高中數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型增分練專題15等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)生版新人教A版選擇性必修第二冊(cè)

專題15等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和綜述1.等差數(shù)列有關(guān)公式：(1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(na1＋an,2).2.等差數(shù)列常用結(jié)論：若{an}為等差數(shù)列，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則有：(1)下標(biāo)意識(shí)：若p＋q＝m＋n，則ap＋aq＝am＋an，特殊地，若p＋q＝2k，則ap＋aq＝2ak；(2)隔項(xiàng)等差：數(shù)列ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列；(3)分段等差：數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是公差為nd的等差數(shù)列；(4)數(shù)列{eq\f(Sn,n)}是公差為eq\f(d,2)的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))；3.．等差數(shù)列與函數(shù)關(guān)系：(1)經(jīng)整理an＝dn＋(a1－d)，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列?通項(xiàng)an為一次函數(shù)：即an＝kn＋b(a、b為常數(shù))；(2)經(jīng)整理Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn為無(wú)常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)：即Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))．【題型一】等差數(shù)列概念及公式【典例分析】已知數(shù)列，，均為等差數(shù)列，且，，則（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律等差數(shù)列有關(guān)公式：通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(na1＋an,2)【變式訓(xùn)練】1.若等差數(shù)列的公差為d，（c為常數(shù)且），則（

）A．?dāng)?shù)列是公差為d的等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列是公差為cd的等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是首項(xiàng)為c的等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列不是等差數(shù)列2.在等差數(shù)列中，若公差為，、為數(shù)列的隨意兩項(xiàng)，則當(dāng)時(shí)，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中必定成立的有（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【題型二】首項(xiàng)公差列方程型【典例分析】在等差數(shù)列中，，，則的值為（

）A．33 B．30 C．27 D．24【提分秘籍】基本規(guī)律等差數(shù)列基礎(chǔ)思維：可以設(shè)首項(xiàng)a1與公差d為變量，列出關(guān)于首項(xiàng)a1與公差d的方程進(jìn)行求解【變式訓(xùn)練】1.已知是等差數(shù)列，，，則公差為（

）A．6 B． C． D．22.等差數(shù)列滿意，，則（

）A．10 B．12 C．14 D．163.在等差數(shù)列{an}中，a1+a2+a3＝21，a2a3＝70，若an＝61，則n＝（

）A．18 B．19 C．20 D．21【題型三】“高斯技巧”1：等差中項(xiàng)型【典例分析】等差數(shù)列中，若，則（

）A．42 B．45 C．48 D．51【提分秘籍】基本規(guī)律高斯技巧：即借助高斯1+2+3+4+5+…+100的計(jì)算方法。它體現(xiàn)了一下幾方面的等差數(shù)列思想1.倒序求和思想。2.等差中項(xiàng)思想3.下標(biāo)和思想：：若p＋q＝m＋n，則ap＋aq＝am＋an【變式訓(xùn)練】1.在等差數(shù)列中，，則的值是（

）A．24 B．32 C．48 D．962.等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8=（

）A．45 B．75 C．180 D．3003.等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則2a9－a10的值是（

）A．20 B．22 C．24 D．8【題型四】“高斯技巧”2：奇數(shù)項(xiàng)和型【典例分析】.在等差數(shù)列中，已知前21項(xiàng)和，則的值為（

）A．7 B．9 C．21 D．42【提分秘籍】基本規(guī)律利用“高斯技巧”，可得等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和公式：【變式訓(xùn)練】1.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．1 B． C． D．42.已知等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，則（

）A． B． C． D．3.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B．45 C． D．90【題型五】“高斯技巧”3：首尾和【典例分析】已知一個(gè)有限項(xiàng)的等差數(shù)列{an}，前4項(xiàng)的和是40，最終4項(xiàng)的和是80，全部項(xiàng)的和是210，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

）A．12 B．14C．16 D．18【變式訓(xùn)練】1.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（

）A．3 B．5 C．6 D．102.等差數(shù)列中，，則此數(shù)列的前項(xiàng)和等于（

）A．160 B．180 C．200 D．2203.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，am﹣1+am+am+1＝27，且Sm＝45，則m＝（

）A．8 B．9 C．10 D．11【題型六】比值型1：首項(xiàng)公差不定方程【典例分析】設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則________．湖北省襄陽(yáng)市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題【提分秘籍】基本規(guī)律利用通項(xiàng)或前n項(xiàng)和公式，轉(zhuǎn)化出關(guān)于首項(xiàng)和公差的比值關(guān)系（不定方程），代入即可化簡(jiǎn)求比值【變式訓(xùn)練】1.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．1 B． C． D．2.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，則（

）A． B． C． D．3.已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，且，則等于（

）A． B． C． D．【題型七】比值型2：雙數(shù)等差中項(xiàng)型【典例分析】設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，若，則（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律雙等差數(shù)列：等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，則【變式訓(xùn)練】1.設(shè)等差數(shù)列與的前n項(xiàng)和分別為和，并且對(duì)于一切都成立，則（

）A． B． C． D．2.等差數(shù)列、的前項(xiàng)和為，，且，則（）A． B． C． D．3.設(shè)，分別是等差數(shù)列，的前項(xiàng)和，若，則A．2 B．3 C．4 D．6【題型八】比值型3：雙數(shù)列下標(biāo)不一樣型【典例分析】設(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，.若對(duì)于隨意的正整數(shù)n都有，則（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律任一等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，可以有函數(shù)關(guān)系：Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn為無(wú)常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)：即Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))。所以，等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，可以利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和為一元二次型（既約型）【變式訓(xùn)練】1.已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，則（

）A． B． C． D．2.已知均為等差數(shù)列的與的前n項(xiàng)和分別為，，且，則的值為（

）A． B． C． D．3.設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，若，則（

）A．1 B． C． D．2【題型九】比值型4：整數(shù)型【典例分析】已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的值為_(kāi)__________.【提分秘籍】基本規(guī)律一般比值正數(shù)型，主要以分別常數(shù)為處理技巧。【變式訓(xùn)練】1.已知等差數(shù)列和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，且，則使為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．6 C．4 D．52.已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，_____，為整數(shù)的正整數(shù)的取值集合為_(kāi)______．3.已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)k的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【題型十】前n，2n，3n項(xiàng)和應(yīng)用【典例分析】在等差數(shù)列中，前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律等差數(shù)列前n項(xiàng)和有“分段等差”性質(zhì)：數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是公差為nd的等差數(shù)列【變式訓(xùn)練】1.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．8 B．12 C．14 D．202.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則等于（

）A． B． C． D．3.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為且，若，則n的值為（

）A．8 B．9 C．16 D．18【題型十一】數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題【典例分析】北宋科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng)隙積術(shù)，是探討某種物品按確定規(guī)律積累起來(lái)求其總數(shù)問(wèn)題.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，發(fā)展了隙積術(shù)的成果，對(duì)高階等差數(shù)列求和問(wèn)題提出了一些新的垛積公式.高階等差數(shù)列的前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次成等差數(shù)列.現(xiàn)有二階等差數(shù)列：2，3，5，8，12，17，23…則該數(shù)列的第41項(xiàng)為（

）A．782 B．822 C．780 D．820【變式訓(xùn)練】1.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題:從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，這十二個(gè)節(jié)氣，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為33尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為108尺，則谷雨日影長(zhǎng)為（

）A．5.5 B．8 C．12 D．162.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有米二百四十石，令甲，乙，丙?丁，戊五人遞差分之，要將甲?乙二人數(shù)與丙?丁，戊三人數(shù)同.問(wèn)：各該若干？其大意是：現(xiàn)有大米二百四十石，甲，乙，丙，丁，戊五人分得的重量依次成等差數(shù)列，要使甲，乙兩人所得大米重量與丙，丁，戊三人所得大米重量相等，問(wèn)每個(gè)人各分得多少大米？在這個(gè)問(wèn)題中，丁分得大米重量為（

）A．32石 B．40石 C．48石 D．56石分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．已知是等差數(shù)列，且，則（

）A．1 B．3 C．5 D．72．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則＝（

）A．60 B．62 C．63 D．813．已知數(shù)列與均為等差數(shù)列，且，，則（

）A．5 B．6 C．7 D．84．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C． D．5．甲、乙兩位旅客乘坐高鐵外出旅游，甲旅客寵愛(ài)看風(fēng)景，須要靠窗的座位；乙旅客行動(dòng)不便，希望座位靠過(guò)道．已知高鐵二等座的部分座位號(hào)碼如圖所示，則下列座位號(hào)碼符合甲、乙兩位旅客要求的是（

）窗口12過(guò)道345窗口6789101112131415……………A．21，28 B．22，29 C．23，39 D．24，406．南宋數(shù)學(xué)家在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所探討的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，高階等差數(shù)列中前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，2，4，7，11，16，22，則該數(shù)列的第20項(xiàng)為（

）A．183 B．125 C．162 D．1917．在等差數(shù)列中，已知，那么等于（

）A．4 B．5 C．6 D．78．已知公差為1的等差數(shù)列{}中，，，成等比數(shù)列，則{}的前10項(xiàng)的和為（

）A．55 B．50 C．45 D．109．設(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，，若對(duì)隨意自然數(shù)n都有，則的值為（

）A． B． C． D．10．已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，則（

）A．325 B．326 C．327 D．328培優(yōu)其次階——實(shí)力提升練1．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（

）A．36 B．45 C．63 D．752．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．3．1852年，英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲．1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”．“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將1到500這500個(gè)數(shù)中，能被3除余2，且被5除余2的數(shù)按從小到大的依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列各項(xiàng)之和為（

）．A．6923 B．6921 C．8483 D．84814．已知分別是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（

）A． B． C． D．6．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______．7．等差數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為和，若，則________．8．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則___________.9．正項(xiàng)等差數(shù)列的前和為，已知，則=__________.10．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則__________.培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有一道題:“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩二，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何?”依據(jù)這一數(shù)學(xué)思想，全部被3除余2的正整數(shù)按從小到大的依次排列組成數(shù)列，全部被5除余2的正整數(shù)按從小到大的依次排列組成數(shù)列，把數(shù)列與的公共項(xiàng)按從小到大的依次排列組成數(shù)列，則數(shù)列的第10項(xiàng)是數(shù)列的第______項(xiàng).2．若周長(zhǎng)為15的三角形的三邊成等差數(shù)列，最大內(nèi)角為120°，則三角形的面積是__________．3．已知點(diǎn)P在雙曲線上，分別是雙曲線E的左、右焦點(diǎn)，若是的等差中項(xiàng)，且的面積為（c為雙曲線E的半焦距），則雙曲線E的離心率為_(kāi)_________．4．若為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和