理學(xué)概率論的基本概念

課程安排單周，周一，1-2節(jié)，雙周，周一，周五，1-2節(jié)內(nèi)容：教材1~9章（視時(shí)間調(diào)整）成績(jī)：平時(shí)20+期中考試30+期末考試50作業(yè)：基本上每次課后2-3題2024/6/2312024/6/232第一章概率論的基本概念1.確定性現(xiàn)象和不確定性現(xiàn)象。3.隨機(jī)現(xiàn)象:

在一定條件下可能發(fā)生這種結(jié)果也可能發(fā)生那種結(jié)果的，因而無(wú)法事先斷言出現(xiàn)哪種結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。

4.隨機(jī)現(xiàn)象具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。2.統(tǒng)計(jì)規(guī)律性：在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性。實(shí)驗(yàn)和試驗(yàn)實(shí)驗(yàn)是對(duì)抽象的知識(shí)理論所做的現(xiàn)實(shí)操作，用來(lái)證明它正確或者推導(dǎo)出新的結(jié)論。它是相對(duì)于知識(shí)理論的實(shí)際操作。試驗(yàn)是對(duì)事物或社會(huì)對(duì)象的一種檢測(cè)性的操作，用來(lái)檢測(cè)那里正常操作或臨界操作的運(yùn)行過(guò)程、運(yùn)行狀況等，它是就事論事的。試驗(yàn)都是實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)比試驗(yàn)的范圍寬廣。工廠的產(chǎn)品可以抽樣檢測(cè)，是試驗(yàn)。試驗(yàn)的結(jié)果可能是破壞性的，因此不能試驗(yàn)所有的產(chǎn)品。社會(huì)計(jì)劃的試點(diǎn)也是試驗(yàn)。試驗(yàn)中，試驗(yàn)對(duì)象是明確的，試驗(yàn)?zāi)康氖菣z查它能不能正常運(yùn)行、正常運(yùn)行的條件和該條件允許的范圍。2024/6/2332024/6/234§1隨機(jī)試驗(yàn)E1：拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況。E2：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況。E3：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)。E4：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。E5：記錄某城市120急救電話臺(tái)一晝夜接到的呼喚次數(shù)。E6：在一批燈泡中任意抽取一只，測(cè)試它的壽命。E7：記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度。2024/6/235(1)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行;隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),且能事先明確所有可能的結(jié)果;(3)一次試驗(yàn)只出現(xiàn)一個(gè)結(jié)果，且試驗(yàn)前不能確定哪個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。2024/6/236

隨機(jī)試驗(yàn)中，每一個(gè)可能結(jié)果稱為該試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn)（或基本事件）.全體樣本點(diǎn)組成的集合稱為該試驗(yàn)的樣本空間，記為S。樣本空間E1：拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況。S1={H,T}2024/6/237E5：記錄某城市120急救電話臺(tái)一晝夜接到的呼喚次數(shù)。S5={0,1,2,

}E3：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)。S3={0,1，2,3}E2：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況。S2={HHH,HHT，HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}E4：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。S4={1,2，3,4，5，6}2024/6/238E6:在一批燈泡中任取一只,測(cè)試它的壽命.

S6={t|t≥0}1.離散樣本空間:樣本點(diǎn)為有限多個(gè)或可列多個(gè);例E1,E2等。2.無(wú)窮樣本空間:樣本點(diǎn)在區(qū)間或區(qū)域內(nèi)取值.例燈泡的壽命{t|t≥0}。E7：記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度。這里x表示最低溫度，y表示最高溫度.并設(shè)這一地區(qū)的溫度不會(huì)小于T0，也不會(huì)大于T1。2024/6/239“在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事情”叫做隨機(jī)事件（試驗(yàn)E的樣本空間S的子集）,簡(jiǎn)稱事件.如在上面的例子中，“出現(xiàn)正面”,“出現(xiàn)反面”,“點(diǎn)數(shù)<4”,“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”,{t<1000}等都是隨機(jī)事件.事件是由樣本空間中某些樣本點(diǎn)組成的集合,事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所包含的某一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)。隨機(jī)事件2024/6/2310基本事件:由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集.如:{H},{T}.必然事件:

樣本空間S是自身的子集，在每次試驗(yàn)中總是發(fā)生的，稱為必然事件。復(fù)合事件:由兩或兩個(gè)以上的基本事件復(fù)合而成的事件，稱為復(fù)合事件.如:E3中{出現(xiàn)正面次數(shù)為偶數(shù)}.

不可能事件：空集不包含任何樣本點(diǎn)，它在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生，稱為不可能事件。2024/6/23111.包含關(guān)系和相等關(guān)系:ABS

若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,則稱事件B包含事件A,記作A

B.若A

B且A

B,即A=B,則稱A與B相等。§2事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算2024/6/2312BAS2.事件的并:

}|{??=èBxAxxBA或èBA“事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生”稱為事件A與B的并(或和事件），記。.1U￥=kkA

,

,21AA的并事件記為可列個(gè)事件L2024/6/23133.事件的交：“事件A與B同時(shí)發(fā)生”這一事件稱為A與B的交（積事件），記作A

B(AB)，A

B={x|x

A

且x

B}

類似地，事件為可列個(gè)事件A1，A2，…的交.BAS2024/6/23144.事件的差:事件A-B={x|x

A且x

B}稱為A與B的差.當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生,B不發(fā)生時(shí)事件A-B發(fā)生.即:ABS顯然:A-A=,A-=A,A-S

=2024/6/2315(1)基本事件是兩兩互不相容的,即樣本點(diǎn)是互不相容的,事件A與B-A是互不相容的.5.互不相容事件(互斥事件):(2)若用集合表示事件,則A,B互不相容即為A與B是不相交的.ABSBAf=I若則稱A與B是互不相容的，或互斥的，即A與B不能同時(shí)發(fā)生。2024/6/23166.對(duì)立事件(逆事件)：SAB若，則稱A與B互為逆事件，也稱為對(duì)立事件。即在一次實(shí)驗(yàn)中，事件A與B中必然有一個(gè)發(fā)生，且僅有一個(gè)發(fā)生。A的對(duì)立事件記為。若A與B互為對(duì)立事件，則記為。2024/6/23177.事件的運(yùn)算律:交換律:結(jié)合律:分配律：2024/6/2318說(shuō)明:摩根律推廣：德·摩根律:2024/6/2319IIIIII例1

如右圖所示的電路中，以A表示“信號(hào)燈亮”這一事件，以B,C,D分別表示事件：開(kāi)關(guān)接點(diǎn)I,II,III閉合，那么容易知道2024/6/2320例2

高射炮對(duì)模型飛機(jī)射擊三次，設(shè)Ai表示“第i次擊中飛機(jī)”，用Ai表示下列事件（1）B1“只有第一次擊中飛機(jī)”（2）B2“恰有一次擊中飛機(jī)”（3）B3“至少有一次擊中飛機(jī)”（4）三次擊中飛機(jī)時(shí)，擊落了飛機(jī),B4:“飛機(jī)沒(méi)有被擊落”2024/6/2321解(1)2024/6/2322(一)頻率

1.將一試驗(yàn)E在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行n次,如果事件A發(fā)生了nA次,則比值nA/n

稱為事件A發(fā)生的頻率,記為fn(A).2、頻率的基本性質(zhì)：§3頻率與概率2024/6/2323頻率的特性:波動(dòng)性和穩(wěn)定性.說(shuō)明

(1)波動(dòng)性:對(duì)于同樣的試驗(yàn)次數(shù),不同的試驗(yàn)其頻率不同;對(duì)于同一試驗(yàn),不同的試驗(yàn)次數(shù)n,其頻率也不同,當(dāng)n較小時(shí),fn(A)隨機(jī)波動(dòng)的幅度較大.

(2)穩(wěn)定性:隨著n逐漸增大，事件A的頻率總在某一定值P(A)的附近擺動(dòng)而逐漸穩(wěn)定于這個(gè)值，這個(gè)定值P(A)通常稱為頻率的穩(wěn)定值。2024/6/2324實(shí)驗(yàn)n=5n=50n=500序號(hào)120.4220.442510.502230.6250.502490.498310.2210.422560.512451.0250.502530.506510.2240.482510.502620.4210.422460.492740.8180.362440.488820.4240.482580.516930.6270.542620.5241030.6310.622470.4942024/6/2325投幣試驗(yàn)2024/6/2326字母頻率

字母頻率

字母頻率E0.1268L0.0394P0.0186T0.0978D0.0389B0.0156A0.0788U0.0280V0.0102O0.0776C0.0268K0.0060I0.0707F0.0256X0.0016N0.0706M0.0244J0.0010S0.0634W0.0214Q0.0009R0.0594Y0.0202Z0.0006H0.0573G0.01872024/6/23272024/6/2328(二)概率1統(tǒng)計(jì)定義：頻率的穩(wěn)定值P(A)反映了事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小，稱P(A)為事件A的概率。概率有很多種定義，比如，概率的古典定義、幾何定義、主觀定義，較為常用的是統(tǒng)計(jì)定義和公理化定義。2024/6/23292公理化定義：設(shè)S為樣本空間，A為事件，對(duì)每一事件A賦予一實(shí)數(shù)P(A)，如果P(A)滿足如下三條公理：則稱P(A)為事件A的概率。2024/6/2330概率的性質(zhì):2024/6/23312024/6/23322024/6/2333

P(B)=P(A)+P(B-A),即P(B-A)=P(B)-P(A).BAB-A2024/6/2334BAA

BB-AB2024/6/2335這個(gè)式子稱為“加奇減偶公式”.1.2.2024/6/2336可以利用上面的加奇減偶公式和

推得下面的公式2024/6/2337例1

設(shè)A,B為兩個(gè)事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.2,求下列各事件的概率.4.0)]()()([1)(1)()((2)=-+-=-==ABPBPAPBAPBAPBAPUU.8.02.01)(1)()1(=-=-=ABPABP解：(3)(4)2024/6/2338若隨機(jī)試驗(yàn)有以下兩個(gè)特點(diǎn):例如:擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).(1)樣本空間中只有有限個(gè)樣本點(diǎn);即

S={e1,e2,

,en}(2)試驗(yàn)中每個(gè)基本事件(樣本點(diǎn))的發(fā)生是等可能的,即P(e1)=P(e2)=

=P(en).計(jì)算公式:對(duì)古典概型,由概率定義及等可能性,可得這類隨機(jī)現(xiàn)象的概率模型叫做古典概型.§4古典概型2024/6/2339故有稱A中的樣本點(diǎn)為A的“有利場(chǎng)合”，于是2024/6/2340加法原理:

完成一件工作,有m類方法,而第1類方法有n1

種方法,第2類方法有n2種方法,…,第m類方法有nm種方法,任選一種此工作就完成,那么完成這項(xiàng)工作共有N=n1+n2+…+nm種不同的方法.乘法原理:

完成一件工作,需要m個(gè)步驟,而第1步有n1

種方法,第2步有n2種方法,…,第m步有nm種方法,依次完成這m步時(shí)這項(xiàng)工作才完成,那么完成這項(xiàng)工作共有N=n1

n2

…

nm種不同的方法.2024/6/2341例1

一部5卷的文集隨便放在書(shū)架上，問(wèn)：（1）A:第三卷剛好放在中間,(2)B:各卷書(shū)自左或自右順序擺放的概率是多少？解：5卷書(shū)所有的排列方法數(shù)為(1)A所包含的樣本點(diǎn)數(shù)為

所以(2)B所包含的樣本點(diǎn)數(shù)為2，所以2024/6/2342古典概型概率的計(jì)算步驟:(1)選取適當(dāng)?shù)臉颖究臻gS,使它滿足有限等可能的要求,且把事件A表示成S的某個(gè)子集.(2)計(jì)算樣本點(diǎn)總數(shù)n及事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)k.(3)用下列公式計(jì)算.2024/6/2343例2.

袋中裝有4只白球和2只紅球.從中有放回摸球兩次,每次任取一球.求:(1)A:兩球顏色相同的概率(2)B:兩球中至少有一只白球的概率.P(A1)=(44)/(66)0.444，P(A2)

0.111,所以P(A)=P(A1

A2)=P(A1)+P(A2)

0.556,

解定義事件:A1=“兩球都是白球”,A2=“兩球都是紅球”,樣本空間:取兩次球,共有66種取法.由于A=A1

A2,A1包含44種取法,A2包含22種取法,故P(B)=1-P(A2)

0.8892024/6/2344例3.設(shè)一袋中有編號(hào)為1,2,…,9的球共9只,現(xiàn)從中任取3只,試求:(1)取到1號(hào)球的概率,（事件A）(2)最小號(hào)碼為5的概率.（事件B）解:

從9個(gè)球中任取3只球,共有種取法.（1）取到1號(hào)球共有種取法（2）最小號(hào)碼為5,共有種取法.2024/6/2345例4.

將n只可識(shí)別的球隨機(jī)地放入N(N≥n)個(gè)盒子中去,試求每個(gè)盒子至多有一只球的概率.(設(shè)盒子的容量不限).

解:

每一只球都可以放入N個(gè)盒子中的任一個(gè),共有(N

N...N)種不同的放法.每個(gè)盒子至多放一只球,共有種不同的放法.2024/6/2346假定每個(gè)人的生日在一年365天的任一天都等可能,隨機(jī)選取n(<365)個(gè)人,至少有兩人生日相同的概率為:生日問(wèn)題2024/6/2347例5.

設(shè)有N件產(chǎn)品,其中D件次品,從中任取n件,求其中恰有k(k≤D)件次品的概率.D件次品中取k件,所有可能取法共有取法,解:N件中任取n件,可以不考慮次序共有取法,2024/6/2348例6.15名新生中有3名是優(yōu)秀生,將這15名新生隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班級(jí)中去,問(wèn)每一個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?

另外12名新生平均分到三個(gè)班級(jí)中共有2024/6/2349例7

某接待站在某一周曾接待過(guò)12次來(lái)訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的，問(wèn)是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的？解假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒(méi)有規(guī)定，而各來(lái)訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來(lái)訪者都在周二、周四的概率為212/712=0.0000003.人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不發(fā)生的”（稱之為實(shí)際推斷原理)?，F(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，因此，有理由懷疑假設(shè)的正確性，從而推斷接待站不是每天都接待來(lái)訪者，即認(rèn)為其接待時(shí)間是有規(guī)定的。§5幾何概型古典概型的計(jì)算，適用具有等可能性的有限樣本空間，若試驗(yàn)結(jié)果無(wú)限，則它已經(jīng)不適合為了克服有限的局限性，利用幾何方法，可將古典概型的計(jì)算加以推廣2024/6/2350設(shè)試驗(yàn)E具有以下特點(diǎn)：（1）樣本空間S是一個(gè)幾何區(qū)域，這個(gè)區(qū)域的大小是可以度量的（如長(zhǎng)度、面積、體積等），并把對(duì)S的度量記作m(S);(2)向區(qū)域S內(nèi)任意投擲，投擲落點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)任一個(gè)點(diǎn)處都是等可能的，或者設(shè)投擲落點(diǎn)在S中的區(qū)域A內(nèi)的可能性與A的度量成正比，而與A的位置、狀態(tài)及形態(tài)無(wú)關(guān)2024/6/2351設(shè)事件A：擲點(diǎn)落在區(qū)域A內(nèi)，那么事件A的概率可用如下公式計(jì)算（幾何概率公式）：可以驗(yàn)證，幾何概率公式滿足概率的公理化定義（非負(fù)性、規(guī)范性、可列可加性），因此，它是概率2024/6/2352例1（約會(huì)問(wèn)題）甲乙兩人相約在0到T這段時(shí)間內(nèi)，在預(yù)定的地點(diǎn)會(huì)面，他們到達(dá)的時(shí)間是等可能的，先到的人等候另一個(gè)人，經(jīng)過(guò)事件t(0<t<T)后離去,求甲乙兩人能會(huì)面的概率.2024/6/2353例1(約會(huì)問(wèn)題)2024/6/2354在約會(huì)問(wèn)題中，一般總希望見(jiàn)到面的概率大一些，這就要求等待時(shí)間長(zhǎng)一些；而輪船、火車進(jìn)站等場(chǎng)合卻相反，希望不遇見(jiàn)的概率大一些，這就要求等待時(shí)間短一些.xTtOtTyAS2024/6/2355(一)條件概率:

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S,A,B是事件,要考慮在A已經(jīng)發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率,這就是條件概率,記為P(B|A).例1.

將一枚硬幣擲兩次,觀察其出現(xiàn)正反面的情況.設(shè)A—“至少有一次正面”,B—“兩次擲出同一面”求：A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率.§6條件概率2024/6/2356S={HH,HT,TH,TT}A={HH,HT,TH},B={HH，TT}于是P(B|A)分析：已知事件A已發(fā)生，有了這一信息，知道“TT”不可能發(fā)生，即知試驗(yàn)所有可能結(jié)果所成的集合就是A。=1/3.2024/6/2357在古典概型中:樣本空間S由n個(gè)樣本點(diǎn)組成,若事件A包含nA個(gè)樣本點(diǎn)，AB包含nAB個(gè)樣本點(diǎn)，則直觀含義:求這個(gè)條件概率,A發(fā)生是一大前提,構(gòu)成所考慮問(wèn)題的全空間，在這個(gè)空間中求B發(fā)生的概率，因此P(B|A)=P(AB)/P(A).ABABS2024/6/23581.定義:設(shè)A,B是兩個(gè)事件,且P(A)>0,稱為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.2.性質(zhì):

條件概率符合概率定義中的三條公理,即2024/6/2359此外,條件概率具有無(wú)條件概率類似性質(zhì).例如：特別地，當(dāng)A=S時(shí),P（B|S）=P(B)，條件概率化為無(wú)條件概率，因此無(wú)條件概率可看成條件概率。2024/6/2360例2

根據(jù)長(zhǎng)期氣象紀(jì)錄，甲乙兩城市一年中雨天的比例分別為20%和18%,同時(shí)下雨的比例為12%。求條件概率。解：以A,B分別表示甲乙兩城市出現(xiàn)雨天。則P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,于是2024/6/2361例3

袋中有某產(chǎn)品５件，其中一等品３件二等品２件，不放回從中連續(xù)抽兩件，A表示第一次抽到一等品，B表示第二次抽到一等品，求P(AB).(二)乘法定理:2024/6/2362推廣:P(AB)>0,則有

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).

一般,

設(shè)A1,A2,…,An是n個(gè)事件,(n≥2),P(A1A2...An-1)>0,則有乘法公式:P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2)

P(An|A1A2…An-1).2024/6/2363例4

設(shè)盒中有a(a>2)個(gè)黑球，b個(gè)白球，連續(xù)從盒中取球3次，每次取一球，取后不放回，求第1,3次取到黑球第2次取到白球的概率。解以Ai

表示事件“第i次取到黑球”(i=1,2,3),2024/6/2364例5.透鏡第一次落下打破的概率為0.5,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為獲0.7,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為0.9,試求透鏡落下三次而未打破的概率.2024/6/2365(三)全概率公式和貝葉斯公式:1.樣本空間的劃分S

B1B2B3...Bn2024/6/2366(1)若B1,B2,…,Bn是樣本空間S的一個(gè)劃分,則每次試驗(yàn)中,事件B1,B2,…,Bn中必有一個(gè)且僅有一個(gè)發(fā)生.2024/6/23672.全概率公式:AB1B2B3BnS

...稱上式為全概率公式.2024/6/2368再利用乘法定理即得由概率的有限可加性,得分析：2024/6/2369例6

一批麥種中混有2%的二等種、1%的三等種、1%的四等種。一、二、三、四等種的發(fā)芽率為98%、95%、90%、85%，現(xiàn)取一粒種子，問(wèn)它能發(fā)芽的概率是多少？解設(shè)表示Bi“取到一粒種子屬i等種”(i=1,2,…,4)，顯然Bi構(gòu)成S的一個(gè)劃分，設(shè)A表示“取到一粒種子能發(fā)芽”，則由全概率公式得2024/6/2370例7

甲箱中裝有3只紅球和2只白球,乙箱中2只紅球和2白球，從甲箱中取兩只球放入乙箱中，再?gòu)囊蚁渲腥?球,求A:“從乙箱取得白球”的概率.解設(shè)Bi={從甲箱中取出i只白球},i=0,1,2.則B0,B1,B2構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分。有由全概率公式2024/6/2371貝葉斯公式:由乘法公式:P(ABi)=P(A|Bi)P(Bi).由全概率公式:P(A)于是可得結(jié)論.2024/6/2372貝葉斯公式的直觀意義為：若事件B1,B2,…,Bn是引起事件A發(fā)生的n個(gè)原因，它們的概率P(Bi)(i=1,2,…,n)是在對(duì)A觀察前就已知的，因此通常叫做先驗(yàn)概率。如果在一次試驗(yàn)中，事件A（結(jié)果）發(fā)生了，那么反過(guò)來(lái)問(wèn)：A的發(fā)生是由第i個(gè)原因引起的概率P(Bi|A)是多少？這就是貝葉斯公式解決的問(wèn)題。通常稱P(Bi|A)(i=1,2,…,n)為后驗(yàn)概率。全概公式是“由因?qū)Ч钡囊粋€(gè)過(guò)程，貝葉斯公式則是“由果溯因”的一個(gè)推斷公式。2024/6/2373解由貝葉斯公式可得同理例6（續(xù)）若取一粒種子做發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，結(jié)果發(fā)芽了，問(wèn)它是一、二、三、四等種的概率是多大？2024/6/2374例7.某電子設(shè)備廠所用的晶體管是由三家元件制造廠提供的,數(shù)據(jù)如下:元件制造廠次品率提供的份額

10.020.1520.010.8030.030.05(1)任取一只晶體管,求它是次品的概率.(2)任取一只,若它是次品,則由三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少?2024/6/23752024/6/2376例8

對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明,當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí),產(chǎn)品的合格率為90%,而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí),其合格率為30%,每天早晨機(jī)器開(kāi)動(dòng)時(shí)機(jī)器調(diào)整良好的概率為75%,試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時(shí),機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少?解:設(shè)A為事件“產(chǎn)品合格”,B為事件“機(jī)器調(diào)整良好”,由已知,P(A|B)

=0.9,=0.3,P(B)=0.75,=0.25,所求的概率為P(B|A).由Bayes公式：P(B|A)==(0.90.75)/(0.90.75+0.30.25)=0.9.2024/6/2377設(shè)A,B是試驗(yàn)E的兩事件,當(dāng)P(A)>0,可以定義P(B|A)一般地,P(B|A)≠P(B),

但當(dāng)A的發(fā)生對(duì)B的發(fā)生沒(méi)有影響時(shí),有P(B|A)=P(B)?！?

獨(dú)立性由乘法公式有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).2024/6/2378例1.

設(shè)袋中有a只紅球和b只白球(b≠0),今從袋中取兩次球,每次各取一球,分為放回和不放回兩種情況.記:A—“第一次取得的是紅球”,

B—“第二次取得的是紅球”1.有放回時(shí):所以P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).2024/6/23792.不放回時(shí):2024/6/2380定義1:設(shè)A,B是兩事件,如果滿足等式

P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B是相互獨(dú)立的事件，簡(jiǎn)稱A,B獨(dú)立.AABBS必然事件S和不可能事件

與任何事件A都獨(dú)立2024/6/2381定理：如果事件A,B相互獨(dú)立，且P(B)>0,則

P(A|B)=P(A),反之亦然.證：由條件概率及上式定義得AABBS2024/6/2382ABABS定理2024/6/2383例2

甲、乙兩射手向同一目標(biāo)各射擊一次,甲擊中目標(biāo)的概率為0.9，乙擊中目標(biāo)的概率為0.8，求在一次射擊中目標(biāo)被擊中的概率。解記A:“甲擊中目標(biāo)”，B:“乙擊中目標(biāo)”

C:“目標(biāo)被擊中”,這里可認(rèn)為事件A,B獨(dú)立,則2024/6/2384定義2:設(shè)A,B,C是三個(gè)事件,若滿足:

P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),

P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

則稱A,B,C為相互獨(dú)立的事件.定義3：對(duì)n個(gè)事件A1,A2,…,An,如果對(duì)所有可能的組合1≤i<j<k<…≤n成立著

P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)

P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak)

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An),

則稱這n個(gè)事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立.2024/6/2385推論：1.如果A1,A2,…,An相互獨(dú)立，那么其中任意m個(gè)事件也相互獨(dú)立.

2.如果A1,A2,…,An相互獨(dú)立，則將其中任意個(gè)事件換成其逆事件后也相互獨(dú)立.

2024/6/2386注意：

1.前面三個(gè)式子表明A,B,C三事件兩兩獨(dú)立,并不能說(shuō)A,B,C三事件相互獨(dú)立.定義4：設(shè)A1,A2,…,An是n個(gè)事件，如果對(duì)任意的1≤i<j≤n有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),則稱這n個(gè)事件兩兩獨(dú)立.2.若n個(gè)事件相互獨(dú)立，必蘊(yùn)含這n個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立,反之不真。2024/6/2387例3

一均勻正四面體,第一、二、三面分別染成紅白黑三色,第四面染上紅白黑三色.現(xiàn)以分別A,