB=FC=66,EF=2,二面角F-BC-A的余弦值為與，設(shè)M,N是AD8C的中點.

(1)證明:BC-L平面EFNM-,

(2)求平面BEF和平面CEF所成銳二面角的余弦值.

⑴證明VEF//平面ABC。,且E尸u平面EFAB,

又平面ABCDCI平面EFAB=AB,

.".EF//AB.

又M,N是平行四形ABCD兩邊AD,BC的中點,

/.MN//AB./.EF//MN,

四點共面.

；FB=FC,.：BCLFN,

（FNc平面EFNM,

又「BC_LMN,且|MNu平面EFNM,

（FNCMN=N,

.：8C_L平面EFNM.

（2）解在平面EFNM內(nèi)過點尸作MN的垂線，垂足為H,則由第（1）問可知:BCJ_平面EBVM,則平面

ABCZ）_L平面EFNM,

所以FHJ_平面ABCD,

又因為FN工BCHNLBC,則二面甬F-BC-A的平面角為NFNH.

在RSFNB和R3FNH中,FNZFB2-BN2=局,HN=FNcosNFNH=同-當=2,

.：FH=8,

過“作邊AB,CD的垂線，垂足為5,0,連接式S,F。,則AB±SQ,AB±FH,?}平面FSQ,

由第（1）問,M〃A8,.：EF_L平面FSQ,

.：NSFQ是所求二面角8-EF-C的平面角.

在4SFQ中,tanN尸5Q=tanNFQS=|=4,

tanzFSQ+tanzFQS8

：tanZ5F2=tan(n-ZFSQ-ZFQS)=-

1-tanzFSQtanzFQS15,

.：cos/SFQ若，即二面角B-EF-C的余弦值是

第五章計數(shù)原理

L我國古代有著輝煌的數(shù)學研究成果.《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》……

《緝古算經(jīng)》等10部專著，有著十分豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國古代數(shù)學的重要文獻.這10部專著

中有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時期.某中學擬從這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習

內(nèi)容,則所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期專著的選法為（）

A.45種B.42種

C.28種D.16種

|解析|有1部是魏晉南北朝時期專著的選法為G禺=21（種），有2部是魏晉南北朝時期專著的選法為

的=21種，共有21+21=42（種）.

答案B

2.楊輝三角如圖所示，楊輝三角中的第5行除去兩端數(shù)字1以外，均能被行數(shù)5整除，則具有類似性質(zhì)

的行是

第1行

第2行

第3行

第依

第5行1

A.第6行B.第7行

C.第8行D.第9行

隆明由題意，第6行為1615201561

第7行為172135352171

故第7行除去兩端數(shù)字1以外,均能被7整除.

gg]B

3.我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2

的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和“，如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和

等于30的種數(shù)是.

噩在不超過30的素數(shù)中和等于30的有（7,23）,（11,19）,（13,17）,共3種.

霞3

4.桌上有十個蘋果，要把這十個蘋果放到九個抽屜里，無論怎樣放，我們會發(fā)現(xiàn)至少會有一個抽屜里面

至少放兩個蘋果.這一現(xiàn)象就是我們所說的，，抽屜原理，，.現(xiàn)已知某市一中有2556名學生，假設(shè)沒有同

學在2月29號過生日，那么在一年365天中最多人過生日的那天,至少有人同時過生日.

|解析|:2556^-365-7.00274,.：在一年365天中最多人過生日的那天，至少有8人同時過生日.

5.已知大夫、不更、簪裊、上造、公士是古代五個不同爵次的官員，現(xiàn)皇帝將大夫、不更、簪梟、

上造、公士這5人分成兩組（一組2人，一組3人），派去兩地執(zhí)行公務，則大夫、不更恰好在同一組的

種數(shù)為.

解析大夫、不更恰好在同一組包含的種數(shù)+C犯如法?=8.

答案8

6.《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學著作.其中的一道題“今有木，方三尺,高三尺，欲方五寸作枕一

枚.問:得幾何?”意思是:“有一塊棱長為3尺的正方體方木，要把它作成邊長為5寸的正方體枕頭，可作

多少個?’，已知1尺為10寸,現(xiàn)有這樣的一個正方體木料，其外周已涂上油漆，則從切割后的正方體枕

頭中任取一塊，恰有--面涂上油漆的塊數(shù)為.

暖畫由正方體的結(jié)構(gòu)及鋸木塊的方法，可知一面帶有油漆的木塊是每個面的中間那16塊，共有

6x16=96（塊）.

答案96

7.《周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首,它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物的深刻而又樸素的認

識，是中華人文文化的基礎(chǔ)，它反映出中國古代的二進制計數(shù)的思想方法.我們用近代術(shù)語解釋為:把

陽爻“——”當作數(shù)字T,把陰爻“——”當作數(shù)字“0”,則八卦中的四卦所代表的數(shù)表示如下：

卦表示的二進表示的十進

符號

名制數(shù)制數(shù)

坤0000

震0011

坎0102

兌0113

依此類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號“三三”表示的十進制數(shù)是.

艇相由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦符合"二表示二進制數(shù)的010001,轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)的計

算為1X2°+0X2I+0X22+0X23+1X24+0X25=17.

#1]17

8.楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家、教育家.楊輝三角是楊輝的一項重要研究成果,它的許

多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，楊輝三角中蘊藏了許多優(yōu)美的規(guī)律.如圖是一個11階楊輝三角：

第晦1-------------------第1斜列

第1行11------------------第2斜列

第2行121-----------------第3斜列

第3行1331----------------第4斜列

第4tt14641--------------第5斜列

第5行15101051------------第6斜列

第昭1615201561-----------第7斜列

第7行172135352171--------第8斜列

第8行18285670562881------第蝌列

第9行193684126126843691-----第10斜列

第1%亍1104512021025221012045101---第11斜列

第11行1115516533046246233016555111一第12斜列

(1)求第20行中從左到右的第4個數(shù)；

(2)若第"行中從左到右第14與第15個數(shù)的比為|,求〃的值.

解(1)由題意，得第n行的從左到右第777+1個數(shù)為且機

.:第20行中從左到右的第4個數(shù)為60=1140;

(2)由題意，得第〃行中從左到右第14與第15個數(shù)的比為|,

需=|,可化簡三=|,解得〃=34.

第六章概率

1.如圖，我國古代珠算算具——算盤每個檔(掛珠的桿)上有7顆算珠，用梁隔開,梁上面2顆叫上珠，下

面5顆叫下珠.若從某一檔的7顆算珠中任取3顆，至少含有一顆上珠的概率為()

井，，，，，，，，啊

』dta蝙hi珠

5

A

-

7B.-

27

C

-

7D.i

7

從某一檔的7顆算珠中任取3顆，樣本點總數(shù)〃=?二35,

至少含有一顆上珠包含的樣本點個數(shù)777二禺禺+禺髭=25,

至少含有一顆上珠的概率嵋=11=*

gmjA

2.《易系辭上》有“河出圖,洛出書”之說，河圖、洛書是中國古代流傳下來的兩幅神秘圖案，蘊含了深

奧的宇宙星象之理,被譽為“宇宙魔方”,是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源,其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后,

二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)，若從陰數(shù)和陽數(shù)中各

取一數(shù)，則其差的絕對值為3的概率為()

O-O-O-O-O-O-O

hHi

暖麗因為陽數(shù)為1,3,5,7,9,陰數(shù)為2,4,6,8,10,所以從陰數(shù)和陽數(shù)中各取1個的所有組合共有

7

5x5=25(個)，滿足差的絕對值為3的有:(1,4),(3,6),(5,2),(5,8),(7,10),(7,4),(9,6),共7個，則所求概率是5

ggc

3.中國古代的“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”合稱“六藝”.某校國學社團準備于周六上午9點分別在6個

教室開展這六門課程講座，每位同學只能選擇一門課程,則甲乙兩人至少有一人選擇“禮''的概率是

()

A.-B.-C.-D.-

636336

廨前六門課程講座，甲乙各選擇一門課程的選法總數(shù)為6x6=36(種);甲乙兩人至少有一人選擇“禮”的

總數(shù)選法為36-5x5=11(種);所以甲乙兩人至少有一人選擇“禮''的概率是

_______36

4.1654年，法國貴族德?梅雷騎士偶遇數(shù)學家布萊茲?帕斯卡,在閑聊時梅雷談了最近遇到的一件事:某

天在一酒吧中，肖恩和尤瑟納爾兩人進行角力比賽,約定勝者可以喝杯酒，當肖恩贏20局且尤瑟納爾

贏40局時他們發(fā)現(xiàn)桌子上還剩最后一杯酒.此時酒吧老板和伙計提議兩人采用七局四勝制的方法比

賽，兩人中先勝四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以決出勝負那么分別由

肖恩、尤瑟納爾、酒吧伙計和酒吧老板付費，梅雷由于接到命令需要覲見國王，沒有等到比賽結(jié)束就

匆匆離開了酒館.請利用數(shù)學知識做出合理假設(shè)，猜測最后付酒資的最有可能是()

A.肖恩B.尤瑟納爾

C.酒吧伙計D.酒吧老板

隆畫由題意可得，肖恩每局獲勝的概率為；尤瑟納爾每局獲勝的概率為—=2,

設(shè)決出勝負的場數(shù)為X,

12

則P(X=4)=Ct4+第4-1Z

3381

41272

P(X=5)=。~X-X-=--,

33243

P(X=6)=C](2X|+C3(|)3X(|)2200

X-=--.

3729

P(X=7)=髭⑴3乂田3=出，

V7633729

...1Z<出<出<衛(wèi)

81729729243’

.：P(X=4)<P(X=7)<P(X=6)<P(X=5),

.:最后付酒資的最有可能是尤瑟納爾.

5.田忌賽馬是《史記》中記載的一個故事，說的是齊國將軍田忌經(jīng)常與齊國眾人賽馬,孫臏發(fā)現(xiàn)田忌

與他們的馬腳力都差不多，都分為上、中、下三等.于是孫臏給田忌將軍制定了一個必勝策略:比賽即

將開始時，他讓田忌用下等馬對戰(zhàn)他們的上等馬,用上等馬對戰(zhàn)他們的中等馬，用中等馬對戰(zhàn)他們的下

等馬，從而使田忌贏得許多賭注.假設(shè)田忌的各等級馬與某人的各等級馬進行一場比賽獲勝的概率如

表所示：

某人的馬

獲勝概

上等中等下等

率

馬馬馬

上等

0.50.81

田馬

忌中等

0.20.50.9

的馬

馬下等

00.050.4

馬

比賽規(guī)則規(guī)定:一次比賽由三場賽馬組成，每場由公子和田忌各出一匹馬出賽，結(jié)果只有勝和負兩種，

并且每一方三場賽馬的馬的等級各不相同，三場比賽中至少獲勝兩場的一方為最終勝利者.

(1)如果按孫臏的策略比賽一次，求田忌獲勝的概率；

(2)如果比賽約定，只能同等級馬對戰(zhàn)，每次比賽賭注1000金，即勝利者贏得對方1000金，每月比賽一

次,求田忌一年賽馬獲利的數(shù)學期望.

網(wǎng)(1)記事件A表示“按孫臏的策略比賽一次，田忌獲勝

對于事件4,三次比賽中，由于第三場必輸,則前兩次比賽中田忌都勝.

因此,P(A)=0.8x0.9=0.72;

(2)設(shè)田忌在每次比賽所得獎金為隨機變量E,則隨機變量4的可能取值為-1000和1000,

若比賽一次，田忌獲勝,則三場比賽中，田忌輸贏的分布為:勝勝勝、負勝勝、勝負勝、勝勝負，

設(shè)比賽一次，田忌獲勝的概率為尸，則p=lxIxIx3+lxxI=

隨機變量。的分布列如下表所示：

所以,E@=-lOOOxii+1OOOxH=-100.

因此，田忌一年賽馬獲利的數(shù)學期望為-100x12=1200（金）.

6.京劇是我國的國粹，是“國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)”，某機構(gòu)在網(wǎng)絡(luò)上調(diào)查發(fā)現(xiàn)各地京劇票友的年齡。

服從正態(tài)分布畋,/）,同時隨機抽取100位參與某電視臺《我愛京劇》節(jié)目的票友的年齡作為樣本

進行分析研究（全部票友的年齡都在［30,80］內(nèi)）,樣本數(shù)據(jù)分別在區(qū)間

［30,40）」40,50）,［50,60）,［60,70）,［70,80］內(nèi)，由止匕得至I］如圖所示的頻率分布直方圖.

（2）在樣本年齡在［70,80J的票友中組織了一次有關(guān)京劇知識的問答，每人回答一個問題，答對贏得一臺

老年戲曲演唱機,答錯沒有獎品，假設(shè)每人答對的概率均為|,且每個人回答正確與否相互之間沒有影

響，用〃表示票友們贏得老年戲曲演唱機的臺數(shù)，求n的分布列及數(shù)學期望.

g（D：'P（*38）=Pe>68）,

?38+68

??產(chǎn)---二53.

由頻率分布直方圖的性質(zhì)可

得:（0.01+0.03+6+0.02+4）x10=1,0.1x35+0.3x45+108x55+0.2x65+104X75=53,

聯(lián)立解得。=0.005力=0.035.

（2）樣本年齡在170,80］的票友共有0.005x10x100=5（人），

由題意可得〃=0,1,2,3,4,5,〃~B（5,|）,

2〃=%）=鹿（|）電）5*,p（〃=0）=擊，

P（〃=D=親如=2）=親%=3）嘿,

尸（〃=4）嘿,尸（〃=5）啜.

,：〃的分布列為：

012345

11040808032

r

2432簾243X3243243

可得E⑺=5*|=p

第七章統(tǒng)計案例

1.地攤經(jīng)濟作為推進地方經(jīng)濟社會發(fā)展的一個支點，有利于促進經(jīng)濟社會秩序的恢復，小李的流動攤

位某商品的售價X元和銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：

價

格99.51()10.511

X

銷

售

21110S65

Y

由散點圖可知，銷售量丫與價格X之間有較強的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是:y=-3.2X+a,則

a=.

盥畫由表格中的數(shù)據(jù)可得

—9+9.5+10+10.5+111八

x=------------------=10,

—11+10+8+6+5

y=------s-------=8,

將點(五歹)的坐標代入回歸直線方程得-3.2乂10+。=8,解得。=40.

gg40

3.2019年春節(jié)期間,某支付軟件公司推出“紅包大行動”，用發(fā)紅包的方法刺激支付軟件的使用.某商家

統(tǒng)計前5名顧客掃描紅包所得金額分別為5.2元29元,3.3元,5.9元,4.8元，商家從這5名顧客中隨機

抽取3人贈送飲水杯.

(1)求獲得飲水杯的三人中至少有一人的紅包超過5元的概率；

(2)統(tǒng)計一周內(nèi)每天使用該支付軟件付款的人數(shù)X與商家每天的凈利潤丫元，得到7組數(shù)據(jù)，如表所示,

并作出了散點圖.

X12162629252230

Y60100150270240210330

①直接根據(jù)散點圖判斷,ha+bX與he""中哪一個適合作為每天的凈利潤的回歸方程類型.

②根據(jù)①的判斷，建立丫關(guān)于X的回歸方程;若商家當天的凈利潤至少是1400元，估計使用該支付軟

件付款的人數(shù)至少是多少?(a,的值取整數(shù))

參考數(shù)據(jù)：

77

S(.Xi-X■-

Xyi=li=l

x)2x)(j,-y)

22.86194.29268.8629

附:對于一組數(shù)據(jù)(的，也),(“2/2),???,("“,口”),其回歸直線V=a+能的斜率和截距的最小二乘估計分別為

n

As(Ui-U)(Vi-V)A

R--①X,,ZY--—/7->f

網(wǎng)(1)由已知5名顧客中紅包超過5元的有2人，分別記為A,B,不足5元的有3人，分別記為c,d,e,

從這5人隨機抽取3人，樣本點有ABcAB&ABeAcd,AceKde,Bcd,Bce,Bde,cde共10種，

設(shè)事件M表示“獲得飲水杯的3人中至少有1人的紅包超過5元”，

則它的對立事件是而表示“獲得飲水杯的3人中沒有1人的紅包超過5元”,滿足它的是cde,只有1種,

所以P(M)=1-P(M)=1卷=總.

(2)①根據(jù)散點圖可以判斷，選擇Y=a+.X作為每天的凈利潤的回歸方程類型比較適合；

7

…一,八一八￡(和元)(”歷o

②由最小二乘法計算系數(shù)b=$-------=塞翳到3,

s(Xi-X)2268.86

i=l

A八

則a=歹一1元=194.29-13x22.86-103,

所以丫關(guān)于x的回歸方程是r=-i03+i3x.

若商家當天的凈利潤至少是1400元，令-103+13X2400,得13X21503,解得XNl15.6H16.

所以若商家當天的凈利潤至少是1400元時，估計使用該支付軟件付款的人數(shù)至少是116人.

4.為大力發(fā)展鄉(xiāng)村經(jīng)濟，城鄉(xiāng)各地區(qū)開展農(nóng)村電商培訓，如對電商團隊、物流企業(yè)、返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)群體、

普通農(nóng)戶等進行培訓.某部門組織48兩個調(diào)查小組在開展電商培訓之前先進行問卷調(diào)查，從獲取的

有效問卷中，針對25至55歲的人群，按比例隨機抽取400份,進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計，具體情況如下表：

A組統(tǒng)計結(jié)8組統(tǒng)計結(jié)

果果

參

參加

加不參不參

電

年齡電

加電培加電

商

商

培商培商培

訓

訓

訓訓

[25,35)50254520

[35,45)35433032

[45,55]20602020

(/)先用分層抽樣的方法從400人中按“年齡是否達到45歲”抽出一個容量為80的樣本，將“年齡達

到45歲”的被抽個體分配到“參加電商培訓”和“不參加電商培訓”中去.

(1)求這80人中“年齡達到45歲且參加電商培訓I”的人數(shù)；

(2)調(diào)查組