專題63 幾何體的內(nèi)切球-2023年高考數(shù)學優(yōu)拔尖核心壓軸題（選擇、填空題）（新高考地區(qū)專用）

專題63幾何體的內(nèi)切球【方法點撥】1.“切”的問題處理規(guī)律：(1)找準切點，通過作過球心的截面來解決．(2)體積分割是求內(nèi)切球半徑的常用方法．2.多面體的內(nèi)切球的半徑，運用“等體積法”也是常用思路.【典型題示例】例1（2022·江蘇南京、鹽城·二檢）某中學開展勞動實習，學生需測量某零件中圓弧的半徑．如圖，將三個半徑為20cm的小球放在圓弧上，使它們與圓弧都相切，左、右兩個小球與中間小球相切．利用“十”字尺測得小球的高度差h為8cm，則圓弧的半徑為cm．【答案】120【解法一】由題意可知，BC＝8，AB＝12，AO＝8，設圓弧的半徑為r，可得cos∠AOO1＝EQ\F(AO,OO\S\DO(1))＝EQ\F(8,40)＝EQ\F(1,5)＝cos∠MOO1，則在△MOO1中，由余弦定理可得，(r－20)2＝(r－20)2＋402－2(r－20)40EQ\F(1,5)，解得r＝120．【解法二】由題意可知，BC＝8，AB＝12，AO＝8，設圓弧的半徑為r，可得cos∠AOO1＝EQ\F(AO,OO\S\DO(1))＝EQ\F(NO,MO)＝EQ\F(8,40)＝EQ\F(1,5)，即EQ\F(1,5)＝EQ\F(20,MO)，解得MO＝100，則r＝MO＋20＝120．例2（2022·全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇蘇州選拔賽）已知半徑為2的半球面碗中裝有四個半徑均為r的小球，碗壁和球的表面都是光滑的，且每個小球均與碗口平面相切，則r的值為__________.【答案】【分析】先從碗口垂直方向分析四個球中，求得對角球心間的距離，再根據(jù)對角球與半球的切點在同一過球心的平面上，根據(jù)幾何關系列式求解即可.【解析】由題意，兩個對角球心間的距離為，根據(jù)球的性質(zhì)可得球與半球碗的切點在同一過球心的截面上，且三點共線，三點共線，作分別垂直于碗的水平線，則，又球的半徑為2，且，故，即故答案為：.例3已知一個棱長為的正方體木塊可以在一個圓錐形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，若圓錐的底面半徑為，母線長為，則的最大值為__________.【答案】【解法一】設圓錐的內(nèi)切球與切于點，內(nèi)切球球心為，連接，，設內(nèi)切球半徑為，由，的最大值為.【解法二】設圓錐內(nèi)切球半徑為，正方體外接球半徑為，，.的最大值為.例4已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________．【答案】eq\f(\r(2),3)π【解析】易知半徑最大的球即為該圓錐的內(nèi)切球．圓錐及其內(nèi)切球O如圖所示，設內(nèi)切球的半徑為R，則sin∠BPE＝eq\f(R,OP)＝eq\f(BE,PB)＝eq\f(1,3)，所以OP＝3R，所以PE＝4R＝eq\r(PB2－BE2)＝eq\r(32－12)＝2eq\r(2)，所以R＝eq\f(\r(2),2)，所以內(nèi)切球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(\r(2),3)π，即該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為eq\f(\r(2),3)π.eq\a\vs4\al()例5正四面體的棱長為，是棱的中點，以為球心的球面與平面的交線和相切，則球的體積是（）A. B. C.D.【答案】D【分析】設點在平面內(nèi)的射影為點，則為的中心，取的中點，連接，則，取線段的中點，連接，分析可知以為球心的球面與平面的交線和相切的切點為，求出，即為球的半徑，再利用球體的體積公式可求得結(jié)果.【解析】設點在平面內(nèi)的射影為點，則為的中心，取的中點，連接，則，取線段的中點，連接，因為、分別為、的中點，則且，因為平面，則平面，因為平面，則，正的外接圓半徑為，，所以，，易知球被平面所截的截面圓圓心為點，且，故，因為為等邊三角形，為的中點，則，因為以為球心的球面與平面的交線和相切，則切點為點，則球的半徑為，因此，球的體積是.故選：D.【鞏固訓練】1．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a.若在這個四棱錐內(nèi)放一球，則此球的最大半徑為________．2.在棱長為1的正方體內(nèi)容納9個等球，8個角各放1個，中間放1個，則這些等球的最大半徑為．3.已知一個平放的各棱長為4的三棱錐內(nèi)有一個小球O(重量忽略不計)，現(xiàn)從該三棱錐頂端向內(nèi)注水，小球慢慢上浮，若注入的水的體積是該三棱錐體積的eq\f(7,8)時，小球與該三棱錐的各側(cè)面均相切(與水面也相切)，則小球的表面積等于()A.eq\f(7π,6) B.eq\f(4π,3) C.eq\f(2π,3) D.eq\f(π,2)4.半徑為R的球內(nèi)部裝有四個相同半徑r的小球，則r的最大值為（）.B.C.D.5.如圖，在底面邊長為，高為的正四棱柱中，大球與該正四棱柱的五個面均相切，小球在大球上方且與該正四棱柱的三個面相切，也與大球相切，則小球的半徑為___________．6.球O與棱長為2的正方體的各個面都相切，點M為棱的中點，則平面ACM截球O所得的截面圓與球心O所構成的圓錐的體積為______．7.我國古代數(shù)學名著《九章算術》中將正四棱錐稱為方錐.已知某方錐各棱長均為2，則其內(nèi)切球的體積為______.8.正三棱柱有一個半徑為的內(nèi)切球，則此棱柱的體積是（）.A． B． C． D．【答案或提示】1.【答案】(2－eq\r(2))a【解析】由題意知，當球與四棱錐各面均相切，即內(nèi)切于四棱錐時球的半徑最大．作出過球心的截面圖，如圖所示．易知球的半徑r＝(2－eq\r(2))a.2.【答案】【解析】當球半徑最大時，8個角上的球必與正方體的三個面相切，切點在各面的對角線上，球心都在正方體的體對角面上作軸截面，設球半徑為，則，而ABCCABCC1B1D1A100AA1C1CO1MrO2O33.【答案】C【解析】當注入水的體積是該三棱錐體積的eq\f(7,8)時，設水面上方的小三棱錐的棱長為x(各棱長都相等).依題意，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,8)，得x＝2，易得小三棱錐的高為eq\f(2\r(6),3).設小球半徑為r，則eq\f(1,3)S底面·eq\f(2\r(6),3)＝4×eq\f(1,3)S底面·r(S底面為小三棱錐的底面積)，得r＝eq\f(\r(6),6).故小球的表面積S＝4πr2＝eq\f(2π,3).4.【答案】B5.【答案】.【分析】設出小球半徑，結(jié)合圖形，利用已知條件，根據(jù)勾股定理，即可求出答案.【解析】易知大球的半徑為，設小球的半徑為，為小球球心，為大球球心，大球與正四棱柱的下底面相切與點，小球與正四棱柱的上底面相切與點，連接，作于點，如圖，由題意可知，,，所以，,因為兩圓相切，所以，因為為直角三角形，所以，即，又因為，所以.故答案為：.6.【答案】【分析】由球心O為正方體的中心，連接BD與AC交于點F，作，易知OE為所得圓錐的高，底面的半徑為求解.【解析】如圖所示：易知球心O為正方體的中心，連接BD與AC交于點F，作，易知面，則，又,所以平面，則OE為所得圓錐的高，又，圓錐的底面的半徑為，所以圓錐的體積為，故答案為：.7.【答案】【解析】如圖，設方錐底面的中心為，則在中，，所以