新教材人教A版高中數(shù)學必修一 函數(shù)的應(yīng)用（一）（含解析）

3.4函數(shù)的應(yīng)用(一)-【新教材】人教A版(2019)

高中數(shù)學必修第一冊同步練習(含解析)

一.單選題

1.已知/(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且“乃-g(x)=x3+x2+l,

則/⑴+g(l)=()

A.—3B.—1C.1D.3

2.設(shè)函數(shù)/Xx),g(x)的定義域都為R,且/'(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論

中正確的是()

A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)

C.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)D.|/(x)gQ)|是奇函數(shù)

3.已知函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，且當久>0時，/(x)=x2+i,則〃-1)=()

A.2B.1C.0D.-2

4.己知a,b,cWR,函數(shù)f(%)=Q/+"+c.若f(0)=/(4)>f(1),則()

A.a>0,4a+6=0B.a<0,4a4-b=0

C.Q>0,2a+b=0D.a<0,2a4-h=0

5.設(shè)〃)={■°_；葭)1若/3)=/(。+1)，則嗚=()

A.2B.4C.6D.8

6.已知f(x)=x+：-l,f(a)=2,那么f(-a)的值為()

A.—4B.-2C.-1D.-3

7.若函數(shù)f(x)=x+￡,則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)/(x)的最小值為4

B.函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞增

C.函數(shù)/(乃的最大值為4

D.函數(shù)/(%)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞減

8.函數(shù)/'(x)=立苫史的圖象的對稱中心為()

A.(0,0)B.(0,1)C.(1,0)D.(1,1)

9.已知a+1=_XJTx€(―1,2),則a的取值范圍是()

A.(一|,-|)B.(一|,|)C.(-2,2)D.(一|,|)

10.函數(shù)/（x）的最小值為（）

A.1B.2C.|D.3

多選題

11.某單位在國家科研部門的支持下，進行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化

為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸,

月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=|x2-

200x+80000,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元似下

判斷正確的是（）

A.該單位每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低

B.該單位每月最低可獲利20000元

C.該單位每月不獲利，也不虧損

D.每月需要國家至少補貼40000元才能使該單位不虧損

一工？一dx-5X<1

｛2x>]'一是R上的增函數(shù)，

則實數(shù)。的取值可以是（）

A.0B.-2C.-1D.—3

三.填空題

13.畫出一般對勾函數(shù)丫=。％+；（。>0/>0）的圖象，并寫出其性質(zhì).

（1）定義域：.

（2）值域：.

（3）奇偶性：.

（4）單調(diào)區(qū)間：.

14.某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計算，計算公式為：y=

4%,1<%<10,

2%+10,10100jEN,其中4代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù)，若應(yīng)

1.5x,x>100,

聘的面試人數(shù)為60人，則該公司擬錄用人數(shù)為人.

15.已知函數(shù)f（乃=｛。二4；：tl'x<2則不等式f（x）<0的解集是.

第2頁，共18頁

16.要制作一個容積為4ni3,高為1根的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每

平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是(單

位：元).

17.函數(shù)/。)=》一：的值域為.

18.函數(shù)/Q)=潟的最小值為.

四.解答題

19.某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100

元，己知總收益滿足函數(shù)：

/?(%)=[400%一°-X~40°淇中*是儀器的月產(chǎn)量.

I80000,%>400

(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)/(x);

(2)當月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大?最大利潤為多少元？(總收益=總成本+

利潤)

20.已知函數(shù)/(乃=父臺，且f(l)=-l.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式，并判斷它的奇偶性.

(2)判斷函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)性，并證明.

21.中國“一帶一路”倡議提出后，某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的機遇，決定

開發(fā)生產(chǎn)一款大型電子設(shè)備，生產(chǎn)這種設(shè)備的年固定成本為500萬元，每生產(chǎn)x臺

需要另投入成本C(x)(萬元).當年產(chǎn)量不足80臺時，C(x)=[/+40x(萬元)，當年

產(chǎn)量不小于80臺時，C(x)=101X+等一2180(萬元)，若每臺設(shè)備售價為10()

萬元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的電子設(shè)備能全部售完.

(1)求年利潤y(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(臺)的函數(shù)關(guān)系式.

(2)年產(chǎn)量為多少臺時，該企業(yè)在這一電子設(shè)備的生產(chǎn)中所獲利潤最大？并求出這

個最大利潤.

22.某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿

場售價與上市時間的關(guān)系如圖1的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的

第4頁，共18頁

關(guān)系如圖2的拋物線段表示.

(1)寫出圖1表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式p=/(t)；寫出圖2表示的種植成

本與時間的函數(shù)關(guān)系式Q=g(t)；

(2)認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？(注：

市場售價各種植成本的單位：元/IO?依，時間單位：天)

答案和解析

1.【答案】c

【解析】

【分析】

本題考查奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題，直接代入計算可得/(-1)-g(-1)的值,

進而利用奇偶性即可得到/(I)+g(l)的值.

【解答】

解：y(x)-g(x)=x3+x2+1,

f(-1)-g(_1)=-1+1+]=],

又?."(X),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，

g(-l)=-g(l)，

+=1)=1,

故選C

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)的奇偶性的判定，屬于基礎(chǔ)題.

利用函數(shù)的奇偶性的定義進行判定即可.

【解答】

解：因為/(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，所以/(x)g(x)為奇函數(shù)，

f(x)lgG)為奇函數(shù)，l/COIgG)為偶函數(shù),lf(x)g(x)|為偶函數(shù)，

故選8.

3.【答案】D

【解析】

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【分析】

本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題，根據(jù)函數(shù)的解析式求得/(I)的值，根據(jù)奇函數(shù)的性

質(zhì)得到/(一1)的值.

【解答】

解：由題意知f(l)=M+；=2,

是奇函數(shù)，

故選：D.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查一元二次函數(shù)對稱軸和開口方向的知識，首先判斷出對稱軸，再判斷開口方向.

【解答】

解：由f(0)=/(4),得/'(x)=ax2+人工+?的對稱軸為x=—螢=2,二4a+b=0,

又/(0)>/?⑴，.??/(%)先減后增，.?”>(),

故選A.

5.【答案】C

【解析】

【分析】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想分類討論以及計算能力.屬于基礎(chǔ)題.

利用已知條件，求出。的值，然后求解所求的表達式的值即可.

【解答】

解：當0<a<l時，a+l>l,/(a)=yfa>/(a+1)=2(a+1-1)=2a,

"/(a)=/(a+1),

:.y/a=2a,解得a=；或。=0(舍去).

???/(￡)=f(4)=2x(4-1)=6.

當Q>1時，Q+1>2,

/⑷=2(a—1),/(a+1)=2(a+1-1)=2a,

???2(a-1)=2a,無解.

當Q=1時，Q+1=2,/(I)=0,/(2)=2,不符合題意.

綜上，嗚=6.

故選C

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)值的求法，注意奇函數(shù)的性質(zhì)，屬于較易題目.

【解答】

解：=x+f(a)=2,

.-,/(a)=a+i-l=2,.--a+;=3

/(—a)=—a一1=—3—1=—4,

故選A

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

直接畫出對勾函數(shù)/(x)=x+：的圖象的大致形狀，由圖象得答案.

【解答】

解：函數(shù)/'(x)=x+：的定義域為{x|x40}

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y

4

--2F-rpr-->x

4

函數(shù)的圖象如圖，

由圖可知，函數(shù)f(x)在定義域上無最小值，故A錯誤；

函數(shù)f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，故8正確，。錯誤；

函數(shù)f(x)在定義域上無最大值，故C錯誤.

故選艮

8.【答案】B

【解析】

【試題解析】

【分析】

本題考查奇偶函數(shù)圖象的對稱性，把原函數(shù)解析式變形得/(>)=%+1+》寸論即可,

屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：/(X)=X+1+

可設(shè)y'=y—1,x'=x得到y(tǒng)'=[+x',

所以y'與x'成反比例函數(shù)關(guān)系且為奇函數(shù)，則對稱中心為(0,0)

即y'=0,xr=0得到y(tǒng)=1,%=0

所以函數(shù)y的對稱中心為(0,1)

故選B.

9.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷及應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

依題意，令人久)=一品，根據(jù)單調(diào)性的定義判斷/(x)在(一1,2)單調(diào)遞減，得一|<a+

1<|,進而求得結(jié)果.

【解答】

解：令/(》)=一言設(shè)—1<%1<小<2,x2—X1>0,x1x2<

f(Af(\_2*12X_2(X-X)(4-XX)n

/(Xvi)v--訴+昕2--241)12>。，

所以/(右)—八>2)>0,所以函數(shù)/(X)在(—1,2)單調(diào)遞減，

所以x6(-1,2)時,-1<f(x)<|,即一：<a+l<|,

得-1<a<—|,

故選4.

10.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷及應(yīng)用，屬中檔題.

令=函數(shù)g(t)=t+，，根據(jù)單調(diào)性定義判斷以g(t)在［2,+8)上遞增,

求得g(t)min=9(2)=|，

即可結(jié)果.

【解答】

解："乃=篇=疹”+五占'

令〃2+4=t>2,函數(shù)g(t)=t+3

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令ti>t2>2,ti-t2>“速>4

g(“)-gQz)=ti+=-J-=(J-亡1)(一>2)>o,

tt

C112'l2/

所以g(t)在［2,+8)上遞增，g(t)min=g(2)=|，

所以函數(shù)/'(X)=蕓的最小值為|.

故選C.

11.【答案】AO

【解析】

【分析】

本題考查基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是列出函數(shù)關(guān)系式，屬于中檔題.

列出處理成本函數(shù)3然后由基本不等式求最小值，并得出取最小值時處理量X.設(shè)該單

位每月獲利為S,則S=100x-y,把y值代入進行化簡，然后運用配方法進行求解.

【解答】

解：由題意可知，二氧化碳每噸的平均處理成本為

y1.80000、1180000

-=-%d--------o2n0n0>n2-%------2o0n0n=2Qn0n0，

x2xN2x

當且僅當=等,即x=400時，能使每噸的平均處理成本最低,最低成本為200元.

設(shè)該單位每月獲利為S,

則S=100x-y=100%-Qx2-200x+80000)

=-|(x-300)2-35000,

因為400WXW600,所以當x=400時，S有最大值-40000元，

故該單位不獲利，需要國家每月至少補貼40000元，才能不虧損.

故選AD.

12.【答案】BD

【解析】

【分析】

本題主要考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題.

—%2-dx—5xv1

a'一是R上的增函數(shù)’得到不等式組

{x>1

-1

-a<0，解出。的取值范圍結(jié)合選項勾選即可.

、一1—a—5<a

【解答】

—%2—dx—5xv1

{巴X>1'一是R上的增函數(shù)，

1力,

**?a<0解得：—3<a<一2,

1—1—a—5<a

故選項中實數(shù)a的取值可以是-2和-3,

所以選：BD.

13.【答案】(l)(—8,0)u(0,+8)

(2)(—oo,-2-/ab]U\2\[ab,+oo)

(3)奇函數(shù)

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)性質(zhì)的知識，屬于基礎(chǔ)題.

首先根據(jù)題意求出函數(shù)的定義域，再用基本不等式求出函數(shù)的值域，y(-x)=-y,定

義域關(guān)于原點對稱判斷出是奇函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖像，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

第12頁，共18頁

【解答】

解:(1)由題意知%于0,故函數(shù)y的定義域為(一8,0)U(0,+8),

(2)%>0時，對于函數(shù)y=ax+p則有y>2JQX.m=2VHF，這里不等號當且僅當a%=

g即x=時取到等號，故37》2房，

x<。時，對于函數(shù)y=ax+^=-(-ax-］則有y4-2J(-ax).(一g)=-2Va6.

這里不等號當且僅當ax=p即x=-g時取到等號，故y<-2VHF,所以y的值域是：

(—8,-2芯司U［2VH5+8).

(3)y(-x)=-ax-^=-y,且函數(shù)y的定義域關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)y是奇函數(shù).

(4)結(jié)合函數(shù)圖像，可知在區(qū)間(-8,-耳和［電,+8)上單調(diào)遞增，在區(qū)間［-即)和

14.【答案】25

【解析】

【分析】

本題考查了分段函數(shù)模型，基礎(chǔ)題.

由題意令函數(shù)值為60,求解即可.

【解答】

解：若4%=60,則x=15>10(舍去)；

若2x+10=60,則x=25,滿足題意；

若1.5x=60,則x=40<100,不合題意.

故答案為：25.

15.【答案】(1,4)

【解析】

【分析】

本題考查分段函數(shù)求不等式，屬基礎(chǔ)題.

可以利用函數(shù)的圖象求得不等式的解集，也可以分段求出不等式的解集，然后取并集.

【解答】

解法一：當x》2時，/(為=%-4<0的解集為［2,4)；

當*<2時，不等式“乃=x2-4%+3<0的解集為(1,2).

綜上所述，不等式/Xx)<0的解集為(1,4)

故答案為：(1,4).

解法二：分段函數(shù)的圖象如圖，得出不等式/(x)<0的解集是(1,4).

故答案為：(1,4).

16.【答案】160

【解析】

【分析】本題考查基本不等式的實際應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題，設(shè)該容器的總造價為y元，長方

體的底面矩形的長為xm,將y表示為x的函數(shù)，利用基本不等式求最值即可.

【解答】解：設(shè)該容器的總造價為y元，長方體的底面矩形的長為久m,

因為無蓋長方體的容積為4m3,高為1m,所以長方體的底面矩形的寬為gm,

依題意，得y=20x4+10(2x+^)=80+20(x+：)

>80+20x2Jxx=160(當且僅當x=即久=2時取等號)，

所以該容器的最低總造價是160元.

17.【答案】R

【解析】

第14頁，共18頁

【分析】

本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.

由題意，可得函數(shù)/為奇函數(shù)，利用定義法可得函數(shù)/(乃在(0,+8)上是增函數(shù)，由

此可得函數(shù)的值域.

【解答】

解：,函數(shù)/(X)的定義域為(一8,0)1_)(0,+8),關(guān)于原點對稱，

且/'(-X)=一%+：=一(乂一》，即/(-x)=-/0)，

.??函數(shù)fQ)為奇函數(shù)，

對于任意%1，%26(0,+co),設(shè)%1<%2,

則：/(■)-/(X2)=一,_(42_今=Xl_*2+_%2+

xXxx

“1“221l2

3

=(%1-x2)(l+—)-

v,%2W(0,+8)且％1<%2,

3

AXx—X2<0,%1%2>0>1+>0，

???/(Xi)-/(x2)<0,即fQl)<f(X2)，

二函數(shù)f。)在(0,+8)上是增函數(shù),

■■■/Q)在(一8,0)U(0,+8)上單調(diào)遞增，有函數(shù)性質(zhì)可得，函數(shù)的值域為R.

故答案兄

18.【答案】4

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)最值的知識，屬于基礎(chǔ)題.

可以用換元法，t=GT，t>o,函數(shù)/'(x)=t++再利用均值不等式求解即可.

【解答】

解：由題意可知久一1>0,即％>1,

令t=Vx—1，則％=t24-l(t>0),

f(x)=C+：)2Jt.￡=4,當且僅當￡=g,即t=2,%=5時，等號成立，

故加)。)=4,

答案為：4.

19.【答案】解：(1)由于每月產(chǎn)量為x臺，則總成本為20000+100%,

-1x2+300%-20000,0<%<400,

從而/(x)=

60000—100x,x>400.

(2)當0<x<400時，/(x)=-j(x-300)2+25000,

.?.當x=300時，有最大值25000；

當x>400時,f(x)=60000-100%是減函數(shù),

/(X)<60000-100x400<25000.

??當x=300時,f(x)取最大值.

???每月生產(chǎn)300臺儀器時，利澗最大，最大利潤為25000元.

【解析】本題考查了函數(shù)模型的應(yīng)用的相關(guān)知識，試題難度一般

20.【答案】解：(1)依題意，a+1=—1得a——2,f(x)=十]——2x+

因為“X)的定義域為(一8,0)u(0,+8),

且/'(-X)=2%-i=一/'(%).所以/'0)是奇函數(shù)

(2)/(%)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減.

證明：設(shè)任意0<%1<打，

111

則f(%i)—f(%2)=-2r+—+=(x-%力(2+—

lX12X2--x22xlx2

因為0</<%2，所以%2—X]>0且2++>°?所以/(/)>/(%2)，所以/'(x)在

(0,+8)上單調(diào)遞減

【解析】本題考查函數(shù)解析式確定，考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的判斷，屬基礎(chǔ)題.

(1)依題意，得a=-2,再根據(jù)奇函數(shù)定義判斷即可.

(2)f(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，根據(jù)減函數(shù)的定義證明即可.

第16頁，共18頁

21.【答案】解：(1)當0<x<80時,y=100%-(|x2+40x)-500=-|x2+60x-500,

當％豈80時，y=100x-(lOlx+^-2180)-500=1680-(x+誓)，

f—^x2+60x—500,0<x<80